1.2两角和与差的正弦
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β(C (α-β)) ②cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β(C (α+β)) ③sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(S (α-β)) ④sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(S (α+β)) ⑤tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β(T (α-β))⑥tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β(T (α+β))(2)公式变形①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.二倍角公式 (1)公式①sin 2α=2sin_αcos_α,②cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α, ③tan 2α=2tan α1-tan 2α.(2)公式变形①cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2;②1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin )4(πα±.3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(√) (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(√) (3)在锐角△ABC 中,sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.(×)(4)公式tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(×) (6)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(√) (7)若α+β=π4,则(1+tan α)(1+tan β)=2.(√)(8)不存在实数α,β,使得cos(α+β)=sin α+cos β.(×) (9)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(√) (10)y =1-2cos 2x 的x 无意义.(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值:1+cos 20°2sin 20°-sin 10°)5tan 5tan 1(0-; 解:原式=2cos 210°2×2sin 10°cos 10°-sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- =cos 10°2sin 10°-sin 10°·cos 25°-sin 25°sin 5°cos 5°=cos 10°2sin 10°-sin 10°·cos 10°12sin 10°=cos 10°2sin 10°-2cos 10°=cos 10°-2sin 20°2sin 10°=cos 10°-2sin (30°-10°)2sin 10°=cos 10°-2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°-32sin 10°2sin 10°=3sin 10°2sin 10°=32. (2)化简:sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12cos 2α·cos 2β. 解:法一:(复角→单角,从“角”入手)原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12·(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1)=sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-12 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-12 =sin 2β+cos 2β-12=1-12=12. 法二:(从“名”入手,异名化同名)原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-12cos 2α·cos 2β=cos 2β-sin 2α(cos 2β-sin 2β)-12cos 2α·cos 2β=cos 2β-sin 2α·cos 2β-12cos 2α·cos 2β=cos 2β-cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+=1+cos 2β2-cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α+12(1-2sin 2α) =1+cos 2β2-12cos 2β=12.法三:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 原式=1-cos 2α2·1-cos 2β2+1+cos 2α2·1+cos 2β2-12cos 2α·cos 2β =14(1+cos 2α·cos 2β-cos 2α-cos 2β)+14(1+cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β)-12·cos 2α·cos 2β=12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.1.求值sin 50°(1+3tan 10°).解:sin 50°(1+3tan 10°)=sin 50°(1+tan 60°·tan 10°) =sin 50°·cos 60°cos 10°+sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°=sin 50°·cos (60°-10°)cos 60°cos 10°=2sin 50°cos 50°cos 10°=sin 100°cos 10°=cos 10°cos 10°=1.2.在△ABC 中,已知三个内角A ,B ,C 成等差数列,则tan A 2+tan C 2+3tan A 2tan C2的值为________.解析:因为三个内角A ,B ,C 成等差数列,且A +B +C =π, 所以A +C =2π3,A +C 2=π3,tan A +C 2=3, 所以tan A 2+tan C 2+3tan A 2tan C2 =tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -+3tan A 2tan C 2 =3)2tan 2tan1(CA -+3tan A 2tan C 2= 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ=-13,则cos 2θ=( ) A .-45 B .-15 C.15 D.45解析:法一:cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D. 法二:由tan θ=-13,可得sin θ=±110,因而cos 2θ=1-2sin 2θ=45.答案:D(2)已知tan )4(πα+=12,且-π2<α<0,则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A .-255B .-3510C .-31010 D.255 解析:由tan )4(πα+=tan α+11-tan α=12,得tan α=-13.又-π2<α<0,所以sin α=-1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+=2sin α(sin α+cos α)22(sin α+cos α)=22sin α=-255.答案:A(3)已知α∈)2,0(π,且2sin 2α-sin α·cos α-3cos 2α=0,则12cos 2sin )4sin(+++ααπα=________.解析:2sin 2α-sin αcos α-3cos 2α=0则(2sin α-3cos α)(sin α+cos α)=0, 由于α∈)2,0(π,sin α+cos α≠0, 则2sin α=3cos α.又sin 2α+cos 2α=1,∴cos α=213, ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα=22(sin α+cos α)(sin α+cos α)2+(-sin 2α+cos 2α)=268.答案:268[方法引航] 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示:(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时,先化简三角函数式,再利用整体代入求值.1.在本例(1)中,已知条件不变,求tan )6(θπ+的值.解:tan )6(θπ+=tan π6+tan θ1-tan π6tan θ=33-131+33×13=53-613.2.在本例(1)中,已知条件不变,求2sin 2θ-sin θcos θ-3cos 2θ的值. 解:原式=2sin 2θ-sin θcos θ-3cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tan 2θ-tan θ-3tan 2θ+1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-132+13-3⎝ ⎛⎭⎪⎫-132+1=-115.3.已知cos )2(απ-+sin )32(απ-=235,则cos )32(πα+=________.解析:由cos )2(απ-+sin )32(απ-=235,得sin α+sin 2π3cos α-cos 23πsin α=235∴32sin α+32cos α=235, 即3sin )6(πα+=235,∴sin )6(πα+=25,因此cos )32(πα+=1-2sin 2)6(πα+=1-2×2)52(=1725.答案:1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α=17,cos(α-β)=1314,0<β<α<π2,则β=________. 解析:∵cos α=17,0<α<π2.∴sin α=437.又cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2.∴0<α-β<π2,则sin(α-β)=3314. 则cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =17×1314+437×3314=497×14=12,由于0<β<π2,所以β=π3.答案:π3(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为________.解析:∵tan α=tan[(α-β)+β]=tan (α-β)+tan β1-tan (α-β)tan β=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2.又∵tan 2α=2tan α1-tan 2α=2)31(1312-⨯=34>0,∴0<2α<π2,∴tan(2α-β)=tan 2α-tan β1+tan 2αtan β=34+171-34×17=1. ∵tan β=-17<0,∴π2<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-34π. 答案:-34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦函数或余弦函数,且①若角的范围是)2,0(π,选正、余弦皆可;②若角的范围是(0,π),选余弦较好;③若角的范围是)2,2(ππ-,选正弦较好. 2.解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值. (2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.1.设α,β为钝角,且sin α=55,cos β=-31010,则α+β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析:选C.∵α,β为钝角,sin α=55,cos β=-31010, ∴cos α=-255,sin β=1010,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=22>0.又α+β∈(π,2π),∴α+β∈)2,23(ππ,∴α+β=7π4. 2.已知tan α=-13,cos β=55,α∈),2(ππ,β∈)2,0(π,求tan(α+β)的值,并求出α+β的值.解:由cos β=55,β∈)2,0(π,得sin β=255,tan β=2.∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-13+21+23=1. ∵α∈),2(ππ,β∈)2,0(π,∴π2<α+β<3π2,∴α+β=5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.[典例] 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°; (2)sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; (3)sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°; (4)sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos 48°; (5)sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. [解] (Ⅰ)选择(2)式,计算如下:sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30°=1-14=34. (Ⅱ)法一:三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34. 证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin 2α+34cos 2α+32sin αcos α+14sin 2α-32sin α·cos α-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34.法二:三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34. 证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos 2α2+1+cos (60°-2α)2-sin α(cos 30°cos α+sin30°sin α)=12-12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-32sin αcos α-12sin 2α=12-12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α-34sin 2α-14(1-cos 2α)=1-14cos 2α-14+14cos 2α=34.[高考真题体验]1.(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-=35,则sin 2α=( )A.725B.15 C .-15 D .-725解析:选D.因为cos )4(απ-=cos π4cos α+sin π4sin α=22(sin α+cos α)=35,所以sin α+cos α=325,所以1+sin 2α=1825,所以sin 2α=-725,故选D. 2.(2016·高考全国丙卷)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C .1 D.1625 解析:选A.法一:由tan α=sin αcos α=34,cos 2α+sin 2α=1,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=35cos α=45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α=-35cos α=-45,则sin 2α=2sin αcos α=2425,则cos 2α+2sin 2α=1625+4825=6425. 法二:cos 2α+2sin 2α=cos 2α+4sin αcos αcos 2α+sin 2α=1+4tan α1+tan 2α=1+31+916=6425. 3.(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A .-32 B.32C .-12 D.12解析:选D.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=12.4.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π,β∈)2,0(π,且tan α=1+sin βcos β,则( )A .3α-β=π2B .2α-β=π2C .3α+β=π2D .2α+β=π2解析:选 B.由条件得sin αcos α=1+sin βcos β,即sin αcos β=cos α(1+sin β),sin(α-β)=cos α=sin )2(απ-,因为-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,所以α-β=π2-α,所以2α-β=π2,故选B.5.(2015·高考四川卷)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是________. 解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以2sin αcos α-cos 2α=2sin αcos α-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan α-1tan 2α+1=-4-14+1=-1.答案:-16.(2016·高考四川卷)cos 2π8-sin 2π8=________.解析:由二倍角公式,得cos 2π8-sin 2π8=cos )82(π⨯=22.答案:22课时规范训练 A 组 基础演练1.tan 15°+1tan 15°=( )A .2B .2+3C .4 D.433 解析:选C.法一:tan 15°+1tan 15°=sin 15°cos 15°+cos 15°sin 15° =1cos 15°sin 15°=2sin 30°=4.法二:tan 15°+1tan 15°=1-cos 30°sin 30°+1sin 30°1+cos 30°=1-cos 30°sin 30°+1+cos 30°sin 30°=2sin 30°=4.2.2cos 10°-sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析:选C.原式=2cos (30°-20°)-sin 20°sin 70°=2(cos 30°·cos 20°+sin 30°·sin 20°)-sin 20°sin 70°=3cos 20°cos 20°= 3.3.已知θ∈(0,π),且sin )4(πθ-=210,则tan 2θ=( ) A.43 B.34 C .-247 D.247解析:选C.由sin )4(πθ-=210,得22(sin θ-cos θ)=210,所以sin θ-cos θ=15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ-cos θ=15sin 2θ+cos 2θ=1,得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ=45cos θ=35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ=-35cos θ=-45.因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ=-35cos θ=-45不合题意,舍去,所以tan θ=43,所以tan 2θ=2tan θ1-tan 2θ=2×431-⎝ ⎛⎭⎪⎫432=-247,故选C. 4.若θ∈]2,4[ππ,sin 2θ=378,则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析:选D.由sin 2θ=387和sin 2θ+cos 2θ=1得(sin θ+cos θ)2=378+1=2)473(+,又θ∈]2,4[ππ,∴sin θ+cos θ=3+74. 同理,sin θ-cos θ=3-74,∴sin θ=34.5.已知sin 2(α+γ)=n sin 2β,则tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)的值为( ) A.n -1n +1 B.n n +1 C.n n -1 D.n +1n -1解析:选D.由已知可得sin[(α+β+γ)+(α-β+γ)]=n sin[(α+β+γ)-(α-β+γ)],则sin(α+β+γ)·cos(α-β+γ)+cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)=n [sin(α+β+γ)cos(α-β+γ)-cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)],即(n +1)cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)=(n -1)sin(α+β+γ)cos(α-β+γ),所以tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=n +1n -1,故选D. 6.若sin )2(θπ+=35,则cos 2θ=________. 解析:∵sin )2(θπ+=cos θ=35,∴cos 2θ=2cos 2θ-1=2×2)53(-1=-725. 答案:-7257.若点P (cos α,sin α)在直线y =-2x 上,则sin 2α+2cos 2α=________.解析:∵点P (cos α,sin α)在直线y =-2x 上∴sin α=-2cos α,于是sin 2α+2cos 2α=2sin αcos α+2(2cos 2α-1)=-4cos 2α+4cos 2α-2=-2.答案:-28.设sin 2α=-sin α,α∈),2(ππ,则tan 2α的值是________. 解析:∵sin 2α=-sin α,∴2sin αcos α=-sin α.∵α∈),2(ππ,sin α≠0,∴cos α=-12.又∵α∈),2(ππ,∴α=23π, ∴tan 2α=tan 43π=tan )3(ππ+=tan π3= 3. 答案: 39.化简:(1+sin θ+cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2-cos θ22+2cos θ(0<θ<π). 解:由θ∈(0,π),得0<θ2<π2,∴cos θ2>0, ∴2+2cos θ=4cos 2θ2=2cos θ2.又(1+sin θ+cos θ))2cos 2(sin θθ-=)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ =2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- =-2cos θ2cos θ.故原式=-2cos θ2cos θ2cos θ2=-cos θ. 10.已知α∈),2(ππ,且sin α2+cos α2=62. (1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈),2(ππ,求cos β的值. 解:(1)因为sin α2+cos α2=62,两边同时平方,得sin α=12.又π2<α<π,所以cos α=-32.(2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-35,得cos(α-β)=45.cos β=cos[α-(α-β)=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-32×45+12×)53(-=-43+310. B 组 能力突破 1.已知sin α+cos α=22,则1-2sin 2)4(απ-=( )A.12B.32 C .-12 D .-32解析:选C.由sin α+cos α=22,得1+2sin αcos α=12,∴sin 2α=-12.因此1-2sin 2)4(απ-=cos2)4(απ-=sin 2α=-12. 2.已知f (x )=2tan x -2sin 2x 2-1sin x 2cos x 2,则f )12(π的值为( )A .43 B.833 C .4 D .8解析:选D.∵f (x )=2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+=2×1cos x ·sin x =4sin 2x , ∴f )12(π=4sin π6=8. 3.已知sin α=55,sin(α-β)=-1010,α,β均为锐角,则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析:选C.∵α、β均为锐角,∴-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-1010,∴cos(α-β)=31010.又sin α=55,∴cos α=255,∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=55×31010-255×)1010(-=22. ∴β=π4.4.若tan α=lg(10a ),tan β=lg 1a ,且α+β=π4,则实数a 的值为________.解析:tan α+tan β=lg(10a )+lg 1a =lg 10=1,∵α+β=π4,所以tan π4=tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=11-tan αtan β, ∴tan αtan β=0,则有tan α=lg(10a )=0或tan β=lg 1a =0.所以10a =1或1a =1,即a =110或1.答案:110或15.已知tan(π+α)=-13,tan(α+β)=ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α+β)的值;(2)求tan β的值.解:(1)∵tan(π+α)=-13,∴tan α=-13.∵tan(α+β)=ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-=sin 2α+4cos2α10cos2α-sin 2α=2sin αcos α+4cos2α10cos2α-2sin αcos α=2cosα(sin α+2cos α)2cos α(5cos α-sin α)=sin α+2cos α5cos α-sin α=tan α+25-tan α=-13+25-⎝⎛⎭⎪⎫-13=516.(2)tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tan α1+tan(α+β)tan α=516+131-516×13=3143.。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β):sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. C (α±β):cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β):tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α,β,α±β≠π2+k π,k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系:C (α±β)同名相乘,符号反;S (α±β)异名相乘,符号同;T (α±β)分子同,分母反.2.二倍角公式 S 2α:sin 2α=2sin αcos α.C 2α:cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.T 2α:tan 2α=2tan α1-tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π+π2且α≠k π2+π4,k ∈Z . 二倍角是相对的,例如,α2是α4的二倍角,3α是3α2的二倍角.二、常用结论(1)降幂公式:cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2.(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos 2α,1-cos 2α=2sin 2α. (3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). (4)辅助角公式:a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ=b a 2+b 2,cos φ=a a 2+b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α=35,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,tan β=-12,则tan(α-β)的值为( )A .-211B.211C.112D .-112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π-α=13,且π2≤α≤π,则sin 2α的值为( )A .-229B .-429C.229D.429[解析] (1)因为sin α=35,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π, 所以cos α=-1-sin 2α=-45,所以tan α=sin αcos α=-34.所以tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β=-211.(2)因为sin(π-α)=sin α=13,π2≤α≤π,所以cos α=-1-sin 2α=-223,所以sin 2α=2sin αcos α=2×13×⎝⎛⎭⎫-223=-429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. [题组训练]1.已知sin α=13+cos α,且α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α+π4的值为( ) A .-23B.23C .-13D.13解析:选A 因为sin α=13+cos α,所以sin α-cos α=13,所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α+π4=cos 2α-sin 2αsin αcos π4+cos αsin π4=(cos α-sin α)(cos α+sin α)22(sin α+cos α)=-1322=-23.2.已知sin α=45,且α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π2,则sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3的值为________. 解析:因为sin α=45,且α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π2,所以α∈⎝⎛⎭⎫π2,π, 所以cos α=-1-sin 2α=-1-⎝⎛⎭⎫452=-35. 因为sin 2α=2sin αcos α=-2425,cos 2α=2cos 2α-1=-725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3=sin 2αcos π3+cos 2αsin π3=-24+7350. 答案:-24+7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.(2)计算:tan 25°+tan 35°+3tan 25°tan 35°=________. [解析] (1)∵sin α+cos β=1,① cos α+sin β=0,②∴①2+②2得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1, ∴sin αcos β+cos αsin β=-12,∴sin(α+β)=-12.(2)原式=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+3tan 25°·tan 35°=3(1-tan 25°tan 35°)+3tan 25°tan 35°= 3. [答案] (1)-12 (2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)公式的一些常用变形:sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β; cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β; 1±sin α=⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22; sin 2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1;cos 2α=cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=1-tan 2α1+tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.(3)注意特殊角的应用,当式子中出现12,1,32, 3等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.[题组训练]1.设a =cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b =22(sin 56°-cos 56°),c =1-tan 239°1+tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .b >a >cC .c >a >bD .a >c >b解析:选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式,可得a =cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°=cos 50°cos 127°+sin 50°sin 127°=cos(50°-127°)=cos(-77°)=cos 77°=sin 13°,b =22(sin 56°-cos 56°)=22sin 56°-22cos 56°=sin(56°-45°)=sin 11°,c =1-tan 239°1+tan 239°=1-sin 239°cos 239°1+sin 239°cos 239°=cos 239°-sin 239°=cos 78°=sin 12°.因为函数y =sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2为增函数,所以sin 13°>sin 12°>sin 11°,所以a >c >b .2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α-π6+sin α=435,则sin ⎝⎛⎭⎫α+π6=________. 解析:由cos ⎝⎛⎭⎫α-π6+sin α=435, 可得32cos α+12sin α+sin α=435, 即32sin α+32cos α=435,∴3sin ⎝⎛⎭⎫α+π6=435,即sin ⎝⎛⎭⎫α+π6=45. 答案:453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6+sin 2⎝⎛⎭⎫α+π6-sin 2α的结果是________. 解析:原式=1-cos ⎝⎛⎭⎫2α-π32+1-cos ⎝⎛⎭⎫2α+π32-sin 2α=1-12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α-π3+cos ⎝⎛⎭⎫2α+π3-sin 2α =1-cos 2α·cos π3-sin 2α=1-cos 2α2-1-cos 2α2=12. 答案:12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫-35,-45.若角β满足sin(α+β)=513,则cos β的值为________. [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫-35,-45, 得sin α=-45,cos α=-35.由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665.[答案] -5665或1665[解题技法]1.三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=⎝⎛⎭⎫α+β2-⎝⎛⎭⎫α2+β等. 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-55.(1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值.[解] (1)因为tan α=43,tan α=sin αcos α,所以sin α=43cos α .因为sin 2α+cos 2α=1, 所以cos 2α=925,所以cos 2α=2cos 2α-1=-725. (2)因为α,β 为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-55,所以α+β∈⎝⎛⎭⎫π2,π. 所以sin(α+β)=1-cos 2(α+β)=255,所以tan(α+β)=-2. 因为tan α=43,所以 tan 2α=2tan α1-tan 2α=-247. 所以tan(α-β)=tan [2α-(α+β)] =tan 2α-tan (α+β)1+tan 2αtan (α+β)=-211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.[题组训练]1.已知tan θ+1tan θ=4,则cos 2⎝⎛⎭⎫θ+π4=( ) A.12 B.13C.14D.15解析:选C 由tan θ+1tan θ=4,得sin θcos θ+cos θsin θ=4,即sin 2θ+cos 2θsin θcos θ=4,∴sin θcos θ=14,∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ+π4=1+cos ⎝⎛⎭⎫2θ+π22=1-sin 2θ2=1-2sin θcos θ2=1-2×142=14. 2.(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A +π4=7210,A ∈⎝⎛⎭⎫π4,π,则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析:选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4,π,∴A +π4∈⎝⎛⎭⎫π2,5π4, ∴cos ⎝⎛⎭⎫A +π4=- 1-sin 2⎝⎛⎭⎫A +π4=-210, ∴sin A =sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A +π4-π4 =sin ⎝⎛⎭⎫A +π4cos π4-cos ⎝⎛⎭⎫A +π4sin π4=45. 3.已知sin α=-45,α∈⎣⎡⎦⎤3π2,2π,若sin (α+β)cos β=2,则tan(α+β)=( ) A.613 B.136C .-613D .-136解析:选A ∵sin α=-45,α∈⎣⎡⎦⎤3π2,2π, ∴cos α=35.又∵sin (α+β)cos β=2,∴sin(α+β)=2cos [(α+β)-α].展开并整理,得65cos(α+β)=135sin(α+β),∴tan(α+β)=613.[课时跟踪检测]A 级1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=( ) A .1 B.12C.32D .-12解析:选B sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=sin 45°·cos 15°+(-cos 45°)sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=12.2.若2sin x +cos ⎝⎛⎭⎫π2-x =1,则cos 2x =( ) A .-89B .-79C.79D .-725解析:选C 因为2sin x +cos ⎝⎛⎭⎫π2-x =1,所以3sin x =1,所以sin x =13,所以cos 2x =1-2sin 2x =79.3.(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=-33,则cos ⎝⎛⎭⎫α-π3+cos α=( ) A .-223B .±223C .-1D .±1解析:选C cos ⎝⎛⎭⎫α-π3+cos α=12cos α+32sin α+cos α=32cos α+32sin α=3cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=-1. 4.tan 18°+tan 12°+33tan 18°tan 12°=( ) A.3 B.2 C.22D.33解析:选D ∵tan 30°=tan(18°+12°)=tan 18°+tan 12°1-tan 18°tan 12°=33,∴tan 18°+tan 12°=33(1-tan 18°tan 12°),∴原式=33. 5.若α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,且3cos 2α=sin ⎝⎛⎭⎫π4-α,则sin 2α的值为( )A .-118B.118C .-1718D.1718解析:选C 由3cos 2α=sin ⎝⎛⎭⎫π4-α,可得3(cos 2α-sin 2α)=22(cos α-sin α),又由α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,可知cos α-sin α≠0,于是3(cos α+sin α)=22,所以1+2sin αcos α=118,故sin 2α=-1718.6.已知sin 2α=13,则cos 2⎝⎛⎭⎫α-π4=( ) A .-13B.13C .-23D.23解析:选D cos 2⎝⎛⎭⎫α-π4=1+cos ⎝⎛⎭⎫2α-π22=12+12sin 2α=12+12×13=23. 7.已知sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=12,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,则cos ⎝⎛⎭⎫α-π3的值为________. 解析:由已知得cos α=12,sin α=-32,所以cos ⎝⎛⎭⎫α-π3=12cos α+32sin α=-12. 答案:-128.(2019·湘东五校联考)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则tan αtan β=________.解析:因为sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,所以sin αcos β+cos αsin β=12,sin αcos β-cosαsin β=13,所以sin αcos β=512,cos αsin β=112,所以tan αtan β=sin αcos βcos αsin β=5.答案:59.(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α-π4=16,则tan α=________. 解析:tan α=tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α-π4+π4=tan ⎝⎛⎭⎫α-π4+tan π41-tan ⎝⎛⎭⎫α-π4tan π4=16+11-16=75.答案:7510.化简:sin 235°-12cos 10°cos 80°=________.解析:sin 235°-12cos 10°cos 80°=1-cos 70°2-12cos 10°sin 10°=-12cos 70°12sin 20°=-1.答案:-1 11.已知tan α=2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α+π4的值; (2)求sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1的值. 解:(1)tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=tan α+tanπ41-tan αtanπ4=2+11-2=-3. (2)sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1 =2sin αcos αsin 2α+sin αcos α-(2cos 2α-1)-1=2sin αcos αsin 2α+sin αcos α-2cos 2α=2tan αtan 2α+tan α-2=2×222+2-2=1.12.已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值.解:(1)∵α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴-π2<α-β<π2. 又∵tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1010. (2)由(1)可得,cos(α-β)=31010.∵α为锐角,且sin α=35,∴cos α=45.∴cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=45×31010+35×⎝⎛⎭⎫-1010=91050. B 级1.(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2-θ=4cos(2π-θ),|θ|<π2,则tan 2θ=________. 解析:∵tan ⎝⎛⎭⎫π2-θ=4cos(2π-θ),∴cos θsin θ=4cos θ, 又∵|θ|<π2,∴sin θ=14, ∴0<θ<π2,cos θ=154,tan θ=sin θcos θ=115, 从而tan 2θ=2tan θ1-tan 2θ=157. 答案:157 2.(2018·江西新建二中期中)已知A ,B 均为锐角,cos(A +B )=-2425,sin ⎝⎛⎭⎫B +π3=35,则cos ⎝⎛⎭⎫A -π3=________. 解析:因为A ,B 均为锐角,cos(A +B )=-2425,sin ⎝⎛⎭⎫B +π3=35, 所以π2<A +B <π,π2<B +π3<π, 所以sin(A +B )=1-cos 2(A +B )=725,cos ⎝⎛⎭⎫B +π3=- 1-sin 2⎝⎛⎭⎫B +π3=-45, 可得cos ⎝⎛⎭⎫A -π3=cos ⎣⎡⎦⎤(A +B )-⎝⎛⎭⎫B +π3=-2425×⎝⎛⎭⎫-45+725×35=117125. 答案:1171253.(2019·石家庄质检)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π12,x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫-π4的值; (2)若cos θ =45,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫2θ-π3的值. 解:(1)f ⎝⎛⎭⎫-π4=sin ⎝⎛⎭⎫-π4+π12=sin ⎝⎛⎭⎫-π6=-12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ-π3=sin ⎝⎛⎭⎫2θ-π3+π12=sin ⎝⎛⎭⎫2θ-π4=22(sin 2θ-cos 2θ). 因为cos θ=45,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以sin θ=35,所以sin 2θ=2sin θcos θ=2425,cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=725, 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ-π3=22(sin 2θ-cos 2θ)=22×⎝⎛⎭⎫2425-725=17250.。
两角和与差的正弦公式
asin 日 + bcosT = J a 1 2+b 2sin ®a= cos —b ■. a 2b 2a 2b 2二,a 2b 2sin v其中 cos 9 =a, Ja 2+b 2sinMa 2+b 2或 asin r bcos 二a 2b 2cos 丁 -:,其中 cos =sin =(2)求证:叱 2cos 「「也;sin :sin :3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时)30 **学习目标**1 •能用诱导公式推导两角和与差的正弦公式; 2.进一步熟悉化角技巧,初步掌握合一变换;3 •能对公式正用、逆用、活用,解决化简、求值、证明题的同时初步掌握有关三角函数性 质的题的解法. **要点精讲**1 .两角差的正弦公式: sin 「- - - sin cos '-cos 〉sin ; 2.两角和的余弦公式:sin : : = sin : cos^ cos :3 .对于a sin v - bcosv 可作如下变换:我们把上述变换称为合一变换,它实质上是两角和与差的正余公式的逆用. **范例分析**例 1.求值:(1) sin 75: ; ( 2) sin x 60〃 2sin x -60〃 -、:3cos 120 -x2b 2例3. (1)化简:、、2cosx -sin x(2)求函数f(x) =sin(x ) - sin x的周期、值域、单调区间。
3例4. (1)在L ABC中,已知2cosBcosC =1 -cosA,2sin BcosC = 1 sin B - C ,试判断此三角形的形状.(2)在ABC 中,如果4sin A 2cosB =1, 4cos A 2sin B =3、3,则.C 等于( )A. 30B. 150C. 30 或150D. 60;或120;**规律总结**1.在例2中,观察角之间的联系:2 - -- - ,2〉「=(二' ■■-■) ^:^.将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式,这种代换方法称之为角的变换.2.变角”、变函数名”、变结构”是三角变换的三个主要方向,合一变换是一种结构变换.其中「角可以是特殊角,也可以不是特殊角。
课件6:3.1.2 两角和与差的正弦
60°=
3 2.
【答案】
3 2
5.已知 α,β 均为锐角,sin α= 55,cos β= 1100,求 α-β.
解:∵α,β 均为锐角,sin α= 55,cos β= 1100,
∴sin
β=3 1010,cos
α=2
5 5.
∵sin α<sin β,∴α<β,∴-π2<α-β<0,
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
所以当 y 取得最大值时,x-π3=π2,所以 x=56π.
【答案】
5π 6
名师指导 1.对于形如 sin α±cos α, 3sin α±cos α 的三角函数式均 可利用特殊值与特殊角的关系,运用和差角正、余弦公 式化简为含有一个三角函数的形式. 2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想,在三角函 数求值化简的变换过程中,一定要本着先整体后局部的 基本原则.
=
5 5×
1100-2
5
53 ×
10 10
=- 22,
∴α-β=-π4.
=sin
17°cos
30°+cos
17°sin 30°-sin cos 17°
17°cos
30°
=sin 30°=12.
【答案】 C
4. sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=________.
【解析】 原式=sin 25°cos 35°+cos 25°sin 35°=
sin(25°+35°)=sin
使用条件
α,β∈R α,β∈R
2.重要结论-辅助角公式:
y=asin x+bcos x= a2+b2sin(x+θ)(a,b 不同时为 0),
3[1].1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28) =1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
例3′、△ABC中, 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明: ∵tanA、tanB、tanC 都有意义, ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角,
o o
1+ tan71o tan26o
(2) -1
1- 3tan75o (2) o 3 + tan75
求下列各式的值:
1 tan 75 (1) 1 tan 75
(2) tan17+tan28+tan17tan28
tan 45 tan 75 解:1原式= tan( 45 75 ) tan 120 3 1 tan 45 tan 75 tan 17 tan 28 2 ∵ tan( 17 28 ) 1 tan17 tan 28
2注意公式的结构,尤其是符号。
( )
补充 练 习
1、化简: (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ
(2)tanα
2、求值: (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
tan(α+β)=
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
变形:
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的余弦、正弦、正切(一)1.2.公式:a sin θ+b cos θ=22b a +sin (θ+ϕ(其中cos ϕ=2222sin ,ba b ba a +=+ϕ,θ为任意角).(二)1.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用2.理解公式:a sin θ+b cos θ=22b a +sin (θ+ϕ) (其中2222sin ,cos ba b ba a +=+=ϕϕ,θ为任意角).3.灵活应用上. (三)1. 2.提高学生的思维素质.利用两角和与差的正、余弦公式将a sin θ+b cos θ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.使学生理解并掌握将a sin θ+b cos θ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式,并能灵活应用其解决一些问题.cos θcos ϕ+sin θsin ϕ=cos (θ-ϕ cos θcos ϕ-sin θsin ϕ=cos (θ+ϕ sin θcos ϕ+cos θsin ϕ=sin (θ+ϕ sin θcos ϕ-cos θsin ϕ=sin (θ-ϕ1.)4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x2.利用和(差))3cos(66)3sin(62)4(cos sin 3)3(cos 53sin 153)2(cos 21sin 23)1(x x x x x x x x -+---+ππ[例1]求证)6sin(2sin 3cos απαα+=+证明:右边=)sin 6coscos 6(sin2)6sin(2απαπαπ+=+)sin 23cos 21(2α+=或:左边=)sin 6cos cos 6(sin 2sin 23cos 21(2sin 3cos απαπαααα+=+=+ )6sin(2απ+=(其中令6cos 23,6sin 21ππ==) [例2]求证)3cos(2sin 3cos απαα-=+分析:要证此式,可从右边按照两角差的余弦公式展开,化简整理可证此式.若 即:左=)sin 3sin cos 3(cos 2)sin 23cos 21(2sin 3cos απαπαααα+=+=+ )3cos(2απ-=(其中令3sin 33,3cos 21ππ==) 师:综合上两例可看出对于左式ααsin 3cos +可化为两种形式)6sin(2απ+或)3cos(2απ-,右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么,对于a sin α+b cos α的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢?师:推导)cos sin (cos sin 222222ααααba b ba ab a b a ++++=+由于1)()(222222=+++b a b b a asin 2θ+cos 2θ=1(1)若令22ba a +=sin θ,则22ba b +=cos θ∴a sin α+b cos α=22b a +(sin θsin α+cos θcos α)=22b a +cos (θ-α或=22b a +cos (α-θ(2)若令22ba a +=cos ϕ,则22ba b +=sin ϕ∴a sin α+b cos α=22b a +(sin αcos ϕ+cos αsin ϕ)=22b a +sin (α+ϕ) 例如:2sin θ+cos θ=)cos 55sin 552(1222θθ++ 若令cos ϕ=552,则sin ϕ=55∴2sin θ+cos θ=5(sin θcos ϕ+cos θsin ϕ)=5sin (θ+ϕ若令552=sin β,则55=cos β∴2sin θ+cos θ=5(cos θcos β+sin θsin β)=5cos (θ-β)或 =5cos (β-θ)看来,a sin θ+b cos θ均可化为某一个角的三角函数形式,且有两种形式. Ⅳ.师:通过本节的学习,要在熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的基础上,推导并理解公式:a sin θ+b cos θ=22b a +sin (θ+ϕ(其中cos ϕ=22ba a +,sin ϕ=22ba b +)mcos α+nsin α=22n m +cos (α-β(其中cos β=22nm m +,sin β=22nm n +进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形,解决一些问题.两角和差的正弦、余弦和正切公式(基础训练)1.化简)sin()sin()cos()cos(γββαγββα-----为 ( )A .)2sin(γβα+-B .)sin(γα- .cos()C αγ-D .)2cos(γβα+- 2.已知3tan =α,则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为( )A .3B .2110 C .13 D .1303.已知4sin 25α=-,(,)44ππα∈-,sin 4α的值为 ( )A .2425B .2425-C .45D .7254.函数2sin y x =是( )A .最小正周期为2π的偶函数B .最小正周期为2π的奇函数C .最小正周期为π的偶函数D .最小正周期为π的奇函数5.已知sin αcos α=38,且4π<α<2π,则cos α-sin α的值为 ( ) A .12 B .—12 C .14- D .12±6.已知α+ β =3π, 则cos αcos β αcos β αsin β – sin αsin β 的值为 ( )A .2-B .–1C .1D .7、已知1tan 23α=,求tan α的值. 8、已知4sin 5α=,(,)2παπ∈5cos 13β=-,β是第三象限角,求cos()αβ-的值.课时对点练一、选择题(本题共5小题,每小题5分,共25分) 1.函数y =2cos 2⎝⎛⎭⎫x -π4-1是( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为π2的奇函数D .最小正周期为π2的偶函数2.tan 70°+tan 50°-3tan 70°·tan 50°=( )A. 3B.33C .-33D .- 33.若3sin x -3cos x =23sin(x -φ),φ∈(-π,π),则φ=( )A .-π6B.π6C.5π6D .-5π64.(2010·烟台调研)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4-x =35,则sin 2x 的值为( )A.725B.1625C.1425D.19255.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6-α=33,则sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6-cos ⎝⎛⎭⎫5π6+α的值是 ( )A.2+33B .-2+33C.2-33D.-2+33二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 6.函数y =2cos 2x +sin 2x 的最小值是________. 7.(2010·汕头二模)若0<α<π2<β<π,且cos β=-13,sin(α+β)=13,则cos α=________.8.已知α、β为锐角,且cos α=17,cos(α+β)=-1114,则β的值为________.三、解答题(本题共2小题,每小题10分,共20分) 9.已知tan ⎝⎛⎭⎫π4+α=12.(1)求tan α的值; (2)求sin 2α-cos 2α1+cos 2α的值.10.(2010·湖南卷)已知函数f (x )=sin 2x -2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的集合.素能提升练一、选择题(本题共2小题,每小题5分,共10分) 1.(2009·海南卷)有四个关于三角函说法正确的是( ) A :x ∈R ,sin 2x 2+cos 2x 2=12; B x 、y ∈R ,sin(x -y )=sin x -sin y ;C.:x ∈[0,π],1-cos 2x 2=sin x ; D :sin x =cos y ⇒x +y =π2.二、填空题(本题共2小题,每小题5分,共10分) 3.3-sin 70°2-cos 210°=________. 4.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,则tan α·tan β=________.三、解答题(本题共2小题,每小题10分,共20分) 5.如图在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐 角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点.已 知A 、B 两点的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的大小.6.(2010·珠海质量检测)已知函数f (x )=4cos 4x -2cos 2x -1cos 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫-1112π的值; (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0,π4时,求g (x )=f (x )+sin 2x 的最大值和最小值.。
课件5:3.1.2 两角和与差的正弦
【答案】 等腰三角形
6.已知 cos4π-α=35,sin54π+β=-1123,且 β∈0,4π, α∈4π,34π.求 sin(α+β). 解:由 α∈4π,34π,β∈0,4π,可得π4-α∈-π2,0, 54π+β∈54π,32π, ∴sin4π-α=-45,cos54π+β=-153,
2 5
,sinβ=
310,
得 sinα=
1-
252=
15,
cosβ=
1-
3102=
1, 10
∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=
1 5×
1- 10
2 5×
3 =- 10
2 2.
又∵sinα<sinβ,∴0<α<β<π2, ∴-π2<α-β<0,∴α-β=-π4.
点评 已知α、β的三角函数值求α、β的和或差的值, 通常是先求其三角函数值,再求角.需要注意的是, 要对角的范围进行判断,再确定其值.
又 cosα= 55,sinβ=31010,
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=2
5 5×
1100+
53 5×
1010=
22,
∴α+β=34π.
解法二:∵α、β 为锐角,sinα=255,cosβ= 1100,
∴0<α+β<π,cosα= 55,sinβ=31010,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
①当 α 为第一象限角,β 为第二象限角时,
cosα= 35,sinβ= 415,
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
类型二 给值求值问题
【典例】1.(益阳高一检测)已知 cos( ) 4
65
(α为锐角),则sinα= ( )
A. 3 3 4 10
B. 3 4 3 10
C. 3 4 3 10
D. 3 3 4 10
2.(永州高一检测)已知P,Q是圆心在坐标原点O
的单位圆上的两点,且分别位于第一象限和第四象限,
3
5
所以 3 sin 3 cos 4 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 4 ,
2
2
5
所以 cos( ) 4 ,
35
所以 cos( 2 ) cos[ ( )] cos( )
3
3
3
4.
5
2.f(x)= 12 22 sin(x+φ) = 5 sin(x+φ)≤ 5 . 答案: 5
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和的余弦、正弦,两角差的正弦公式
两角和 的余弦
两角和 的正弦
两角差 的正弦
展开式
记法
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ C(α+β)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ S(α+β)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ S(α-β)
提醒:诱导公式在给值求值中的应用
当所求角=已知角1+已知角2+π或所求角=已知角1+已
知角2+ 时,应借助诱导公式求值.
2
类型三 辅助角公式的应用
【典例】1.(洛阳高一检测)已知 sin( ) sin
3
4 3 , <<0, 则 cos( 2 ) 等于 (
课件8:3.1.2 两角和与差的正弦
题型二 三角函数的化简 例 2 化简:sin(α+β)cos α-12[sin(2α+β)-sin β]. 【解】 原式=sin(α+β)cos α-12[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)] =sin(α+β)cos α-12[sin αcos(α+β)+ cos αsin(α+β)-sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α] =sin(α+β)cos α-12×2sin αcos(α+β) =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin(α+β-α)=sin β.
跟踪训练 已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1123, sin(α+β)=-35,求 sin 2α 的值. 解:因为π2<β<α<34π,所以 0<α-β<π4,π<α+β<32π. 又 cos(α-β)=1123,sin(α+β)=-35,
所以 sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 1-(1123)2=153, cos(α+β)=- 1-sin2(α+β)=- 1-(-35)2=-45. 所以 sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) =153×(-45)+1123×(-35)=-5665.
跟综训练 1.设 a=sin 14°+cos 14°, b=sin 16°+cos 16°,c= 26,则 a、b、c 的大小关系 是________(用“<”连接).
解析:a= 2sin(14°+45°)= 2sin 59°, b= 2sin(16°+45°)= 2sin 61°, c= 2·23= 2sin 60°, 由 y=sin x 在(0°,90°)上的单调性可知 a<c<b. 答案:a<c<b
3,1,2两角和与差的正弦,余弦,正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式[知识探究]1.两角和的余弦公式cos(α+β)= ,简记为C (α+β).思考1: C (α±β)公式有什么共同特征? (余弦在前,正弦在后,符号改变)2.两角和与差的正弦公式S (α+β):sin(α+β)= ;S (α-β):sin(α-β)= .思考2: S (α±β)有何特征?(异名乘,符号同)拓展提升:辅角公式(1)asin x+bcos x=ϕ)(其中tan ϕ=b a,ϕ为辅助角); ϕ)(其中tan ϕ=a b,ϕ为辅助角). 3.两角和与差的正切公式T (α+β):tan(α+β)= tan tan 1tan tan αβαβ+-;T (α-β):tan(α-β)= tan tan 1tan tan αβαβ-+. 思考3:使用T (α±β)的条件是什么?(公式T (α±β)只有在α≠π2+k 1π,β≠π2+k 2π,α±β≠π2+k 3π(k 1,k 2,k 3∈Z )时才成立,否则就不成立,这是由正切函数的定义域所决定的) 题型一 三角函数式的化简求值【例1】 (1)cos 105°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;(3)sin π12π12; (4)1tan 751tan 75+-. 名师导引:(1)将105°转化为两个特殊角的和或差,直接利用公式求解.(2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式 求解.(3)提取2后将12,逆用公式求解. (4)注意“1”的转化,逆用两角和的正切公式求解.解:(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=12×22= (2)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°=12.(3)法一 原式=2(12sin π12cos π12) =2(sin π6sin π12-cos π6cos π12)=-2cos (π6+π12)=-2cos π4法二 原式=2(12sin π12π12) =2(cos π3sin π12-sin π3cos π12)=2sin (π12-π3)=-2sin π4 (4)原式=tan 45tan 751tan 45tan 75+-=tan(45°+75°)=tan 120°.题后反思 三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用,观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tan π4”、“”与“tan π3”、“ 12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化. 跟踪训练11:(1)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)cos(θ+15°)的值;(2)(2014遵义四中期末)求tan 20°+tan 40°tan 20° tan 40°的值.解:(1)设α=θ+15°,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°α=(12sin αα)+cos α-12sin α)α =0.(2)原式=tan 60°(1-tan 20° tan 40°)+° tan 40°.题型二 三角函数的条件求值【例2】 已知π2<β<α<34π,cos(α-β)= 1213,sin(α+β)=- 35,求cos 2α的值. 名师导引:(1)寻找角的关系2α=(α+β)+(α-β);(2)借助同角三角函数关系及两角和的余弦公式求解.解:∵π2<β<α<34π,∴-34π<-β<-π2, ∴0<α-β<π4,π<α+β<32π,∴sin(α-β)=513,cos(α+β)=-45. ∴cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) =1213×(-45)-513×(-35)=-3365, 即cos 2α=-3365. 题后反思 (1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角凑角、合理地选用公式.(2)常见角的变换有α=(α+β)-β、α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等.跟踪训练21:(2014洛阳期末)已知tan (π4+α)=2,tan(α-β)= 12,α∈(0,π4),β∈(-π4,0). (1)求tan α的值;(2)求212sin cos cos ααα+的值; (3)求2α-β的值.解:(1)tan (π4+α)=1tan 1tan αα+-=2,得tan α=13; (2)212sin cos cos ααα+=222sin cos 2sin cos cos ααααα++ =2tan 12tan 1αα++=23; (3)因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tan tan()1tan tan()ααβααβ+---=1, 又α∈(0,π4),β∈(-π4,0),得2α-β∈(0, 3π4),所以2α-β=π4. 题型三 辅角公式的应用【例3】 当函数≤x<2π)取得最大值时,x= .解析:函数为(x-π3), 当0≤x<2π时,-π3≤x-π3<5π3, 所以当y 取得最大值时,x-π3=π2,所以x=5π6. 答案:5π6题后反思 辅角公式ϕ)(或asin x+bcos x=ϕ))可以将形如 asin x+bcos x(a,b 不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.跟踪训练31:函数f(x)=sin x-cos (x+π6)的值域为( B )(A)[-2,2](C)[-1,1] ] 解析:f(x)=sin x-cos (x+π6)12sin x=32sin (x-π6),所以函数f(x)的值域为,].故选B.【自主练习】1. 已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求tan tan αβ的值. 解:∵sin(α+β)=12,∴sin αcos β+cos αsin β=12.①∵sin(α-β)=1 3 ,∴sin αcos β-cos αsin β=13.②由①,②解得sin αcos β=512, cos αsin β=112,∴tantanαβ=sin coscos sinαβαβ=512112=5.2.已知α,β都是锐角,且cos αsin β=12,求α-β的值.解:法一由α,β都是锐角及cos αβ=12,得sin αβ.所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.又由α,β都是锐角,即0<α<π2,0<β<π2,所以-π2<α-β<π2.所以α-β=π4 .法二由α,β都是锐角及cos αβ=12,得sin αβ.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β1 2,3.(2014清远期末)化简:sin 21°cos 81°-cos 21° sin 81°等于( D )(A)12 (B)-12解析:原式=sin(21°-81°)=-sin 60°故选D. 4.已知α是锐角,sin α=35,则cos (π4+α)等于( B )(D) 解析:因为α是锐角,sin α=35, 所以cos α=45,所以cos (π4+α)×45×35.故选B. 5.sin 255°= .解析:sin 255°=-sin 75°=-sin(45°+30°)=-答案: 6.1tan12tan 72tan12tan 72--= .解析:1tan12tan 72tan12tan 72+-=-()1tan 7212-=-答案:5.已知α+β=45°,求(1+tan α)·(1+tan β)的值. 解: (1+tan α)·(1+tan β )=1+tan αtan β+tan α+tan β=1+tan αtan β+tan(α+β)(1-tan αtan β)=2。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形(最新整理)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β(C (α-β))②cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β(C (α+β))③sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(S (α-β))④sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(S (α+β))⑤tan(α-β)=(T (α-β))tan α-tan β1+tan αtan β⑥tan(α+β)=(T (α+β))tan α+tan β1-tan αtan β(2)公式变形①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β).②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).2.二倍角公式(1)公式①sin 2α=2sin_αcos_α,②cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,③tan 2α=.2tan α1-tan 2α(2)公式变形①cos 2α=,sin 2α=;1+cos 2α21-cos 2α2②1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=sin .2)4(πα±3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(√)(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(√)(3)在锐角△ABC 中,sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.(×)(4)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意tan α+tan β1-tan αtan β角α,β都成立.(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(×)(6)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(√)(7)若α+β=,则(1+tan α)(1+tan β)=2.(√)π4(8)不存在实数α,β,使得cos(α+β)=sin α+cos β.(×)(9)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(√)(10)y =的x 无意义.(×)1-2cos 2x考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值:-sin 10°;1+cos 20°2sin 20°)5tan 5tan 1(00-解:原式=-sin 10°2cos 210°2×2sin 10°cos 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000-=-sin 10°·=-sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 25°-sin 25°sin 5°cos 5°cos 10°2sin 10°cos 10°12sin 10°=-2cos 10°=cos 10°2sin 10°cos 10°-2sin 20°2sin 10°=cos 10°-2sin (30°-10°)2sin 10°===.cos 10°-2(12cos 10°-32sin 10°)2sin 10°3sin 10°2sin 10°32(2)化简:sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-cos 2α·cos 2β.12解:法一:(复角→单角,从“角”入手)原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1)12=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-·(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1)12=sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-12=sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-12=sin 2β+cos 2β-=1-=.121212法二:(从“名”入手,异名化同名)原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-cos 2α·cos 2β=cos 2β-sin 2α(cos 2β-sin 2β)-cos 2α·cos12122β=cos 2β-sin 2α·cos 2β-cos 2α·cos 2β12=cos 2β-cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+=-cos 2β·1+cos 2β2[sin 2α+12(1-2sin 2α)]=-cos 2β=.1+cos 2β21212法三:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)原式=·+·-cos 2α·cos 2β1-cos 2α21-cos 2β21+cos 2α21+cos 2β212=(1+cos 2α·cos 2β-cos 2α-cos 2β)+(1+cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β)-·cos 2α·cos 2β141412=.12[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.1.求值sin 50°(1+tan 10°).3解:sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°(1+tan 60°·tan 10°)3=sin 50°·cos 60°cos 10°+sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°=sin 50°·====1.cos (60°-10°)cos 60°cos 10°2sin 50°cos 50°cos 10°sin 100°cos 10°cos 10°cos 10°2.在△ABC 中,已知三个内角A ,B ,C 成等差数列,则tan +tan +tan tan 的值为A 2C 23A 2C2________.解析:因为三个内角A ,B ,C 成等差数列,且A +B +C =π,所以A +C =,=,tan =,2π3A +C 2π3A +C23所以tan +tan +tan tanA 2C 23A 2C2=tan +tan tan22(C A +2tan 2tan 1(CA -3A 2C 2=+tan tan =.3)2tan 2tan1(CA -3A 2C 23考点二 三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值,求三角函数的值3.已知三角函数式的值,求三角函数值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ=-,则cos 2θ=( )13A .- B .-C. D.45151545解析:法一:cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ==.故选D.1-tan 2θ1+tan 2θ45法二:由tan θ=-,可得sin θ=±,因而cos 2θ=1-2sin 2θ=.1311045答案:D(2)已知tan =,且-<α<0,则等于( ))4(πα+12π2)4cos(2sin sin 22πααα-+A .-B .-C .-D.255351031010255解析:由tan ==,得tan α=-.)4(πα+tan α+11-tan α1213又-<α<0,所以sin α=-.π21010故==2sin α=-.)4cos(2sin sin 22πααα-+2sin α(sin α+cos α)22(sin α+cos α)2255答案:A(3)已知α∈,且2sin 2α-sin α·cos α-3cos 2α=0,则=________.)2,0(π12cos 2sin )4sin(+++ααπα解析:2sin 2α-sin αcos α-3cos 2α=0则(2sin α-3cos α)(sin α+cos α)=0,由于α∈,sin α+cos α≠0,)2,0(π则2sin α=3cos α.又sin 2α+cos 2α=1,∴cos α=,213∴==.12cos 2sin )4sin(+++ααπα22(sin α+cos α)(sin α+cos α)2+(-sin 2α+cos 2α)268答案:268[方法引航] 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示:(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时,先化简三角函数式,再利用整体代入求值.1.在本例(1)中,已知条件不变,求tan 的值.)6(θπ+解:tan ===.)6(θπ+tan π6+tan θ1-tan π6tan θ33-131+33×1353-6132.在本例(1)中,已知条件不变,求2sin 2θ-sin θcos θ-3cos 2θ的值.解:原式=2sin 2θ-sin θcos θ-3cos 2θsin 2θ+cos 2θ===-.2tan 2θ-tan θ-3tan 2θ+12×(-13)2+13-3(-13)2+11153.已知cos +sin =,则cos =________.)2(απ-)32(απ-23532(πα+解析:由cos +sin =,得)2(απ-)32(απ-235sin α+sin cos α-cos πsin α=∴sin α+cos α=,2π3232353232235即sin =,∴sin =,3)6(πα+2356(πα+25因此cos =1-2sin 2=1-2×=.)32(πα+6(πα+2)52(1725答案:1725考点三 已知三角函数式的值求角命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角[例3] (1)已知cos α=,cos(α-β)=,0<β<α<,则β=________.171314π2解析:∵cos α=,0<α<.∴sin α=.17π2437又cos(α-β)=,且0<β<α<.∴0<α-β<,则sin(α-β)=.1314π2π23314则cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×==,由于0<β<,所以β=.1713144373314497×1412π2π3答案:π3(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为________.1217解析:∵tan α=tan[(α-β)+β]=tan (α-β)+tan β1-tan (α-β)tan β==>0,∴0<α<.又∵tan 2α===>0,12-171+12×1713π22tan α1-tan 2α2)31(1312-⨯34∴0<2α<,∴tan(2α-β)===1.π2tan 2α-tan β1+tan 2αtan β34+171-34×17∵tan β=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-π.17π234答案:-π34[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦函数或余弦函数,且①若角的范围是,选正、余弦皆可;②)2,0(π若角的范围是(0,π),选余弦较好;③若角的范围是,选正弦较好.)2,2(ππ-2.解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.1.设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为( )5531010A. B.C. D.或3π45π47π45π47π4解析:选C.∵α,β为钝角,sin α=,cos β=-,5531010∴cos α=,sin β=,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=>0.-255101022又α+β∈(π,2π),∴α+β∈,∴α+β=.)2,23(ππ7π42.已知tan α=-,cos β=,α∈,β∈,求tan(α+β)的值,并求出α+β的值.1355),2(ππ)2,0(π解:由cos β=,β∈,得sin β=,tan β=2.55)2,0(π255∴tan(α+β)===1.tan α+tan β1-tan αtan β-13+21+23∵α∈,β∈,∴<α+β<,∴α+β=.),2(ππ)2,0(ππ23π25π4[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.[典例] 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:(1)sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°;(2)sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°;(3)sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°;(4)sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos 48°;(5)sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.[解] (Ⅰ)选择(2)式,计算如下:sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.121434(Ⅱ)法一:三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.34证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin 2α+cos 2α+sin αcos α+sin 2α-sin α·cos α-sin 2α=sin 2α+34321432123434cos 2α=.34法二:三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.34证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=+-sin α(cos 30°cos α+sin 1-cos 2α21+cos (60°-2α)230°sin α)=-cos 2α++(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-sin αcos α-sin 2α=-cos 2α1212121232121212++cos 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α)=1-cos 2α-+cos 2α=.121434341414141434[高考真题体验]1.(2016·高考全国甲卷)若cos =,则sin 2α=( ))4(απ-35A. B. C .-D .-7251515725解析:选D.因为cos =cos cos α+sin sin α=(sin α+cos α)=,所以sin α+cos α=)4(απ-π4π42235,所以1+sin 2α=,所以sin 2α=-,故选D.32518257252.(2016·高考全国丙卷)若tan α=,则cos 2α+2sin 2α=( )34A.B.C .1D.642548251625解析:选A.法一:由tan α==,cos 2α+sin 2α=1,得Error!或Error!,则sin 2α=2sin αcossin αcos α34α=,则cos 2α+2sin 2α=+=.2425162548256425法二:cos 2α+2sin 2α====.cos 2α+4sin αcos αcos 2α+sin 2α1+4tan α1+tan 2α1+31+91664253.(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )A .- B.C .- D.32321212解析:选D.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.124.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈,β∈,且tan α=,则( ))2,0(π)2,0(π1+sin βcos βA .3α-β= B .2α-β=C .3α+β= D .2α+β=π2π2π2π2解析:选B.由条件得=,即sin αcos β=cos α(1+sin β),sin(α-β)=cos α=sin sin αcos α1+sin βcos β,因为-<α-β<,0<-α<,所以α-β=-α,所以2α-β=,故选B.)2(απ-π2π2π2π2π2π25.(2015·高考四川卷)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是________.解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以2sin αcos α-cos 2α==2sin αcos α-cos 2αsin 2α+cos 2α2tan α-1tan 2α+1==-1.-4-14+1答案:-16.(2016·高考四川卷)cos 2-sin 2=________.π8π8解析:由二倍角公式,得cos 2-sin 2=cos =.π8π8)82(π⨯22答案:22课时规范训练A 组 基础演练1.tan 15°+=( )1tan 15°A .2 B .2+C .4D.3433解析:选C.法一:tan 15°+=+1tan 15°sin 15°cos 15°cos 15°sin 15°===4.1cos 15°sin 15°2sin 30°法二:tan 15°+=+1tan 15°1-cos 30°sin 30°1sin 30°1+cos 30°=+==4.1-cos 30°sin 30°1+cos 30°sin 30°2sin 30°2.的值是( )2cos 10°-sin 20°sin 70°A. B.C.D.123232解析:选C.原式=2cos (30°-20°)-sin 20°sin 70°=2(cos 30°·cos 20°+sin 30°·sin 20°)-sin 20°sin 70°==.3cos 20°cos 20°33.已知θ∈(0,π),且sin =,则tan 2θ=( ))4(πθ-210A. B. C .-D.4334247247解析:选C.由sin =,得(sin θ-cos θ)=,所以sin θ-cos θ=.)4(πθ-2102221015解方程组Error!,得Error!或Error!.因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,所以Error!不合题意,舍去,所以tan θ=,所以tan 2θ==432tan θ1-tan 2θ=-,故选C.2×431-(43)22474.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于( )]2,4[ππ378A. B. C.D.35457434解析:选D.由sin 2θ=和sin 2θ+cos 2θ=1得387(sin θ+cos θ)2=+1=,3782)473(+又θ∈,∴sin θ+cos θ=.]2,4[ππ3+74同理,sin θ-cos θ=,∴sin θ=.3-74345.已知sin 2(α+γ)=n sin 2β,则的值为( )tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)A.B.C.D.n -1n +1nn +1nn -1n +1n -1解析:选D.由已知可得sin[(α+β+γ)+(α-β+γ)]=n sin[(α+β+γ)-(α-β+γ)],则sin(α+β+γ)·cos(α-β+γ)+cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)=n [sin(α+β+γ)cos(α-β+γ)-cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)],即(n +1)cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)=(n -1)sin(α+β+γ)cos(α-β+γ),所以=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),故选D.n +1n -16.若sin =,则cos 2θ=________.)2(θπ+35解析:∵sin =cos θ=,∴cos 2θ=2cos 2θ-1=2×-1=-.)2(θπ+352)53(725答案:-7257.若点P (cos α,sin α)在直线y =-2x 上,则sin 2α+2cos 2α=________.解析:∵点P (cos α,sin α)在直线y =-2x 上∴sin α=-2cos α,于是sin 2α+2cos 2α=2sin αcos α+2(2cos 2α-1)=-4cos 2α+4cos 2α-2=-2.答案:-28.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是________.),2(ππ解析:∵sin 2α=-sin α,∴2sin αcos α=-sin α.∵α∈,sin α≠0,∴cos α=-.又∵α∈,∴α=π,),2(ππ12),2(ππ23∴tan 2α=tan π=tan =tan =.43)3(ππ+π33答案:39.化简:(0<θ<π).(1+sin θ+cos θ)(sin θ2-cosθ2)2+2cos θ解:由θ∈(0,π),得0<<,∴cos >0,θ2π2θ2∴==2cos .2+2cos θ4cos 2θ2θ2又(1+sin θ+cos θ)=)2cos 2(sinθθ-2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+=2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ-=-2cos cos θ.故原式==-cos θ.θ2-2cos θ2cos θ2cosθ210.已知α∈,且sin +cos =.),2(ππα2α262(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.35),2(ππ解:(1)因为sin +cos =,两边同时平方,得sin α=.α2α26212又<α<π,所以cos α=-.π232(2)因为<α<π,<β<π,所以-π<-β<-,故-<α-β<.π2π2π2π2π2又sin(α-β)=-,得cos(α-β)=.3545cos β=cos[α-(α-β)=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-×+×=-.324512)53(-43+310B 组 能力突破1.已知sin α+cos α=,则1-2sin 2=( )22)4(απ-A. B.C .-D .-12321232解析:选C.由sin α+cos α=,得1+2sin αcos α=,∴sin 2α=-.221212因此1-2sin 2=cos2=sin 2α=-.)4(απ-)4(απ-122.已知f (x )=2tan x -,则f 的值为( )2sin 2x2-1sin x 2cos x 2)12(πA .4B.C .4D .83833解析:选D.∵f (x )=2=2×=,)sin cos cos sin (2sin cos (tan xxx x x x x +⨯=+1cos x ·sin x 4sin 2x∴f ==8.)12(π4sin π63.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于( )551010A. B. C. D.5π12π3π4π6解析:选C.∵α、β均为锐角,∴-<α-β<.π2π2又sin(α-β)=-,∴cos(α-β)=.101031010又sin α=,∴cos α=,55255∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.5531010255)1010(-22∴β=.π44.若tan α=lg(10a ),tan β=lg ,且α+β=,则实数a 的值为________.1a π4解析:tan α+tan β=lg(10a )+lg =lg 10=1,1a∵α+β=,所以tan =tan(α+β)==,π4π4tan α+tan β1-tan αtan β11-tan αtan β∴tan αtan β=0,则有tan α=lg(10a )=0或tan β=lg =0.1a 所以10a =1或=1,即a =或1.1a 110答案:或11105.已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.13ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-(1)求tan(α+β)的值;(2)求tan β的值.解:(1)∵tan(π+α)=-,∴tan α=-.∵tan(α+β)=1313ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-===sin 2α+4cos 2α10cos 2α-sin 2α2sin αcos α+4cos 2α10cos 2α-2sin αcos α2cos α(sin α+2cos α)2cos α(5cos α-sin α)====.sin α+2cos α5cos α-sin αtan α+25-tan α-13+25-(-13)516(2)tan β=tan[(α+β)-α]===.tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α516+131-516×133143。
§15.1.2两角和与差的正弦公式
由公式(1.3),可得 sin(-)=sin[+(-)] =sin· -)+cos· -) cos( sin( =sin· -cos· cos sin 两角差的正弦公式
sin(-)=sin· -cos· cos sin 公式对于任意的角 、 都成立. 记忆口诀: (1.4)
sin( ) 2
命题为真.
求证: cos( ). sin 2
我们已经证明下列等式:
cos( ) sin , sin( ) cos . 2 2 若将 cos( ) sin 中的 换成+, 2 你能得出什么结果? sin( ) cos[
3 已知 sin , ( , ), 求 sin( ). 5 2 3 3 解: sin , ( , ) 5 2 4 2 cos 1 sin 5 sin( ) sin cos cos sin 3 3 3 3 4 1 3 3 4 3 ( ) 2 5 2 5 10
正弦的两角和差,洒扣扣洒,减还是减,加还是加.
求sin15º 的值. sin 45 30 解: sin15
你会求 sin(-15º )吗?
sin 45 cos30 cos45 sin30
2 3 2 1 2 2 2 2
6 2 4
求sin75º 的值.
余弦的两角和差,扣扣洒洒,加变成减,减变成加.
求证: sin( ). cos 2 证明: cos cos[ ( )]
2 2 cos cos( ) sin sin( ) 2 2 2 2 0cos( ) 1 sin( ) 2 2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式:sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ,
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ,tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。
1、两角和(差)公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。
两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础,其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。
正弦公式是描述正弦定理的相关公式,而正弦定理是三角学中的一个基本定理,它指出:在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
几何意义上,正弦公式即为正弦定理。
2、先利用单位圆(向量)推到两角和与差的余弦公式,再利用诱导公式推导正弦公式,最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。
3、正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘,sin与sin相乘,两角和与差的正弦公式:正=正余余正符号同两角和与差的余弦公式:余=余余正正符号异。
2021届高考数学总复习:两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2021届高考数学总复习:两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、知识点1.两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。
(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。
(3)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ。
2.两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)。
(2)cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)。
(3)tanα-tanβ1+tanαtanβ=tan(α-β)。
3.二倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα。
(2)cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α。
(3)tan2α=2tanα1-tan2α。
4.常用公式的变化形式(1)a sinα+b cosα=a2+b2sin(α+φ),其中cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2或a sin x+b cos x=a2+b2cos(x-θ),其中cosθ=ba2+b2,sinθ=aa2+b2。
(2)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)。
(3)1-tan α1+tan α=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α。
(4)1+tan α1-tan α=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α。
1.两角和与差的正切公式的变形: tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)。
2.二倍角余弦公式的变形: sin 2α=1-cos2α2,cos 2α=1+cos2α2。
3.一般地,函数f (α)=a sin α+b cos α(a ,b 为常数)可以化为f (α)=a 2+b2sin(α+φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ=b a 或f (α)=a 2+b 2cos(α-φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ=a b 。
一、走进教材1.(必修4P 131练习T 5改编)计算:sin108°cos42°-cos72°·sin42°=________。
课件10:3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3分
=sin10°cocso6s100°°-cosisn6600°°cos10°·csoins5100°°
=csoins1(0°-c5o0s°60)°·csoins5100°°
=-cos610°=-2.
6分
(2)∵tan(20°+40°)=1ta-n2ta0n°20+°tatann4400°°,
∴tan20°+tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°),
(1)(tan10°- 3)csoins5100°°;
(2)tan20°+tan40°+ 3tan20°·tan40°.
【解】 (1)(tan10°- 3)csoins5100°°=(tan10°-tan60°)csoins5100°°
=(csoins1100°°-csoins6600°°)csoisn1500°°
∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β) =45×(-45)-(-35)×35=-275. cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =45×(-45)+(-35)×35=-1.
互动探究 1.若本例条件不变,求sinαsinβ的值. 解:由 cos(α+β)=45,得 cosαcosβ-sinαsinβ=45.① 由 cos(α-β)=-45得 cosαcosβ+sinαsinβ=-45.② ②-①得 2sinαsinβ=-2×45, ∴sinαsinβ=-45.
题型二 和(差)角的正弦公式 例 2 已知 cosα=13,α∈(0,π2),sinβ=-35,β 是第三象限角.求 sin(α+β), sin(α-β)的值. 【解】 ∵cosα=13,α∈(0,π2),∴sinα= 1-cos2α=23 2. ∵sinβ=-35,β 是第三象限角,
两角和与差的公式定理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(C(α-β))cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β(C(α+β))sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(S(α-β))sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(S(α+β))tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β(T(α-β))tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β (T (α+β))2.二倍角公式sin 2α=2sin_αcos_α;cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; tan 2α=2tan α1-tan 2α.3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T (α±β)可变形为tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan_αtan_β), tan αtan β=1-tan α+tan βtan(α+β)=tan α-tan βtan(α-β)-1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中,sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( × ) (3)公式tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtanβ),且对任意角α,β都成立.( × )(4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( √ ) (5)设sin 2α=-sin α,α∈(π2,π),则tan 2α=3.( √ )1.(2013·浙江)已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C .-34 D .-43 答案 C解析 ∵sin α+2cos α=102,∴sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=52. 化简得:4sin 2α=-3cos 2α, ∴tan 2α=sin 2αcos 2α=-34.故选C.2.若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan 2α等于( )A .-34 B.34 C .-43 D.43答案 B解析 由sin α+cos αsin α-cos α=12,等式左边分子、分母同除cos α得,tan α+1tan α-1=12,解得tan α=-3,则tan 2α=2tan α1-tan 2α=34.3.(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角,若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=12,则sin θ+cos θ=________.答案 -105解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=12,∴tan θ=-13,即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ=-cos θ,sin 2θ+cos 2θ=1,且θ为第二象限角,解得sin θ=1010,cos θ=-31010. ∴sin θ+cos θ=-105. 4.(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为________. 答案 1解析 ∵f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ) =sin[(x +φ)+φ]-2sin φcos(x +φ)=sin(x +φ)cos φ+cos(x +φ)sin φ-2sin φcos(x +φ) =sin(x +φ)cos φ-cos(x +φ)sin φ =sin[(x +φ)-φ]=sin x , ∴f (x )的最大值为1.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α,tan β是方程x 2-3x +2=0的两根,则tan(α+β)的值为( ) A .-3 B .-1 C .1D .3(2)若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-β2)=33,则cos(α+β2)等于( )A.33 B .-33C.539D .-69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α+tan β=3,tan αtan β=2. ∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=31-2=-3.故选A.(2)cos(α+β2)=cos[(π4+α)-(π4-β2)]=cos(π4+α)cos(π4-β2)+sin(π4+α)sin(π4-β2).∵0<α<π2,则π4<π4+α<3π4, ∴sin(π4+α)=223.又-π2<β<0,则π4<π4-β2<π2, 则sin(π4-β2)=63.故cos(α+β2)=13×33+223×63=539.故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.(1)若α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sin α等于( ) A.35 B.45 C .-35D .-45(2)计算:1+cos 20°2sin 20°-sin 10°(1tan 5°-tan 5°)=________.答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α+π4)=tan α+11-tan α=17,∴tan α=-34=sin αcos α,∴cos α=-43sin α.又∵sin 2α+cos 2α=1, ∴sin 2α=925.又∵α∈(π2,π),∴sin α=35.(2)原式=2cos 210°4sin 10°cos 10°-sin 10°·cos 25°-sin 25°sin 5°cos 5°=cos 10°2sin 10°-sin 20°sin 10° =cos 10°-2sin 20°2sin 10°=cos 10°-2sin(30°-10°)2sin 10°=cos 10°-2sin 30°cos 10°+2cos 30°sin 10°2sin 10°=32.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°-x )cos(x -20°)+cos(65°-x )·cos(110°-x )的值为( ) A.2B.22C.12D.32(2)化简:2cos 4x -2cos 2x +122tan(π4-x )sin 2(π4+x )=________.(3)求值:cos 15°+sin 15°cos 15°-sin 15°=________.答案 (1)B (2)12cos 2x (3)3解析 (1)原式=sin(65°-x )·cos(x -20°)+cos(65°-x )cos[90°-(x -20°)]=sin(65°-x )cos(x -20°)+cos(65°-x )sin(x -20°)=sin[(65°-x )+(x -20°)]=sin 45°=22.故选B.(2)原式=12(4cos 4x -4cos 2x +1)2×sin(π4-x )cos(π4-x )·cos 2(π4-x )=(2cos 2x -1)24sin(π4-x )cos(π4-x )=cos 22x2sin(π2-2x )=cos 22x2cos 2x =12cos 2x . (3)原式=1+tan 15°1-tan 15°=tan 45°+tan 15°1-tan 45°tan 15°=tan(45°+15°)=3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.(1)已知α∈(0,π),化简:(1+sin α+cos α)·(cos α2-sin α2)2+2cos α=________.(2)在△ABC 中,已知三个内角A ,B ,C 成等差数列,则tan A 2+tan C2+3tan A 2tan C2的值为________.答案 (1)cos α (2)3解析 (1)原式=(2cos 2α2+2sin α2cos α2)·(cos α2-sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0,π),所以cos α2>0, 所以原式=(2cos 2α2+2sin α2cos α2)·(cos α2-sin α2)2cosα2=(cos α2+sin α2)·(cos α2-sinα2)=cos 2α2-sin 2α2=cos α.(2)因为三个内角A ,B ,C 成等差数列,且A +B +C =π,所以A +C =2π3,A +C 2=π3,tanA +C2=3,所以tan A 2+tan C2+3tan A 2tan C2=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2+C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-tan A 2tan C 2+3tan A 2tan C2=3⎝⎛⎭⎪⎫1-tan A 2tan C 2+3tan A 2tan C2= 3.题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.则sin(α-β)=________,cos β=________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α=23,则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4等于( )A.16B.13C.12D.23 答案 (1)-101095010 (2)A解析 (1)∵α,β∈(0,π2),从而-π2<α-β<π2.又∵tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1010,cos(α-β)=31010.∵α为锐角,sin α=35,∴cos α=45.∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =45×31010+35×(-1010)=91050. (2)因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1+cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π42=1+cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π22=1-sin 2α2,所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1-sin 2α2=1-232=16,选A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=(α+β2)-(α2+β)等.(1)设α、β都是锐角,且cos α=55,sin(α+β)=35,则cos β等于( )A.2525B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α-π6)+sin α=453,则sin(α+7π6)的值是________.答案 (1)A (2)-45解析 (1)依题意得sin α=1-cos 2α=255,cos(α+β)=±1-sin 2(α+β)=±45. 又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β). 因为45>55>-45,所以cos(α+β)=-45.于是cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-45×55+35×255=2525.(2)∵cos(α-π6)+sin α=453,∴32cos α+32sin α=453,3(12cos α+32sin α)=453,3sin(π6+α)=453,∴sin(π6+α)=45,∴sin(α+7π6)=-sin(π6+α)=-45.高考中的三角函数求值、化简问题典例:(1)若tan 2θ=-22,π<2θ<2π,则2cos 2θ2-sin θ-12sin(θ+π4)=________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sin βcos β,则( )A .3α-β=π2B .2α-β=π2C .3α+β=π2D .2α+β=π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角,sin α+cos α=33,则cos 2α等于( )A .-53B .-59 C.59 D.53(4)(2012·重庆)sin 47°-sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A .-32B .-12 C.12 D.32思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”,利用和差公式、诱导公式找α,β的关系.(3)可以利用sin 2α+cos 2α=1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系. (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化. 解析 (1)原式=cos θ-sin θsin θ+cos θ=1-tan θ1+tan θ,又tan 2θ=2tan θ1-tan 2θ=-22,即2tan 2θ-tan θ-2=0,解得tan θ=-12或tan θ= 2.∵π<2θ<2π,∴π2<θ<π.∴tan θ=-12,故原式=1+121-12=3+2 2.(2)由tan α=1+sin βcos β得sin αcos α=1+sin βcos β,即sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin(π2-α).∵α∈(0,π2),β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,π2),π2-α∈(0,π2),∴由sin(α-β)=sin(π2-α),得α-β=π2-α,∴2α-β=π2.(3)方法一 ∵sin α+cos α=33,∴(sin α+cos α)2=13,∴2sin αcos α=-23,即sin 2α=-23.又∵α为第二象限角且sin α+cos α=33>0,∴2k π+π2<α<2k π+34π(k ∈Z ),∴4k π+π<2α<4k π+32π(k ∈Z ),∴2α为第三象限角, ∴cos 2α=-1-sin 22α=-53. 方法二 由sin α+cos α=33两边平方得1+2sin αcos α=13,∴2sin αcos α=-23.∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α=(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=153. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α+cos α=33,sin α-cos α=153,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=3+156,cos α=3-156.∴cos 2α=2cos 2α-1=-53.(4)原式=sin(30°+17°)-sin 17°cos 30°cos 17°=sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30°cos 17°=sin 30°cos 17°cos 17°=sin 30°=12.答案 (1)3+22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征,灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换,掌握常见的配角技巧.方法与技巧 1.巧用公式变形:和差角公式变形:tan x ±tan y =tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y );倍角公式变形:降幂公式cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2,配方变形:1±sin α=⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1+cos α=2cos 2α2,1-cos α=2sin 2α2.2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. 失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.2.在(0,π)范围内,sin(α+β)=22所对应的角α+β不是唯一的.3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练 (时间:30分钟)1.已知tan(α+β)=25,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=14,那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16 答案 C解析 因为α+π4+β-π4=α+β,,.所以α+π4=(α+β)-⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α+β)-⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=tan(α+β)-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π41+tan(α+β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=322.2.若θ∈[π4,π2],sin 2θ=378,则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ=387和sin 2θ+cos 2θ=1得 (sin θ+cos θ)2=378+1=(3+74)2, 又θ∈[π4,π2],∴sin θ+cos θ=3+74.同理,sin θ-cos θ=3-74,∴sin θ=34.3.已知tan α=4,则1+cos 2α+8sin 2αsin 2α的值为( )A .43B.654 C .4 D.233答案 B解析 1+cos 2α+8sin 2αsin 2α=2cos 2α+8sin 2α2sin αcos α,,.∵tan α=4,∴cos α≠0,分子、分母都除以cos 2α得2+8tan 2α2tan α=654.4.(2013·重庆)4cos 50°-tan 40°等于( ) A.2 B.2+32C.3 D .22-1答案 C解析 4cos 50°-tan 40°=4sin 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°=2sin(50°+30°)-sin 40°cos 40°=3sin 50°+cos 50°-sin 40°cos 40°=3sin 50°cos 40°=3.5.已知cos(x -π6)=-33,则cos x +cos(x -π3)的值是( )A .-233B .±233C .-1D .±1答案 C解析 cos x +cos(x -π3)=cos x +12cos x +32sin x =32cos x +32sin x =3(32cos x +12sin x )=3cos(x -π6)=-1.6.sin 250°1+sin 10°=________.答案 12解析sin 250°1+sin 10°=1-cos 100°2(1+sin 10°)=1-cos(90°+10°)2(1+sin 10°)=1+sin 10°2(1+sin 10°)=12.7.已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=________. 答案 1解析根据已知条件:cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,cos β(cos α-sin α)+sin β(cos α-sin α)=0,即(cos β+sin β)(cos α-sin α)=0.又α、β为锐角,则sin β+cos β>0,∴cos α-sin α=0,∴tan α=1.8.3tan 12°-3(4cos212°-2)sin 12°=________. 答案-4 3解析原式=3sin 12°cos 12°-32(2cos212°-1)sin 12°=23⎝⎛⎭⎪⎪⎫12sin 12°-32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°=23sin(-48°)2cos 24°sin 12°cos 12°=-23sin 48°sin 24°cos 24°=-23sin 48°12sin 48°=-4 3.9.已知1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α=-2tan α,试确定使等式成立的α的取值集合.解因为1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α=(1+sin α)2cos 2α-(1-sin α)2cos 2α=|1+sin α||cos α|-|1-sin α||cos α|=1+sin α-1+sin α|cos α|=2sin α|cos α|,所以2sin α|cos α|=-2tan α=-2sin αcos α.所以sin α=0或|cos α|=-cos α>0.故α的取值集合为{α|α=k π或2k π+π2<α<2k π+π或2k π+π<α<2k π+3π2,k ∈Z }.10.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,且sin α2+cos α2=62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求cos β的值.解 (1)因为sin α2+cos α2=62, 两边同时平方,得sin α=12.又π2<α<π,所以cos α=-32. (2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-35,得cos(α-β)=45.cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =-32×45+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35=-43+310.B 组 专项能力提升 (时间:25分钟)11.已知tan(α+π4)=12,且-π2<α<0,则2sin 2α+sin 2αcos(α-π4)等于( )A .-255 B .-3510 C .-31010 D.255答案 A解析 由tan(α+π4)=tan α+11-tan α=12,得tan α=-13.又-π2<α<0,所以sin α=-1010.故2sin 2α+sin 2αcos(α-π4)=2sin α(sin α+cos α)22(sin α+cos α)=22sin α=-255.12.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,且sin 2α+cos 2α=14,则tan α的值等于( )A.22B.33 C. 2 D.3答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,且sin 2α+cos 2α=14,∴sin 2α+cos 2α-sin 2α=14,∴cos 2α=14,∴cos α=12或-12(舍去),∴α=π3,∴tan α=3.13.若tan θ=12,θ∈(0,π4),则sin(2θ+π4)=________.答案7210解析 因为sin 2θ=2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=2tan θtan 2θ+1=45,又由θ∈(0,π4),得2θ∈(0,π2),所以cos 2θ=1-sin 22θ=35, 所以sin(2θ+π4)=sin 2θcos π4+cos 2θsin π4=45×22+35×22=7210.14.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +7π4+cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -3π4,x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值;(2)已知cos(β-α)=45,cos(β+α)=-45,0<α<β≤π2,求证:[f (β)]2-2=0.(1)解 ∵f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +7π4-2π+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4-π2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4, ∴T =2π,f (x )的最小值为-2.(2)证明 由已知得cos βcos α+sin βsin α=45,cos βcos α-sin βsin α=-45,两式相加得2cos βcos α=0, ∵0<α<β≤π2,∴β=π2,∴[f (β)]2-2=4sin 2π4-2=0. 15.已知f (x )=(1+1tan x)sin 2x -2sin(x +π4)·sin(x -π4). (1)若tan α=2,求f (α)的值; (2)若x ∈[π12,π2],求f (x )的取值范围.解(1)f (x )=(sin 2x +sin x cos x )+2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4· cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=1-cos 2x 2+12sin 2x +sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2=12+12(sin 2x -cos 2x )+cos 2x =12(sin 2x +cos 2x )+12. 由tan α=2,得sin 2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=45.cos 2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2α1+tan 2α=-35.所以,f (α)=12(sin 2α+cos 2α)+12=35.(2)由(1)得f (x )=12(sin 2x +cos 2x )+12=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4+12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,π2,得5π12≤2x +π4≤5π4.所以-22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4≤1,0≤f (x )≤2+12,所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0,2+12.。
两角和与差的正弦公式完整版本
例5 利用S 和 C 证明
sin()sin cos ()cos
7
归纳小结
s i n ) ( s ic n o c s o s i sn
S
s i n ) ( s ic n o c s o s i sn
12.1.2两角和与差的正弦
复习回顾
两角和与差的余弦公式
C:cos()co cso ssin sin .
C:cos()c ocso sin si.n
计算
co1s 05 c2 o c 0 s7 o 0 s2 i n s 0 7 i n 0
S
s i n ) ( s ic n o c s o s i sn
S
6
例题讲解
例4 求下列各式的精确值 (1) sin135 (2) sin15 (3) sin75(4) sin120 (5) sinc2o0s+ 2c5 oss2in 0;25
2
2
s in co s co ssin
4
两角和的正弦公式
s i n ) ( s ic n o c s o s i sn
S
两角差的正弦公式? ? ?
5
两角和与差的正弦公式
s i n ) ( s ic n o c s o s i sn
诱导公式
cos( ) sin
2
2
问题
究 两角 计算并观察下表中的数据,你有什么发现?
和
sin6(030)sin60 cos30 cos60 sin30
1
3 3
2
2
sin9(030) sin90 cos30
12.1.2 两角和与差的正弦
12.1.2 两角和与差的正弦一、三维目标:1、知识与技能:(理解两角和、差的正弦公式的推导过程,熟记两角和与差的正弦公式,运用两角和与差的正弦公式,解决相关数学问题。
2、过程与方法:养学生严密而准确的数学表达能力;培养学生逆向思维和发散思维能力;培养学生的观察能力,逻辑推理能力和合作学习能力。
3、情感、态度与价值观:通过观察、对比体会数学的对称美和谐美,培养学生良好的数学表达和思考的能力,学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、教学重、难点1. 教学重点:两角和、差正弦公式的推导过程及运用;2. 教学难点:两角和与差正弦公式的灵活运用.三、课时安排2节课 四、教学过程:(一)导入:回顾两角和与差的余弦公式:()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+.推导:()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+.()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦特例:sin()cos 2αα∏±=五、公式总结:1、两角差的余弦公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()()βα+S 2、两角和的余弦公式()βαβαβαsin cos -cos sin -sin = ()()βα-S对两角和与差的余弦公式的几点说明: (1)这两个公式告诉我们:利用任意角、的正弦和余弦可以求出或的余弦;(2)公式中出现的、以及、都是任意角;(3)公式的结构特征:左边是复角(或)的正弦,右边是关于单角的正余弦积与余正弦积的和(或差),公式两边在符号上正好相同。
3[1].1.2两角和与差的正弦和正切第一课时
T
T
应用举例
3 例1.已知sin , 是第四象限角 ,求 5 (1) sin( ) 4 (3) tan( ) 4
(2) cos( ) 4 (4) tan( ) 4
问题 : 去掉"是第四象限角 "呢 ?
应用举例
(1)同名积
(2)符号相反 (3)角的顺序: 问题2 : 你在C 中若设
2 会得到怎样的结果 ?
S sin( ) sin cos cos sin
问题3 : 在S 中, 你通过怎样的代换可以 得到S ? S 的公式是?
tan tan tan( ) 1 tan tan
tan tan tan( ) 1 tan tan
注意公式的正、逆、变用
作业:
1.解决问题1 2.P131T1T2T3T4T5
T
问题5 : T , T 成立的条件是什么 ?
S , C , T 叫和角公式 S , C , T 叫差角公式
六个公式的关系框图:
相除
C S
2
C S
相除
(0, ), 会求 sin( ), sin( ), tan( ),
2 tan( )的值
Hale Waihona Puke 复习导入C( ) cos cos cos sin sin
C( ) cos cos cos sin sin
例2.计算: (1) sin 72 cos 42 cos72 sin 42
课件11:3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
跟踪训练
2.已知函数 f(x)=sin x+sinx+2π,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)的最大值和最小值;
(3)若 f(α)=34,求 sin α·cos α 的值. 解:f(x)=sin x+sinx+π2=sin x+cos x= 2sinx+π4. (1)f(x)的最小正周期为 T=2π; (2)f(x)的最大值为 2,最小值- 2; (3)因为 f(α)=34,所以 sin α+cos α=34,平方得 1+2sin α·cos α=196所以 sin α·cos α=-372.
3.要善于应用公式的变形: tan (α+β)=1t- antαan+αttaannββ的变形为 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan(α-β)=1t+ antαan-αttaannββ的变形为 tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
新知初探
1.cos(α-β)=_c_o_s__α_c_o_s_β_+___si_n__α_si_n__β. 2.cos(α+β)=cos[α-_(-___β_) _]=cos αcos_(_-__β_)_+sinα sin__(-__β_)_, 即 cos (α+β)=_c_o_s_α_c_o_s__β_-__s_in__α_s_in_.β
1.要注意公式的变形和逆用,尤其是逆用.要能正确地找出所给式子与公式右边的异同,
积极创造逆用公式的条件.
2.要注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.
3.要注意常数代换,用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公式,