几种分式型递推数列的通项求法

几种分式型递推数列的通项求法

李云皓

(湖北省宜昌市夷陵中学，湖北宜昌 443000)

1.1 引言

数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。

2.1 基本概念

设数列的首项为，且

其中为常数，同时，我们称这个递推公式为

分式递推式，而数列称为由分式递推式给定的数列。显然，该数列的递推式也可写成

2.2 递推式的特征方程与特征根

我们先来看一个引例：

首项为，由递推式给定的数列的通项公式我们是会求的：

即

为常系数等比差数列（由递推式给定的数列，其中为常数），

该数列的通项是熟知的，为

于是考虑能不能变型后让②中的没有，即让①中的没有。我们可以利用

递推式的特征方程来解决这个问题。

下面给出特征方程推导过程：

数列的递推式为

两边同时减去得

通分后得

令

即

方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，为特征根。

3.1 例题（第一部分）

下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。

两式相除得

故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。

两边同乘3得

两边取倒数

故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。

两式相除得

由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。

3.2 例题（第二部分）

下面我们来看另一类型的分式递推式。

还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简

令

令

下面的递推请读者自己完成

4.1 练习