九年级数学上册用解直角三角形解方位角的应用
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 解直角三角形及方位角的应用
(2)求tan∠DAE的值．
知3－练
感悟新知
知3－练
解： (1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，∴BD＝，
感悟新知
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形 知2－练
例如3图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，∠A 4 3
＝60°，解这个直角三角形．
导引：先根据∠B＝90°－∠A求出∠B的
度数，然后根据sinA＝，求 BC 出BC的长，再运用勾股定理求A出BAC的长．
感悟新知
知2－练
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－60°＝30°.
第23章解直角三角形
23.2解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形及 方位角的应用
学习目标
1 课时讲解
已知两边解直角三角形、 已知一边及一锐角解直角三角形、 已知一边及一锐角的三角函数值解
直角三角形、方位角
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 已知两边解直角三角形
感悟新知
知4－练
2．一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°的方向，继续向南航行 30 海里 到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°的方 向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是( B )(结果
保留小数点后两位，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
解直角三角形在方位角问题中的应用课件-2021-2022学年华东师大版数学九年级上册
3．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西
45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝ __1_0_5_°___．
一 知识回顾
互动课堂
解直角三角形的理论依据 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对 的边分别为a，b，c，则有： 1．三边关系：_a_2_＋__b_2_＝__c2___； 2．三角关系：_∠__A__＋__∠__B_＝__9_0_°__＝__∠__C__；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向？
解：在Rt△ABC中， ∵tan∠BAC＝BACB＝5050003＝ 33，∴∠BAC＝30°. ∴∠MAC＝∠MAB－∠BAC＝60°－30°＝30°. 因此目的地C在营地A的北偏东30°方向．
五 课堂小结
1．方位角是以观测点为中心(方位角的顶点)，以正北或 正南方向为始边，以旋转到观测目标所在的方向为 终边所形成的锐角．
2．利用方位角解决简单的实际问题的方法： (1)弄清题意，画出示意图； (2)构造直角三角形，进行有关锐角三角函数的计算．
3．边角关系： a
sinA＝cosB＝___c_____， b
cosA＝sinB＝___c_____，
a tanA＝___b_____，
b tanB＝___a_____．
二 合作探究 噪音污染是现在环境污染中很常见的一类污染，现有
一污染源在我们教室的正西方向，距教室500 m，它以10 m/s的速度沿北偏东60°方向运动，该污染源的污染半径 为300 m，教室会受到该污染源的污染吗？如果会，受到 污染的时间有多长？ 1．请根据题意，作出示意图，并根据图形，构造合适的
华东师大版 数学 九年级上册
第24章 解直角三角形
九年级数学上册《用直角三角形解实际中的方位角坡角问题》教案、教学设计
1.学生总结：邀请学生分享本节课的收获，总结方位角和坡角的概念及计算方法。
-让学生用自己的语言表述所学知识，提高他们的表达能力和逻辑思维。
2.教师点评：针对学生的总结，给予肯定和鼓励，并对本节课的重点内容进行梳理和强调。
-指出学生在学习过程中存在的问题，为后续学习提出建议。
五、作业布置
-视频内容要贴近生活，富有教育意义，能引发学生对本节课主题的思考。
（二）讲授新知
1.理论知识讲解：介绍方位角和坡角的概念，以及它们在直角三角形中的表示方法。
-结合教材，详细讲解方位角的定义，以及如何通过直角三角形来计算实际中的方位角和坡角。
2.图形演示：利用几何画板或幻灯片，动态演示方位角和坡角的变化，帮助学生形象地理解概念。
九年级数学上册《用直角三角形解实际中的方位角坡角问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解方位角和坡角的概念，掌握它们在实际问题中的应用。
-了解方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度，坡角是指地面与水平线的夹角。
-学会使用直角三角形来计算方位角和坡角。
2.能够运用三角函数（正弦、余弦、正切）解决实际问题中的方位角和坡角问题。
-例如，要求学生测量学校附近一座小山的坡角，或根据地图上的方位角描述行走路线。
3.探究性作业：鼓励学生自主选择一个实际情境，如规划一次徒步旅行路线，使用直角三角形和三角函数解决相关问题。
-此类作业旨在培养学生的探究精神和独立解决问题的能力，同时加强数学知识与实践的联系。
4.小组合作作业：布置需要小组合作完成的作业，要求学生在小组内部分工协作，共同解决一个综合性的问题。
-预习作业要难度适中，旨在培养学生自主学习的能力和良好的学习习惯。
沪教版数学九年级上册【学案】解直角三角形及方位角的应用
23.2.1解直角三角形及方位角的应用教学思路（纠错栏）学习目标：1.能利用直角三角形中的边、角关系解直角三角形.2. 能用解直角三角形的知识解决与方位角有关的实际问题；学习重点：了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。
学习难点：灵活选择适当的边角关系式.☆预习导航☆一、链接：如图，Rt△ABC中共有六个元素（三个角、三条边），其中∠C=90°，那么其余五个元素（三边a、b、c ，两个锐角A、B）之间有怎样的关系呢？填一填：（1）三边之间的关系：_____22=+ba；（2）两锐角之间的关系：∠A + ∠B = _____；（3）边角之间的关系： sinA = ,cosA = , tanA = .二、导读：1.阅读课本124到125 页，并思考以下问题：（1）解直角三角形的定义。
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程（已知的两个元素中，至少有一个是边），叫做解直角三角形。
（2）解直角三角形的所需的工具。
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，其余5个元素之间有以下关系：a.两锐角互余∠A＋∠B＝b.三边满足勾股定理a2＋b2＝c.边与角关系sinA＝＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝，tanB＝。
教学思路（纠错栏）（3）在解决第125页例2时如何添加辅助线构造出直角三角形？2.阅读课本127—128 页例5并思考：如何把实际问题转化为数学问题来解答？☆合作探究☆1.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a=3，b=3，解这个三角形．2.如图，在△ABC中，∠A = 60°，AB = 6 ，AC = 5 ，求 S△ABC3.如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55º的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25º的C处.之后,货轮继续向东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?。
华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形2 解直角三角形 第2课时解直角三角形在方位角问题中的应用
A
20 B
D
知识要点1 用三角函数求边长时的注意事项
1.当给出的已知边长恰为直角三角形的边长时，可直接计算； 2.当给出的已知边长不是直角三角形的边长时，可设未知数； 3.当图形中出现两个直角三角形时，一般会用两次三角函数.
仰角、俯角问题： 1．方位角是以观测点为中心(方位角的顶点)，以正北或正南方向为始边，
因此目的地C在营地A的北偏东30°方向．
在Rt△BCD中 tan CBD CD
BD CD 3x
BD
tan CBD 3
在Rt△ACD中，tan
CAD
CD AD
3 3
AD CD 3x
tan CAD
3x 3x 20 3
北E
C
F
60°
30°
A
20 B
D
解得，x 10 3 10 ∴渔船不会进入危险区.
方法三：
解：
AB
30
2 3
分析： 只需要计算垂线段CD的长度即可. CD即渔船与小岛的最近距离， 当CD≥10时，没有危险； 当CD＜10时，有危险.
北
60°
A
C
30°
B
D
方法一： 解： AB 30 2 20
3
过点C作CD⊥AB的延长线于点D.
则∠CBD=60°,设BD=x 在Rt△BCD中 tan CBD
CD BD
3. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条 高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心 100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；
最新人教版数学九年级上册第28章《方向角和坡角在解直角三角形中的应用》 优质PPT课件
巩固拓展
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A，
FC⊥CA于点C， 由题意得∠BAE=60°，∠BCF=30°
∴ ∠CAB=30°， ∴ ∠DCB=60°，∴ ∠DBC=30°， ∴ ∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°， ∴ ∠CAB=∠CBA，∴ AC=CB=200m，
方向的射线. 南
合作探究
探究点一
方位角问题
合作探究
例5
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65度方向， 距离灯塔80海里的A处， 它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34 度方向上的B处.
这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
合作探究
解：如图 ，在Rt△APC 中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
巩固拓展
1.如下图，在一次数学课外活动中，
测得电线杆底部B与钢缆固定点O 的距离为4米，
钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，
则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是多少米．
（结果保留根号）．
巩固拓展 3. 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，
在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处， 又测得海岛A位于北偏东30°，
合作探究
但是，当我们要测量如图所示的山高h 时，问题就不那么简单了， 这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l.
合作探究
与测坝高相比，测山高的困难在于：
坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的， 怎样解决这样的问题呢？
合作探究
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地 划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一
26.4 解直角三角形的应用 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件课件
1.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点
A,B在同一水平面上)．为了测量A、B两地之间的距离，一
架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观 察B地的俯角为α，则A,B两地之间的距离为( D )
A. 800sinα米 C．s8in00 米
B. 800tanα米 D．t8an00 米
解：过点C作CD⊥AB于点D，
,
∵AD＋BD＝AB，
,
在Rt△BCD中，
,
在Rt△ACD中，
,
,
747－600＝147 km.
答：飞机的飞行路程比原来的路程600 km远了
147 km.
解 直
仰角、俯ห้องสมุดไป่ตู้： 当从低处观测高处的目
标时，视线与水平线所成的
角
锐角叫做仰角；当从高处观
三
测低处的目标时，视线与水
2024年秋季 数学 冀教版 九年级上册
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念. 2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
重点 运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
难点 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系， 从而解决问题.
知识点2 方向角 方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫 做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角 分别表示_北__偏__东___60°，_南__偏__东___45°(或__东__南__方__向__)， __南__偏__西___80°及__北__偏__西___30°.
AD
tan 30
AD BD AB，AB 30 40 20， 60
华师版九年级数学上册《解直角三角形》24.4.2 解直角三角形在方位角问题中的应用
素养核心练
∴NC＝DN＋CD＝DN＋BM＝5 3千米， ∴AN＝ AC2＋CN2＝ （5 3）2＋52＝10(千米)． ∵城际火车平均速度为 150 千米/时，∴10÷150＝115(小时)． ∴市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要115小时．
能力提升练 ∴BE＝tan∠DEDBE＝ 33x n mile.
∵AB＝20×0.3＝6(n mile)，AE－BE＝AB，
∴x－ 33x＝6，解得 x＝9＋3 3，∴CF＝DE＝(9＋3 3)n mile. 在 Rt△CBF 中，sin∠CBF＝CBFC， ∴BC＝sinCF45°＝9＋32 3＝9 2＋3 6≈20(n mile)．
6≈2.449)
基础巩固练 解：延长 CB 交过 A 点的正东方向线于 D，如图所示，则 ∠CDA＝90°. 由题意得，AC＝30 km，∠CAD＝90°－45°＝45°， ∠BAD＝90°－60°＝30°， ∴AD＝CD＝ 22AC＝15 2km，AD＝ 3BD， ∴BD＝15 32＝5 6(km)，
能力提升练 【点拨】根据题意，得∠CAB＝65°－20°＝45°， ∠C＝40°＋20°＝60°，AB＝30 2km. 如图，过 B 作 BE⊥AC 于 E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°. 在 Rt△ABE 中，∵∠BAE＝45°，AB＝30 2km，
∴AE＝BE＝ 22AB＝30 km.
在 Rt△CBE 中，∵∠C＝60°，∴CE＝ 33BE＝10 3 km，
基础巩固练 4．【中考·营口】如图，A，B 两市相距 150 km，国家级风景区
中心 C 位于 A 市北偏东 60°方向上，位于 B 市北偏西 45°方 向上．已知风景区是以点 C 为圆心、50 km 为半径的圆形区 域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接 A，B 两市的高速公路，高速公路 AB 是否穿过风景区？通过计算 加以说明．(参考数据： 3≈1.73)
九年级数学28.2.3 解直角三角形的应用--方位角与坡度课件
β
α
2、如图，小岛A在港口P的南偏西45°
方向，距离港口81海里处，甲船从小岛
A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶
向港口；乙船从港口P出发，沿南偏东
60°方向，以18海里/时的速度驶离港
口。两船同时出发。 (1)出发后几小时两船与 港口P的距离相等？
北 P东
解直角三角形 ----方位角和坡度
知识回忆
1、仰角和俯角
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
一、方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方位角。
如：北偏东30°
北
A
30°
南偏西45° 西
O
东
45°
B
南
例1 海中有一个小岛A，它的周围8海
里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航
(2)出发后几小时乙船在
甲船的正东方向？
A
i h tan 的形式。
l
坡度越大
h
坡角越大
坡面越陡
l
稳固练习
1、一段坡面的坡角为60°，那么坡度
i0°
lE
例题尝试
例2 如图，某一拦水坝的横断面为梯形ABCD，
AD∥BC，斜坡AB的长10 2米，坝顶宽16米，
坝高10米，斜面CD的坡比i=1：3
求：（1）坡角α和β；
行。在B点测得小岛A在北偏东60°方向
上，航行12海里到达点D，这时测得小
岛A在北偏东30°方向
上，如果鱼船不改变
A
航线继续向东航行，
有没有触礁的危险？
B D
二、坡度
九年级数学上册《用直角三角形解实际中的方位角坡角问题》优秀教学案例
（一）情景创设
为了让学生更好地理解方位角和坡角在实际生活中的应用，我将在教学中创设丰富多样的情境。例如，可以引入建筑工人如何利用直角三角形知识测量建筑物高度的问题，或引导学生思考在户外徒步时如何利用方位角确定方向。通过这些具体情境的创设，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性，激发他们的学习兴趣。
3.小组合作的协同学习
本案例强调小组合作，让学生在讨论和交流中共同解决问题。这种协同学习方式有助于培养学生的团队合作精神和沟通能力。同时，学生在小组内可以互补优势，提高解决问题的效率，从而增强学习效果。4.反思与 Nhomakorabea价的深度挖掘
在案例中，我注重学生的反思与评价，引导他们总结经验教训，提高解决问题的能力。通过反思和评价，学生能够更加深入地理解方位角和坡角的知识，培养批判性思维和自我评价能力。此外，这也有助于学生形成正确的价值观，认识到数学知识在实际生活中的价值。
5.知识与能力的全面提升
本教学案例旨在实现学生对知识与能力的全面提升。通过系统的讲解、小组讨论、总结归纳等环节，学生不仅掌握了方位角和坡角的概念、性质和应用，而且提高了合作学习、问题解决、批判性思维等多方面的能力。这种全面提升的教学目标有助于培养学生的综合素养，为他们未来的学习和发展奠定坚实基础。
同时，我会强调直角三角形在实际问题中的应用，引导学生认识到数学知识在实际生活中的价值，提高他们的数学素养。
（五）作业小结
为了巩固本节课的学习成果，我会布置以下作业：
1.结合实际案例，运用直角三角形知识求解方位角和坡角，并写出解题过程。
2.总结直角三角形在实际生活中的应用，撰写一篇小论文。
五、案例亮点
3.结合实际案例，探讨方位角和坡角在生活中的应用。
学生在小组讨论中，可以相互交流、分享观点，共同解决问题。在此过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答他们的疑问。
九年级数学上册 第23章 解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第3课时 方位角与方向角、坡度与坡
23.2 解直角三角形及其应用第3课时方位角与方向角、坡度与坡角1.方位角问题【知识与技能】使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识.【教学重点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决.【教学难点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决.一、情景导入，初步认知海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题的过程中的应用.二、思考探究，获取新知如图，一艘船以20nmile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1h达到B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上，已知灯塔C四周10nmile 内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到航线AB的距离是否大于10nmile.解：过点C作CD⊥AB于点D,设CD=xnmile答：这船继续向东航行是安全的.【教学说明】利用实际问题，提高学生学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.三、运用新知，深化理解1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?解:如图,在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°.因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66海里.°°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？°≈3/°≈3/°≈12/°≈12/5)【分析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答.解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里，∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，∴AC+BC=AB=21×5，，∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里.3.某型号飞机机翼形状如图所示，根据图中数据计算AC、BD和CD的长度（精确到0.1米）.作AF垂直直线CD于F，在直角三角形AFC中，∠ACF＝∠CAF＝45°，所以有CF＝AF＝BE＝5，则有CD＝（CF＋FE）－ED＝（CF＋AB）－ED≈≈BD＝2ED＝2×≈5.8；所以CD，AC，BD的长分别约为3.4米，7.1米和5.8米.【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；会根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，清楚本题已知什么，求什么.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“”中第7题.本节课，主要是学习在方位角问题中利用三角函数解决相关问题，对于学生来说，把实际问题转化成数学问题有一定的难度.所有应该对此方面的问题多加练习.。
初三数学上册第23章解直角三角形解直角三角形及其运用(第3课时)方位角在解直角三角形中的运用课件(新版
•2．(5分)如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的 正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6 km，则AB＝ __________km.
•3．(5分)如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北 偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向 上，则灯塔P到环海路的距离PC＝___________米．(用根号表示)
பைடு நூலகம்B
•A
初三数学上册第23章解直角 三角形解直角三角形及其运 用（第3课时）方位角在解 直角三角形中的运用课件（
新版）沪科版
• 1．方位角的概念：方位是指在地理坐标中，目标方向与_•_正__南__或__ __•_正__北__方__向__的夹角，一般叙述为“南偏东×度或南偏西×度或北偏东× 度或北偏西×度”，可借助十字坐标帮助理解． • 2．方位角中的十字坐标的方向口诀是上_•_北__下_•_南__，左_•西___右 _•_东__．
九年级数学上册用解直角三角形解视角的应用
28.2.4 用解直角三角形解视角的应用一、教学目标(一)、知识与技能使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)、过程与方法逐步培养分析问题、解决问题的能力．(三)、情感态度与价值观培养学生用数学的意识，渗透理论实际的观点．二、重、难点重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、教学过程(一)明确目标1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： tanA=AA ∠∠的对边的邻边， cotA=A A ∠∠的邻边的对边(二)整体感知在讲完查“正弦和余弦表”以及“正切和余切表”后，教材随学随用，先解决了本章引例中的实际问题，然后又解决了一些简单问题，至于本节“解直角三角形”，完全是讲知识的应用与实际的．因此本章应努力贯彻理论实际的原则．(三)重点、难点的学习与目标完成过程1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)．解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．解；在Rt△ABC中sinB=AC AB∴AB=1200sin0.2843ACB==4221(米)答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式sinA=A∠的对边斜边来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．3．巩固练习如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化为数学问题，因此在学生充分地思考后，应引导学生分析：1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．2．请学生结合图(6-18)说出已知条件和所求各是什么？答：已知∠B=8°14′，AC=43.74-2.63=41.11，求AB．这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．对于程度较高的学生，还可以将此题变式：当船继续行驶到D时，测得俯角β=18°13′，当时水位为-1.15m，求观察所A到船只B的水平距离(精确到1m)，请学生独立完成．例2 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．解：过A作AE∥CD，于是AC=ED，AE＝CD．在Rt△ABE中。
九年级数学上册用解直角三角形解方位角的应用
用解直角三角形解方位角的应用一、教学目标(一)知识与技能巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角的问题．(二)过程与方法逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)情感态度与价值观培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、重、难点重点：能熟练运用有关三角函数知识．难点：解决实际问题．三、教学过程(一)明确目标讲评上课节课后作业(二)重点、难点的学习与目标完成过程出示例题．例1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：1．例题现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E 在一条直线上。
学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．∴DE=BD·cosD=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，提到角度问题，初一教材曾提到过方位角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方位角的实际应用问题．补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．学生虽然在初一接触过方位角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此在学生独自尝试之后应加以引导：(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．解：由图6-31可知，∠AOB=60°，∠OAB=90°．∴AB=OA•tan60°从点A行到B点所需时间为17.3210≈17.32(海里).答：船到达点B的时间为1小时44分．此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？如果时间允许，可组织学生探讨此题，以加深对方位角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．(三)小结与扩展请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．四、布置作业--------------------- 赠予---------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了被你翻开又合起被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世--------------------- 谢谢喜欢--------------------。
初中九年级上册数学课件： 6解直角三角形的应用1-方位角
---方位角问题
方位角
指正南或指正北的方向线与目标方
北
A
向线构成小于900的角,叫做方位角.
30°
例如：点A在O的北偏东30°方向
45°
西
东
O
点B在点O的南偏西45°方向
45° 79°
（或西南方向）
B
南
你能指出西北方向吗？
你能指出南偏东79°方向吗？
例1（2014山东聊城）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈 妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）． 小船从P处出发，沿北偏东60°划行200m到达A处，接着 向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈 所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多 少m（精确到0.1m）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°
（ 3 1.732 ， 2 1.414 ）
P
E
F
30°
A
C
45°
B
找准三角形,优选关系式是关键
优 已知锐角求锐角，互余关系要记牢； 选 已知两边求一边， 勾股定理最方便；
已知斜边求直边， 用乘结合正余弦；
关 已知直边求斜边， 用除还需正余弦； 系 已知直边求直边， 理所当然用正切； 式 已知两边求一角， 函数关系认真选；
2400
2400
2.气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设 为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=100 6 km．台 风中心从点B以40 km/h的速度向正北方向移动，经5 h后到达 海 面 上 的 点 C 处 ． 因 受 气 旋 影 响 ， 台 风 中 心 从 点 C 开 始 以 30 km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图 所示的直角坐标系．
2021秋九上册26、4解直角三角形的应用2用解直角三角形解方位角的应用授课课件新版冀教版
感悟新知
知识点 2 两个不同点的方位角问题
知2－练
例2 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯 塔100 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到 达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处． (1)在图中画出点B，并求出B处与 灯塔P的距离(结果取 整数)；
感悟新知
(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置 (参考数据：sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，
知1－练
2
∴ 3 x＋x＝15.解得x＝ 15(3 3 ) .
3
2
∴PB＝ 15(3
3)
n mile.
2
∴航行时间为 15(3 3) 30 3 3 (h).
2
4
即该渔船从B处开始航行 3 3 h， 离观测点A
4
的距离最近．
感悟新知
1 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向 知1－练 的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家 北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位 置到公路的距离AB是( ) A．250米 B．250 3 米 C. 500 3 米 3 D．500 2 米
tan 53°≈1.33， 2 ≈1.41)．
知2－练
感悟新知
解：(1)点B的位置如图所示． 根据题意，得∠A＝53°，∠B＝45°. 在Rt△APC中，
∵sin A＝ PC . PA
∴PC＝PA·sin 53° ≈100×0.80 ＝80(n mile)．
知2－练
感悟新知
方法一：在Rt△BPC中，∵sin B＝ PC ,
知2－练
知∴识PB点
PC两个不同80点的方位角问P题B sin B sin 45。 80 2 80 1.41
沪科九年级数学上册《方位角在解直角三角形中的运用》课件
解：如图，过点 B 作 BD⊥CA，交 CA 的延长线于点 D.由题意，得
∠ACB＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－60°＝15°，∴∠DAB＝
∠DBA＝45°.在 Rt△ADB 中，AB＝12 海里，∠BAD＝45°，∴BD＝
AD＝AB·cos45°＝12× 22＝6 2(海里)．在 Rt△BCD 中，CD＝tanB3D0° ＝6 2＝6 6(海里)．∴AC＝6 6－6 2≈6.2(海里)．答：A，C 两地之间
23．2 解直角三角形及其运用
方位角在解直角三角形中的运用
1．方位角的概念：方位是指在地理坐标中，目标方向与__正__南__或__ __正__北__方__向___的夹角，一般叙述为“南偏东×度或南偏西×度或北偏 东×度或北偏西×度”，可借助十字坐标帮助理解．
2．方位角中的十字坐标的方向口诀是上_北___下_南___，左_西___右 __东__．
A．7 2 海里 B．14 2 海里 C．7 海里 D．14 海里
7．(10 分)如图，一艘海上巡逻船在 A 地巡航，这时接到 B 地海上指挥 中心紧急通知：在指挥中心北偏西 60°方向的 C 地，有一艘渔船遇险，要 求马上前去救援，此时 C 地位于 A 地北偏西 30°方向上，A 地位于 B 地北 偏西 75°方向上，A，B 两地之间的距离为 12 海里．求 A，C 两地之间的距 离．(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45，结果精确到 0.1)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3 3 的距离约为 6.2 海里
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
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用解直角三角形解方位角的应用
一、新课导入
1.课题导入
情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯
塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有
多远？
问题：怎样由方位角确定三角形的内角？
2.学习目标
能根据方位角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.
3.学习重、难点
重点：会用解直角三角形的知识解决方位角的相关问题.
难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材例题.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.
（4）自学参考提纲：
①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈
0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
a.根据已知在图中标出方位角：如图所示.
b.根据方位角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A= 65°，∠B= 34°，PA= 80 .
c.作高构造直角三角形：如图所示.
d.写出解答过程：
在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.
在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=
72505
sin sin34
.
PC
B
=
︒
≈130（n mile）.
②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，又继续航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.
∴AE=AD·sin60°=12×3
=63(海里)＞8海里.
∴无触礁的危险.
2.自学：
结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.
②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化：利用解直角三角形的知识解方位角问题的一般思路.
1.自学指导
（1）自学
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本的内容归纳，进行反思总结.
（4）自学参考提纲：
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：
a.将实际问题抽象为数学问题；
b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；
d.得到实际问题的答案.
2.自学：
学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生解答问题的情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：
三、评价
1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？
2.对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.的自我评价（教学反思）.
本课时应先认知“方位角”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.
一、基础巩固
1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）
A.南偏东50°
B.南偏东40°
C.北偏东50°
D.北偏东40°
2.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，锐角B的正弦值sinB=
5
13
，则这个菱形的
面积为65 .
3.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.
解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,
AB=25×4=100.
在Rt△ABC中，BC=1
2
AB=50，AC=
3
AB=503.
在Rt△ACP中，CP=AC=503. ∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile).
二、综合应用
4.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）.
解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,
∴DE=BE·tan30°=5
3
3
,BD=
10
3
cos303
BE
=
︒
≈5.77(m).
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA=4
5°,
∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=5
3
3
+3.40-5.00≈1.29(m).
三、拓展延伸
5.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?
解：如图，∠PAB=30°,AP=32.∴PB=1
2
AP=16(n mile).
∴PB＜162n mile.∴轮船有触礁危险.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=162,∴∠PAC=45°,∴α=15°.
∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.
--------------------- 赠予---------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
--------------------- 谢谢喜欢--------------------。