2.待定系数法
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
标度不准温度计的三种求法
标度不准温度计的常用求法：求法1： 一般方法： 物体的真实温度=）（混混沸///100t T t t c -⨯-︒ 其中：沸/t 表示物体在沸水中的示数；混/t 表示物体在冰水混合物中的示数；T 表示物体在某一时刻的温度计示数。
例1： 有一支温度计刻度均匀但读数不准。
放入冰水混合物中示数为5℃，放入一标准大气压下的沸水中示数为95℃，若该温度计示数为32℃，则实际温度是多少？ 解：物体的真实温度C C t ︒=-⨯︒-=30)532(595100 求法2： 待定系数法： 设真实温度t ，与示数T 之间的函数关系为：b kt T +=其中：T 代表温度计在不同时刻的示数，t 代表温度计在该时刻的实际温度；代入相关的数值，联立方程组即可。
则根据这个式子，上题可以这样解答：⎩⎨⎧+⨯=+⨯=bk b k 1009505，解得⎪⎩⎪⎨⎧==5109b k ，则该函数的解析式为5109+=t T ，当T=32时，代入式子中得：t=30℃ 求法3： 图示结合比例法： 由于部分同学的逻辑思维能力、推理能力不强，想象力不太丰富，对有些物理问题仅从文字上进行理解会不够全面，不够透彻，结合图象就可以帮助我们解决问题。
例2 一只刻度均匀但读数不准的温度计，将它放在冰水混合物中测量结果是2℃；若外界气温为23℃，该温度计示数是27℃。
若用该温度计测量一杯热水的温度，示数为40℃，则这杯热水的实际温度是（ B ）A. 31.4℃B.35℃C. 36.8℃D. 37.8℃解析：如图所示，图中在左边自下至上的2℃、27℃、40℃分别是温度计在冰水混合物、外界气温和热水中的温度值，右边自下至上的0℃、23℃、t 1℃分别是它们所对应的实际温度。
从图中可以看出：冰水混合物的实际温度是0℃，而温度显示2℃；外界气温是27℃，而温度计显示23℃；当温水的实际温度为t 1时，温度计显示40℃。
由于温度计的刻度是均匀的，所以示数不准温度计上的显示温度的变化量跟对应的实际温度的变化量是成正比例的，则有： C0C t C 2C 40C 0C 23C 2C 271︒-︒︒-︒=︒-︒︒-︒ 解得：C 35C 34.961︒≈︒≈t 所以，若放在温水中的示数是40℃，那么温水的实际温度是35℃。
高中数学：第2章 2.2 2.2.3 待定系数法
2.2.3 待定系数法学习目标：1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点)2.掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．思考：待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？[提示] (1)根据题设条件，设出含有待定系数的该函数解析式的恰当形式． (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)． (4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．[基础自测]1．思考辨析(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y ＝－16x .( ) (3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y ＝12x ＋52.( ) [解析] (1)√ 确定一次函数的解析式，即确定k ，b 的值，因此需要列关于k ，b 的两个二元一次方程求解．(2)× 反比例函数图象过点(2,8)则其解析式为y ＝16x .(3)√ 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(1,3)，(3,4)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝33k ＋b ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，所以解析式为y ＝12x ＋52.[答案] (1)√ (2)× (3)√2．若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋1D [把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝1.所以y ＝－x ＋1，故选D.]3．已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )【导学号：60462146】A ．y ＝14x 2＋1 B ．y ＝14x 2＋4 C ．y ＝4x 2＋1D ．y ＝x 2＋4D [设该二次函数的解析式为y ＝a (x －0)2＋4，即y ＝ax 2＋4，(1,5)代入，得a ＋4＝5，所以a ＝1，故解析式为y ＝x 2＋4.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为________． 5 [∵f (3)－f (－1)＝8a ＋4b ＝0， ∴4a ＋2b ＝0， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋5＝5.][合 作 探 究·攻 重 难]待定系数法求一次函数的解析式【导学号：60462147】(2)已知一次函数的图象与x 轴交点的横坐标为－32，并且当x ＝1时，y ＝5，则这个一次函数的解析式为______．[解析] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎨⎧k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ k ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－3.所以函数的解析式为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0和(1,5)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝－32k ＋b ，5＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝3，所以y ＝2x ＋3.[答案] (1)2x ＋1或－2x －3 (2)y ＝2x ＋3[规律方法] 用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤： (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)根据题意列出关于k 和b 的方程组； (3)求出k ，b 的值，代入即可． [跟踪训练]1．一次函数的图象经过点(2,0)和点(－2,1)，则此函数的解析式为________． y ＝－14x ＋12 [设函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(2,0)和(－2,1)代入解析式，得⎩⎨⎧0＝2k ＋b ，1＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.所以函数的解析式为y ＝－14x ＋12.]待定系数法求二次函数的解析式2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．[思路探究] 设二次函数的解析式→列出含参数的方程(组)→解方程(组)→写出解析式[解] (1)由题意设二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)(x －4)，整理，得y ＝ax 2－6ax ＋8a .又∵图象过点(0,3) ∴8a ＝3，∴a ＝38.∴解析式为y ＝38(x －2)(x －4)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋2. 又∵图象过点(0,4) ∴a ＋2＝4，∴a ＝2. ∴解析式为y ＝2(x －1)2＋2. (3)设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题设知⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，∴函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2.[规律方法] 求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c 为常数，a ≠0.(2)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，a ≠0.(3)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，a 为常数，且a ≠0.)[跟踪训练]2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式.【导学号：60462148】[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)由f (0)＝1得，c ＝1 ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x 即2ax ＋a ＋b ＝2x∴⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1待定系数法的综合应用[1．根据函数图象求函数解析式的关键是什么？ 提示：观察函数图象的形状．图2-2-32．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-2-3所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．提示：设二次函数解析式为y ＝a (x －1)2－1，(a ＞0)． 又函数过点(0,0)，故a ＝1，所以所求函数的解析式为y ＝(x －1)2－1(0≤x ＜3)． 由图可知该函数的取值满足－1＝f (1)≤f (x )＜f (3)＝3， 即该函数的值域为[－1,3)．如图2-2-4，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．图2-2-4[解] 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎨⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)， 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)； 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．法一：(顶点式)设抛物线的方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 法二：(一般式)设抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0,1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－2，所以抛物线对应的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎨⎧－x ＋2，(x <1)，－x 2＋4x －2，(1≤x <3)，x －2，(x ≥3).[规律方法] 1.由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后再在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值． [跟踪训练]3．已知二次函数图象与x 轴的交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)，求二次函数解析式. 【导学号：60462149】[解] 法一：(一般式)设二次函数的表达式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 因为函数f (x )经过点(－2,0)，(3,0)和(－1,8)，所以⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0a －b ＋c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝2c ＝12.所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.法二：(两根式)设二次函数解析式为f (x )＝a (x ＋2)(x －3)，又因为二次函数图象经过(－1,8)，所以－4a ＝8，即a ＝－2，所以二次函数解析式为f (x )＝－2(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3D ．－3,2A [2x 2＋x －3＝ax 2＋(b －a )x －b ，根据恒等式⎩⎨⎧a ＝2，b －a ＝1，－3＝－b ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.] 2．已知函数f (x )＝ax 2＋k 的图象过点(1,7)和点(0,4)，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝3x 2＋4B ．f (x )＝2x 2＋5C ．f (x )＝3x 2＋2D ．f (x )＝5x 2＋4A [将(1,7)与(0,4)代入函数f (x )＝ax 2＋k 可得a ＝3，k ＝4.]3．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象顶点为(2,3)，且过点(3，－1)，则函数的解析式为________.【导学号：60462150】y ＝－4x 2＋16x －13 [由题意设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋3， 则－1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－4.]4．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.2 [f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3， 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎨⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－7.∴5a －b ＝2.]5．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．[解] 法一：(一般式)设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．将三个点的坐标代入，得⎩⎨⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：(两根式)∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)． ∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)， 把顶点(4，－3)代入得－3＝a (4－1)×(4－7)， 解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.。
求数列通项公式的十种方法 (2)
总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法适用于：1()n n a a f n +=+转换成1()n n a a f n +-=，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若③若④若例1解：由n a 例2解；由n a 3221((2333(1)3(1)3n a a a n n =++-=++⨯=++++-+=-+==练习1.已知数列{}n a的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=二、累乘法1.适用于：1()n n a f n a +=----------这是广义的等比数列2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ 例4例4.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知1=+n a n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式三.。
例2n 满足S n 点评②数列{a 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n {+a n dn +-1,式.a 例6解法一：2n n a a -=又{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列12n n a ∴+=，即21n n a =-练习．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a 。
二阶非齐次微分方程解法总结
二阶非齐次微分方程解法总结一、引言微分方程是数学中非常重要的一个分支，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
其中，二阶非齐次微分方程是比较基础的一种类型，解法也比较多样化。
本文将对二阶非齐次微分方程的解法进行总结和归纳。
二、基本概念1. 二阶非齐次微分方程：形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的微分方程。
2. 齐次线性微分方程：形如y''+p(x)y'+q(x)y=0的微分方程。
3. 非齐次线性微分方程：形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的微分方程。
4. 常系数线性微分方程：系数p(x)和q(x)都是常数的线性微分方程。
三、特解法特解法是求解非齐次线性微分方程最常用的方法之一。
其基本思路是先求出对应齐次线性微分方程的通解，再通过待定系数法求出一个特解，将通解和特解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
1. 对应齐次线性微分方程通解：（1）若r1≠r2，通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)；（2）若r1=r2，通解为y=(C1+C2x)e^(rx)；（3）若r1,r2为复数，设r=a+bi，则通解为y=e^(ax)(C1cosbx+C2sinbx)。
其中，C1、C2为任意常数。
2. 待定系数法求特解：（1）当f(x)为常数、多项式、正弦函数、余弦函数时，可根据f(x)的形式分别猜测特解的形式，并通过待定系数法求出特解；（2）当f(x)为指数函数或三角函数的乘积时，可通过猜测特解的形式，并利用欧拉公式将其转化成指数函数或三角函数的和的形式，再通过待定系数法求出特解。
四、常数变易法常数变易法是另一种求解非齐次线性微分方程的方法。
其基本思路是假设非齐次线性微分方程的一个特解可以表示成原齐次线性微分方程通解乘以一个待定函数的形式，将此代入非齐次线性微分方程中，并确定待定函数使得等式成立。
具体步骤如下：（1）先求出对应齐次线性微分方程的通解；（2）假设非齐次线性微分方程的特解为y1(x)，可以表示成对应齐次线性微分方程的通解乘以一个待定函数u(x)的形式，即y1(x)=u(x)y0(x)，其中y0(x)为对应齐次线性微分方程的通解；（3）将y1(x)代入非齐次线性微分方程中，并确定待定函数u(x)使得等式成立；（4）将求出的特解y1(x)与对应齐次线性微分方程的通解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
待定系数法拆分分母
待定系数法拆分分母摘要：1.待定系数法拆分分母的概述2.待定系数法的基本原理3.待定系数法在分母拆分中的具体应用4.待定系数法拆分分母的步骤和注意事项5.待定系数法拆分分母的实际案例分析6.总结与展望正文：【1.待定系数法拆分分母的概述】待定系数法拆分分母是一种常用的数学方法，主要用于将分式进行简化和变形，以便于进行计算和求解。
这种方法的核心思想是设定一个或多个待定系数，通过一系列的等式推导，将分母进行拆分，从而实现分式的简化。
【2.待定系数法的基本原理】待定系数法的基本原理是设一个或多个待定系数，通过设定的系数与分母中的其他项进行组合，构建一个新的等式，然后通过解这个等式，求得待定系数的值，从而实现分母的拆分。
【3.待定系数法在分母拆分中的具体应用】在分母拆分中，待定系数法通常用于解决以下问题：一是分母中含有复杂的函数，二是分母中含有多个变量，三是分母中存在难以处理的项。
在这些情况下，通过待定系数法，可以将分母进行拆分，从而简化分式，便于计算和求解。
【4.待定系数法拆分分母的步骤和注意事项】待定系数法拆分分母的步骤主要包括：设定待定系数，构建新等式，解新等式，求得待定系数的值，将待定系数的值代入原分母，实现分母的拆分。
在使用待定系数法时，需要注意以下几点：一是待定系数的个数应与分母中需要拆分的项的个数相等；二是在构建新等式时，需要保证等式的两边相等；三是在解新等式时，需要保证解出的待定系数的值满足原分母的约束条件。
【5.待定系数法拆分分母的实际案例分析】例如，对于分式1/(x^2+3x)，我们可以通过待定系数法进行分母拆分。
首先，设定待定系数a，构建新等式a(x^2+3x)=x^2+3x，解这个等式，得到a=1。
将a 代入原分母，得到分母为x(x+3)，从而实现了分母的拆分。
【6.总结与展望】待定系数法拆分分母是一种有效的数学方法，可以帮助我们简化分式，便于计算和求解。
在实际应用中，我们需要灵活运用待定系数法，根据分母的具体情况，设定合适的待定系数，构建适当的等式，从而实现分母的拆分。
待定系数法的三个公式
待定系数法的三个公式一、线性方程公式：设原方程为Ax+B=C，其中A、B、C为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0+B=C；2.待定系数法的关键在于选取合适的x0，使得Ax0+B=C的解存在。
一般而言，通过观察和猜测来确定x0的值；3.令Ax0+B=C成立，解得x0=(C-B)/A；4.带入x=x0，即可得到方程的解。
二、二次方程公式：设原方程为Ax^2+Bx+C=0，其中A、B、C为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0^2+Bx0+C=0；2.同样，通过观察和猜测来选取合适的x0，使得方程有解；3.令Ax0^2+Bx0+C=0成立，解得x0=(-B±√(B^2-4AC))/(2A)；4.带入x=x0，即可得到方程的两个根。
三、三次方程公式：设原方程为Ax^3+Bx^2+Cx+D=0，其中A、B、C、D为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0^3+Bx0^2+Cx0+D=0；2.同样，通过观察和猜测来选取合适的x0，使得方程有解；3.令Ax0^3+Bx0^2+Cx0+D=0成立，解得x0为方程的一个根。
将方程除以(x-x0)后，得到一个二次方程Ax^2+(Ax0+B)x+(Bx0^2+Cx0+D)=0；4.使用二次方程公式，求解该二次方程即可得到方程的其他两个根。
以上就是待定系数法的三个公式及其应用方法。
通过选择合适的待求解的x值，将其带入方程后求解，可以得到方程的解。
待定系数法在解决一元多次方程问题中具有较高的实用性，能够有效地简化求解过程。
专题2：待定系数法应用探讨
七年级数学（下）教学教案（人教版）专题2：待定系数法应用探讨一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】A ．9B ．－9C ．±9D ．±3【答案】A 。
【考点】待定系数法思想的应用。
【分析】设()22x 6x k=x+A ++，则222x 6x k=x 2Ax A ++++，∴22A=6A=3k=9A =k ⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩。
故选A 。
练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于【 】 A ．64 B ．48 C ．32 D ．162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x 2﹣kx+9是一个完全平方式，则k 的值是 ▲ 。
3.（2011江苏连云港3分）计算 (x ＋2) 2的结果为x 2＋□x ＋4，则“□”中的数为【 】 A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．44.（2011湖北荆州3分）将代数式2x 4x 1+-化成2(x p)q ++的形式为【 】A.2(x 2)3-+ B.2(x 2)4+- C.2(x 2)5+- D.2(x 4)4++二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。
典型例题：例：（2012四川凉山4分）已知b 5a 13=，则a b a b -+的值是【 】 A ．23B ．32C ．94D ．49【答案】D 。
【考点】比例的性质。
【分析】∵b 5a 13=，∴设b 5k a 13==，则b=5k ， a=13k ，把a ，b 的值代入a ba b-+，得，a b 13k 5k 8k 4===a b 13k 5k 18k 9--++。
化简二次根式的方法与技巧
化简二次根式的方法与技巧介绍化简二次根式的主要方法和技巧，以及相关的概念。
共轭二次根式如果x=a+√b，y=a-√b，那么我们称x与y是一对共轭二次根式。
则有x+y=2a，xy=a²-b，根据它可以将一些无理式问题转化为有理式问题来处理。
例如我们通常用它进行分母有理化。
分母有理化如果分母原来是无理数，而将该分母化为有理数的过程，叫做分母有理化。
也就是将分母中的根号化去。
(1)分母是一个单项式时，只需把分子分母同时乘以分母即可。
例如分母是√2，可以把分子分母同时乘以√2：(2)分母是一个多项式时，一般利用平方差公式(a+√b)(a-√b)=a²-b进行分母有理化。
分子分母同时乘以相同的数，使分母变成有理数，例如分母是3+√2，可以分子分母同时乘以3-√2：被开方式是分数根据最简二次根式的定义，根号里不能含有分母。
化简方法有两种：(1)可以把分子分母同时乘以分母，即把分母变成完全平方，直接移出根号。
(2)变成分母中含有根号的形式，再进行分母有理化。
可以参照下面的两个公式(a≥0，b>0)：被开方式是小数根据最简二次根式的定义，根号里的数字必须是整数，所以需要先把小数化成分数，再利用上面根号里是分数的化简方法进行化简。
例如√0.5=√(1/2)=√2/2。
只要根号里是能够化成分数的小数(包括循环小数)，都可以化成最简二次根式，但是如果根号里是无限不循环小数，例如√π则无法化简。
复合二次根式的化简如果二次根式的被开方数(式)中含有二次根式，属于复合二次根式，例如：化简这种复合二次根式一般有下面两种方法。
(1)配方法把被开方式a+√b配成完全平方，然后再脱去外层根号，例如：(2)待定系数法设被开方式a+√b=(√x+√y)²，然后比较对应项的系数求出x与y的值，例如：得到x+y=3，xy=2，即x(3-x)=2，解得x=1或x=2。
可得x=1，y=2或x=2，y=1(x与y对称)，所以结果是3+2√2=(1+√2)²。
二次函数口诀
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二次函数图像与性质口诀:
1、基本性质
二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点,它们确定图象限；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,
b的符号较特别，符号与a相关联；
顶点位置先找见，Y轴作为参考线，
左同右异中为0，牢记心中莫混乱；
顶点坐标最重要,一般式配方它就现，
横标即为对称轴,纵标函数最值见。
一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
2、待定系数法
二次函数抛物线，选定需要三个点，
a的正负开口判，c的大小y轴看，
△的符号最简便，x轴上数交点，
a、b同号轴左边，抛物线平移a不变。
3、与一元二次方程的关系及平移
二次方程零换y，二次函数便出现。
表中填入组数据，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边增减正相反。
A定开口及大小，线、轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
19.2.2一次函数(2)待定系数法
第19章一次函数19．2．2 一次函数第3课时用待定系数法确定一次函数的解析式一、教学内容及分析（一）教学内容用待定系数法确定一次函数解析式．（二）内容分析本节课是一次函数的第三课时，主要是用待定系数法确定一次函数的解析式，其实质是通过列一元一次方程或二元一次方程组求常数、b的值，即利用已知的一个条件或两个条件确定一次函数解析式，通过把已知点的坐标代入一次函数解析式求解的过程，巩固函数图象的概念和性质．本节课的重点是根据所给信息用待定系数法确定一次函数的解析式，解决重点的关键是让学生明确点的横、纵坐标分别对应解析式中变量、，然后列出一元一次方程或列出二元一次方程组进行求解．二、教学目标及分析（一）教学目标1．知道什么是待定系数法；2．会用待定系数法确定一次函数解析式．（二）目标分析1．知道什么是待定系数法，就是指让学生通过例题和练习了解“先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出解析式的方法，叫做待定系数法”，并初步了解用待定系数法确定一次函数的解析式的一般方法和步骤．2．会根据已知条件确定一次函数表达式，就是指让学生知道已知点的横、纵坐标分别对应一次函数解析式bkxy+=中、的值，通过列一元一次方程或列二元一次方程组求解、b的值来确定一次函数的解析式．三、问题诊断分析学生在理解一次函数图像时，对于、两个变量对应着点的横、纵坐标可能觉得困难，具体表现在对一次函数图象的概念认识不够。
要克服这一可能遇到的困难，关键是通过画图，结合图象和具体事例加强理解．例如：已知一次函数的图象过点3,5与-4,-9,求这个一次函数的解析式．再做相应的变式训练来理解，从而克服可能遇到的困难．四、教学过程问题一：怎样确定一次函数的解析式设计意图：提出一个极有挑战性的问题，囊括本节课要学习的所有内容，点明主题，但要回答这个问题目前又极其困难，这就达到了以问题引领本节课教学的目的．问题1：一次函数的一般形式是什么问题2：在一般形式中，有几个未知系数分别是什么问题3：要求这些未知系数的值应采取什么方法例1 已知一次函数的图象经过点（3，5）和点（-4，-9），求这个一次函数的解析式．设计意图：此例完成可以按照“用待定系数法确定一次函数解析式”的一般方法和步骤来解答的典型例子，通过此例的解答要让学生初步理解“用待定系数法确定一次函数解析式”的解题模式，形成解题技巧．师生活动：本例采用学生先自主解答，老师进一步订正、归纳、总结的模式进行教学．最后师生合作得出确定一次函数解析式的方法和步骤：第一步：设，设出函数的一般形式；第二步：列，列出方程或方程组；第三步：解，解出方程或方程组；第四步：答，答出解析式．这种先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出函数解析式的方法，叫做待定系数法．变式练习：已知一次函数中，当=1时，=3，当=-1时，=7．求这个一次函数的解析式．五、目标检测1．已知一次函数=2，当=5时的值为4，则的值为______．2．直线L的图象如图所示，则= ，b=3．已知一次函数的图象经过点（－4，9）和点（2，3），求这个函数的解析式．六、课堂小结1．什么是待定系数法2．用待定系数法确定一次函数的解析式的步骤有哪些。
2.待定系数法和消元法
中考数学专题复习之二：待定系数法和消元法【中考题特点】：待定系数法是确定代数式中某些项的系数的重要数学方法，它是以代数式形式上的恒等变换的性质为依据，通过特定的已知条件，辩证地转化已知和未知的关系，从而求得代数式中某些系数的值；而消元法是从已知量和未知量间的关系中，求得未知量的值的数学方法，而代入和等式之间的加减、又是消元法的重要且常用的具体手段，在中考题中根据已知条件来求某些未知量的值时，非常需要这种数学方法。
【范例讲析】：例1：问题1：已知点A （m ，1）在直线y=2x －1上，求m 的方法是 ， ∴m= ；已知点B （－2，n ）在直线y=2x －1上，求n 的方法是 ，∴n= ；问题2：已知某一次函数的图象经过点P （3，5）和Q （－4，－9），求一次函数的解析式是一般先 ，再由已知条件可得 ，解得 。
∴满足已知条件的一次函数解析式是： ，这个一次函数解析式的图象与坐标轴交点坐标为： 。
像解决问题2这样 的方法，叫做待定系数法。
例2：一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
⑴求这个一次函数的解析式；⑵若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
例3：一次函数y=－2x+4的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 为x 轴上一点，且△ABC 的面积为6，某二次函数图象过A 、B 、C 三点，求这个二次函数的解析式及此二次函数图象的顶点坐标。
例4：已知：4x －3y －6z=0，x+2y －7z=0，且xyz ≠0。
求：22222275632z y x z y x ++++的值。
例5：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过A （1，1）、B （α，β）、C （β，α）三点，其中α、β是方程x 2－x －1=0的两个根，求二次函数的解析式。
【练习】：1． 已知一次函数的图象经过点（－2，5），并且与y 轴相交于点P ，直线y=－x 21+3与y 轴相交于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，求这个一次函数的解析式。
初中数学方法篇二：待定系数法 (1)
数学方法篇二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
例1.若2x6x k++是完全平方式，则k=【】A．9 B．－9 C．±9 D．±3二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。
例2.已知b5a13=，则aba b-+的值是【】A．32B．23C．94D．49三. 待定系数法在因式分解中的应用：目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法。
例3.分解因式：2x x2+-＝。
四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：例4.无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于．例5.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．例 6.游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？例7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．例8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为455，求点M的坐标．五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用：例9.2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896 1900 1904 (2012)届数 1 2 3 …n表中n的值等于．例10.如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．例11.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．六. 待定系数法在几何问题中的应用：在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
必修一第二章函数待定系数法含答案
2． 待定系数法一、选择题1．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向下平移h 个单位，沿x 轴向左平移k 个单位得到y ＝x 2－2x ＋3的图象，则h ，k 的值分别为( ) A ．－2，－1B ．2，－1 C ．－2,1D ．2,12．二次函数y ＝－x 2－6x ＋k 的图象的顶点在x 轴上，则k 的值为( ) A ．－9B ．9C ．3D ．－33．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为( )A ．y ＝2(x －2)2－1B ．y ＝2(x ＋2)2－1C ．y ＝2(x ＋2)2＋1D ．y ＝2(x －2)2＋14．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求此二次函数的解析式为( )A ．4x 2＋4x ＋7B ．4x 2－4x －7C ．－4x 2－4x ＋7D ．－4x 2＋4x ＋75．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图中的( )6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤02，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 7.如图所示，抛物线y ＝－x 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A 、B 两点，且OA ＝3OB ，则m ＝________.8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 9．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f (x )的解析式为__________． 三、解答题10．已知二次函数f (x )对一切x ∈R ，有f (2－x )＝f (x )，f (－1)＝0，且f (x )≥－1. (1)求二次函数解析式；(2)若直线l 过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x 轴左侧的交点，求l 在y 轴上的截距．11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y ＝x －2的交点坐标为(1，n )和(m,1)，求这个二次函数的解析式． 能力提升12．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为__________．13．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 1．待定系数法的理论依据是多项式恒等，即等式左右两边对应项系数相等． 2．利用待定系数法解决问题的步骤(1)根据已知条件写出待定函数的一般式；(2)由x 、y 的几对值，或图象上的几个点的坐标或其他条件，建立以待定系数为未知数的方程或方程组；(3)解方程(组)得到待定系数的值；(4)将求出的系数代回所设函数解析式中得函数解析式．用待定系数法求函数解析式步骤简缩成：第一步：设；第二步：代；第三步：求；第四步：写．即“设、代、求、写”．2． 待定系数法知识梳理1．这个函数的一般形式 一般形式 题设条件 待定系数2．(1)y ＝kx (k ≠0) (2)y ＝kx ＋b (k ≠0) (3)y ＝kx(k ≠0) (4)①y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) ③y ＝a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0) 作业设计 1．A2．A [∵y ＝－(x ＋3)2＋k ＋9， ∴k ＋9＝0，k ＝－9.]3．A [设顶点式y ＝a (x －2)2－1，将(3,1)代入得a ＝2.]4．D [设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7.]5．D [由已知可知a >0，c <0，且f (1)＝0，所以选D.] 6．C [由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤02，x >0∴方程f (x )＝x ?⎩⎪⎨⎪⎧x >0x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2＋4x ＋2＝x解得x ＝2或x ＝－1或x ＝－2，均合题意．]7．0解析 设B (x 0,0) (x 0<0)，则A (－3x 0,0)，y ＝－(x －x 0)(x ＋3x 0)展开得：⎩⎪⎨⎪⎧2?m ＋1?＝－2x 0m ＋3＝3x 20，解得m ＝0或m ＝－53，由x 0<0得m ＋1>0，m >－1，∴m ＝0. 8．2解析 f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3又f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－7.∴5a －b ＝2.9．f (x )＝12x ＋32或f (x )＝－12x ＋52解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．当k >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ k ·?－1?＋b ＝1k ·3＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝12b ＝32.当k <0时，⎩⎪⎨⎪⎧k ·?－1?＋b ＝3k ·3＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝52.∴f (x )＝12x ＋32或f (x )＝－12x ＋52.10．解 (1)由f (2－x )＝f (x )，得二次函数图象的对称轴为x ＝1，由f (x )≥－1对一切x ∈R 成立，得二次函数的最小值为－1.设二次函数的解析式为f (x )＝a (x －1)2－1，∵f (－1)＝0，∴4a －1＝0，∴a ＝14，∴f (x )＝14(x －1)2－1＝14x 2－12x －34.(2)设直线l 的解析式为g (x )＝kx ＋b . 由(1)知，抛物线顶点为C (1，－1)， 由14x 2－12x －34＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴l 过点A (－1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－1－k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－12，∴一次函数为y ＝－12x －12.在y 轴上的截距为b ＝－12.11．解 ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反，∴a＝12. ∴二次函数解析式变为y ＝12x 2＋bx ＋c .将点(1，n )和(m,1)代入直线方程y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1－2，1＝m －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－1，m ＝3.∴二次函数与直线的交点为(1，－1)和(3,1)．将这两个点的坐标分别代入y ＝12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝12＋b ＋c ，1＝92＋3b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－12.∴所求的二次函数的解析式为y ＝12x 2－x －12.12．?解析 ∵f (x )＝x 2＋2x ＋a ，∴f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2.则有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝2.∴f (2x －3)＝(2x －3)2＋2(2x －3)＋2＝4x 2－8x ＋5＝0.∵Δ＝64－80<0，∴方程f (ax ＋b )＝0无实根．13．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.。
初一数学上册：重要题型考试技巧整理
初一数学上册：重要题型考试技巧整理1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关；在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略；每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
待定系数法求解初值问题的二步三阶公式
待定系数法求解初值问题的二步三阶公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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待定系数法拆分分母
待定系数法拆分分母（最新版）目录1.待定系数法拆分分母的概念和原理2.待定系数法拆分分母的具体步骤3.待定系数法拆分分母的实例分析4.待定系数法拆分分母的应用领域和意义正文1.待定系数法拆分分母的概念和原理待定系数法拆分分母是一种数学方法，用于将分母中的多项式拆分成较简单的形式，以便于进行计算。
该方法基于代数中的待定系数原理，即在多项式中加入待定系数，通过方程组求解待定系数的值，从而实现多项式的拆分。
2.待定系数法拆分分母的具体步骤待定系数法拆分分母的具体步骤如下：（1）观察分母中的多项式，找出可能的拆分形式；（2）在多项式中加入待定系数，假设分母可以表示为两个多项式的乘积；（3）根据多项式的乘积公式，将分母表示为两个多项式的乘积；（4）将分母中的多项式转化为整式方程，通过求解方程组得到待定系数的值；（5）将待定系数的值代入原式，得到分母的拆分形式。
3.待定系数法拆分分母的实例分析例如，对于分式 1/(x^2 - 3x + 2)，我们可以通过待定系数法拆分分母。
（1）观察分母，发现其可以表示为 (x - 1)(x - 2) 的形式；（2）在分母中加入待定系数 a 和 b，假设分母可以表示为 (x - 1)(x - 2) + a(x - 1) + b(x - 2)；（3）根据多项式的乘积公式，将分母表示为 (x - 1)(x - 2) + a(x - 1) + b(x - 2)；（4）将分母表示为整式方程，得到 x^2 - (3 + a + 2b)x + (2 + a + 2b) = 0；（5）通过求解方程组，得到 a = 1，b = -1；（6）将待定系数的值代入原式，得到分母的拆分形式为 1/(x - 1)(x - 2)。
4.待定系数法拆分分母的应用领域和意义待定系数法拆分分母在数学中有广泛的应用，例如在代数运算、方程求解、函数分析等领域。
通过拆分分母，可以将复杂的分式化简为较简单的形式，便于进行计算和分析。
第2课时 待定系数法
请你自己先想一想，你是怎么做的？
A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地 相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s （km）都是骑车时间t（h）的一次函数。
1h后乙距A地80km; 2h后甲距A地30km。 问：经过多长时间两人相遇？
要用代数方法，进行细致计算。 2.待定系数法求一次函数的表达式
课本习题。
谢谢
你明白他的想法吗？ 用他的方法做一做， 看看和你的结果一致吗？
设同时出发后t时相遇，则
15t+20t=10 t≈2.86
0
在以上的解题过程中你受到什么启发？
用图象法可 以解决问题。
用方程组的方 法可以解决问
题。
ห้องสมุดไป่ตู้
小明
用一元一次方程的 方法可以解决问题。
小颖
小彬
用作图象的方法可以直观地获得问题 的结果，但有时却难以准确，为了获得准 确的结果，我们一般用代数方法。
（1）设出函数表达式：y=kx+b； （2）把已知条件代入，得到关于k、b的方程组； （3）解方程组，求出k、b的值；
（4）写出其表达式。
1.已知一次函数y=kx-5与y=3x+b的图象交点为P（2，-3），
则k= 1 ，b= -9 。
2.已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A（-2，
5 60k b 10 90k b
解得
k
1 6
b 5
所以
y 1 x5 6
（2）当y=0时，解得x=30
所以旅客最多可以免费携带30kg的行李。
小结
像本例这样，先设出函数表达式，再根据所 给条件确定表达式中未知数的系数，从而得到 函数表达式的方法，叫做待定系数法。
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2.待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】函数式变形为： (y－m)x2－43x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0 即： y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：1120497120+++-=-++-=⎧⎨⎩()()m n mnm n mn解得：mn==⎧⎨⎩51或mn==⎧⎨⎩15∴ y＝5431122x xx+++或者y＝x xx224351+++此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：m nmn+=-=-⎧⎨⎩6127，解出m、n而求得函数式y。
【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。
两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。
本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例8. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。
设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。
【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a∴a b ca a ba c2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪()解得：ab==⎧⎨⎪⎩⎪105∴所求椭圆方程是：x210＋y25＝1也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：b ca ca b c=-=-=+⎧⎨⎪⎩⎪105222，更容易求出a、b的值。
【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。
在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例9. 是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n n()+112(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。
（89年全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在。
由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝16(a＋b＋c)；n＝2，得22＝12(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。
整理得：a b ca b ca b C++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2442449370,解得abc===⎧⎨⎪⎩⎪31110，于是对n＝1、2、3，等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n n()+112(3n2＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：假设对n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝k k()+112(3k2＋11k＋10)；y B’当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝k k()+112(3k2＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)2＝k k()+112(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)2＝()()k k++1212（3k2＋5k＋12k＋24）＝()()k k++1212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。
此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。