均值不等式的待定系数法.doc

不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇

在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！

引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 u

xy yz

的最大值。

x 2

y 22

z

解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得：

xy yz

y

x y 1 [ 2 x 2

y 2

2

y 2

z 2

]

1

2 x 2

1

2

) y 2

2

x 2

y 2

x

2

( )

( ) [

( 2

2

]

2

令

2

1

2

1

，解得：

4 2 ，

1 ，于是

2

2

4 2

2

2 ( x 2

xy yz

2 ( x 2 y 2 z 2 )

y 2 z 2 )

2

xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2

所以 u

2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成

x

2

y

2

z

2

x 2 y 2 z 2 2

立。

推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则

axy byz 的最大值

x 2

y 2

2

z

为 a 2 b 2 ，最小值为

a 2

b 2 。 2 2

简析：即证 2 x

ay

2 z

by b 2 x 2

a 2 y 2

z 2

b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。

a 2

b 2

a 2

a 2

b 2

a 2

b 2

1. 设

是不全为零的实数，求 的最大值

分析：显然只需考虑 的情形

直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数

满足

故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大值。

消去我们得到一个方程

此方程的最大根为我们所求的最大值

解之得

我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了

2.设是不全为零的正实数，求的最大值

是的同我们依然可以引进参数使其满足

依据取等条件我们有

消去参数我们得到一个方程

这个方程的最大根为我们所求的目标。

解之得

呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。

当且仅当取等。

好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我们

开始来处理下面的几个问题吧！

3. 设是正实数，求的最小值。

解：我考引参数使其足：

依据取等条件我有：

故的最小 4

4.是正数且足，求的最小

解：察目的构考到地位的平等性，引参数

由取等条件我有：

解之得

所以

当然了个目明可以拉格朗日数乘法来解决，也从另外一个角度启示我某些条件极是可以用待定系数均来解决的⋯⋯⋯.

5．正数，且，求的最小

分析：个玩不等式的会方和秒！今天我从待定系数均的角度也

来玩一玩。考和定，我了使用均，可以引参数因此+ =

由取等条件：

所以

6. 若对任意恒成立，求的最小值。

解：对任意恒成立

所以对任意恒成立

下面我们依然可以待定均值

由取等条件：

消去我们得到：方程的最大根及为我们所求

解之得

因此的最小值为

读到这里也许有读者会说：你每次解那个比例式方程为什么说那个比值就是我们要求的目标呢？这个问题我想不用我解释吧，这太显然了！是不是？为了加深对这个方法的认识和应用，我们来看一个大家都很熟悉的问题：

7. 若且，求证：

好吧！你也许会说哥用柯西一行就秒了。是的，今天在这里我用待定系数来处理一下这个问题。考虑这样引进参数

考虑取等条件：

所以

8. 有一边长为和的长方体纸板，在四个角各裁去一个大小相同的正方

形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使纸盒的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？

分析：这是一个很 old 的问题了，大多可以建立函数模型用导数解决之。今天我们换个角度用均值，对还是用均值来 kill it ！

解：设裁去正方形的边长为则做成的无盖长方体容积为

同样引入参数

考虑取等情况：

当时，右边为常数

故当二者同时成立时函数有最大值。

消去参数得到：

解之得：

故

9. 求函数的最小值。

分析：这个单变量的函数，话说单变量都可以导数的嘛，你明白的在这里我还是想说均值可以 kill it

解：考虑引进参数

由取等条件：消去参数得：

即

解得

此时，

10. 问取什么值时，取最大值。