小学奥数：不定方程与不定方程组.专项练习
五年级奥数(不定方程)
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1、装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个？2、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里,大盒子装12个，小盒子装7个.问:需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3、大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客,要使每位乘客都有座位且没有空位。
问：需大、小客车各几辆？4、某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元。
问：这两种钢笔共卖出多少支？5、小明花4.5元买了0.14元一支的铅笔和0。
67元一支的圆珠笔共17支，问:铅笔和圆珠笔各几支？6、小明把他的生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400。
你知道小明的生日是几月几日吗？7、有一次在活动中,丁丁和东东到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。
“小博士"让丁丁把自己命中的次数乘以5，让东东把自己的命中的次数乘以4，再把两个数加起来告诉他,丁丁和东东算了一下是33，“小博士”正确的说出了他们命中的次数，丁丁和东东分别命中几次？8、甲乙两人植树,甲每天植树18棵，乙每天植树21棵,两人共植树135棵。
问:甲、乙两人各干了几天？9、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油,44千克的油恰好装满这些油桶。
小学奥数小学6年级奥数之不定方程
解：设0.9米长的x段，0.4米长的y段，由题意得
0.9x 0.4 y 5.8, 9x 4 y 58, y 14 2x 2 x ,
4
解得 x 2, x 6, y 10; y 1.
答：可分割成0.9米的2段，0.4米长的10段， 或0.9米长的6段，0.4米长的1段。
第23讲 趣谈不定方程
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14; (2) 11x+3y = 89. 解：
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
因为7+8 14 解：设这个学生出生年份是19ab年,由题意得
1991-19ab=1+9+a+b, 11a 2b 81, b 40 5a 1-a
2 a 1, a 3, a 5, a 7
... b 35, b 24, b 13, b 2 所以, 这个学生出生年份是1972年 1994 1972 22. 答：这个学生1994年22岁。
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0).
(1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
（2)(11,3）=1,1|89，原方程整理得
小学五年级不定方程、流水行船问题奥数练习题
小学五年级不定方程、流水行船问题奥数练习题1.小学五年级不定方程奥数练习题篇一1、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船X大船y列方程：3x+5y=48x,y都是正整数解得：x=1,y=9x=6,y=6X=I1y=32、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需大、小盒子个多少个？答案：设大的X个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：X只能取奇数χ=1y=8.5舍去x=3,y=5满足x=5,y=1.5舍去2.小学五年级不定方程奥数练习题篇二一天，小强在家里做数学作业时，遇到了一题难题，这道题目是：有一次,小红问小军的生日，小军说：“把我的月份数乘以18,日期数乘以12的和只要等于108就行了。
试用最单的方法算出小军的生日是几月几日？解：设小军的生日月份为X,月份的日期y18x+12y=108在解决问题的时候，小强的心里想：在方程式里，怎么会出现一个式子里就有两个未知数呢？突然间小强明白了这道题的方法：原来这是一道不定方程。
小强问妈妈：什么是不定方程呢？妈妈说：在一个等式里未知数个数多于方程个数的方程叫做不定方程。
例如：刚才你思考的题目中所列出的方程，就是属于不定方程。
小强听了妈妈的讲解方法，终于解出了那道不定方程，他的解法是：将18x+12y=108,变形后得：y=（108T8x）÷12,即y=9T。
5x,因为x,y均为整数，且IWXWI2,1≤y≤31,根据该方程，2WxW4,当x=2时，y=6；当x=4时,y=3o3.小学五年级流水行船问题奥数练习题篇三1、船在静水中的速度为每小时15千米，水流的速度为每小时2千米，船从甲港顺流而下到达乙港用了13小时，从乙港返回甲港需要多少小时？分析：船速+水速=顺水速度，可知顺水速度为17千米/时。
顺水行驶时间为13小时，可以求出甲乙两港的路程。
2018小学奥数专题一：不定方程的经典题型以及解题方法
2018小学奥数专题一：不定方程的经典题型以及解题方法不定方程的概念：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9中，如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
不定方程的解法：解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
不定方程的经典例题：例题一：一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？解题方法：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）， y＝（99－12y）÷5经检验，符合条件的解有（X=12，Y=15）和（X=7，Y=3），所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
例题二：买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？解题方法：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x －y）千克。
根据题意得：4x+3y+2×（30－x－y）＝82x=10-y/2由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。
小学高级奥数第26讲-不定方程与不定方程组
课后作业
<作业1>
解不定方程：2x 3y 7z 34 的正整数解．
课后作业
<作业1> 解不定方程：
（其中x,y均为正整数）
课后作业
<作业1> 解不定方程：
（其中x,y均为正整数）
课后作业
求方程 2x－3y＝8的整数解
求方程2x＋6y＝9的整数解
求方程4x＋10y＝34的正整数解
求方程3x＋5y＝12的整数解
求方程 7x 19y 213的整数解
求 6x 22y 90 的自然数解
求方程3x＋5y＝31的整数解
求方程 7x 4y 89 的整数解
求方程5x 3y 22 的所有正整数解
求方程 2x－3y＝8的整数解
解不定方程组 1800a 1200b 800c 16000
解方程 a b c 15
解不定方程
5x
ห้องสมุดไป่ตู้
3y
1 3
z
100
(其中x、y、z均为正整数)
x y z 100
<作业1>
解不定方程： 2x 9y 40 （其中x,y均为正整数）
课后作业
<作业1> 求不定方程 7x 11y 1288 的正整数解有多少组？
五年级奥数(下册) 第六讲 不定方程
1、甲种3盒，乙种4盒；2、甲种7盒，乙种1盒。
解题思路
• 在方程的两个未知数中，给出一个就可以 求出另一个。 • 一般步骤是：1、列出方程后根据题意确定 未知数的取值范围， • 2、在确定的范围内给出一个未知数的值， 在代入求另一个。 • 常用解法有两种：穷举试验法； • 同余试验法；
我们比较两个题目
• 1、设乙种本子买了x本 • 根据题意得 7×5+5x=50 一个未知数，一个方程 有唯一解 • 2、设买甲种本子x本，乙种本子y本， • 根据题意得 7x+5y=50 两个未知数，一个方程 解不唯一 • 像7x+5y=50这样，未知数的个数多于方程 个数的方程就叫做不定方程。
不定方程的解题思路和方法
确定x、y的范围
• 在 6x+8y=50中 • 你认为方程中的x、y应满足什么条件？
1、 x、y是整数；
2、 x≤8
y≤6
• 你认为怎样才能找到符合条件的x、y的值？ • 用符合条件的整数去试验
• 穷举法：由6x+8y=50可知：x≤8、y≤6
• 当y=1时6x+8×1=50
• 当y=2时6x+8×2=50
因为x、y是整数，所以y≤6, x ≤6
31 5 y 3
即 y=6、5、4、3、2、1、0
经过试验可以知道，y=2时，x=7;
y=5时，x=2
但是，因为3米的钢管只有6根，所以用3米长的 2根，5米长的5根。
同余试验法
• • • • • • •
x=
31 5 y 3
因为x、y是整数，且x≤6、y≤6 所以3∣(31－5y) 即 5y≡31≡2y≡1(mod3) 经试验可知，y=2或y=5 当y=2时，x=7不合题意 当y=5时，x=2符合题意 答，用3米长的2根，5米长的5根。
小学生奥数不定方程、奇偶性、工程问题练习题
小学生奥数不定方程、奇偶性、工程问题练习题1.小学生奥数不定方程练习题篇一1、有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同。
每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。
画片只有两种：3分一张和5分一张，每11人都尽量多买5分一张的画片。
问他们所买的3分画片的总数是多少张？2、（1）将50分拆成10个质数之和，要求其中的质数尽可能大，那么这个质数是多少？（2）将60分拆成10个质数之和，要求其中的质数尽可能小，那么这个的质数是多少？3、有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？4、小明买红、蓝两支笔，共用了17元。
两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵。
小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完。
那么红笔的单价是多少元？2.小学生奥数奇偶性练习题篇二1、不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：（1）1＋2＋3＋…＋9＋10；（2）1＋3＋5＋…＋21＋23；2、在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？3、数（42□+30-147）能被2整除，那么，□里可填什么数？4、判断25874和978651能否被3整除。
5、20×21×22×…×49×50的积末尾有多少个0？6、同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？7、不算出结果，直接判断下列各式的。
结果是奇数还是偶数：（1）1＋2＋3＋…＋9＋10；（2）1＋3＋5＋…＋21＋23；8、在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？9、数（42□+30-147）能被2整除，那么，□里可填什么数？10、判断25874和978651能否被3整除。
3.小学生奥数奇偶性练习题篇三元旦前夕，同学们相互送贺年卡。
每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数。
小学奥数 列不定方程解应用题 精选例题练习习题(含知识点拨)
列不定方程解应用题教学目标1、熟练掌握不定方程的解题技巧2、能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【巩固】甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【巩固】现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【例 2】用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.模块二、不定方程与应用题【例 3】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【例 4】在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？【巩固】某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几发？【例 5】某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有13的成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？【巩固】单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？【例 6】张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？【巩固】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【例 7】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【例 8】有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了天．【例 9】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【巩固】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【巩固】每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【巩固】小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？【例 10】一个家具店在1998年总共卖了213张床．起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？【例 11】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组．若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．【例 12】将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33．则这一群人的平均年龄为.【例 13】14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？【巩固】袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43．问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【例 14】公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【巩固】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．问：小明至多套中小鸡几次？【例 15】开学前，宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支4元，铅笔每支3元．宁宁买完两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？【巩固】小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．【例 16】蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？【巩固】今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有29是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有316是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？【例 17】甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？【巩固】有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的6倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？【例 18】甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各卷4册，6人各捐7册，其余各捐9册。
六年级上奥数试题——第8讲.不定方程(人教版)含解析
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。
在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位。
因此在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
1． 不定方程的试值技巧 2． 不定方程的经典题例【例1】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。
问：庙里至少有多少个和尚?【分析】设有7x 个大和尚，29y 个小和尚，则共吃()4111x y +个馒头。
由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：7294111x y x y +=+，化简为917x y =。
当9x =，17y =时和尚最少，有792917556⨯+⨯=（个）。
基本题型不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。
数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x ，y ，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x ，y ，z ，这是一个三元不定方程组问题。
经典精讲教学目标不定方程第八讲【例2】 把2001拆成两个数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要大），求这两个数。
【分析】这是一道整数分拆的常规题。
可列式11132001x y +=，要让y 取最大值，可把式子变形为2001111315312132122153131313x x x xy x -⨯+-++===-+，当7x =时，146y =。
小学数学六年级奥数《不定方程(二)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《不定方程（二）》练习题（含答案）一、填空题1.△+☆= .2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?———————————————答案—————————————————————— 1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5. 2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a .依题意,得 n a n n =++⨯915%25 整理得 9120)415(⨯=-a n ① 易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个). 3. 11.设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x 22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x =5, y=2.当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有 ⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x①-②,化简得a x 111726+=. 当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a . 7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x 整理得 1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.① ②8. 3.设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y .由已知 216631310=⨯+++yx y x 即 7254=+y x 72)(4=++y y x 由12|4(x + y ),12|72. 所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=. 所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2为z y x ,,,则 ()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅1面涂色彩正方体有:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程 )100(2350)100(y x x y +=-+, 其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4,…,48. 又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以 98563=+x 或298⨯. 所以 324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得 )1(122-⨯=+⨯x n x , 所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24. 若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾. 因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则 ⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x消去z 得 380517=+y x ①所以 175380yx -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即 17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有: ⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x2×②得 4422818=++y x ③ ③-①得 22512=+y x ④ 解④求得整数解为x=1, y=2. 代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.①②14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③ 所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9. 由此推知n=9, m=1, b=a+9. 代入①式,解得a=3. B=12. 答:购A 物3个,B 物12个.①②。
六年级奥数训练第11讲不定方程
六年级奥数训练第11讲不定方程内容概述学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程．典型问题兴趣篇1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？2．有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声，细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头．请问：庙里共有多少个和尚？1 5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有3的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有多少名男职工？6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8．小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．他付款100元，找回8元．请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？拓展篇1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？3．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？4．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？5．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？6．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？7、我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只?8．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒?9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图11-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?10、阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖?11、小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱?12、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．超越篇1、求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．2、一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70％购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐?3、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张?4、采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个?5、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元?6、国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，并且必须正好把礼券用完．已知这五种商品多少种不同的买法?7、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少?(砝码只能放在天平的一边)8、现有1．7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次?。
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。
然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法 1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。
当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。
……当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。
∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998⨯= 4851∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。
解：× × × × √ √ ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如： 求7x ﹢2 y =38的整数解 解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21x x=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x=2×1=2 x=2y=19-7×1=12 y=12第四十周 不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
六年级奥数专题不定方程
十一、不定方程（一）年级班姓名得分 一、填空题1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□=.2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有道题没答.3.x 是自然数,∙∙=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是.4.不定方程172112=+y x 的整数解是.5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是.6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b的最小值等于.7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了 页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有个.二、解答题11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.———————————————答案——————————————————————1. 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.2. 1.设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得:10047=-y x ①所以74100y x +=≥72147100=.又x +y ≤20 ② 所以x ≤20-y ≤20,故7214≤x ≤20.又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20. 当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.3. 750.根据题意,99925100810+=a x ,整理得, 37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x . 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除, 推知a=9,因此7502530=⨯=x .4. 没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解. 5. 1975.设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997 整理得:87211=+b a所以11287ba -=由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b -≤111071187=,即1136≤a ≤11107.故a =7,从而b =5,他出生于1975年.6. 24.依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b ) 即 12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24.7. 14.设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:⎩⎨⎧=+=+29840263ny x y x① ②①×40-②,得()742120=-y n ,即5372)120(⨯⨯=-y n ③由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n , 所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.8. 32.设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到 13 x -7=10 y -5.因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).9. 84.设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为: a , b , a+b , a+2b ,2a+3b .上面各个数的和是200,得到 5a +7b =200.因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解:b =20, a =12; b =25, a =5.将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.10. 15.以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,则有338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x , 891115=+y x .易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x , y , z 只,由题意列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x 3×①-②整理得10047=+y x . 又4|4 y ,4|100,所以4|7 x ,又(4,7)=1,所以4| x .又74100y x -=≤72147100=.① ②所以x=4,8或12.x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有: 8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.13. 设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了⨯y 100分.由共花钱数可列方程()3040010050500=⨯⨯+-⨯x y x 整理得54)5(=-y x因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y -5<15,所以x 的可能取值是6,9,18,27.14. 设第一堆有x 块石头,第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:⎩⎨⎧-=++=-)(6100)100(2z y z x y x 由①得1002-=x y .代入②整理得1800711=-z x .所以11)1(71631171800++=+=z z x . 又x ,z 自然数,所以11|z+1,当z=10时, x 有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.十一、不定方程（二）年级班姓名得分 一、填空题①②1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,△+☆=.2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是.5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是.6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为,,.7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去 3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A 种物若干,又买单价670元的B 种物若干,其中B 种个数多于A 种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A 种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A 物几个,B 物几个?———————————————答案——————————————————————1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a.依题意,得n an n =++⨯915%25整理得9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2. 当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x ①-②,化简得a x 111726+=. 当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a .7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x整理得1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.① ②设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y . 由已知216631310=⨯+++yx y x 即7254=+y x72)(4=++y y x由12|4(x + y ),12|72.所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=.所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为z y x ,,,则()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x 剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程)100(2350)100(y x x y +=-+,其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4, (48)又985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以98563=+x 或298⨯.所以324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得)1(122-⨯=+⨯x n x ,所以123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24.若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾.因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x 消去z 得380517=+y x ①所以175380yx -=由0<y <40得176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有:⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x 2×②得4422818=++y x ③ ③-①得22512=+y x ④①②学习好资料 欢迎下载解④求得整数解为x=1, y=2.代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有: ⎩⎨⎧--=+--=+n m b a n m b a 10010100005906701010010000670590 其中b >a ,n <10.①-②得)(9)(8m n a b -=-③ 所以)(98m n -,故m n -8, 由b >a ,n <10知m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9.由此推知n=9, m=1, b=a+9.代入①式,解得a=3. B=12.答:购A 物3个,B 物12个.① ②。
小学奥数训练第40周解不定方程
第40周解不定方程专题简析当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称1 [：这样的方程为不定方程。
如5×—3y=9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个如果附加一些限制的条件，那么它的解的个数就是有j Y限的了。
如5×—3y=9的解有：如果限定×，y的解是小于5的正整数，那么解就只有这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后在一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数前面系数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用消去法把它转化为二元一次不定方程后再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的)取适当的值。
王牌例题1求3×+4y=23的正整数解。
【思路导航】求这个不定方程的正整数解，就是限制了方程的解必须是正整数。
为了方便求解，将方程变形为.根据方程的解是正整数，可列下表试验求解：所以，方程3×+4y=23的正整数解为举一反三21. 求3×+2y=25的正整数解。
2. 求4×+5y=37的正整数解。
3. 求5×—3y=16的最小正整数解。
王牌例题2求下面方程组的正整数解。
【思路导航】这是一个三元一次不定方程组。
解答的时候，要先设法消去其中的一个未知数，将方程简化成例1那样的不定方程。
由①×2+②，得 13×+13y=52×+y=4 ③把③式变形，得y=4—×因为×yz都是正整数，所以×只能取1，2，3。
当×=1时， y=3;当×=2 时，y=2;当×=3 时，y=1。
把上面的结果再分别代入①或②，当×=1,y=3时,z无正整数解;当×=2，y=2时，z也无正整数解;当×=3,y=1时z=1。
小学奥数：不定方程与不定方程组.专项练习
不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程 2x－3y＝8的整数解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解【巩固】解不定方程：2940x y+=（其中x,y均为正整数）模块二、利用余数性质解不定方程【例 3】求不定方程7111288x y+=的正整数解有多少组？【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解【巩固】解方程7489x y+=，（其中x、y均为正整数）模块三、解不定方程组【例 5】解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均为正整数）【例 6】解不定方程1531003100x y zx y z⎧++=⎪⎨⎪++=⎩(其中x、y、z均为正整数)。
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不定方程与不定方程组
教学目标
1.利用整除及奇偶性解不定方程
2.不定方程的试值技巧
3.学会解不定方程的经典例题
知识精讲
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义
1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解
三、不定方程的试值技巧
1、奇偶性
2、整除的特点（能被2、
3、5等数字整除的特性）
3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）
例题精讲
模块一、利用整除性质解不定方程
【例 1】求方程 2x－3y＝8的整数解
【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解
【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解
【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解
【巩固】解不定方程：2940
x y
+=（其中x,y均为正整数）
模块二、利用余数性质解不定方程
【例 3】求不定方程7111288
x y
+=的正整数解有多少组？【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解
【巩固】解方程7489
x y
+=，（其中x、y均为正整数）模块三、解不定方程组
【例 5】解方程
1800120080016000
15
a b c
a b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
（其中a、b、c均为正整数）
【例 6】解不定方程
1
53100
3
100
x y z
x y z
⎧
++=
⎪
⎨
⎪++=
⎩
(其中x、y、z均为正整数)。