将军饮马模型
将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。
本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。
1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。
此时，将军只需将马拉到目的地即可。
例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。
例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。
例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。
例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。
例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。
例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。
例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。
例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。
将军饮马问题16大模型
将军饮马问题16大模型将军饮马问题是一个经典的数学问题，被广泛应用于算法设计和逻辑推理。
在这个问题中，有一个有限数量的将军和马，将军们需要同时饮马，而且马的数量要足够多，以保证每个将军都能骑到马上。
然而，问题的难点在于，如果将军们不约定时间，他们同时骑上马的可能性很小。
为解决这个问题，已经提出了许多解决方案，下面我将介绍16种解决这个问题的模型。
1. 广播模型将军们可以通过广播的方式进行通信，每个将军都可以听到其他将军的广播信号。
在某个固定时间，将军们开始广播他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。
只有当每个将军都收到了其他将军的回应信号，他们才会同时骑上马。
2. 协商模型将军们可以通过协商的方式进行通信，每个将军都可以与其他将军直接交流。
在某个固定时间，将军们开始与其他将军交流他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。
只有当每个将军都收到了其他将军的回应信息，他们才会同时骑上马。
3. 仲裁者模型将军们委任一个仲裁者作为中介来传递消息。
每个将军将自己已准备好骑马的消息告诉仲裁者，仲裁者负责将该消息传递给所有其他将军。
只有当每个将军都收到其他将军的消息，他们才会同时骑上马。
4. 时钟模型在固定的时间间隔内，每个将军都可以检查时钟的状态。
他们会设定一个目标时间，当时钟的时间达到目标时间时，将军们会同时骑上马。
这样，他们可以通过同步的方式来保证同时骑马。
5. 群体模型将军们通过形成一个群体来解决这个问题。
在一个固定时间，将军们同时进入群体，并在一起饮马。
这种方式需要所有将军都同意进入群体，并时刻保持一致，才能保证同时骑马。
将军们依次传递一个令牌表示自己已准备好骑马。
当每个将军都收到了令牌并且已经骑上马时，他们才会将令牌传递给下一个将军。
这种方式需要将军们按照一定的规则来传递令牌，以保证同时骑马。
7. 树模型将军们通过构建一棵树来解决这个问题。
树的根节点是一个仲裁者，每个将军是树的叶子节点。
当仲裁者收到所有将军的准备好骑马的消息时，他会通知所有将军同步骑马。
将军饮马模型
将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具,最短距离是题眼）.所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称.而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题,然后利用轴对称解题.1。
将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题"原题:如图，一位将军,从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A，B，在L上求一点P,使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A(B）关于直线的对称点，连接 A'B，A'B 与直线交点即为所求点。
A'B即为最短距离。
理由:A'为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。
所以PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A'到 B 的最短距离，直接相连就可以了.例一:某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米,BB1=1千米,且A1B1=4千米.（1)如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短?最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短?此时分支点M与A1的距离是多少千米？模型二：一条定直线,一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A,在直线K 上找一点M,在直线L 上找一点P,使得AP+PB 值最小.模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P,在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短(题 眼）。
初中数学58种模型之12、“将军饮马”三种模型详解
当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。
连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。
当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。
皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。
3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。
初中数学常见模型之将军饮马
详细描述
假设有一个图形，我们需要将其放置在直线 l上，使得其面积最大。这个问题的解决方
法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对 称点，然后利用相似三角形的性质求出最大
面积。
练习题三：求最小成本
总结词
这道题目要求我们利用将军饮马模型求出某工程的最 小成本。
详细描述
假设有一个工程需要在直线l上完成，我们需要选择合 适的点作为工程地点，使得成本最小。这个问题的解 决方法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对称点 ，然后利用最小成本原理求出最小成本。
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解决实际问题
将军饮马模型也可以用于 解决一些实际问题，如求 物体的重心、平衡点等。
模型的重要性
培养数学思维
通过学习将军饮马模型， 学生可以培养数学思维， 提高解决数学问题的能力 。
拓展数学知识
将军饮马模型是初中数学 中的重要内容，对于拓展 学生的数学知识具有重要 意义。
提高解题效率
掌握将军饮马模型可以帮 助学生更快地解决数学问 题，提高解题效率。
04 将军饮马模型的常见题型
最短路径问题
总结词
在几何图形中，求两点之间的最短距 离是常见的问题。
详细描述
将军饮马模型常用于解决这类问题， 通过构建对称点，将两点之间的距离 转化为两点与对称点之间的距离和的 最小值。
最大面积问题
总结词
在给定条件下，求几何图形的最大面积也是常见的将军饮马模型应用。
三角形不等式
三角形不等式是指在任何三角形中，任意一边的长度都小 于另外两边之和。这个原理在解决最优化问题时非常有用 ，例如在寻找两个点之间的最短路径时。
在将军饮马模型中，三角形不等式常常被用来确定最短路 径的长度。例如，当一个将军要从一个地方走到另一个地 方时，他可以选择走直线，也可以选择绕弯。利用三角形 不等式，我们可以确定哪种路径更短。
专题14 将军饮马问题(解析版)
专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。
模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。
初中数学模型【讲义】将军饮马
“将军饮马”模型一、模型背景“将军饮马”模型：动点在直线上运动，所引出的线段和、差的最值问题往往通过轴对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值核心知识点：两点之间线段最短、垂线段最短二、模型内容（一）线段和最值1. 两定一动型(异侧)点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求P A+PB的最小值理论依据：2. 两定一动型(同侧)点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求P A+PB的最小值理论依据：3. 一定两动型点A为平面内定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求AP+PQ+AQ的最小值理论依据：4. 一定两动型（变式）点A为平面内定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求PQ+AQ的最小值理论依据：5. 两定两动型点A、B为平面内两个定点，点P、Q分别是直线l1、l2上的动点，求四边形APQB周长的最小值理论依据：（二）线段差最值6. 两定一动型(同侧)−的最大值点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求PA PB理论依据：7. 两定一动型(异侧)−的最大值点A、B为平面内两个定点，点P为直线l上一动点，求PA PB理论依据：三、模型应用1．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则AP BP +的最小值是______.2．如图，正方形ABCD 的面积为64，ABE ∆是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为______.3．如图所示，已知121(,)(2,)2A yB y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当||AP BP −的值最大时，连接OA ，AOP ∆的面积是_______.4．如图，C 为马，D 为帐篷，牧马人牵马，先到草地边牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．5．（1）如图1，在等边ABCBC=．点P、D、E分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重∆中，6合）的动点．①当点P为BC的中点时，在图1中，作出PDE∆的周长的最∆的周长最小，并直接写出PDE∆，使PDE小值；②如图2，当2∆的周长的最小值．PB=时，求PDE（2）如图3，在等腰ABC=，4BC=，点P、Q、R分别为边BC、AB、∠=︒，AB ACBAC∆中．30∆周长的最小值并简要说明理由．AC上（均不与端点重合）的动点，求PQR。
将军饮马模型原理
将军饮马模型原理解析背景介绍将军饮马模型（也称为“Generals and the Drinking Horse”）是一个经典的分布式系统问题，用于解释在分布式系统中的一致性问题。
这个问题最早由莱斯利·兰伯特（Leslie Lamport）在1982年提出，并被广泛应用于分布式计算和共识算法研究中。
问题描述将军饮马模型是一个由多个将军组成的系统，这些将军通过发送消息来达成共识。
每个将军都可以选择发动进攻或撤退，而他们的目标是要么全体进攻，要么全体撤退。
然而，由于通信不可靠，将军之间可能无法完全互相了解对方的行动意图。
具体来说，每个将军可以发送三种类型的消息给其他将军： 1. ATTACK：表示该将军希望进攻。
2. RETREAT：表示该将军希望撤退。
3. ACKNOWLEDGE：表示该将军已经收到了另一位将军发送的消息。
所有的消息都会通过信使传递给其他的将军。
然而，由于信使可能被敌方拦截或延迟送达，所以将军无法得知他们的消息是否已经被其他将军收到。
此外，每个将军还有一个重要的限制条件：如果将军A收到了一条进攻消息，那么他必须向其他所有将军发送一条进攻或撤退的消息。
同样地，如果将军A收到了一条撤退消息，那么他也必须向其他所有将军发送一条进攻或撤退的消息。
问题是如何设计一种算法来确保所有的将军在没有完全互相了解对方行动意图的情况下达成共识。
基本原理为了解释将军饮马模型中的基本原理，我们可以使用著名的“Byzantine Generals Problem”作为一个更具体和形象化的例子。
Byzantine Generals Problem是一个扩展和推广了将军饮马模型的问题，在其中有多个叛徒（即“拜占庭将军”）可能会向其他人发送虚假信息。
在这个问题中，我们假设有n个拜占庭将军，并且至多有m个叛徒。
每个拜占庭将军都需要向其他人发送一个确定性的值（例如进攻或撤退），并且希望建立一个共识来确保他们中大多数人都达成相同的值。
将军饮马的六种模型
将军饮马的六种模型将军饮马问题是一个经典的最优化问题，常见的有六种模型。
一、六大模型1.给定直线l和直线l的异侧两点A、B，在直线l上求一点P，使PA+PB最小。
2.给定直线l和直线l的同侧两点A、B，在直线l上求一点P，使PA+PB最小。
3.给定∠MON内一点P，在OM、ON上分别作点A、B，使△PAB的周长最小。
4.给定∠MON内的两点P、Q，在OM、ON上分别作点A、B，使四边形PAQB的周长最小。
5.给定∠MON外的一点A，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
6.给定∠MON内的一点A，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
二、常见题目Part1、三角形1.在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC的最小值。
解：连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小。
过点B作BH⊥AC于点H，则EH=AH–AE=3–2=1.在直角△BHE中，BE=√(BH^2+HE^2)=√(3^2+1^2)=√10.因此，EM+EC=BE+BC-2AE=√10+6-2×2=√10+2.2.在锐角△ABC中，AB=√2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM+MN的最小值。
在XXX△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E=√2.因此，XXX√2.3.在△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN值最小，则这个最小值是多少？解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN=MB+MN。
(完整)将军饮马模型(终稿)
将军饮马模型一、背景知识:【传说】早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会,应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它．从此以后,这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短,垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移;【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1。
两定一动型:两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB,与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理:两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中,由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦）例2：在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小。
关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC。
原理:两点之间，线段最短证明:连接AC，与直线l的交点Q,P为直线l上任意一点，在⊿PA C中，由三角形三边关系可知:AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦）2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A'，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A'’,与OM交于点B,与ON 交于点C，连接AB，AC,△ABC即为所求．原理：两点之间,线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短．作法:作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’,连接A' B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理:两点之间，线段最短3。
将军饮马模型原理
将军饮马模型，也称“将军过河问题”，是运筹学中的一个经典问题，用来研究人员、物品在河流两岸、船上穿越河流的安排问题。
其算法设计通常使用深度优先搜索或广度优先搜索等方法。
将军饮马模型包括三个将军和三匹马要通过一条狭窄的河流，但是船只只能同时容纳两个人或物。
另外，船在驶往目的地的中途不能停留。
对于这个问题，需要制定一个计划，让所有人和物都能安全地渡过河流，且尽快完成任务。
这个问题的解决涉及到许多约束条件，如坐船的人数限制、水手的行动能力、次数限制等。
解决这个问题的常规方法是使用搜索算法，并正确地实现每个动作。
在搜索算法的过程中，算法需要考虑当前场景的状态，并找到所有可以进行的合法操作。
在将这些操作应用到当前状态之后，需要评估新状态下的可能性和变化。
最终，使用搜索算法找到可行的方案，并根据数据结构的设计选择哪个方案是最优的。
总之，将军饮马模型是一种经典的运筹学问题，具有较高的实际应用价值。
通过合适的算法，可以得到该问题的优秀解决方案。
最值模型之将军饮马模型(解析版)
最值模型之将军饮马模型模型一两定一动型(线段和差的最值问题)【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的和最小；题目在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；分类(1)点A、B在直线m两侧(2)点A、B在直线同侧原图辅助线作法连接AB交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为AB 作A关于直线m的对称点A'，连接A'B交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为A'B原理三角形两边之和大于第三边【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；题目在一条直线m上，求一点P，使|PA-PB|最大；分类(1)点A、B在直线m同侧：(2)点A、B在直线m异侧原图辅助线作法延长AB交直线m于点P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB 过点B作关于直线m的对称点B'，连接AB'交点直线m于P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB'原理三角形两边之差小于第三边。
例题解析1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为．【答案】17【分析】连接AE交BD于一点F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CF+EF=AE最小，利用勾股定理求出AE即可．【详解】解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AF=CF，∴CF+EF=AF+EF=AE，此时CF+EF最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=4,∠ABC=90°，∵点E在AB上，且BE=1，∴AE=AB2+BE2=42+12=17，即CF+EF的最小值为17故答案为：17．2如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF-PE的最大值为．【答案】2【分析】作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点P'，根据三角形三边关系可得到PF-PE=PF-PE≤E F，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作E的对称点E ，连接FE'并延长交AC于点P ，∴PE=PE ，∴PF-PE≤E F，=PF-PE当F、E 、P 在同一条直线上时，PF-PE有最大值E F，∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，，AD=AB=BD，∵BD=8，∴AB=8，∵AF=3BF，∴BF=2，∵点E为OD的中点，∴E 为OB的中点，∴BE =1BD=2，4∴BF=BE ，∴△BE F是等边三角形，∴E F=BF=2，故答案为2；变式训练1如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A-3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是()3A.3B.5C.22D.32【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A-3,0，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=3,AD=DC=CB=23∴△CDB是等边三角形∴BD=23∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=3,且BE⊥CD，∴BE=BD2-DE2=3故选：A．22如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A ，再连接A O，运用两点之间线段最短得到A O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A O的长度即可．【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A ，连接A O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A关于BC对称，∴AE=A E，AE+OE=A E+OE，当且仅当A ，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A E+OE=A O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，AB=2，∴OF=FB=12∵对称，∴AB=BA =4，∴FA =FB+BA =2+4=6，在Rt△OFA 中，OA =FO2+FA 2=210，故选：D．3如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+ MF的最小值为()A.1B.2C.3D.2【答案】C【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∵CF =BF ∴F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ．则AF =AB •sin60°=2×32=3．即MA +MF 的最小值是3．故选：C4如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∠BCD =15°，P 为直线CD 上的动点，则|PA -PB |的最大值为．【答案】6【分析】作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于P ，则点P 就是使|PA -PB |的值最大的点，|PA -PB |=A ′B ，连接A ′C ，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，根据角的和差关系得到∠ACD =75°，根据轴对称的性质得到A ′C =AC =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，推出△A ′BC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 并延长交CD 延长线于点P ，则点P 就是使PA -PB 的值最大的点，PA -PB =A ′B ，连接A ′C ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∴∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，∵∠BCD =15°，∴∠ACD =75°，∵点A 与A ′关于CD 对称，∴CD ⊥AA ′，AC =A ′C ，∠CA ′A =∠CAA ′，∴∠CAA ′=15°，∵AC =BC ，∴A ′C =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，∴∠ACA ′=150°，∵∠ACB =90°，∴∠A ′CB =60°，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B =BC =6．故答案为：65如图，MN 是⊙O 的直径，MN =6，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA +PB 的最小值是．【答案】32【分析】首先利用在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点P 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，连接OB ，则P 点就是所求作的点．此时PA +PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，∵∠AMN =30°，∴∠AON =60°，∵B 为AN的中点，∴AB =BN∴∠AOB =∠BON =30°，∵MN ⊥BC ，∴CN=BN，∴∠CON =∠NOB =30°，则∠AOC =90°，又OA =OC =3，则AC =32．故答案为：32．6如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．动点P 满足S △PBC =13S 矩形ABCD．则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为。
专题07 将军饮马模型(解析版)
专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。
将军饮马原理基本模型
将军饮马原理基本模型前言在战争中，将军饮马原理被广泛运用，以指导军队的行动和作战策略。
将军饮马原理模型是一种基于数学模型的预测方法，通过对军队和敌方军队的位置、速度、兵力等因素进行分析和计算，以预测敌我双方的未来行动及战争结果。
本文将介绍将军饮马原理的基本模型及其应用。
将军饮马原理的基本概念将军饮马原理源于中国古代的军事典籍《孙子兵法》。
它认为，在敌我力量对比不明确的情况下，将军应根据敌方的行动推断其意图，并准备相应的战略应对。
将军饮马原理的核心思想是观察敌人的动态，把握敌人的意图，以此为基础进行决策。
将军饮马原理的基本模型将军饮马原理基本模型包括以下几个要素：1.军队位置与速度分析：将军需要知道自己军队的当前位置以及敌方军队的位置和速度。
通过观察、侦察等手段，可以获取这些信息。
2.兵力分析：将军需要知道自己和敌方军队的兵力情况。
这包括兵力数量、装备情况、士气等。
通过调查、侦察等途径，可以获取这些信息。
3.战略考虑：将军需要根据当前的敌我力量对比和情报信息，制定相应的战略方案。
这包括选择进攻还是防守、选择攻击目标、选择作战方式等。
4.预测分析：将军需要运用数学模型和推理方法，对敌方的未来行动进行预测和分析。
这包括根据敌方的位置、速度等因素推测其下一步的行动，并进行相应的应对策略。
5.实施与调整：将军需要实施制定的战略方案，并根据战场实际情况进行调整和修正。
将军需灵活应对战场变化，根据实时情报对自己的行动进行调整。
将军饮马原理的应用将军饮马原理模型在实际战争中有广泛的应用，其中一些应用包括：1.军事指挥决策：将军饮马原理模型为军事指挥决策提供了重要的理论基础。
通过对敌我双方的位置、速度、兵力等因素进行分析和预测，指导将军制定战略和战术方案。
2.作战计划制定：将军饮马原理模型为作战计划制定提供了参考。
将军可以根据敌方的位置和动态变化，制定相应的作战计划，并预测敌方的行动。
3.战场情报分析：将军饮马原理模型为战场情报分析提供了方法和技术。
特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型(解析版)
特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马(即将军遛马、造桥或过桥)，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)模型3.将军饮马(多线段和的最值模型)模型4.将军遛马、造桥(过桥)模型模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：图(1)图(2)模型(1)：如图(1)，连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。
模型(2)：如图(2)，作点A 关于定直线m 的对称点A ',连结A 'B ,根据对称得到：P A =P A '，故AP +BP =A 'P +BP ，再利用“两点之间线段最短”，得到AP +BP 的最小值即为：线段A 'B 的长度。
1.(2024·四川广安·中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =4，AD =5，∠ABC =30°，点M 为直线BC 上一动点，则MA +MD 的最小值为．【答案】41【分析】如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，再进一步结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，∴当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，∵AB =4，∠ABC =30°，在▱ABCD 中，∴AH =12AB =2，AD ∥BC ，∴AA =2AH =4，AA ⊥AD ，∵AD =5，∴A D =42+52=41，故答案为：41【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．2.(23-24八年级下·广东广州·期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD，则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为()A.29B.34C.52D.41【答案】D【分析】首先由S△P AB=13S矩形ABCD，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得BE的长，即得答案．【详解】设AB边上的高是h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅h=13AB⋅AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=AB2+AE2=52+42=41，即P A+PB的最小值为41．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A 关于直线l的对称点E，并得到BE的长就是所求的最短距离是解题的关键．3.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质。
(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
5.搭桥模型 已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定
点，（直线AB不与m垂直）
要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.
分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”，转化为基本模型
解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），
OB=4 ，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短
时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1， ）C．（ ， ）D．（ ， ）
要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小
分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点
关于l的对称点，转化为上述模型3
解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l
的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B
交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段
PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.
将军饮马的六种模型
将军饮马的六种模型将军饮马，是中国古代战争策略中的经典战术之一。
通过观察马，了解将军的心思，进而进行军事决策。
将军饮马虽然源于古代战争，但其思想也可以应用于现代管理和决策中。
在现代社会中，可以将将军饮马的思想应用到各种管理模型中，以期提供全面、客观、有效的决策支持。
本文将介绍六种基于将军饮马思想的模型，并对其应用领域进行简要分析。
一、马的姿态模型在将军饮马中，将军观察马展示出的姿态，来判断敌情。
而在管理和决策中，我们也可以通过观察员工或团队展示的姿态，来了解他们的态度、能力和潜力。
例如，一个员工是否充满自信和积极的态度，是否展示出自主解决问题的能力，这些都可以为管理者提供重要的参考信息。
二、军心模型将军饮马中，将军观察马的冷静与否，来判断士兵们的情绪状态。
同样，在管理中，管理者可以通过观察员工的情绪和表现来判断团队的士气和动力。
如果员工们表现出疲惫、消极或情绪低落，可能需要及时采取措施调整团队心态，提高士气。
三、战术模型将军饮马中，将军观察马的行动方式，来判断敌情并制定战术。
在管理决策中，管理者可以观察员工或团队的行动方式和工作方法，来判断他们的能力和适应性。
通过了解员工的工作方式，可以更好地进行任务分配和资源管理，使团队的工作更加高效。
四、资源模型将军饮马中，将军观察马数量和状态，来判断可用资源。
在管理决策中，管理者需要了解团队的资源情况，包括人力、物资、资金等。
通过了解资源状况，管理者可以更好地进行资源分配，确保团队工作的顺利进行。
五、协调模型将军饮马中，将军观察马是否协调一致，来判断士兵团结力。
在管理中，管理者可以通过观察员工的协作和团队合作能力，来判断团队的团结力和协作效率。
如果员工们能够协同合作、相互支持，将会提升整个团队的工作效果。
六、判断模型将军饮马中，将军通过观察马的各种表现，来综合判断敌情和决策方向。
在管理决策中，管理者也需要通过综合观察员工的各种表现和信息，来做出决策。
通过收集和分析各种信息，管理者能够更准确地判断当前形势，做出合理决策。
将军饮马问题16大模型
将军饮马问题16大模型将军饮马问题源于中国古代的一个寓言故事，讲述的是三位将军跟随他们的军队来到一座河边准备渡河，但只有一条小船，这条小船一次只能搭载两人。
如果将军A和将军B在船上，将军C在岸边，将军C将会受到辱骂，如果将军A和将军C在船上，将军B在岸边，将军B也会受到辱骂，问题是如何让这三位将军都安全地渡河而不受辱骂。
这个问题启发了许多数学家和逻辑学家，有各种不同的解法。
下面将介绍将军饮马问题的16种不同模型。
模型1：最直接的解法最直接的解法是将将军A和将军B一同乘坐小船去对岸，然后将将军A带船返回，将将军C载到对岸。
模型2：穷举法穷举法是一种比较笨拙但可以解决问题的方法，即穷尽所有可能的情况。
这种方法虽然有效，但耗时较长。
模型3：递归法递归法是将问题分解成较小规模的子问题，并逐步解决。
这种方法可以节省时间和精力，但需要较高的逻辑思维能力。
模型4：数学推导法通过数学推导，可以将将军饮马问题转化为数学模型，从而得出解答。
这种方法需要较强的数学功底。
模型5：逻辑推理法逻辑推理法是通过逻辑推理和思维分析，得出解决将军饮马问题的方法。
这种方法强调思维的逻辑性和推理能力。
模型6：图论模型图论是数学的一个分支，可以用来描述将军饮马问题中的交叉关系和路径规划。
通过构建相应的图模型，可以更清晰地解决问题。
模型7：概率模型概率模型是通过概率计算和推测，找出解决将军饮马问题的可能性和概率分布。
这种方法适用于对问题进行全面分析和评估。
模型8：动态规划法动态规划法是针对多阶段决策问题的一种解决方法，可以在问题空间中寻找最优解。
这种方法适用于将军饮马问题的场景。
模型9：模拟法模拟法是通过模拟将军饮马问题的场景，以实验测算的方式找出最佳解决方案。
这种方法可以直观地展示问题的复杂性和解决路径。
模型10：启发式算法启发式算法是通过启发性的思考和优化方法，寻找将军饮马问题的最佳解决方案。
这种方法可以在复杂问题中找到较好的解决途径。
将军饮马模型证明过程
将军饮马模型证明过程引言将军饮马模型，是著名的问题模型，它涉及到一位将军、一匹马和两个水源，其中一个水源可能被敌人占领。
将军需要决定是否带领士兵前往另一个水源。
这个问题体现了在信息不完备的情况下做出决策的困难性，是决策理论中的经典问题之一。
本文将基于数学推理的方法，对将军饮马模型的证明过程进行详细说明。
问题描述假设将军饮马模型中有两个水源A和B，将军带领士兵到达其中一个水源需要经过一段时间。
将军和士兵需要饮水，但只有一个水源可以保证水源不被敌人占领，另一个水源的安全性未知。
现在将军面临一个决策，他需要选择前往哪一个水源。
模型假设在进行证明过程之前，我们先对模型做一些简化和假设：1.将军的决策只考虑自己的利益，不考虑士兵的利益；2.假设将军足够聪明，在信息不完备的情况下能做出最优决策；3.假设水源A被敌人占领的概率为p，水源B被敌人占领的概率为q，其中p和q是独立的。
证明过程根据上述假设，我们将通过数学推理来推导出在不同情况下，将军应该做出的最优决策。
情况一：p>q在这种情况下，水源A被敌人占领的概率大于水源B被占领的概率。
将军面临两个选择：选择A或选择B。
假设将军选择了水源A，那么成功的概率是1-p，失败的概率是p。
在失败的情况下，将军将只能选择水源B，成功的概率是1-q。
因此，在这种情况下，将军的总成功概率为：P(A) = (1-p) + p*(1-q) = 1-pq同理，我们可以计算出将军选择水源B的总成功概率为：P(B) = (1-q) + q*(1-p) = 1-pq可以看出，在情况一下，无论将军选择水源A还是水源B，他们的总成功概率是相等的，都为1-pq。
因此，在这种情况下，将军可以做出任意选择。
情况二：p=q在这种情况下，水源A被敌人占领的概率等于水源B被占领的概率。
同样地，将军面临两个选择：选择A或选择B。
假设将军选择了水源A，那么成功的概率是1-p，失败的概率是p。
在失败的情况下，将军将只能选择水源B，成功的概率是1-q。
将军饮马的十二种模型
将军饮马的十二种模型将军饮马是一种著名的古代兵法策略，通常用来形容指挥员在战场上果断决策的能力。
这种策略被广泛应用于各种领域，包括管理学、商业决策以及日常生活中的问题解决。
在本文中，我们将介绍十二种基于将军饮马原理的模型，以帮助读者更好地理解和应用这一策略。
1. 分析对手在决策过程中，了解对手的行为和意图非常重要。
通过分析对手的可能行动和策略，我们可以更好地预测并应对对手的举动。
2. 制定计划将军饮马的核心在于制定行动计划。
这意味着我们需要考虑不同的情况和可能的结果，并为每种情况制定相应的对策，以保证决策的有效性。
3. 增加变数为了增加决策的灵活性和适应性，我们可以通过引入一些变数来改变局势。
这可以包括改变战术、伪装行动或者制造干扰。
4. 强化决策为了确保决策的正确性和有效性，我们可以通过增强决策的支撑力量来提高其执行力。
这可以包括增加资源投入、加强组织和协调能力等方面。
5. 战略调整在执行决策过程中，我们应该密切关注局势的变化，并随时调整战略。
这可以保证我们能够迅速应对新出现的问题和挑战。
6. 创新思维创新思维是解决问题和应对挑战的关键。
通过引入新的想法和方法，我们可以找到更加高效和创造性的解决方案。
7. 风险管理将军饮马过程中，我们应该始终关注风险，并制定相应的应对策略。
通过评估风险的概率和影响，并采取相应的措施来管理风险，我们可以最大程度地减少潜在的不确定性。
8. 团队合作团队合作是决策过程中至关重要的一环。
通过充分发挥团队成员的专长和优势，我们可以共同制定决策，并更好地协同合作来实现最终目标。
9. 反思总结在每一次决策之后，我们都应该进行反思和总结。
通过评估决策的结果、分析决策的成功与失败原因，并从中吸取教训，我们可以不断完善和提升我们的决策能力。
10. 监控执行决策之后，并不意味着任务结束。
我们应该密切关注决策的执行情况，并根据实际情况进行调整和管理，以确保决策的顺利实施。
11. 持续学习决策是一个不断学习和成长的过程。
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一、背景知识：【传说】．一天，一海伦早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．应该怎样走开会，出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B将军每天从军营A这个从此以后，才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．”的问题便流传至今．被称为“将军饮马造桥选址费马点【问题原型】将军饮马【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；轴对称；平移；三角形两边三边关系；
【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型两定点到一动点的距离和最小1.两定一动型：l，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB例1：在定直线上找一个动点P最小.
l的交点Q，AB，与直线作法：连接Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。
ll为P证明：上任意一点，直线连接AB，与直线的交点Q，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)
l：2例A与的距离之和最小，B在定直线P上找一个动点P，使动点到两个定点 .即PA+PB的和最小
关键：找对称点l即为所要寻找的点，的交点Q，连接AC作法：作定点B关于定直线，与直线的对称点Cl和最小，且最小值等于AC.Q处，PA+PB即当动点P跑到了点原理：两点之间，线段最短ll为：P证明，与直线直线的交点Q，上任意一点，连接AC)PQ重合时取﹦中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当在⊿PAC
2.两动一定型
例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A'，作点A关于ON的对称点A'' ，连接A' A''，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
原理：两点之间，线段最短
例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A'，作点B关于ON的对称点B' ，连接A' B'，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
原理：两点之间，线段最短
3.两定两动型最值
ld（动长度等于定长N，且MN是两个定点，在定直线与上找两个动点M、例5：已知AB点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
dl的对称点A''，连接A'关于直线A''B，作法一：将点A向右平移长度A'，得到点作ld，M。
得到点交直线N于点N，将点向左平移长度ld得到点A，连接A B，，将点作法二：作点A关于直线的对称点AA1向右平移长度221ld，Q。
向左平移长度得到点QQ交直线于点，将点原理：
两点之间，线段最短，最小值为A''B+MN
造桥选址）（将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河6：例流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
lllll且⊥上找一个点6：直线D∥，使得，在直线CD上找一个点C，直线例2,2112AC＋BD＋CD 最短．
d l于点D，过点A'B，交D长度沿CD方向向下平移CD作至点A'，连接作法：将点A2l于点C，连接AC．则桥CDDC⊥即为所求．此时最小值为A'B+CD2两点之间，线段最短，原理：4.垂线段最短型
例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
原理：垂线段最短
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A'，过点A'作A'C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
l上找一个动点P，使动点P到两个定点A：在定直线例8与B的距离之差最小，即PA-PB.最小
l的交点，即为所求点P连接作法：AB，作AB的中垂线与PA-PB |=0此时|原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
l PA-PB的距离之差最大，即与：在定直线B上找一个动点C，使动点C到两个定点A例9 |最大|
l，点C：延长BAC交即为所求，于点作法的长度。
C三点共线时，最大值为即点B、AAB、三角形任意两边之差小于第三边原理：l PA-PB的距离之差最大，B即C到两个定点A与例10：在
定直线C上找一个动点，使动点||最大
l的对称点B，连接AB，作法：作点B关于l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
交交
原理：三角形任意两边之差小于第三边
三角形典型例题
=
AE 上的一点，且AD是M上的一点，AC是E，AD⊥BC，6= AB 中，如图，在等边△ABC．1．
EM+EC的最小值2，求
ME+MD最小，BEC关于直线AD的对称点是点B，连接，交AD于点M，则解：点，过点B作BH ⊥AC于点H2222 = 33 = AE = 3 则EH = AH –– 2 = 1，BH = BC - CH6 - 322227 3) = BE = BH + HE(3 + 1 = 2在直角△BHE中，。