湖南长沙长郡中学2018-2019学年度高二第一次月考数学复习卷二
湖南省长沙市长郡中学2019届高三月考(二)数学(理)试题(含答案)
长郡中学2019届高三月考试卷（二）数学（理科）时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．φB．{0，1，2) C.{0,1,2,3) D.(-∞,3]∪{4}2．已知函数f(x)= ，那么f(8)的值为（）A．3 B．4 C．15 D．163．当n是正整数时，用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2时，从n=k 到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为（）A. k(3k+4) B．（k+1)(3k+l) C.(k+1)3k D．（k+1)(3k+4)4．直角△ABC(∠A=90°)的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）A．B．- C．D．-5．已知f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在(0，+∞)上递增，则（）A.f(20.7)<f(-log25)<f（一3)B.f(-3)<f(20.7)<f(-log25)C．f(一3)<f(-log25)<f(20.7) D.f(20.7)<f(-3)<f(-log25)6．某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优的概率是0. 75，连续两天为优的概率是0.6，已知某天的空气质量为优，则随后一天空气质量为优的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.457．要得到函数f(x) =2sinxcosx，x∈R，只需将函数g(x)=2cos2x-l，x∈R的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．8 B．-3 C．3 D．-249．△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若则tan(A-B)的最大值为（）A．B．C．1 D．10.函数在x∈(1，2)内存在极值点，则（）A．B．C．D．11.下表中的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列．在表中，“361”出现的次数为（）A. 12B. 6C. 24D. 4812.若函数f(x)满足f(x)=x(f'(x)一ln(x)，且，则+1的解集为（）A．（一1，+∞）B．C．(0，) D．（一∞，一1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a=（3，-1），b=（1，m），a∥（a-2b），则m=____．14．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布（100，σ2）(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为．15．设a= ，则的展开式中常数项是．16．已知A,B是函数f(x)= （其中常数a>0）图象上的两个动点，点P(a，0)，若的最小值为0，则函数f(x)的最大值为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=bcosC，a2-c2=2b2．(1)求C的大小；(2)若△ABC的面积为21，求b的值．18.（本小题满分12分）已知数列{a n}满足：a n≥1，S n是其前n项的和，且2S n=a n2+n．数列{b n}满足b l= -a2，b n+1=b n+a n·．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的通项公式．为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；(2)用ξ，η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为ξ和η之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z(单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y=a·x b（a，b>0）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；(2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据（u l，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=β·u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为已知函数f(x)=(x+b)（e x-a），(b>0)，在（-1，f(-l)）处的切线方程为(e-l)x+ey+e-l=0．(1)求a，b；(2)若方程f'(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2-x1≤1（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点P（0，一）且倾斜角为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|+2+a，g(x)=|x-l|+|2x+4|.(1)解不等式|g(x)|<6；(2)若存在x1、x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(理科)一、选择题。
1.设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A. 1B. 12-C.12D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2.已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A. [2,1][1,2]--UB. []1,2C. []0,3D. []1,8-【答案】D 【解析】 【分析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样.【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A.3B. 3-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=3.【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (.1)-∞- B. (3,)-+∞C. (13)-， D. ()3.1-【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5.已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D.31. 74%【答案】B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=.【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ） A. 2- B. 2C. 23-D.23【答案】D 【解析】【分析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31xf x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆.8.函数()cos x f x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A. 0B. 1-C. 1【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.512π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B.【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10.已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ） A. 3812π- B. 44π+ C. 3412π+D.3412π- 【答案】C 【解析】 【分析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出2101(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：0023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，由积分的几何意义得：1(),4f x dx π==⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力.11.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. 2-和0 B. 0 和1C. 1±D. 2±【答案】A 【解析】 由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x =,因此ππsin()1π()36k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A. 点睛：求函数解析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴12.已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725B.925C.1625D.2425【答案】B 【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=. 点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D.()()0f b g a <<【答案】A 【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。
2019学年湖南长郡中学高二下第一次检测理数学卷【含答案及解析】
2019学年湖南长郡中学高二下第一次检测理数学卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________、选择题1. 已知集合 '： .，「―门3 ，若V •，则实数J 的值为（ ）A . 1 ______________________B . 2 _____________C . 4___________________ D . 1 或 2 (1 + /1+J-1 + j4.下列叙述中正确的是（）A •若仇R ，则“加一驻+亡工0 "的充分条件是"方—4峦€0 ”B .若a t b t ceR ，则“初】 ”的充要条件是“口兀 ”C .命题“对任意.…，有…-”的否定是“存在 "：•,有-_ ,D . 是一条直线， 是两个平面，若〔一仁丄於，则 .5.若一•- ，则下列结论不正确的是（）n hA - ?'■ ------------B .，冷：U L ----------------------C - _ '；：2. 已知-是虚数单位，则3.曲线的参数方程为A •线段 D.射线+ 2厶、， 、r（三是参数），则曲线是.双曲线的一支.圆D.同6. 设抛物线| 的焦点为丁，准线为,「为抛物线上一点，,；和I.匸为垂足，如果直线■.-的斜率为"，那么卜打（）A.叮; ------------- B . 8 ------------------------------ C —— J；-----------------------------------D. 167. 禾忧一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形…；…是边长为1的正方形，，且|平面…,，，［，则球体毛坯体积的最小值应为（）A -•fl/TB C~T~卡mD.二Tf8. 已知「- 为.-上的连续可导函数，且讣」，则函数- ■■的零点个数为（）A. 0 _________ B . 1 _____________ C . 2 ________________________ D .不能确疋9. 已知貞3打是球面上的五个点，其中厶在同一圆周上，若.不在:'■■■-所在的圆周上，则从这五个点的任意两点的连线中取出2条，这两条直线是异面直线的概率是（）1 3 、A. - ________ B . - ____________ C . — _____________$ $ 15D.—1510. 已知集合F H，在集合中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记这个三位数为.■，现将组成.■的三个数字按从小到大排成的三位数记为-•，按从大到小排成的三位数记为• ‘ （例如:-，，则「1.'），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出.的值为（）M ) *r=A/输单［卵:船］A. 792 _______________ B . 693 ___________ C . 594 ______________ D . 49511. 已知J「为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，以.•为圆心，『耳|为半径的圆与以 F 为圆心，此斤|为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（）A •乜 ___________B . 2 ______________________C . 3 ___________D . 412. 已知『"：，八：一- 丁，对任意的广” I ，存在实数T —1 T满足I • ■' ；■，使得.，/ / I . ，- I .：,则的最大值为（）A . 2 ______________________B . 3 _____________________C . 4 ________________ D. 5二、填空题13. 已知随机变量，若尸（,5>4）= 04 ，贝HO2 _____________________ .14. 若•一：的展开式所有的系数之和为81,则直线与曲线I 所围T成的封闭区域面积为__________ .15. 已知双曲线：的离心率为2,左、右焦点为，点在.上，若|F r^|=2|F r i|，则心乙砂= _______________________ .16. 已知口b =丄d■&匸（0 I），贝V —-——+ —-—的最小值为________「，' 1-/7 }~h三、解答题17. 已知点：「满足•，，I ….且点：的坐标为1一临U 1）.（1 ）求过点' -的直线的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于，点：都在（1 ）中的直线上.18. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30名女20名），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表：（单位：人）（2 ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为-，求的分布列及数学期望T I .附表及公式19. 如图，在三棱椎一圧「一工严二中，侧棱：底面二.，分别是线段-，钉的中点，过线段的中点，•作—的平行线，分别交，：于点….（2）求二面角兀—m —\：的余弦值.20. 如图，已知椭圆，:—…'的右焦点为；，点」分别是椭圆【的上、4下顶点，点.•是直线；上的一个动点（与-轴交点除外），直线厂：交椭圆于另一点■「.（1）当直线• W过椭圆的右焦点.■时，求- .■ . ' /的面积；（2）记直线■成.肢-的斜率分别为• ，求证：.m,为定值.21. 已知函数，I I：」-'I . 在其定义域内有两个不同的极值点•（1 ）求.的取值范围；（2）记两个极值点分别为,且，已知，若不等式「"丁•■:■坊恒成立，求一，的范围•22. 如图，.•是圆夕卜一点，—.是切线，1为切点，割线与圆■:相交于点•’・，- - ，「为「的中点， /的延长线交圆丿于点参考答案及解析第1题【答案】证明：（1）」-—; （2） 丫厂疔厂一、可】. 23. 在直角坐标系 ，：：「中，以原点为：极点，以 轴正半轴为极轴，圆：的极 ..' -、 "-■ ■-—. ＜的极坐标方程化为直角坐标方程； 坐标方程为 (1) 将圆 过点 克m 作斜率为i 直线 与圆交于两点，试求一 的 24. 已知函数 /（A'）'|-V-^| + |.V-1 . （1 ）当•.=；时，求不等式」 的解集；（2）若，• 对 … 恒成立，求实数■的取值范围I)【解析】趣井析：宙题盍,ff(?:-3a + 5 = l或日：一% + 5 =鼻且应：一3 口+5于0 ,凰卩农「一3口+ 4 = 0或口、一3卫+丄=0且灯：一2c工0 , J?得疔=1或灯=*!;故选D.第2题【答案】* I【解析】试题分析：由题鼠得亡1=丄一丄=—归©= 土L ,故选c.l+r 1 + : 14? 2 2第3题【答案】【解析】r v>2祇盼析：由題意，得A-V = 5 ,且,即该曲线是一条射线；敌选D.第4题【答案】j【解析】趣井析：在一亍+2工一1中，满足护一4白c竺0 ,当一F+2工一1工0不恒竝，故踽知当0=0 吋』由心不能得到>cb2*故0错貝命题作姙意十"，有,->0 "的否走是肆存在X E J? , .V2 < 0 W ,故匚错读由线面的垂直关系和面面平行的判定，可知选项证确；故曲.第5题【答案】第8题【答案】第7题【答案】【加试题分析：当四極锥为球的内接四核槪寸，球体毛坯体积最小，而四極键尸-肿B 是棱长为1的正方 体的一韶分，即该四棱锥的外接球即為正方体的外接球，则2£ =石，R=— , Wig 球体毛坯体积? 为r = -^x （—）J =-^ 刁故选D -■FM【解析】 【解析】试题分折：因为丄,a b£ 0所以，ZO $则（7* < ab<b~ p 且a + bvO ,故选项直、口、匚正确p 而g|*|®=（白4刿,改噹误』敬选九第6题【答案】 B【解析】试题井析；设叽均则,则去*2*2,则 |PFp%8 ;故选B.试题分析：因,所•则矗刃=讥工尸心》0)在(Q+©为增函数I且如七如1 ,即函数黑(幼=识町町(2。
长郡中学2018-2019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)答案
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湖南省长郡中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题文
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(文科)时量:120分钟 满分:100分 一、选择题:本大题共15个小题.每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求. 1.x > y 是lgx >lgy 的A.充分不必要条件 B 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ★2.设集合A={}{}12x x B x x a <<=<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 A. {}2a a ≤ B. {}1a a ≤ C. {}1a a ≥ D. {}2a a ≥ 3.若点P(-3.4)是角α的终边上一点.则sin 2α= A. 2425-B. 725-C. 1625D. 85 4.曲线3()21f x x x =-+在点(l ，f (1))处的切线方程为A. y =x -1B. y= -x +1C. y =2x -2D. y = -2x +2 5.记等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 5=3，S 13=91，则a 1+a 11= A7 B. 8 C. 9 D. 10 6.等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，已S 2 =a 1 +2a 3，a 4=1，则S 4= A.78 B. 158C. 14D.15 7.函数()sin()f x x ωϕ=+ (其中02πϕ<<)的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象.只需把sin y x ω=的图象上所有点A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C 向左平移6π个单位长度 D.向左平移12π个单位长度8.己知△ABC的内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，且2c o s (c o s c o s )C a B b A c a b +===，则c =C. 9.若数列{}n a 满足71()2,83,8n n a n n a a n -⎧-+>⎪=⎨⎪≤⎩，若对任意的n N *∈都有n a >1n a +，则实数a的取值范围是A. 1(0,)3B. (0，12) C. 11(,)32 D. 1(,1)210.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4cos 5A =，且边5,c a ==边b=A. 3或5B.3C.2或5D.511.已知函数32()2f x ax x x c =-++在R 上有极值点，则a 的取值范围是 A. 4(0,)3 B. (,0)-∞ C. 4[0,)3 D. 4(,)3-∞ ★12.已知数列{}n a 的通项公式*12log()n n n a n N +=∈，设其前n 项和为S n ，则使S n > -4成立的自然数n 有A.最大值14B.最小值14C.最大值15D.最小值1513.在△ABC 中，60A ︒∠=，b =1，其面积S =∆A BC 外接圆直径为B. 3314.设数列{}n a 的前n 项和为Sn ，若2222312222244123na a a a n n++++=-，且0n a ≥，则S 100等于A. 5048B.5050C. 10098D. 10100 ★15.已知函数y =f (x )，对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>，其中'()f x 是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是()()34f ππ->-()()34f ππ<()()34f ππ-<-()()34f ππ-> 二、填空题:本大题共5小题.每小题3分.共15分.16.已知复数2()z a ai a R =+∈，若z =z 在复平面内对应的点位于第四象限，复数z=________。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期3月第一次模块检测数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期3月第一次模块检测数学（理）试题一、单选题 1．已知复数()()12i i z i-++=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可求得z 的坐标得答案. 【详解】2(1)(2)3(3)13i i i i iz i i i i -++-+-+====-----Q ,z ∴在复平面内对应的点的坐标为(1,3)--,在第三象限.故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘除运算和复数的几何意义，属于基础题. 2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}{}()2451357=U A B C A B ==⋂，，，，，，，则A ．{}7B ．{}35，C ．{}1367，，，D ．{}137，， 【答案】D【解析】全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}{}2451,,3,6,7U A C A ==，，，. {}1357B =，，，.(){}1,3,7U C A B ⋂=.故选D.3．已知两个球的体积之比为8:27，那么这两个球的表面积之比为（ ） A ．2:3 B ．4:9C D ．【答案】B【解析】根据体积比等于相似比的立方,求出两个球的半径的比,表面积之比等于相似比的平方,即可求出结论. 【详解】两个球的体积之比为8:27,根据体积比等于其相似比的立方,表面积之比等于相似比的平方,所以两球的半径比为2:3,从而这两个球的表面积之比为4:9. 故选：B. 【点睛】本题考查相似比的知识，球的表面积、体积与其相似比的关系，属于基础题. 4．已知函数()sin cos f x x x =，则()f x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】A【解析】先化简函数1()sin 22f x x =,再由函数的奇偶性的定义可得选项. 【详解】()sin cos f x x x =Q ,1()sin 22f x x ∴=, 因为()f x 的定义域为R ，关于坐标原点对称， 又11()sin(2)sin 2()22f x x x f x -=-=-=-, 1()sin 22f x x ∴=是奇函数,故选：A. 【点睛】本题综合考查了二倍角公式和函数的奇偶性的定义,属于基础题.5．过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A 、B 两点，且6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．()0,2C ．(D ．(【答案】D【解析】由双曲线的通径与弦长AB 的关系,即可求得b 的取值范围.【详解】由题意过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ,B 两点,使得||6AB =,A ,B 位于双曲线的左支,当直线的斜率不存在时, AB 最短, 此时线段AB 称为双曲线的通径， 222b AB b a==，要使6AB =这样的直线有且仅有两条,则需222||6b b AB a=<=,解得06b <<,故选：D. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，关键在于理解有且只有两条直线的含义和需满足的条件，属于中档题.6．已知12,e e u r u u r 是夹角为90o 的两个单位向量，且12123,2a e e b e e =-=+r u r u u r r u r u u r ，则向量,a b r r 的夹角为 A ．120o B ．60oC ．45oD ．30o【答案】C 【解析】【详解】 由题意可得：且：()()222122113265a b e e e e e e ⋅=-⋅+=-=r r u r u u r u r u u r u r u u r ，设两向量的夹角为θ，由题意可知：2cos ,452a bb a θθ⋅==∴=⨯o r r r r .本题选择C 选项.7．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15B ．30C ．31D ．64【答案】A【解析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果. 【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-= 故选:A 【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.8．阅读下面的流程图，若输入的a ，b ，c 分别是5，2，6，则输出的a ，b ，c 分别是（ ）A ．6，5，2B ．5，2，6C ．2，5，6D ．6，2，5 【答案】A【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：5,2,6,5,6,2,5a b c x a c b =======，输出6,5,2a b c ===【考点】程序框图9．已知函数()22f x x x b =-+在区间()2,4内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ）A ．RB ．(),0-∞C ．()8,-+∞D ．()8,0-【答案】D【解析】分离参数，求得函数22y x x =-+在区间上的值域，即可容易判断. 【详解】因为函数()22f x x x b =-+在区间()2,4内有唯一零点，故22b x x =-+在区间()2,4上只有一个根.又22y x x =-+在()2,4上单调递减，其值域为()8,0-. 故要满足题意，只需()8,0b ∈-. 故选：D . 【点睛】本题考查由函数零点的范围求参数范围，属基础题.10．在ABC ∆中，已知120,1,2A b c ︒===，则a 等于（ ）A B CD 【答案】C【解析】试题分析：在ABC ∆中，由余弦定理得22202cos 14212cos1207a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =C ．【考点】余弦定理．11．已知()2a cosx dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638B ．212- C ．6316D ．638- 【答案】B 【解析】【详解】()20a cosx dx π=-⎰=20 |sinx π-=﹣1，则二项式912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为T r+1=﹣9r C •921•2rr x -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令9﹣2r=3，求得r=3， ∴展开式中x 3项的系数为﹣39C •18=﹣212-，故选B 【点睛】本题考查集合的混合运算.12．记()f n )*n ∈N 的整数，如：()11f =，()21f =，()32f =，()42f =，()52f =，…，若()()()()11114034123f f f f m ++++=L ，则正整数m 的值为（ ） A ．20162017⨯ B ．22017C ．20172018⨯D ．20182019⨯【答案】C【解析】()f n )*n ∈N 的整数，求出满足*(),f n x x N =∈的n 的个数，进而求出()f n x =时倒数和，根据已知倒数和确定()f m 对应的n ，即可求出结论. 【详解】设**11,,(),22x N n N f n x x x ∈∈=-<<+， 221144x x n x x -+<<++，则221x x n x x -+≤≤+， 故满足()f n x =的n 的值共有2x 个， 分别为2221,2,,x x x x x x -+-++L且222111122(1)(2)()x f x x f x x f x x x+++=⨯=-+-++L ， ()()()()1111403422017123f f f f m ++++==⨯L ， 所以()2017f m =是2017x =的最后一项， 所以22017201720172018m =+=⨯. 故选:C. 【点睛】本题考查数列与函数的关系，以及数列的应用，注意分组求和在解题中的运用，属于较难题.二、填空题13．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人. 【答案】100【解析】试题分析：因为按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20进行调查，已知从其他教师中抽取10人，所以从高级教师和中级教师中抽取了201010-=人，设全校共有老师x 人，则全校人数为10202030x=+，解得100x =．【考点】分层抽样的应用．14．已知0m >，0n >，且4m n +=，则mn 的最大值是__________． 【答案】4【解析】由基本不等式可得mn 2()2m n +≤=4，注意等号成立的条件即可． 【详解】∵m ＞0，n ＞0，且m +n ＝4， ∴由基本不等式可得mn 2()2m n +≤=4， 当且仅当m ＝n ＝2时，取等号， 故答案为4 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．15．若幂函数()y f x =的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25f 的值是______. 【答案】15【解析】设出幂函数()f x x α=，（α为常数），把点代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可 求()25f 的值． 【详解】设幂函数为()f x x α=，因为幂函数的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以193α=，解得：12α=-，于是所求的幂函数为：12()f x x -=，故121(25)255f -===， 故答案为：15. 【点睛】本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法，属于基础题．16．已知动点(),P x y 满足：22240(1)(1)1x y x xx y y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪+-++≥⎪⎩，则226x y x +-的最小值为______. 【答案】409-【解析】由21||0y y y y ++>+≥，可得222111x x y y y y +-≥=+-++，再由函数22()11f x x x x x=+-=++在()0∞，+上是减函数，可得出x y ≤，从而得到约束条件为240x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，作出可行域由点到直线的距离公式得到(3,0)P 到区域中点A 的距离最小，可得答案. 【详解】∵21||0y y y y ++>+≥，∴222111x x y y y y +-≥=+-++，∵函数22()11f x x x x x=+-=++在()0∞，+上是减函数，∴x y ≤，∴原不等式组化为240x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，该不等式组表示的平面区域如下图：∵()222236+9x y x y x +-=--，由点到直线的距离公式可得,(3,0)P 到区域中点A 的距离最小，由24x y x y+=⎧⎨=⎩得点44,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入点A 的坐标得222244440663339x y x ⎛⎫⎛⎫+-=+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以226x y x +-的最小值为409-. 故答案为：409-. 【点睛】本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义，属于中档题.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）．（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM V 面积的最大值．【答案】（1）26cos 8sin 210ρρθρθ-++=（2）9+【解析】（1）消去参数α，将圆C 的参数方程，转化为普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==求得圆C 的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及点到直线的距离公式，求得M 到直线AB 的距离，由此求得三角形ABM 的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），所以其普通方程为()()22344x y -++=，所以圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=. （2）点(),M x y 到直线AB ：20x y -+=的距离d =故ABM V 的面积1|||2cos 2sin 9|924S AB d πααα⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM V 面积的最大值为9+【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，考查点到直线距离公式，属于中档题.18．已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin a B =. （1）求角A 的大小；（2）若02A π<<，6a =，且ABC V 的面积S =，求ABC V 的周长. 【答案】（1）3A π=或23π；（2）14【解析】(1)由2sin a B =,根据正弦定理化简即可求角A 的大小.(2)利用“整体”思想,利用余弦定理求解b c +的值,即可得ABC V 的周长. 【详解】（1）由正弦定理得2sin sin sin 2A B B A =⇒=， ∵0A π<<，∴3A π=或23π. （2）∵02A π<<，∴3A π=，∵1sin 2S bc A ===，∴283bc =， 由余弦定理得，2222362cos ()383a b c bc b c bc b c π==+-=+-⇒+=.故ABC V 的周长14l a b c =++=. 【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理解三角形，关键在于由已知条件，选择合适的公式进行边角互化，属于中档题.19．某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计和频数分布表和频率分布直方图如下：[)40,4530[]45,5010合计100（1）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[)35,40内的人数X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）5,20x y==，频率分布直方图见解析；（2）详见解析.【解析】【详解】试题分析：(1）利用频率分布直方图的性质即可得出．（2）各层之间的比为5：20：35：30：10=1：4：7：6：2，且共抽取20人，可得年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人．X可取0，1，2，P（X=k）=2137220k kC CC-,即可得出．试题解析：由图知，(2530)0.0150.05P x≤<=⨯=，故1000.055x=⨯=；()(3035)10.050.350.30.110.80.2P x≤<=-+++=-=故1000.220y=⨯=，0.20.045==频率其组距.（2）Q 各层之间的比为5:20:35:30:101:4:7:6:2=，且共抽取20人， ∴年龄在[)35,40内层抽取的人数为7人.X 可取()()2111313722202078910,1,2,0,1190190C C C P X P X C C ======， ()27220212190C P X C ===，故X 的分布列为 X0 1 2 P7819091190 21190故912113312190190190E x =⨯+⨯=（）. 20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明:PB ∥平面AEC .（2）设二面角D AE C --为60o ，1AP =，3AD =E ACD -的体积.【答案】（1）见解析（2）38【解析】(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO . 根据四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，E 为PD 的中点，利用三角形的中位线可得EO ∥PB ，再利用线面平行的判定定理证明.(2) 根据PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，建立空间直角坐标系A xyz -.设()(),0,00B m m >，再求得平面DAE ， 平面CAE 的法向量，根据二面角D AE C--为60o ，利用1cos ,cos602m n ==o u r r ，解得32m =.，然后利用锥体体积公式求解. 【详解】(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ，且EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2) 因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，所以,,AD AB AP 两两垂直，以A 为坐标原点，AB u u u r 的方向为x 轴的正方向，AD u u u r 的方向为y 轴的正方向，AP u u u r 的方向为z 轴的正方向，AP u u u r为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -. 设()(),0,00B m m >，则()()313,0,0,,3,022D E C m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以310,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()3,0,AC m =u u u r设(),,n x y z =r 为平面ACE 的法向量，则30031002mx n AC n AE y z ⎧=⎧⋅=⇒⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ， 可取)3,3n m m =-r ， 又()1,0,0m =u r 为平面DAE 的一个法向量，由题设知1cos ,cos602m n ==o u r r即2231233m m =++，解得32m =. 因为E 为PD 的中点，设F 为AD 的中点， 则PA ∥EF ，且1122EF PA ==，EF ⊥面ACD ， 故有三棱锥E ACD -的高为12EF =， 三棱锥E ACD -的体积111313333222ACD V S EF ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 所以三棱锥E ACD -的体积为3. 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理，二面角和三棱锥的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）根据离心率为3，即3c a =，V OAB 的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.【详解】 （Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 设，则. 当时，直线的方程为. 令，得，从而. 直线的方程为. 令，得，从而. 所以. 当时，， 所以. 综上，为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.22．设函数()2x f x x a =-（0a >，且1a ≠），()()'g x f x =，（其中()'f x 为()f x 的导函数）.（1）当a e =时，求()g x 的极大值点；（2）讨论()f x 的零点个数.【答案】（1）ln 2；（2）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）令()0g x ¢=求出()g x 的极值点，判断()g x '的符号变化即可得出答案；（2）对a 和x 进行讨论，利用零点的存在性定理，结合函数的图象判断零点的个数． 试题解析：（1）()()2,20ln2x xg x x e g x e x =-=-=⇒='， 当ln2x <时，()'0g x >；当ln2x >时，()'0g x <，故()g x 的极大值点为ln2；（2）（i ）先考虑1a >时，()f x 的零点个数，当0x ≤时，()f x 为单减函数， ()1110f a-=->；()010f =-<，由零点存在性定理知()f x 有一个零点； 当0x >时，由()0f x =得 22ln 2ln ln ln x x x a x x a a x =⇔=⇔=，令()2ln x h x x =，则()()221ln 'x h x x-=. 由()'0h x =得，x e =，当0x e <<时，()'0h x >；当x e >时，()'0h x <， 故()()max 2h x h e e==，()10h =，且()0h x >总成立，故()h x 的图像如下图， 由数形结合知， ②若2ln a e >即2e a e >时，当0x >时，()f x 无零点，故x ∈R 时，()f x 有一个零点； ②若2ln a e =即2e a e =时，当0x >时，()f x 有一个零点，故x ∈R 时，()f x 有2个零点； ③若20ln a e <=即21e a e <<，当0x >时，()f x 有2个零点，故x ∈R 时，()f x 有3个零点.（ii ）再考虑01a <<的情形，若01a <<，则11a>，同上可知，当21eea>即20ea e<<时，()f x有一个零点；当21eea=即2ea e=时，()f x有2个零点；当211e ea<=即21ee a<<时，()f x有3个零点.综合上述，①当2ea e>或20ea e<<时，()f x有一个零点；②当2ea e=或2ea e=时，()f x有2个零点；③当21ea e<=或21ee a<<时，()f x有3个零点.点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二(上)入学数学试卷
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分. 1.（3分）已知集合{}1,1A =-，{}1B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.1或1-或02.（3分）下列命题中正确的是（ ） A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角相等C.相等的角终边必相同D.不相等的角其终边必不相同3.（3分）已知函数()3xg x t =+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ） A.–1t ≤B.1t <-C.3t ≤-D.3t ≥-4.（3分）等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于（ ） A.99B.66C.144D.2975.（3分）如图，该程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.15C.31D.636.（3分）下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行； （2）平行于同一平面的两个平面平行； （3）垂直于同一直线的两直线平行； （4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ） A.1B.2C.3D.47.（3分）如图所示，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若6CD =，3AB =，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（ ）A.90︒B.45︒C.60︒D.30︒8.（3分）函数tan 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A.242,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B.52,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C.244,433k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.5,33k Z k k ππππ⎛⎫+⎪⎭-∈⎝9.（3分）若仅存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线():sin 06C y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ） A.17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.410,33⎛⎤⎥⎝⎦ 10.（3分）直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A.1B.1-C.2-或1-D.2-或111.（3分）在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知()22b c b c =+，若a =7cos 8A =，则ABC △的面积等于（ ）D.3 12.（3分）若函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A.()0,1B.()–1,0C.(),0-∞D.()(),01,-∞+∞13.（3分）已知圆()()22:4325T x y -+-=，过圆T 内定点()2,1P 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 面积最大值为（ ）A.21B. C.212D.4214.（3分）设a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列，则（ ） A.a ，b ，c 依次成等差数列 B.2a ，2b ，2c 依次成等差数列D.2a ，2b ，2c 依次成等比数列15.（3分）已知函数()ln 1f x x =-，()223g x x x =-++，用{},min m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为（ ） A.1B.2C.3D.416.（理科选做）已知函数()1f x x =-，关于x 的方程()()20f x f x k -+=，下列四个结论中正确的有（ ）①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 17.（3分）sin15cos15︒+︒=________.18.（3分）已知()12log 11x +≥，则实数x 的取值范围是________.19.（3分）已知圆内接四边形ABCD 的边1AB =，3BC =，2CD DA ==，则BD 的长为________.20.（3分）已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________.21.（3分）（文科选做）已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，若M 是线段AB 的中点，则OM OC ⋅=________.22.（理科选做）如图，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，90B ∠=︒，G 是ABC △的重心.则GB GC ⋅=________.三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分.23.（8分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，求三棱锥F AEC -的体积.24.（8分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25.（8分）过点(Q -作圆()222:0C x y r r +=>的切线，切点为D ，且4QD =.（1）求γ的值；（2）设P 是圆C 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆C 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM OA OB =+求OM 的最小值（O 为坐标原点）26.（8分）如图，1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距离是2，三角形ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l 上.（1）若ABC △为正三角形，求其边长；（2）若ABC △是以B 为直角顶点的直角三角形，求其面积的最小值. 27.（8分）已知函数()3xf x =，()3g x x a =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）若函数()()h x f g x =⎡⎤⎣⎦的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数，并说明理由.参考答案1.【分析】利用A B A B A =⇒⊆，写出A 的子集，求出各个子集对应的m 的值.【解答】解：∵AB A =∴B A ⊆∴B =∅；{}1B =-；{}1B = 当B =∅时，0m = 当{}1B =-时，1m =- 当{}1B =时，1m = 故m 的值是0；1；1- 故选：D.【点评】本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集. 2.【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断.【解答】解：A 、如角390︒与30︒的终边相同，都是第一象限角，而390︒不是锐角，故A 不对； B 、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B 不对；C 、因为角的始边放在x 轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C 正确；D 、如角390︒和30︒不相等，但是它们的终边相同，故D 不对. 故选：C.【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断. 3.【分析】根据指数函数的性质，求出恒过坐标，即可得出t 的取值范围.【解答】解：由指数函数的性质，可得函数()3xg x t =+恒过点坐标为()0,1t +，函数()g x 是增函数，图象不经过第二象限，∴10t +≤，解得：1t ≤-. 故选：A.【点评】本题考查了指数函数的性质，求图象恒过坐标的问题.属于基础题.4.【分析】由等差数列的性质可得413a =，69a =，可得4622a a +=，再由等差数列的求和公式和性质可得()46992a a S +=，代值计算可得. 【解答】解：由等差数列的性质可得1742a a a +=，3962a a a +=， 又∵14739a a a ++=，36927a a a ++=，， ∴1474339a a a a ++==，3696327a a a a ++==， ∴413a =，69a =，∴4622a a +=， ∴数列{}n a 前9项的()()194699992299222a a a a S ++⨯==== 故选：A.【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题.5.【分析】赋值框内的循环变量的赋值1A =，符合条件，进行运算，累加变量同时加1替换，判断是否符合条件，符合条件再进入循环，否则算法结束，输出S. 【解答】解：因为1A =，1s =判断框内的条件15≤成立，执行2113s =⨯+=，112i =+=； 判断框内的条件25≤成立，执行2317s =⨯+=，213i =+=； 判断框内的条件35≤成立，执行27115s =⨯+=，314i =+=； 判断框内的条件45≤成立，执行215131s =⨯+=，415i =+=； 判断框内的条件55≤成立，执行231163s =⨯+=，516i =+=；此时65>，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m 值应是5. 故选：D.【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束.6.【分析】（1）平行于同一直线的两个平面，或平行，或相交；（2）由平行公理知，平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两条直线或平行，或相交，或异面；（4）由线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行.【解答】解：（1）平行于同一直线的两个平面平行，是错误的； （2）平行于同一平面的两个平面平行，是正确的； （3）垂直于同一直线的两直线平行，是错误的； （4）垂直于同一平面的两直线平行，是正确的.故选：B.【点评】本题考查了用文字语言叙述的空间中平行和垂直关系的判定，是基础题；空间中的垂直和平行，是立体几何的重要内容.7.【分析】取AD 中点G ，连结EG ，FG ，则//EG CD ，//GF AB ，FEG ∠是EF 与CD 所成的角（或所成角的补角），132EG CD ==，1322GF AB ==，GF EF ⊥，由此能求出EF 与CD 所成的角. 【解答】解：取AD 中点G ，连结EG ，FG ， ∵在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点， ∴//EG CD ，//GF AB ，∴FEG ∠是EF 与CD 所成的角（或所成角的补角）， ∵6CD =，3AB =，EF BA ⊥， ∴132EG CD ==，1322GF AB ==，GF EF ⊥， ∴30FEG ∠=︒，∴EF 与CD 所成的角为30︒. 故选：D.【点评】本题考查直线EG 与直线BC 所成角的余弦值的求法，考查异面直角所成角的等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【分析】根据正切函数的单调性，解不等式2232x k k πππππ-+<+<+，k Z ∈，将所得的解集化为等价的开区间，即为所求函数的单调增区间. 【解答】解：令,2322x k k πππππ⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈ 即2232x k k πππππ-+<+<+，k Z ∈可解得：52233k x k ππππ-<<+，k Z ∈∴函数tan 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间是52,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈故选：B.【点评】本题给出含有正切的三角函数式，求函数的增区间，着重考查了正切函数的单调性和复合三角函数的单调区间求法等知识，属于基础题.9.【分析】根据三角函数的性质求解对称的，令0k =，和1k =，求解对称轴，根据存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭建立不等式即可求解.【解答】解：函数，可得()sin 06y x πωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭，其对称方程为62x k ππωπ-=+，可得23k x ππω+=.∵对称轴0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 则当0k =时，可得对称性：232k πππω+<，解得：43ω>.当1k =时，可得对称性：232k πππω+≥，解得103ω≤故得ω的取值范围是410,33⎛⎤⎥⎝⎦ 故选：D.【点评】本题考查了函数对称轴问题，根据0ω>，只需求解相邻对称轴分别位于2π两边即可满足题意. 10.【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a 的值. 【解答】解：由直线的方程：20ax y a +--=得， 此直线在x 轴和y 轴上的截距分别为2a a+和2a +， 由22a a a+=+， 得1a =或2a =-， 故选：D.【点评】本题考查直线在两坐标轴上的截距的定义，待定系数法求参数的值.11.【分析】根据条件求出2b c =，结合余弦定理求出b ，c 的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：∵()22b c b c =+∴2220b bc c --= 即()()20b c b c +-=∵b 、c 均为三角形的边，0b c +≠， ∴20b c -=， 即2b c =，由三角形的余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得：22764b c bc +-= （*） 再将2b c =带入（*）式可得：227562c c -=，即24c =， 得2c =，4b = ， 又由cos 78A =，可得sin 8A =所以，三角形ABC的面积是：112422si n S bc A ==⨯⨯= 故选：C.【点评】本题主要考查三角形面积的计算，利用余弦定理以及方程关系求出b ，c 的值是解决本题的关键.12.【分析】根据条件容易判断0a ≠，从而可得出()2lg 1a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，根据()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，从而讨论a 的符号解不等式201a a x a x +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-，并满足该不等式的解集关于原点对称，这样便可求出1a =-，从而得出()()1lg1x f x x -+=-，这样解不等式()1lg01x x -+<-便可得出x 的取值范围. 【解答】解：0a =时，显然()f x 不是奇函数； ∴0a ≠；∴()2lg 1a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-； ∵()f x 的定义域关于原点对称；∴（1）若0a >，则20a a +>，∴不等式201a x a ax +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-的解集不关于原点对称；即这种情况不存在； （2）若0a <，则解得201a a x a x +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-得，21a x a+<<；∴21a a+=-； 解得1a =-，满足条件； ∴()()1lg1x f x x -+=-； ∴解()1lg01x x -+<-得：()1011x x -+<<-；解得10x -<<；∴使()0f x <的x 的取值范围是()1,0-. 故选：B.【点评】考查奇函数的定义，奇函数定义域关于原点对称的特点，以及分式不等式的解法，对数函数的单调性．13.【分析】设圆心到AC 、BD 的距离分别为1d ，2d ，则22128d d +=，代入面积公式12S AC BD =⨯⨯，使用基本不等式求出四边形ABCD 的面积的最大值.【解答】解：设圆心()T O 到AC 、BD 的距离分别为1d ，2d .则2222128d d TP OP +===.四边形ABCD 的面积为：()22125042dd =-+=.当且仅当2212d d =时取等号，故选：D.【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半． 14.【分析】由等差数列的性质得tan ta t 221n an B A C=+，利用正弦定理、余弦定理推导出2222a c b +=，从而2a ，2b ，2c 依次成等差数列.【解答】解：∵a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列， ∴tan ta t 211n an B A C=+， 根据正弦定理可得cos cos cos 2b a CcB A =+， ∴2cos cos ac B bc A abcsC =+，∴22222222222b c a a b c a c b +-+-+-=+，∴2222a c b +=，∴2a ，2b ，2c 依次成等差数列. 故选：B.【点评】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15.【分析】根据{}min ,m n 的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可. 【解答】解：作出函数()f x 和()g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象， 由()2230g x x x =-++=，得1x =-，或3x =，由()ln 10f x x =-=，得x e =或1x e=，∵()0g e >，∴当0x >时，函数()h x 的零点个数为3个， 故选：C.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用． 16.【分析】化简()11f x x =-≥-，再令()f x t =，从而化方程()()20f x f x k -+=为2k t t =-，从而作函数2k t t =-的图象，结合图象分类讨论解得，①②③④均正确. 【解答】解：∵()11f x x =-≥-， ∴当1a =-时，()f x a =有且只有一个解， 当1a >-时，()f x a =有两个不同的解， ∵令()f x t =，则方程()()20f x f x k -+= 可化为2k t t =-，作函数2k t t =-的图象如右， 结合图象可知，当14k =时， 2k t t =-有两个不同的解， 且12t =±故方程()()20f x f x k -+= 有四个不同的解，则②正确； 当104k <<时，2k t t =-有4个不同的解，且11t -<<， 故方程()()20f x f x k -+=有8个不同的解，则④正确；当0k =时，2k t t =-有三个不同的解，分别为1-，0，1； 故方程()()20f x f x k -+=有5个不同的解，则③正确； 当0k <时，2k t t =-有两个不同的解，且1t <-或1t >， 故方程()()20f x f x k -+=有2个不同的解，则①正确； 故选：D.【点评】本题考查了分类讨论与数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.17.【分析】原式提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果. 【解答】解：()sin15cos15sin15154522⎫+=+=+⎪︒︒︒︒︒⎪⎭︒60=︒=.【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键.18.【分析】根据绝对值的定义，利用对数函数的图象与性质，列出不等式求解集即可. 【解答】解：()12log 11x +≥，∴()12log 11x +≥-或()12log 11x +≤-，解得1012x <+≤或12x +≥， 即112x -<≤-或1x ≥； ∴实数x 的取值范围是[)11,1,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)11,1,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦.【点评】本题考查了绝对值的定义与对数函数的性质应用问题，是基础题. 19.【分析】连结BD ，利用180A C +=︒和余弦定理，即可求得BD 的长. 【解答】解：连结BD ，由于180A C +=︒，则cos cos A C =-， 由题设及余弦定理得，在BCD △中，2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C ⋅=+-=-，…① 在ABD △中，2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+，…②由①②解得BD =【点评】本题考查了圆内接四边形内角和定理与余弦定理的应用问题，是基础题．20.【分析】利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角． 【解答】解：设两向量的夹角为θ20x a x a b ++⋅=有实根240a a b ∆=-⋅≥即24cos 0a a b θ-⋅≥ ∵20a b =≠∴1cos 2θ≤ ∴,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点评】本题考查二次方程有实根的充要条件：0∆≥；向量的数量积公式.21.【分析】先在直角三角形OBM 中求出3OM =23OM OC OM ⋅==.【解答】解：如图：在直角三角形OMB 中，22241OMOB BM=-=-=2cos 3OM OM OC OM OC MOC OM OC OM OC⋅=⨯∠=⨯⨯==，故答案为：3.【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题.22.【分析】由已知可得4AC =，BC =30ACB ∠=︒，结合G 是ABC △的重心及向量数量积的性质及定义可求【解答】解：Rt ABC △中，2AB =60BAC ∠=︒，90B ∠=︒，∴4AC =，BC =30ACB ∠=︒， ∵G 是ABC △的重心.()()()2111339GB GC BC BA CB CA BC CB CA BA BC AB AC ⎡⎤⋅=-+⋅-+=--⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦111240242092⎛⎫=---+⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：20-【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单应用，属于基础试题三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分. 23.【分析】（Ⅰ）证明1AE BB ⊥，AE BC ⊥，1BC BB B =，推出AE ⊥平面11B BCC ，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）取AB 的中点G ，说明直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，就是1CA G ∠，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴1BB ⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，∴1AE BB ⊥， ∵直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E 分别是BC 的中点， ∴AE BC ⊥，1BCBB B =，∴AE ⊥平面11B BCC ，∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）解：取AB 的中点G ，连结1A G ，CG ，由（Ⅰ）可知CG ⊥平面11A ABB ，直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，就是1CA G ∠，则1AG CG ==∴1AA ==2CF =.三棱锥F AEC -的体积：111113232CE AE CF ⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=.【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．24.【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{}n a 的通项公式. （2）利用对数运算法则化简31323log log log n n b a a a =+++，然后化简数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法求和即可.【解答】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =.得22349a a =.所以219q =.由条件可知0q >，故13q =. 由12231a a +=，得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项式为13n n a =. （6分） （2）()()()123313233123log log log log log 3n n n n b a a a a a a -++++=+++===()()11232n n n +++++=--. 故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：121111111122122311n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：21n nT n =-+（12分） 【点评】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力. 25.【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合勾股定理，可求r 的值；（2）设出直线方程，利用OM OA OB =+，表示出OM ，求出模长，利用基本不等式即可求得结论. 【解答】解：（1）圆()222:0C x y rr +=>的圆心为()0,0O ，则∵过点(Q -作圆()222:0C x y r r +=>的切线，切点为D ，且4QD =∴3r OD ====；（2）设直线l 的方程为()10,0x ya b a b+=>>，即0bx ayab +-=，则(),0A a ，()0,Bb ， ∵OM OA OB =+，(),OM a b =，∴2OM a =∵直线l 与圆C 3=222a b ab +=≤∴2236a b +≥∴6OM ≥当且仅当a b ==OM 的最小值为6.【点评】本题考查圆的切线的性质，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题.26.【分析】（1）根据题意作高AE ，BG ，CF .根据等边三角形及直角三角形的性质，设AD x =，则3AC x =，求出DG ，BG 根据三角形相似根据其相似比可求出DF ，DE 的长，再根据勾股定理即可解答. （2）过点B 作2MN l ⊥，交1l 于M ，交3l 于N ，设AM a =，CN b =，由AMB BNC △△∽，得2b a=，则ABBC ==，12ABCS AB BC ⨯⨯==△ 由此利用均值不等式能求出ABC △面积的最小值. 【解答】解：（1）作高AE ，BG ，CF （如图）， 设AD x =，则3AC x =， 于是322xDG x x =-=，3BG x == ∵BDG CDF ∠=∠，90BGD CFD ∠=∠=︒，∴Rt BDG Rt CDF △△∽，∴BG DGCF DF =，即222xDF =，∴DF =，∴DE =∵22212812727AD AE DE =+=+=，∴AD =∴333AC x ===. ∴ABC △的边长为3. （2）过点B 作2MN l ⊥，交1l 于M ，交3l 于N ，设AM a =，CN b =， 则AMB BNC △△∽，∴MB AM NC BN =，即12ab =，∴2b a =，AB =BC ==∵ABC △是以B 为直角顶点的直角三角形， ∴12ABC B BC S A ⨯⨯=△=2=≥. 当且仅当212a =，即1a =，2b =时，ABC △面积取最小值2.【点评】本题考查三角形边长的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查平行线、直线方程、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 27.【分析】（Ⅰ）函数()()33x a h x f g x +-⎡⎤=⎣⎦=的图象关于直线2x =对称，则()()44h x h x x a x a -==⇒+-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数()33x y g f x a ==+-⎡⎤⎣⎦的零点个数，就是函数()3x G x a =+与3y =的交点，分①当03a ≤<时；②当3a ≥时；③30a -≤<时；④当3a <-时，画出图象判断个数. 【解答】解：（Ⅰ）函数()()33x a h x f g x +-⎡⎤=⎣⎦=的图象关于直线2x =对称，则()()44h x h x x a x a -==⇒+-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数()33x y g f x a ==+-⎡⎤⎣⎦的零点个数，就是函数()3x G x a =+与3y =的交点， ①当03a ≤<时，()33x x G x a a =+=+与3y =的交点只有一个，即函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为1个（如图1）；②当3a ≥时，()33x x G x a a =+=+与3y =没有交点，即函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为0个（如图1）；③30a -≤<时，()3x G x a =+与3y =的交点只有1个（如图2）；④当3a <-时，()3x G x a =+与3y =的交点有2个（如图2）；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题．。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(精品解析)
本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.
2 命题“数列{������������}前 n 项和是������������ = ������������ + ������������的形式，则数列{������������}为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题
2
与直线������ = ������ ‒ 1及直线������ = 1所围成的封闭图形的面
∫ (������ ‒ ������ + 1)
1
1 1 1
2
2
= (2������������������ ‒ 2������2 + ������)|2 1 = 2������������2 ‒ 2 + 2 + 2 ‒ 1 = 2������������2 ‒ 2 故选：D．
+ 16 = 1
������2
故选：B．
������2 由题意可得：椭圆25
+ 16 = 1
������2
2 2 2 2 的焦点分别是两圆(������ + 3) + ������ = 1和(������ ‒ 3) + ������ = 4的圆心，再结合椭圆的定义
与圆的有关性质可得答案． 本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． 给出下列命题：
故①正确．
⃗, ⃗ ,⃗ ⃗, ⃗ ,⃗ ②若������������ ������������ ������������不构成空间的一个基底，则������������ ������������ ������������这 3 个向量共面，故 A、B、M、N 共面，
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题含答案
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期入学考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ） A. 若222x y +<，则1x ≤或1y ≤ B. 若222x y +<，则1x ≤且1y ≤ C. 若222x y +<，则1x <或1y <D. 若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤2.在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（a R ∈，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A. 1a ≥- B. 1a >-C. 1a ≤-D. 1a <-3.已知{}n a 等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ）A.23B.32C. 23-D. 32-4.设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A.13B. 3C. 6D. 95.已知x y 、满足2213xy +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ）A. []112， B. []06，C. []012， D. []113， 6.已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ） A. [)0,3B. (0,C. )⎡⎣D. (]0,4 7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）是A. 5?i <B. 6?i <C. 7?i <D. 8?i <8.已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C. 1625D. 259.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )A. 4B.203C.263D. 810.已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ） A. (16,21)B. (16,24)C. (17,21)D. (18,24)11.三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述均不的12.设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A. 92ln 2[1,]4+ B. 92ln 2(1,)4+ C. 92ln 2[1,]10+ D. 92ln 2(1,]10+ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上.13.设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________.14.已知向量,a b rr 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ．15.曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．16.如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 23569(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$; (3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()nni i i ii i n nii i i x x y y x y nxyax x x nx b y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 18.在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．19.已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v，且m n ⊥u v v． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂中为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 21.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 22.已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值数学（理科）参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.A4.C5.D6.B7.B8.B9.B10.B11.B12.D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上..13. 14,1]14 [51315 3216. (2n+1)2+m−n−1三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）x̅=2+3+4+5+65=4，y̅=2+3+5+6+95=5b=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1=2×3+3×3+4×5+5×6+6×9−5×4×54+9+16+25+36−5×16=1.7∴a=y̅−bx̅=−1.8，∴ŷ=1.7x−1.8（3）当x=10（万元），ŷ=15.2（万元）18.(1) 由a1=1，及a n+1=ca n+c n+1(2n+1)(n∈N∗)得a2=ca1+c2⋅3=(22−1)c2+c，a3=ca2+c3(2×2+1)=c[(22−1)c2+c]+c3(2×2+1)=(32−1)c3+c2于是猜测:a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)(2)下面用数学归纳法予以证明:10当n=1时，由a1=1=(12−1)c+c1−1显然结论成立．20假设n=k时结论成立，即a k=(k2−1)c k+c k−1那么，当n=k+1时，由a k+1=ca k+c k+1(2k+1)=c[(k2−1)c k+c k−1]+c k+1(2k+1)=(k2+2k)c k+1+c k=[(k+1)2−1]c k+1+c k显然结论成立．由10、20知，对任何n∈N∗都有a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)19.（1）∵，∴，，由，得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，∴函数的递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．（2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．20.（1）以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0),P(0,0,4)，故∵，∴GE与PC所成角的余弦值为√1010．（2）解：设F(0,y,z)，则，∵，∴，即(32,y −32,z)⋅(0,2,0)=2y −3=0，∴y =32， 又，即(0,32,z −4)=λ(0,2,−4)，∴z =1，故F(0,32,1)，，∴PFFC =3√52√52=321.解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为x 2=4cy ，由√2=3√22结合c >0，解得c =1，所以拋物线C 的方程为x 2=4y .（2）拋物线C 的方程为x 2=4y ，即y =14x 2，求导得y ′=12x ， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(其中y 1=x 124,y 2=x 224)则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2，所以切线PA 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 122+y 1，即x 1x −2y −2y 1=0，同理可得切线PB方程为x 2x −2y −2y 2=0，因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0)，所以x 1x 0−2y 0−2y 1=0，x 2x 0−2y 0−2y 2=0， 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x −2y 0−2y =0的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0.（3）由拋物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1，联立方程{x 0x −2y −2y 0=0x 2=4y，消去x 整理得y 2+(2y 0−x 02)y +y 02=0. 由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y 2=x 02−2y 0,y 1y 2=y 02， 所以|AF|⋅|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=y 02+x 02−2y 0+1又点P(x 0,y 0)在直线l 上，所以x 0=y 0+2，所以y 02+x 02−2y 0+1=2y 02+2y 0+5=2(y 0+12)2+92， 所以当y 0=−12时，|AF|⋅|BF|取得最小值,且取得最小值为92. 22.（1）因为f(1)=1−a2=0，的所以a=2，故f(x)=lnx−x2+x,x>0，所以f′(x)=1x −2x+1=−2x2+x+1x=−(x−1)(2x+1)x(x>0)，由f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调减区间为(1,+∞)．（2）令g(x)=f(x)−(ax−1)=lnx−12ax2+(1−a)x+1，x>0，由题意可得g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．又g′(x)=1x −ax+(1−a)=−ax2+(1−a)x+1x．①当a≤0时，则g′(x)>0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为g(1)=ln1−12a×12+(1−a)+1=−32a+2>0，所以关于x的不等式f(x)≤ax−1不能恒成立．②当a>0时，g′(x)=−ax2+(1−a)x+1x =−a(x−1a)(x+1)x，令g′(x)=0，得x=1a．所以当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．故当x=1a 时，函数g(x)取得极大值，也为最大值，且最大值为g(1a)=ln1a−12a×(1a)2+(1−a)×1a+1=12a−lna．令ℎ(a)=12a−lna,a>0，则ℎ(a)在(0,+∞)上单调递减，因为ℎ(1)=12>0，ℎ(2)=14−ln2<0．所以当a≥2时，ℎ(a)<0，所以整数a的最小值为2．。
湖南省长郡中学2018-2019学年高二上学期第二次模块检测数学(理)答案
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