二次根式的运算
二次根式及其运算
(2)原式＝( 10－3)2016×( 10＋3)2016×( 10－3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2016×( 10－3) ＝[( 10)2－32]2016×( 10－3) ＝(10－9)2016×( 10－3)＝1×( 10－3) ＝ 10－3.
★名师指津 最简二次根式成立的条件缺一不可，而二次 根式在表达形式上，容易导致认识错误，例如 0.2b和 x2－y2，会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因 式．应注意对数学概念的理解：小数可以转化成分数， 因式和项有区别．
易错点3
二次根式的性质
＝|a|
1 1 1 2 【典例 3】 化简并求值：a＋ a ＋ 2－2，其中 a＝ . a 5 12 a － 1 1 1 【错解】 原式＝ ＋ a ＝ ＋a－ ＝a. a a a 1 1 当 a＝ 时，原式＝a＝ . 5 5 12 a － 1 【析错】 化简 a2＋ 2－2＝ 根据 a2＝|a|， a 时， a 可知结果一定是非负数． 12 1 a－ a－ 1 1 1 ∵当 a＝ 时，a－ <0，∴ a ＝ a ＝ －a， 5 a a 1 而不是 a－ . a
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x≤ 9
x－ 1 【类题演练 1】 (2016· 怀化)函数 y＝ 中， 自变量 x x－ 2 的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x＞1 C. x≥1 且 x≠2 D. x≠2
【解析】 根据二次根式有意义的条件，得 x－1≥0，由 分式有意义的条件，得 x－2≠0， ∴x≥1 且 x≠2.
【答案】 D
2．(2016· 自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( A. 10 B. 8 C. 6 D. 2
二次根式的公式
二次根式的公式
二次函数的求根公式：x=［—b±√（b2—4ac）]/（2a）。
二次根式计算方法：
1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（但最后结
果必须是分母有理化的）。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时
可以考虑提带根号的公因式。
一般地，形如Va的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，Va表示a的算术平方根；当a小于0时，Va的值为纯虚
数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共
轭虚根）。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是数学中的一个重要概念，它与根式和平方根密切相关。
在本文中，我们将介绍二次根式的定义、运算法则以及一些常见的例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
二次根式有以下几个基本特点：1. 当被开方数a为非负实数时，二次根式有意义，结果为一个实数；2. 当被开方数a为负实数时，二次根式无意义，即不存在实数解。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的相加减法则：对于两个二次根式，若它们的被开方数相同，则它们可以直接相加或相减。
例如：√2 + √2 = 2√2；5√3 - 2√3 = 3√32. 二次根式的乘法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行乘法运算，并将结果相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行除法运算，并将结果相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的化简在进行二次根式的运算过程中，我们常常需要对二次根式进行化简，使得结果更简洁。
在化简二次根式时，可以利用以下的方法：1. 因式分解法：将被开方数进行因式分解，然后利用乘法法则将二次根式化简。
例如：√(8) = √(2 × 2 × 2) = 2√22. 合并同类项法：对于具有相同根号下的数的二次根式，可以合并为同一个二次根式。
例如：5√3 + 3√3 = 8√3四、二次根式的应用举例下面我们来举一些常见的二次根式的应用例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式的概念和运算法则。
例题一：计算下列各式的值，并化简结果：√12 + 2√3解：首先对被开方数进行因式分解：√12 = √(2 × 2 × 3) = 2√3将化简后的结果代入原式：2√3 + 2√3 = 4√3例题二：化简下列各式：5√6 - √24解：对被开方数进行因式分解：√24 = √(2 × 2 × 2 × 3) = 2√6将化简后的结果代入原式：5√6 - 2√6 = 3√6总结：本文介绍了二次根式的定义、运算法则，以及二次根式的化简方法。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算1、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．2、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．一、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
二、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：1a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
2、两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例、已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与； ③与； ④与．三、二次根式的乘除1、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
a≥0，b≥0）2、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a≥0，b≥0）注意：1、公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解；3、c＝abc（ a ≥0，b≥0，c ≥03、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．例1．=，且x为偶数，求（1+x的值．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．例2=成立的的x的取值范围是（）A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解例3、·（m>0，n>0）解： 原式＝=-22n n m m =-例4、（a>0）解：原式规律公式：1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-同理可得：计算代数式（+）的值．解：原式=（……）=（） =2002-1=20012、观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用a(a>1的整数)表示的等式，并给出验证过程.（aa>1））。
二次根式运算公式
二次根式运算公式二次根式的运算公式，那可是数学世界里相当重要的一部分！就像我们生活中的钥匙，能打开很多难题的大门。
先来说说二次根式的乘法公式，就是根号 a 乘以根号 b 等于根号下a×b（a≥0，b≥0）。
比如说，有一个长方形，它的长是根号 5 厘米，宽是根号 3 厘米，那这个长方形的面积是多少呢？这时候乘法公式就派上用场啦！面积就是根号 5×根号 3 ，等于根号下 5×3 ，也就是根号 15 平方厘米。
还有二次根式的除法公式，根号 a 除以根号 b 等于根号下 a÷b（a≥0，b＞0）。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了一道题：一个面积是 12 平方厘米的正方形，它的边长是多少？这其实就是让他们用除法公式来解决。
因为正方形面积等于边长的平方，所以边长就是根号12 ，再用除法公式化简，就是 2 倍根号 3 厘米。
再来说说二次根式的加减法。
这就像是把不同种类的水果分类，只有同类的二次根式才能相加减。
比如说，根号 2 加上 3 倍根号 2 ，那就等于 4 倍根号 2 。
有一次，我在菜市场买菜，看到卖水果的摊位。
摊主在整理一堆水果，把苹果放在一起，香蕉放在一起，橙子放在一起。
这让我一下子就想到了二次根式的加减法，只有同类的才能合并在一起，就像这些水果一样。
而在实际的运算中，我们常常需要先把二次根式化简，化成最简二次根式，再进行运算。
这就好比我们把杂乱的房间整理干净，东西归位，才能更清楚地看到我们拥有什么，需要处理什么。
在学习二次根式运算公式的时候，同学们可千万不能马虎。
要多做练习题，就像我们熟悉走路一样，走得多了，自然就熟练了。
而且要认真仔细，一步一个脚印，不然就容易出错。
总之，二次根式运算公式是我们解决数学问题的有力工具，只要掌握好了，就能在数学的海洋里畅游，轻松应对各种难题！希望同学们都能跟这些公式成为好朋友，让它们帮助我们在数学的道路上越走越远！。
二次根式的化简与运算方法
二次根式的化简与运算方法二次根式是指含有根号的算式，可以看作是根数和字母的组合。
化简二次根式是对根式进行简化，使得根号下的数变得更简洁。
而运算二次根式则是对含有二次根式的算式进行加减乘除等数学运算。
一、二次根式的化简方法二次根式的化简涉及到有理化的概念，有理化即通过变形将根式转换成有理数的操作。
下面将分别介绍三种常见的二次根式的化简方法。
1. 同底同指并简化当二次根式的根号下的数相同，指数相同时，可以进行合并并简化。
例如：√8 + √8 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 有理化分母对于分母含有根号的二次根式，可以通过有理化的方法将其转化为有理数。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/33. 用有理数乘以二次根式可以使用有理数乘以二次根式进行化简。
例如：2√5 × 3√5 = 6√25 = 30二、二次根式的运算方法二次根式的运算涉及到加减乘除等数学运算，下面将分别介绍这几种运算方法。
1. 加减运算二次根式的加减运算需要先找到根号下的数相同的根式，然后根据正负号进行合并。
例如：√5 + √8 = √5 + 2√2 （不能合并）2√3 + 3√3 = 5√32. 乘法运算二次根式的乘法运算可以直接相乘。
例如：√5 × √2 = √103√3 × 2√3 = 6√9 = 6×3 = 183. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法转化为乘法。
例如：(√10) / (√5) = (√10) / (√5) × (√5) / (√5) = (√50) / 5 = 10/5 = 24. 指数运算对于含有二次根式的指数运算，可以将根式拆解成两个因数相同的根式。
例如：(√2) ^ 3 = (√2) × (√2) × (√2) = (√8) = 2√2结论二次根式的化简与运算方法在数学的学习中经常会用到，掌握了这些方法能够帮助我们更好地解决问题。
二次根式的概念和运算
二次根式的概念和运算二次根式是数学中的一种特殊形式，它是指一个数的平方根。
在本文中，我们将探讨二次根式的概念和运算法则。
一、概念二次根式是指一个数的平方根，可以表示为√a的形式，其中a 是一个非负实数。
如果a是一个正实数，则二次根式√a是一个正实数；如果a是零，则二次根式√0等于零；如果a是一个负实数，则二次根式√a 是一个虚数。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4；√9 = 3，因为3的平方等于9；√0 = 0；而√-1是一个虚数，通常表示为i。
二、运算法则1. 二次根式的加法和减法当我们进行二次根式的加法和减法运算时，需要满足被开方数相同的条件。
例如，√5 + √5 = 2√5，√3 - √3 = 0。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法遵循以下法则：√a * √b = √(a * b)。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
3. 二次根式的除法二次根式的除法遵循以下法则：√a / √b = √(a / b)。
例如，√8 / √2 = √(8 / 2) = √4 = 2。
注意，当二次根式的分母含有根号时，需要进行有理化处理，即将分母有理化为不含根号的形式。
例如，√2 / (√3 + √2)可以有理化为(√2 / (√3 + √2)) * ((√3 - √2) / (√3 - √2))，得到(√2 * (√3 - √2)) / ((√3)^2 - (√2)^2) = (√6 - 2) / (3 - 2) = √6 - 2。
4. 二次根式的化简当我们遇到二次根式较复杂的情况时，可以尝试对其进行化简。
例如，√72可以化简为√(36 * 2)，进一步化简为√36 * √2，即6√2。
另外，还存在一些特殊的二次根式，如√4 = 2，√1 = 1等。
三、实例演练接下来，让我们通过一些实例来加深对二次根式运算法则的理解。
例1：计算√5 + 2√5。
解：根据二次根式的加法法则，√5 + 2√5 = 3√5。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在数学中，我们常常遇到二次根式的概念与运算，本文将详细介绍二次根式的概念与运算方法。
一、二次根式的概念及表示二次根式是一种特殊的无理数形式，具有根号（√）作为符号，其表示如下：√a其中，a表示被开方数，且a必须是非负实数。
如果a为正实数，则二次根式具有两个相等的实数解；如果a为0，则二次根式等于0；如果a为负实数，则二次根式无实数解，但可以表示为复数形式。
二次根式可以进一步扩展，形式如下：b√a其中，b为系数，a为被开方数，同样要求a为非负实数。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减法：当二次根式的被开方数相同，即√a与√a相加或相减时，可以直接对系数进行加减运算。
例如：2√3 + 3√3 = 5√34√5 - √5 = 3√5当二次根式的被开方数不同，即√a与√b相加或相减时，无法简化为一个二次根式，需要保持原样。
例如：2√3 + 3√53√7 - 5√22. 二次根式的乘法：二次根式相乘时，可以分别对系数和被开方数进行乘法运算，并合并结果。
例如：2√3 * 3√2 =6√64√5 * 2 = 8√53. 二次根式的除法：二次根式相除时，可以分别对系数和被开方数进行除法运算，并合并结果。
例如：3√6 / √2 = 3√(6/2) = 3√34√10 / 2 = 2√10三、二次根式问题的简化与应用在实际问题中，我们常常需要对二次根式进行简化，使其表达更加简洁和明确。
1. 简化二次根式：当二次根式的被开方数可以被分解为完全平方数与非完全平方数的乘积时，可以进行简化。
例如：√18 = √(9 * 2) = 3√22. 二次根式的应用：二次根式在几何学、物理学等领域具有广泛应用。
例如，计算三角形的边长、面积等问题中常常涉及到二次根式的运算。
四、总结本文对二次根式的概念与运算进行了详细的介绍。
二次根式是一种特殊的无理数形式，具有根号作为符号。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是数学中常见的概念，它涉及到根号下的数的运算。
在这篇文章中，我将详细介绍二次根式的概念和运算方法。
一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
与一次根式不同，二次根式的被开方数可以是非负实数，这使得它在求解方程、计算几何等数学问题中具有广泛的应用。
二次根式是一种特殊的代数式，它可以表示为有理数的和或差，也可以表示为有理数的积或商。
例如，√2、√3、5√7等都是二次根式。
二、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于二次根式的加减运算，我们需要满足两个根式的被开方数相同，并且它们的根号前的系数也相同。
例如，对于√2和3√2，它们的被开方数都是2，根号前的系数分别为1和3，所以它们可以进行加减运算。
运算的结果可以写作4√2或-2√2，具体的结果取决于系数的运算。
2. 二次根式的乘法运算对于二次根式的乘法运算，我们需要将根号前的系数相乘，并将两个根号下的数相乘。
例如，对于√2和3√5，它们的乘积可以写作3√10。
在乘法运算中，根号下的数相乘后有可能得到非二次根式，我们需要将其化简为最简形式。
3. 二次根式的除法运算对于二次根式的除法运算，我们需要将根号前的系数相除，并将两个根号下的数相除。
例如，对于2√3和√6，它们的商可以写作2/√2，但为了满足二次根式的规范形式，我们需要对分母进行有理化处理，即乘以根号下的数的共轭形式√2。
所以，最终的结果为2√2。
三、二次根式的化简在进行二次根式的运算时，我们常常需要对其进行化简。
化简二次根式的关键是将其写作最简根号，即根号下不含有完全平方数的形式。
对于一些常见的二次根式，我们可以利用数的因数分解来进行化简。
例如，√12可以分解为√4×3，进一步化简为2√3。
类似地，√18可以化简为3√2。
而对于一些不含有完全平方数的二次根式，我们只能将其保留在根号下，无法进一步化简。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算是指两个二次根式进行加法或减法运算。
要
进行二次根式的加减运算，需满足被开方数相同，且根号内的数也相同。
即若两个二次根式为√a和√b，则可进行加减运算的前提是a＝b。
具体操作时，对于加法运算，将两个二次根式的系数相加，并保
持根号内的数不变。
例如：√a + √a = 2√a。
对于减法运算，将两个二次根式的系数相减，并保持根号内的数
不变。
例如：√a - √a = 0。
需要注意的是，除非被开方数相同，否则两个二次根式不能进行
加减运算。
二次根式计算方法
二次根式计算方法
1 二次根式计算法
二次根式是一种求解多项式两个解的算法。
它的公式是：x的二次根式=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a}，其中a、b、c分别是一
元二次方程中的三个系数。
二次根式属于代数方面的基本运算，其用法极其简单。
在求解一
元二次方程时，只需要将当前的问题代入公式中，并将所有系数带入
公式中，就可以得到方程的两个解。
其计算过程仅仅需要使用最简单
的四则运算和开方运算，因此也是一种暴力破解的计算方法，而且可
以说是一种非常有效的破解方法。
在这里，当使用二次根式的时候要注意的有几点：首先，要确保
系数的准确性，否则会出现无法解决的错误；其次，开方过程中有些
系数会导致不等式的开方结果大于0，此时要检查不等式范围是否正确；最后，二次根式在求解一元二次方程时，会出现一项叫做“原式”的
数据，有时会因为这个“原式”数据而导致最后结果出错。
二次根式式一种求解一元二次方程两个解的暴力破解计算方法，
用户只需要正确输入方程系数和“原式”，就可以得到这个方程的两
个解，简单易用又精准。
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是数学中常见的一类表达式，它可以通过化简和运算来得到简化形式。
在本文中，我们将探讨二次根式的化简和运算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、二次根式的化简方法二次根式通常以√a的形式出现，其中a是非负实数。
下面我们介绍几种常见的二次根式化简方法。
1. 提取因子法当二次根式内部存在可以被完全开方的因子时，我们可以使用提取因子法进行化简。
例如，对于√12，我们可以提取出其中的公因子4，得到2√3。
2. 合并同类项法如果多个二次根式具有相同的根号内部表达式，我们可以通过合并同类项来简化它们。
例如，对于√2 + √8，我们可以合并为√2 + 2√2，然后化简为3√2。
3. 有理化分母法当二次根式的分母为根号时，我们需要对其进行有理化分母。
具体做法是将根号内部的表达式乘上一个合适的因式，使得分母变为有理数。
例如，对于1/√3，我们可以乘以√3/√3，得到√3/3。
二、二次根式的运算方法除了化简，我们还可以进行二次根式的运算，包括加减乘除。
下面我们将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们首先要合并同类项，即将具有相同根号内部表达式的项合并在一起。
然后，根据需要进行化简，得到最简形式。
例如，对于√2 + 2√2，我们可以合并为3√2。
2. 乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，然后化简得到最简形式。
例如，(2√3)(3√3) = 6√9 = 6×3 = 18。
3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过将一个二次根式除以另一个二次根式，然后化简得到最简形式。
例如，(4√2)/(2√2) = 4/2 = 2。
三、例题演练为了更好地理解和掌握二次根式的化简与运算，我们来解决一些例题。
1. 化简√27并写成最简形式。
解：我们可以应用提取因子法，将27分解为3×3×3。
然后，提取其中的完全平方数因子，得到√(3×3×3) = 3√3。
二次根式运算法则公式
二次根式运算法则公式二次根式的运算法则公式，那可是数学世界里相当重要的一部分！咱先来说说二次根式的乘法法则。
就比如说，有两个二次根式，分别是√a 和√b ，那么它们相乘，结果就是√(ab) 。
这就好像是两个队伍合并，把它们的力量整合到一起。
给您举个例子，假设 a = 4 ，b = 9 ，那么√4 × √9 就是 2 × 3 = 6 ，而√(4×9) 也就是√36 ，同样等于 6 ，您瞧瞧，是不是一回事儿？再讲讲除法法则。
如果还是√a 除以√b （b 不等于 0 ），那结果就是√(a÷b) 。
这就好比把一堆东西按比例分配。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼总是搞不明白。
我就给他打了个比方，我说这二次根式的运算就像是搭积木，乘法是把积木堆在一起，除法是把积木按份数分开。
这孩子眨眨眼睛，好像突然开窍了，后来做题的时候做得可顺溜了。
然后是二次根式的加减法。
只有当它们的被开方数相同的时候才能相加减，把系数相加减就行，根式部分不变。
比如说3√2 + 5√2 ，那结果就是8√2 。
这就好像是一群长得一模一样的小伙伴，只是数量不同，把数量加起来就行。
在实际运用中，二次根式的运算法则公式那可是用处大大的。
比如在解决几何问题的时候，计算图形的边长、面积啥的，经常能用到。
还有啊，二次根式的化简也离不开这些法则公式。
要把一个二次根式化简成最简形式，就得根据这些法则来操作。
就像给一个乱糟糟的房间整理打扫，最后变得整整齐齐。
总之，二次根式的运算法则公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，就能把它掌握得妥妥的！以后再遇到相关的问题，那都能轻松应对，不在话下！。
二次根式运算
②合并同类二次根式与整式中的合并同类项类似，只需把同类二次根式前面的有理数(或有理式)相加减就行了。
题型1：题型2：二次根式的性质及简单运算例1：化简 （1（2 （3 （4.11)1(到根号里面中的根号外面的因式移将aa --例2：计算 （1）2（x ≥0） （2）2（3）2 （4））2题型3：最简二次根式和同类二次根式 例1： 把下列两组中的各二次根式分别化为最简二次根式，并指出哪些是同类二次根式。
（1） （2）例2：已知是最简二次根式，它与是同类二次根式，求a 与n 的值。
题型4：二次根式的运算例1：101531251812775，，，-3453x x y x y x y x y，，-7--a n a 328n (.)()052131875---例2：把下列各式分母有理化（1） （2）例3：(1)(+)×(2) (4632)22-÷.例4：19961997(3(3+-三、课堂达标检测 1. ，则（ ）A ．a ＜B . a ≤C .a ＞ D . a ≥ 2.已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 3.当实数x 的取值使得有意义时，函数y =4x +1中y 的取值范围是（ ） A .y ≥-7 B . y ≥9 C . y >9 D . y ≤94. 有意义，则的取值范围是 。
5. 在实数范围内分解因式：。
5. 当1≤x<5。
1945-322322-+12a -121212123y =2xy 15-15152-1522-x 11m +m 429__________,2__________x x -=-+=5_____________x -=6. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
7.成立的条件是 。
8. 若互为相反数，则。
9.，求x 、y 的值。
10. 已知的值。
11.数轴上与1，2对应的点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为点C ，设点C 表示的数为x ，则=+-xx 22 .12.计算：21-2-38232-+⨯+13.已知3232-=+=b a ，，试求a b b a -的值.1x =+1x+1a b -+()2005_____________a b -=2440y y -+=2310x x -+=。
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则是将两个二次根式进行加减运算的方法。
1. 相加减分解法：如果两个二次根式的根指数和根号内的表达式完全相同，那么可以直接将它们的系数相加减即可，根指数和根号内的表达式保持不变。
例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0
2. 合并同类项法：如果两个二次根式的根号内的表达式相同，但是根指数不同，可以将它们的系数相加减，并将根号内的表达式保持不变。
例如：2√2 + 3√2 = 5√2，4√5 - 2√5 = 2√5
3. 有理化法：如果两个二次根式的根号内含有分母，可以通过有理化的方法将分母去掉，然后再按照相加减分解法或合并同类项法进行运算。
例如：(1/√2) + (√3/√2) = (√2 + √3)/(√2*√2) = (√2 + √3)/2，(1/√5) - (2/3√5) = (3 - 2√5)/(3√5)
需要注意的是，在进行二次根式加减法运算时，要先将根号内的表达式进行化简，然后再按照以上的运算法则进行运算。
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
二次根式的运算(含答案)
二次根式的运算知识考点：二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。
也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混合运算。
精典例题： 【例1】计算：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322212143222； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--31221821812；（3）()()()200215415215200020012002++-+-+；（4）()()235235-++-；（5）()1211321231260sin -⎪⎭⎫⎝⎛-+---++。
答案：（1）3324-；（2）24332-；（3）2002；（4）62；（5）－1 【例2】化简：b a bab ab b a b a ++÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+分析：将ba b a +和ba b +分别分母有理化后再进行计算，也可将除以ab 变为乘以ab1，与括号里各式进行计算，从而原式可化为：原式＝ba b ba a ++-+1＝1-++ba b a ＝0【例3】已知131-=a ，131+=b ，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a ab 的值。
分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。
解：由已知得：b a +＝213213-++＝3，21=ab ∴原式＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a ab b ab ab ＝b a +＝3 探索与创新：【问题一】比较23-与12-的大小；34-与23-的大小；45-与34-的大小；猜想n n -+1与1--n n 的大小关系，并证明你的结论。
分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。
∵23-≈1.732－1.414＝0.318，12-≈1.414－1＝0. 414 ∴23-＜12-同理：34-＜23-，45-＜34-根据以上各式二次根式的大小有理由猜测：n n -+1＜1--n n证明：n n -+1＝()()n n nn nn ++++-+111＝()()nn n n ++-+1122＝nn ++111--n n ＝()()111-+-+--n n n n n n＝()()1122-+--n n n n＝11-+n n又∵nn ++11＜11-+n n∴n n -+1＜1--n n【问题二】阅读此题的解答过程，化简：a b ab b a b a a 322442+--（b a 20<<）解：原式＝a b ab a b b a a )44(222+-- ①＝22)2(2a b a ab b a a -- ②＝ab ab a b a a⋅-⋅-22 ③＝ab aba b a a ⋅-⋅-22 ④＝ab问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；（2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。
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二次根式的运算
在数学中，二次根式是由数字和根号组成的表达式，其中根号表示取平方根的运算。
二次根式的运算是解决数学问题和实际应用中常见的操作之一。
本文将介绍二次根式的基本运算法则，并举例说明。
1. 二次根式的加法和减法
二次根式的加法和减法遵循以下规则：
(a√n) ± (b√n) = (a ± b)√n
其中a和b为实数，n为正数。
通过将两个二次根式的系数相加或相减，保持根号下的数不变，可以进行加法或减法运算。
例如：
3√2 + 5√2 = 8√2
4√3 - 2√3 = 2√3
2. 二次根式的乘法
二次根式的乘法遵循以下规则：
(a√n) × (b√m) = ab√(n×m)
其中a、b、n和m为实数，且n和m均为正数。
乘法运算中，将两个根式的系数相乘，并将根号下的数相乘，得到新的根式。
例如：
2√3 × 5√2 = 10√(3×2)
3. 二次根式的除法
二次根式的除法遵循以下规则：
(a√n) ÷ (b√m) = (a/b)√(n/m)
其中a、b、n和m为实数，且n和m均为正数。
除法运算中，将两个根式的系数相除，并将根号下的数相除，得到新的根式。
例如：
(8√2) ÷ (4√2) = 8/4 = 2
(3√6) ÷ (√3) = 3/1 = 3
4. 二次根式的化简
化简二次根式是将复杂的根式转化为最简形式的过程。
化简的方法包括约分、提取公因式、合并同类项等。
例如：
√8 = √(4×2) = 2√2
√18 = √(9×2) = 3√2
5. 二次根式的有理化
有理化二次根式是将分母中包含根号的式子转化为分母不含根号的形式。
有理化的方法包括乘以恰当的有理数等。
例如：
1/(3 + √5) = (1/(3 + √5)) × ((3 - √5)/(3 - √5)) = (3 - √5)/(9 - 5) = (3 -
√5)/4
综上所述，二次根式的运算包括加法、减法、乘法、除法、化简和有理化等基本操作。
掌握这些运算法则并进行实际练习，可以提高解决数学问题和实际应用中相关计算的能力。