将军饮马模型

一、背景知识：【传说】．一天，一海伦早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．应该怎样走开会，出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B将军每天从军营A这个从此以后，才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．”的问题便流传至今．被称为“将军饮马造桥选址费马点【问题原型】将军饮马【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；轴对称；平移；三角形两边三边关系；

【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型两定点到一动点的距离和最小1.两定一动型：l，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB例1：在定直线上找一个动点P最小.

l的交点Q，AB，与直线作法：连接Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，

PA+PB最小，且最小值等于AB.

原理：两点之间线段最短。

ll为P证明：上任意一点，直线连接AB，与直线的交点Q，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)

l：2例A与的距离之和最小，B在定直线P上找一个动点P，使动点到两个定点 .即PA+PB的和最小

关键：找对称点l即为所要寻找的点，的交点Q，连接AC作法：作定点B关于定直线，与直线的对称点Cl和最小，且最小值等于AC.Q处，PA+PB即当动点P跑到了点原理：两点之间，线段最短ll为：P证明，与直线直线的交点Q，上任意一点，连接AC)PQ重合时取﹦中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当在⊿PAC

2.两动一定型

例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A'，作点A关于ON的对称点A'' ，连接A' A''，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．

原理：两点之间，线段最短

例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A'，作点B关于ON的对称点B' ，连接A' B'，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．

原理：两点之间，线段最短

3.两定两动型最值

ld（动长度等于定长N，且MN是两个定点，在定直线与上找两个动点M、例5：已知AB点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.

提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移

dl的对称点A''，连接A'关于直线A''B，作法一：将点A向右平移长度A'，得到点作ld，M。得到点交直线N于点N，将点向左平移长度ld得到点A，连接A B，，将点作法二：作点A关于直线的对称点AA1向右平移长度221ld，Q。向左平移长度得到点QQ交直线于点，将点原理：

两点之间，线段最短，最小值为A''B+MN

造桥选址）（将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河6：例流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

lllll且⊥上找一个点6：直线D∥，使得，在直线CD上找一个点C，直线例2,2112AC＋BD＋CD 最短．

d l于点D，过点A'B，交D长度沿CD方向向下平移CD作至点A'，连接作法：将点A2l于点C，连接AC．则桥CDDC⊥即为所求．此时最小值为A'B+CD2两点之间，线段最短，原理：4.垂线段最短型

例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．

原理：垂线段最短

点A是定点，OM，ON是定线，

点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．

作法：作点A关于OM的对称点A'，过点A'作A'C⊥ON，

交OM于点B，B、C即为所求。

l上找一个动点P，使动点P到两个定点A：在定直线例8与B的距离之差最小，即PA-PB.最小

l的交点，即为所求点P连接作法：AB，作AB的中垂线与PA-PB |=0此时|原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

l PA-PB的距离之差最大，即与：在定直线B上找一个动点C，使动点C到两个定点A例9 |最大|

l，点C：延长BAC交即为所求，于点作法的长度。C三点共线时，最大值为即点B、AAB、三角形任意两边之差小于第三边原理：l PA-PB的距离之差最大，B即C到两个定点A与例10：在

定直线C上找一个动点，使动点||最大

l的对称点B，连接AB，作法：作点B关于l于点P即为所求，最大值为AB的长度。交交

原理：三角形任意两边之差小于第三边

三角形典型例题

=

AE 上的一点，且AD是M上的一点，AC是E，AD⊥BC，6= AB 中，如图，在等边△ABC．1．

EM+EC的最小值2，求

ME+MD最小，BEC关于直线AD的对称点是点B，连接，交AD于点M，则解：点，过点B作BH ⊥AC于点H2222 = 33 = AE = 3 则EH = AH –– 2 = 1，BH = BC - CH6 - 322227 3) = BE = BH + HE(3 + 1 = 2在直角△BHE中，