高中物理竞赛关于质心的~
高二物理竞赛课件：质心(center of mass) 质心运动定理
一、质点对定点的角动量
说角动量时，
t 时刻， 如图 ，
必须指明是对 哪个固定点的
定义 L r P 为质点对固定点o 的角动量
大小：L rP 方向：垂直于
sri，nP
rmv sin
组成的平面
[SI] kgm 2/s
o r
L
P
m
力对定点的力矩
说力矩时，也
t 时 刻,如图,
必须指明是对 哪个固定点的
例 已知1/4圆M, m由静止下滑,求
t1→t2 过程中M移动的距离 S。 解： 选（M+m）为体系
水平方向: 合外力=0，质心静止
t1时刻
m
t2时刻
Mபைடு நூலகம்
M
m
x -R O
体系质心
X1
MxmR Mm
x-S -S O
体系质心
X
2
M
x
M
SmS
m
质心静止 X1 X 2
M
移动的距离
S
m Mm
R
思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同
等于质点角动量的增量。
M 和L 是对惯性系中的同一固定点的。
角动量定理 Mdt dL
t2
Mdt ΔL
t1
若 M 0 则 L 0 角动量守恒定律
讨论
1）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律。 如行星运动
2）有心力—力始终指向一点
直升飞机
动量不守恒 角动量守恒
质点在有心力作用下运动时角动量守恒
M r F 0 角动量守恒
o
F
mi
ri c质心
rc
o
重心是指各质点所受重力的合力作用点。
高中二物理竞赛质心,质心运动定理课件
质点系的动量
v p
=
v m1v1v+
v m2v 2
+ v
L
+
v mnv n
v
= =
m1 d dt
dr1 + dt v (m1r1
m2
dr2 dvt
+ m2r2
+L+ +L+
mnvddrtn mnrn )
y
m1
m2
mi
质点系的总质量
O
x
m = m1 + m2 + L + mn
z
3
设想质点系的全部质量和动量都集中在一个点C
m'vC = mivi = pi
nv
再对时间
t
i =1
i =1
求一阶导数，得
v m'aC
=
d( pi )
i =1
dt
14
根据质点系动量定理
nv
n
v dpi
i=1 dt
=
nv Fi e x
i =1
（因质点系内 Fiin = 0 ）
v F ex
i =1v = m' dvC
dt
v = m'aC
n
mi xi
xC
=
i =1
m'
n
mi yi
yC
=
i =1
m'
n
mizi
zC
=
i =1
m'
➢对质量连续分布的物体：
xC
=
1 m'
xdm，yC
=
1 m'
质心物理竞赛讲义
质心物理竞赛讲义一、质心的概念及基本原理质心，又称质点的几何中心或重心，是一个物体在力学中重要的概念。
质心的位置可以简化物体受力分析，并在物体的运动中发挥重要作用。
质心的定义：质心是一个物体所有质点的平均位置，根据物体质量和质点的位置来计算。
在一个均匀分布的物体中，质心位于几何中心。
质心的基本原理：- 物体质心位于物体的对称轴上，若物体是各向同性的，则质心位于物体的中心。
- 质心是物体重心的一种特殊情况，仅在重力场中才与物体重心重合。
- 质心是物体的一个特殊点，对物体运动的描述具有重要意义。
二、质心的计算方法质心的位置可以通过物体的质量分布以及质点位置的加权平均来计算。
具体的计算方法取决于物体的几何形状和质量分布。
1. 均匀物体的质心对于均匀物体，质心的计算相对简单。
可以通过以下公式计算质心的位置：质心的x坐标：x = (m₁x₁ + m₂x₂ + … + mₙxₙ) / (m₁ + m₂ + … + mₙ)质心的y坐标：y = (m₁y₁ + m₂y₂ + … + mₙyₙ) / (m₁ + m₂ + … + mₙ)其中，m₁, m₂, ..., mₙ是物体分布的质量，x₁，x₂，…，xₙ和y₁，y₂，…，yₙ是对应质点的坐标。
2. 不规则物体的质心对于不规则形状的物体，可以通过近似方法计算质心。
常见的方法有：- 使用几何图形的质心公式，如矩形、三角形、圆形等。
- 分割不规则物体为规则形状，计算各部分的质心，最后取加权平均。
三、质心在物体运动中的应用质心在物体运动中有广泛的应用，以下是一些典型的例子：1. 系统的位移和速度质心可以作为系统的参考点，用于描述物体的位移和速度。
通过跟踪质心的运动，可以了解系统整体的运动情况。
2. 系统的动量和力质心也可以用来分析物体系统的动量和力学问题。
由于质心是物体的一个特殊点，可以简化受力分析，直接用力对质心产生的效果来计算系统的动量和力。
3. 轨迹和旋转对于旋转运动的物体，质心可以帮助我们分析物体的轨迹和旋转情况。
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
2020湖南师大附中物理竞赛辅导课件D质心 质心运动定理(共17张PPT)
h
dm＝ s dy
水匀速地抽上地面所需外力
F外＝dm·g＝ gsdy 故有 dA＝yF外＝ gsydy
A
(Hh) H
gsyd y 1sg[(Hh)2H2]
2
y dy
13
例: 质点所受外力F＝(y2－x2)i＋3xyj，求质点由点(0,0)
运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：
(1)先沿x轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点
2020 高中物理竞赛
普通物理学
湖南师大附中
§2.4 质心 质心运动定理
一、问题的提出
一个质点系内有一个特殊的点，即质心，它
的运动由质点系所受的合外力决定.
对质点系: (F i)dtdp i
若令
i
i Fi
d dt
i
i
pi
d2
dt2
i
miri
m irirc m im rc
则
i
i
miri
受的引力方向与矢径方向相反。
Mm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F G r3 r
dAGM r3 m rdr rdr1d(rr)rdr
2
dr
F
r2 1
r2/1
r2
m
r1
F/
M
Mm dAG r2 dr
A
rr12GM r2 md
GMm GMm
r(
r2
)(
r1
)
11
3.弹簧弹性力的功
0 Fkix
x
x
A1 2F dr x x 12kix dix(12kx2212kx12)
8
功值的图示法
Fcosθ
高中物理竞赛课件：质心平衡共33页文档
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
高中物理竞赛_话题1：重心与质心的确定
话题1：重心与质心的确定一、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。
在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。
两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。
其作用线在两个分力作用点的连线上。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个同向平行力A F 和B F ，其合力的大小A B F F F =+，合力作用点O 满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。
其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个反向平行力A F 和B F 的合成其合力的大小B A F F F =-(假如B A F F >，则F 和B F 同向)其合力的作用点满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。
二、重心和质心重心是重力的作用点。
质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。
物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。
对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。
但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。
在重力加速度g 为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），BF AF FO BA BF AF F OBA重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。
相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与12,m m 相距分别为1L ,2L ：1122m L m L = 12L L L +=2112m LL m m =+1212m LL m m =+均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
高二物理竞赛质心与质心运动定理课件
x 1.5103 N
§4-1 动量守恒定律
[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小
车质量为M、长为 l ，求人和车各移动了多
少距离?(不计摩擦)
解： 水平方向上车和人系统动量守恒
设分车别和为人V和相对v 地 面速度
MV mv 0
m v
V
M
即
V
m
v
M
X x
§4-1 动量守恒定律
mi ri
i
m
x
mi zi
zc
i
m
zc
zdm m
§4-1 动量守恒定律
[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点
解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为
建立如图的坐标系
取线元dx
l 2
质量 dm dx m dx
dm l 2
O x dx x
l
xC
1 m
xdm 1
l
m
l2 m
xdx 0
R sinRd
yC 0 R 2R
m R
y
dl
R d
O
x
质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确
定的
yC
ydl
m
§4-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t v dt M m x
v
0
M0
M
x M l M m
V
M
X
l
x
m M
m
高中物理竞赛课件：质心平衡共33页
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•Hale Waihona Puke 8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
高中物理奥林匹克竞赛专题质心运动定理(共19张PPT)
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
Hale Waihona Puke mivi mi质心的加速度为
ac
dvc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛m m 顿2 1 a 第a 1 2 二 定m m 律1 2 d d 得d d v v t 1 t 2 F F 1 2 f 1 f 2 2 2 f 1 f 2 3 3 f 1 f n 2 n m n a n m n d d v t n F n f n 2 f n 3 f n n
质心运动反映了质点系的整体运动情况。
3. 动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0），
则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒
定律。 条件
v c Fi 0 m mivai c=常矢0量
P
mivi
mvc
=常矢量
i
例、 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰 面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。 问他们将在何处相遇？
m2
m1 C
x20
O
x10
x
解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，
因此，系统的质心加速度等于零。
建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右
为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10, 质量为m2的小孩坐标为x20，
m2
m1 C
x20
O
x10
x
xc
m2x20m1x10 m1 m2
m1x1m2x2
c
m1m2
当人站在船的右端时 对船和人这一系
x m1x1m2x2
高二物理竞赛课件：质心和质心运动定律
例2. 求半径为R、顶角为2 的均匀圆弧的质心。
解：选择如图所示的坐标系，圆弧关于x 轴对称。
由对称性知，质心位于 x 轴上
设圆弧的线密度为 ，取线元d l = R d
质量元 dm = dl= R d 坐标为x=R cos
则圆弧质心坐标为
xC
xdm dm
R cosRd Rd
R2 cosd R d
Rsin
d
R
α θ
Oα
dl
x
x
当
2
时，xC
0.6R
当 时，xC 0
例3. 有一 厚度和密度都均匀的扇形薄板，其半径为 R， 顶角为2α，求质心位置
解：根据对称性可知 yC= 0
xdm xC dm
dm ds rddr
1.
将体系分割成许多小份n，任一小份质量
由 rC
mi ri mi
可得
rC
dnmi
对应位矢
dmi ri
i 1
n
dmi
ri
i 1
2. 为了使每一小份真正成为一个质点，可取 n →∞
n
rC
lim
n
i 1 n
ri dmi
lim
n
i 1
dmi
rdm dm
3. 上式在直角坐标系的分量式
质心和质心运动定律
一、质心
定义：n个质点组成的质点系的质心位置为
rC
m1r1
m2r2
mn rn
m1 m2 mn
n mi ri
i 1 n
mi
n mi ri
i 1
m
i 1
高中物理奥林匹克竞赛专题--质心运动定律
y a
xd m
a/
2
2
x 2d x
xc
m
0 1 a2
2a 3
O
x
x
2
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆 形铁丝的质心。
解：建立如图坐标系 任取一小段铁丝， 其 长 度 为 dl ， 质 量 为 dm ， 以 λ 表 示 铁 丝的线密度
z
体分布 dmdV
注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
例1 水分子 H2O 的结构 如图. 每个氢原子和氧原子之 间距离均为 d = 1.0×10 -10 m, 氢原子 和氧原子 两条连线间 的夹角为θ = 104.6°. 求水分 子的质心．
rN
zc mizi /M r1
rcm iri/M z
c ri
rc r2
O
mi
m2 x
对于质量连续分布的物体
ห้องสมุดไป่ตู้
rc
rdm dm
rdm m
y
直角坐标系下
c
xc xdm/M yc ydm/M zc zdm/M 线分布 dmdl
rc dm
r
O
x
面分布 dmdS
m 1 m 2 m n
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
质心的加速度为
ac
物理竞赛-质心平衡
【扩展知识】
物体的平衡
1．重力:
物体的重心与质心
•重心：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作 用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
•质心：物体的质量中心。 设物体各部分的重力分别为G1、G2……Gn，且各部分重力的作 用点在oxy坐标系中的坐标分别是（x1，y1）（x2，y2）……（xn， yn）,物体的重心坐标xc，yc可表示为
负质量法1202591682222216ammamamxc??2巴普斯定理及其推论提供求质心的一种技巧一个平面物体质量分布均匀令其上各质点沿着垂直于平面的方向运动在空间扫过一立体体积则此体积等于面物体的面积乘以物体质心在运动中所经过的路程一个平面物体质量分布均匀令其上各质点沿着垂直于平面的方向运动在空间扫过一立体体积则此体积等于面物体的面积乘以物体质心在运动中所经过的路程例题
• •
直线系统中的惯性力 简称惯性力，例如在加速前进的车厢里，车里 的乘客都觉得自己好象受到一个使其向后倒得 力，这个力就是惯性力，其大小等于物体质量 m与非惯性系相对于惯性系的加速度大小a的 乘积，方向于a相反。用公式表示，这个惯性 力F惯=-ma,不过要注意：惯性力只是一种假想 力，实际上并不存在，故不可能找出它是由何 物所施，因而也不可能找到它的反作用力。惯 性力起源于物体惯性，是在非惯性系中物体惯 性体现。
对斜面体，只看水平方向平衡就行了
P f cos N sin 4mgsin cos N cos N sin 综合以上可以得到： Fy mgcos 则：Fx 3mgsin
F Fx2 Fy2 mg 1 8 sin 2
1 t an cot Fx 3 Fy
2
x2 0
江苏省南京市金陵中学高中物理竞赛热学教程《4.9质心及质心运动》讲义
学必求其心得，业必贵于专精4．9 质心及质心运动4．9．1 质心及质心位置任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点,它的运动与内力无关，只取决于外力。
当需要将质点组处理成一个质点时,它的质量就是质点组的总质量.当需要确定质心的运动时，就设想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上.注意：质心是一个假想的质点。
设空间有N 个质点，其质量、位置分别记作im 、n ，质量组质心记为C,则质量、位置。
i C m m ∑=在x 、y 、z 直角坐标系中，记录质心的坐标位置为i ii C m x m x ∑∑=i i i C m y m y ∑∑=i i i C m z m z ∑∑= 4．9．2、质心的速度、加速度、动量 质心速度i i i i i i e c m v m m t r m t r v ∑∑=∑∆∆∑=∆∆= /,在空间直角坐标系中,质心速度可表达为i ix i cx m v m v ∑∑= i iyi cy m v m v ∑∑= i iz i cz m v m v ∑∑=质心的动量mc p = ，i i i v m v ∑=质心的动量等于质点组中各个质点动量的矢量和。
质心的加速度ai i i i i i c c m a m m i v m t v a ∑∑=∑∆∆∑=∆∆=学必求其心得，业必贵于专精 c i i c m F m F a 1 ∑=∑∑= i c c F a m ∑= 由上式可见，当质点组所受合外力为零时,质心将保持静止状态或匀速直线运动状态。
同样，质点组的动量定理也可表述为12c c c c i v m v m I -=∑ 外力的冲量的矢量和等于质心动量的增量。
4．9．3、质心的动能与质点组的动能以二个质点为例,质量1m 、2m 两质点相对于静止参照系速度1v 、2v ,质心C的速度C v ,二质点相对于质心速度是'1v 和'2v ，可以证明有 2222112121v m v m E K +=2222112212121'+'+=v m v m v m C C '+=K KC K E E E 即二个质点的总动能等于质心的动能与两质点相对质心动能之和.。
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高中物理竞赛关于质心的~
高中物理竞赛关于质心的~ 做题用的到老师讲的质心不变不过不太敢做，因为不知道质心不变的条件，物体组质心不变的条件是什么呀
还有，关于质心的一些定理，比如质心运动定律等等，都有哪些呀（少说多说没关系~）
参考答案当一个系统受到的合外力为零时，系统的总动量守恒，由牛顿第一定律可知，系统质心的速度也将保持不变，同样系统在某一方向上受到的合外力为零，则系统在该方向上的动量守恒，系统的质心在这一方向上的速度将保持不变。
所以如果物体初始是静止满足上条件则质心不变。
大学理论力学里有讲。
至于质心运动定理其实比较好理解，但对于高中来说却不好应用。
下面就是质心运动定理：
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式，可由质点系动量定理直接导出。
即将P ＝Mvc 代入质点系动量定理 dP /dt ＝∑F e ，得：
M d vc/dt ＝∑F e
或 M ac ＝∑F e ——称为质心运动定理。
( ∵ac＝ d vc/dt )
即：质点系的质量M 与质心加速度 ac 的乘积等于作用于质点系所有外力的
矢量和(外力主矢量)。
可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。
2、质心运动守恒定律
（1）若∑F e ≡0，则ac ＝ 0，vc ＝常矢量
即当外力系主矢量等于零时，质心的加速度等于零，质心保持静止或作匀速直
线运动。
（2）若∑Fxe ≡0，则acx ＝ 0，vcx ＝常量
即当外力系在某轴上投影的代数和等于零时，质心的加速度在该轴上投影为零，
质心沿该轴方向保持静止或匀速运动。
这两种情况称为质心运动守恒。
质心运动定理经常用来求约束反力。