3.1.2两角和与差的正弦公式教学设计
人教版高中必修4(B版)3.1.2两角和与差的正弦课程设计
人教版高中必修4(B版)3.1.2两角和与差的正弦课程设计一、课程目标1.让学生掌握两角和与差的正弦公式的推导过程以及使用方法。
2.增强学生对三角函数的认识和理解，以及数学思维和运用能力。
3.引导学生在实际生活和科学中应用正弦函数。
二、教学重难点1、教学重点1.掌握两角和与差的正弦公式，能够灵活使用并解决相关问题。
2.理解正弦函数的图像和物理意义，为后面的学习做铺垫。
2、教学难点1.正弦公式的推导过程和理解。
2.如何将正弦函数应用到物理问题中，如声音和光学等领域。
三、教学内容1、预习学生需要预习教材3.1.2节内容，了解两角和与差的正弦公式以及相关性质。
2、教学过程（1）知识点讲解首先，介绍两角和与差的正弦公式的推导过程，并举例说明。
然后，讲解正弦函数的定义和性质，以及图像特点。
最后，讲解如何将正弦函数应用到实际问题中，如声音和光学等领域。
（2）课堂练习老师给出一些实际问题，让学生运用所学知识，使用两角和与差的正弦公式求解问题。
同时，让学生自己设计题目，并向同学提问。
通过这种方式，激发学生的学习兴趣和思考能力。
（3）课后作业老师布置一些课后练习和思考题，巩固学生对正弦函数和两角和与差的公式的掌握。
同时，要求学生将所学知识应用到生活中，如测量建筑物高度和距离等。
3、评价通过学生的预习、课堂练习和课后作业，以及平时表现的综合评价，了解学生对正弦函数和两角和与差的公式的掌握情况。
同时，也可以检验教学目标的完成情况，并根据评价结果调整教学方式和内容。
四、教学手段1.板书。
老师通过板书将重要的知识点整理和归纳，以及示范计算过程，方便学生理解和掌握。
2.图解。
正弦函数的图像特点和物理意义的解释，可以通过图解方式展示，直观而又形象。
五、教学资源1.教材《人教版高中必修4(B版)》。
2.教学PPT。
3.课外数学网站和课外读物。
六、教学反思1.教学时间的充足性。
对于一些学生而言，两角和与差的正弦公式的推导比较困难，需要花费更多的时间去讲解和练习。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
3.1.2-两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式民族中学 王克伟[教学目标]知识与技能目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.过程与方法目标：让学生亲身经历“从已知入手，研究对象的性质，再联系所学知识，推导出相应公式。
”这一研究过程，培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的能力。
通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.[教学过程]一.新课引入创设情境 引入课题： 想一想：cos15?=由上一节所学的两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，同学们很容易想到：那这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式： 二.、讲授新课 探索新知一26cos15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=cos75=cos(3045)?+=cos75?=两角和的余弦公式思考：由cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，如何求cos()?αβ-=分析：由于加法与减法互为逆运算，()αβαβ+=--，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以-β代β得cos[()]cos cos()sin sin cos()cos cos sin sin ()ααβαβαααββββ=--=-+--=+1、上述公式就是两角和的余弦公式，记作()cαβ+。
由两角和的余弦公式：()cαβ+，我们现在完成课前的想一想：探索新知二思考：前面我们学习了两角和与差的余弦，请同学们猜想一下：会不会有两角和与差的正弦公式呢？如果有，又该如何推导呢？在第一章中，我们学习了三角函数的诱导公式，同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢？cos()sin 2παα-=结合()c αβ+与()cαβ-，我们可以得到cos[()]cos[()]cos()cos sin()sin 22sin )2(2ππππαβαβααβββα=-++=--=-+-sin cos sin cos αββα=+2、sin )sin cos cos sin αβαβαβ++=(cos30cos45sin30sin 45=-cos75=cos(3045)+上述公式就是两角和的正弦公式，记作()sαβ+。
数学《两角和与差的正弦》教案
诚西郊市崇武区沿街学校3.1.2两角和
与差的正弦
op=(3，4)逆时针旋转,
op的位置，求点p’(x’〔略〕
：点P〔x，y〕与原点的间隔保持不变，逆时针旋转θ角到点
x’=xCosθ－ySinθ
y’=xSinθ＋yCosθ
〔略〕
注：这个结论叫旋转变换公式
P139/2
求函数y=aSinx+bCosx
最小值，其中a，b是不同时为零的实数。
〔略〕op=(3，4)
op=(x，y)，结论
变吗？再把45°为θ，对结论有影响吗？
学生证明。
问：公式的记忆规律？
问题：欲求函数y=aSinx+bCosx
最值和周期，必须化成什么式？表达式中的Sinx、Cosx系数变
op=2a+
设以op为终边的
一个角为θ，那么
Cosθ、Sinθ即可用
、b表示
此时需
y=aSinx+bCosx
怎样的变形？
问题：y=aSinx
bCosβ还可
22
+吗？
a b
学生练习
学生看书
师生一起总结
备注：
⑴注重教学过程，注重探究，应贯穿于每一节课的始终。
⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联络，创设问题情景，激发学生的学习兴趣。
⑶通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生的分析问题解决问题的才能。
高中数学：3.1.2 两角和与差的正弦(一) 教案(苏教版必修4)
第 2 课时： 3.1.2两角和与差的正弦（一）【三维目标】： 一、知识与技能1. 能由两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用2. 能用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形，并能熟练进行公式正逆向运用。
3. 揭示知识背景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，引发学生学习兴趣；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质. 二、过程与方法通过创设情境：通过两角差的余弦函数导出两角和与差的正弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习. 三、情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.【教学重点与难点】：重点: ()S αβ±公式的推导、应用. 难点: ()S αβ±公式的推导. 【学法与教学用具】： 1. 学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 1. ()C αβ±公式；2．化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-． 二、研探新知 1．诱导公式（1）cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα-=+=；（2）把公式（1）中2πα-换成α，则cos sin()2παα=-．即： cos()sin 2παα-= sin()cos 2παα-=．2．两角和与差的正弦公式的推导即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β,就得到：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。
高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦教案 必修4
3．1.2 两角和与差的正弦(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)能够利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式． (2)能够利用两角和与差的正弦公式进行化简、求值、证明．(3)创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识． 2．过程与方法通过诱导公式导出两角和与差的正弦公式，认识整个公式体系的推理和形成过程，领会其中体现出来的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高基本的数学素养．3．情感、态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆向思维的能力，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：两角和与差的正弦公式的推导及利用公式化简求值． 难点：灵活运用公式进行化简求值．(教师用书独具)●教学建议1．关于由C (α±β)推导S (α±β)的教学 建议教师先引导学生回忆正弦、余弦函数之间相互转化的方法即诱导公式，再让学生思考具体的操作方法，特别注意用哪个公式、公式的结构特征如何，比如：sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]，sin(α－β)＝cos[π2－(α－β)]＝cos[(π2－α)＋β]＝cos[(π2＋β)－α]，sin(α＋β)＝－cos[π2＋(α＋β)]＝－cos[(π2＋α)＋β]等，方法很多，可借此培养学生的发散思维能力．2．关于f (x )＝a sin x ＋b cos x 的教学建议教师一方面讲清变形原理——逆用两角和与差的正弦、余弦公式，说明提取a 2＋b 2的原因，另一方面讲清如何恰当选择公式以便于研究函数的性质．●教学流程 创设问题情境，提出问题：如何利用诱导公式及两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？⇒引导学生推导出两角和与差的正弦公式，并探究公式成立的条件及公式的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握两角和与差的正弦公式解决给角求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的正弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握已知三角函数值求角问题的求解思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)两角和与差的正弦公式 【问题导思】1．如何利用两角和(差)的余弦公式推导出两角和的正弦公式？【提示】 sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α) －β]＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.2．把公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β中的β用－β代替，结果如何？【提示】 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (1)两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(α，β∈R )． (2)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(α，β∈R ).给角求值 (1)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； (2)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．【思路探究】 (1)的形式与公式有差异，应先由诱导公式化角，再逆用公式求值． (2)所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式，θ＋75°＝(θ＋15°)＋60°，θ＋45°＝(θ＋15°)＋30°.【自主解答】 (1)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．求下列各式的值：(1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.【解】 (1)法一 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝6－24.法二 sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ 6－24.(2)法一 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.法二 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.给值求值 已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．【思路探究】 观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果．【自主解答】 因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝ 1－cos 2α－β＝ 1－12132＝513，cos(α＋β)＝－ 1－sin 2α＋β＝－ 1－－352＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665. 解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式． (2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”．(3)角的拆分方法不惟一，应根据题目合理拆分．(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围．(2013·北京高一检测)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，则sin β＝________.【解析】 ∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，sin α＝1－cos 2α＝437.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝32.【答案】32给值求角0＜α＜π，－π＜β＜0，sin α＝25，cos β＝310，求α＋β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出角α的余弦值与β的正弦值，再由和角的正弦公式求出sin(α＋β)，从而可根据α＋β的范围求出α＋β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55. 又∵－π2＜β＜0，cos β＝31010，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1010， ∴sin(α＋β)＝255×31010＋55×(－1010)＝22.又∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0，∴－π2＜α＋β＜π2.∴α＋β＝π4.已知三角函数值求角的步骤：(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，求角β的值．【解】 由α－β∈(π2，π)，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈(3π2，2π)，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝(－513)×(－1213)－1213×513＝0.又∵α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，∴2β∈(π2，32π)，∴2β＝π，则β＝π2.忽略限制角范围的条件致误 已知sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2，求α＋β的值．【错解】 ∵sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2， ∴cos α＝255，cos β＝31010，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. ∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝π4或3π4.【错因分析】 错解原因在于没有利用三角函数值缩小角的范围，从而导致出现两个解的错误．【防范措施】 对于已知三角函数值求角的大小问题，注意以下两个步骤缺一不可． (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．【正解】 ∵sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴cos α＝255，cos β＝31010.又sin α＝55＜12，sin β＝1010＜12， ∴0＜α＜π4，0＜β＜π4，0＜α＋β＜π2.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.∴α＋β＝π4.1．公式记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α＋β)――→以－β代βS (α－β)． (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”． 2．应用公式需注意的两点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式. 1．sin 75°＝________.【解析】 sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 【答案】2＋642．计算sin 43°cos 13°－co s 43°sin 13°的结果等于________． 【解析】 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.【答案】 123．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝_______________________________.【解析】 ∵cos α＝－45，α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝22sin α＋22cos α，＝22×(－35)＋22×(－45)＝－7210. 【答案】 －72104．已知α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α.【解】 ∵α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，∴α∈(0，π2)，－β∈(0，π2)，从而α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈(－π2，0)，sin β＝－210，∴cos β＝7210，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×(－210)＝22， ∵α∈(0，π2)，∴α＝π4.一、填空题1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝________.【解析】 sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.【答案】－322.sinα＋30°－sinα－30°cos α的值为________．【解析】原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.【答案】 13．已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin(β＋π3)＝________.【解析】∵π4＜β＜π2，∴cos β＝1－sin2β＝1－2232＝13，∴sin(β＋π3)＝12sin β＋32cos β＝12×223＋32×13＝22＋36.【答案】22＋364．cos(π6－α)sin α＋cos(π3＋α)cos α＝________.【解析】由于cos(π3＋α)＝sin(π6－α)，所以原式＝sin(π6－α)cos α＋cos(π6－α)sin α＝sin(π6－α＋α)＝sinπ6＝12.【答案】125．在△ABC中，2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是________．【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cos B sin A＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B.∴－sin A cos B＋cos A sin B＝0.即sin(B－A)＝0.∴A＝B.【答案】等腰三角形6．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 【解析】由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin2α＋80sin αcos β＋25cos2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos2α＋80 cos α sin β＋25sin2β＝100.②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.∴sin(α＋β)＝4780.【答案】47807．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于________． 【解析】 由条件知cos α＝255，cos(α－β)＝31010(因为－π2＜α－β＜0)，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22，又β为锐角，所以β＝π4. 【答案】 π48．求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________.【解析】sin 10°－3cos 10°cos 40°＝212sin 10°－32cos 10°cos 40°＝2sin 10°－60°cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2.【答案】 －2 二、解答题9．设α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，cos α＝－12，∴sin α＝32，∵β∈(3π2，2π)，sin β＝－32，∴cos β＝12.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×12＋(－12)×(－32)＝32. 10．已知：π6＜α＜π2，且cos(α－π6)＝1517，求cos α，sin α的值．【解】 因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos(α－π6)＝1517，所以sin(α－π6)＝1－cos2α－π6＝817. 所以sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝83＋1534，cos α＝cos[(α－π6)＋π6]＝cos(α－π6)cos π6－sin(α－π6)sin π6＝153－834.11．求证：sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【证明】 ∵左边＝sin 2α＋β－2cos α＋βsin αsin α＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cos α＋βsin αsin α＝sin[α＋β－α]sin α＝sin βsin α＝右边．∴原等式得证.(教师用书独具)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ) 或A cos(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在[0，π2)上的单调性，并求f (x )的最大值．【思路探究】 先用同角三角函数基本关系化简f (x )，再把解析式f (x )用构造辅助角法化成A sin(ωx ＋φ)的形式，最后求单调性与最值．【自主解答】 (1)f (x )＝(1＋3tan x )·cos x＝cos x ＋3·sin xcos x·cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2(sin π6cos x ＋cos π6sin x )＝2sin(x ＋π6)(0≤x ＜π2)．(2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在[0，π3]上是单调增函数，在(π3，π2)上是单调减函数．∴当x ＝π3时，f (x )有最大值为2.求函数y ＝sin(x ＋π3)＋2sin(x －π3)的单调增区间．【解】 y ＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2(sin x cos π3－cos x sin π3)＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数y 的单调增区间为[－π3＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z )．。
高中数学_3.1.2 两角和与差的正弦教学设计学情分析教材分析课后反思
《两角和与差的正弦公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的.在这些公式的推导中，不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦和辅助角公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具粉笔，幻灯片，投影仪五、教学方法教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六、教学过程1．导入新课(问题导入)（1） . 两角和与差的余弦 （2）.诱导公式 对于 的正弦可以通过诱导公式转化为余弦 2．推进新课提出问题①三个角怎样重新分组，每组中分别含 ？②使用诱导公式 化为怎样的式？怎样推导sin(α-β)=? ③公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？口诀是什么？如何记忆？④公式中对角有没有限定？⑤公式有何用处？能不能从右向左化？活动：（学生看课本，完成化简）sin(α+β)=cos ［-(α+β)］=cos ［(-α)-β］=cos(-α)cos β+sin(-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β. 因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β).sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()cos αβ+=()cos αβ-=αβ+()sin cos ()2παβαβ⎡⎤+=-+⎢⎥αβ和cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭教师引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探活动：教师可先让学生自己探究解决，（1）问让学生体会整体的思想，把括号里的当做一个角，进一步考察公式的逆用。
高中数学四3.1.2 两角和差的正弦、余弦、正切公式 【教案】
必修四第三章 3。
1。
2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【教学目标】1。
知识与技能：（1）理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法；（2）.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能用公式解决有关问题。
2。
过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力。
3。
情感态度价值观：通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。
【重点难点】1.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2.教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。
【教学策略与方法】1。
教学方法:合作探究、启发诱导,学生动手尝试相结合。
2.教具准备：多媒体【教学过程】sin sin cos 45cos 60sin 453212222262=++=⋅+⋅+105（6045）=60 6=5(2）： tan1050= tan(450+600）==o o o o tan45+tan601-tan45tan60132313+==---3275tan 0+=点评：根据问题，正确选用和角公式、差角公式.的值。
求是第四象限的角，已知例)4tan(),4cos(),4sin(,53sin .1πααπαπαα-+--=43cos sin tan 54)53(1sin 1cos ,53sin 22-===-=-=-=ααααααα所以得是第四象限角。
解：由 1027)53(225422sin 4cos cos 4sin )4sin(=-⨯-⨯=-=-απαπαπ于是有。
高中数学_3.1.2 两角和与差的正弦教学设计学情分析教材分析课后反思
《两角和与差的正弦公式》教学设计一﹑内容和内容解析“两角和与差的正弦公式”是高中数学人教B版《数学》必修4第三章3.1.2《两角和与差的正弦公式》的第1节课，学生在上一节课学习了“两角和与差的余弦公式”。
本课的主要内容是两角和与差的正弦公式的推导及其简单应用。
二、教学重点、难点，重点是两角和与差的正弦公式的应用。
难点是利用两角和的正弦公式变y＝asinx＋bcosx为一个角的三角函数的形式。
三﹑教学目标和目标解析1、了解两角和与差的正弦公式的推导，了解这些公式的内在联系，使学生经历由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦的探究过程，进一步培养学生问题转化思想和逻辑推理能力；培养学生利用旧知识推导、论证新知识的探索能力；培养学生进行数学交流，获得数学知识的能力。
；2.掌握两角和与差正弦公式的特点与功能，能正确运用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值。
对于y＝asinx＋bcosx化为一个角的三角函数的形式，能够化简并应用求最值。
四、教学问题诊断与处理方法本课在教学过程中可能会遇到以下问题：（1）学生前面学习了任意角的三角函数，“拆角法“是学生第一次接触，难免感到有些困难，不能很快看出所求角和已知的角之间存在怎样的关系，教学中教师应采取适当的方法，注意启发引导，通过课内讲解例题分析拆角的方法和技巧，课后补充相关练习，通过独立思考从而熟练掌握“拆角法”。
（2）化简题中的知识点是正余弦函数叠加的基础，学生在辅助角及符号的确定上易出错，这里对学生特殊角的三角函数值要求也较高，初学时要求学生一步一步将过程写详细，写完结果后再展开验算，熟练之后允许直接写出最后结果。
（3）对于例2中化y＝asinx＋bcosx为一个角的三角函数形式的推导过程采取先特殊后一般的推理过程，遵循学生循序渐进的原则。
五、学习行为分析本节课是在学生已经掌握了同角三角函数间的关系、诱导公式，以及两角和与差的余弦公式的基础上进行的，高一学生经历了初中新课程改革，他们敢于发表自己的见解，有较强的独立解决问题的能力。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿一．教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。
本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。
二．教学目标：1.知识与技能:① 让学生学会用代换法，转化法推导公式 ；② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。
2.过程与方法:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。
3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。
并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。
三．教学重难点：教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简。
四．教学方法：由于新课程教学内容增多，传统教学已经不能满足教学需要，根据新课程教学理念，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，基于本节课的特点，利用导学案和多媒体相结合让学生自主探究的模式实现学生从被动学习到主动学习的一个转变从而创造高效课堂。
五．教学过程：一、复习准备，提出问题：1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
如：cos(2) k πα+=， cos(90) oα-=， cos() α-=， sin() α-=2. 差角的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3.差角的余弦公式的应用：例如：求cos15o 的值，分析：15o = 30o-， 解：cos15cos( 30) o o =-=问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？（设计目的：唤起学生已有的知识和解题技巧。
两角和与差的正、余弦公式教案
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计 富锦一中 陈金生教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2、了解公式间的内在联系，能用公式进行简单的求值.3、培养学生的创新意识与应用意识.教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用.教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系.授课类型：新授课教 具：多媒体、导学案 教 法：合作探究、启发引导 教学过程：一、 复习巩固上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15º=cos(45º-30º) 之类问题，而cos75º=cos(45º+30º) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？二、 公式推导借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有： 思考途径一：把βα+转化为)(βα--cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.思考途径二：把任意角β换成-βcos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 即：两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β. 注意：1两角和差余弦公式的异同之处.2两角和、差余弦公式间的关系.3公式中的角具有任意性.4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值（1） cos75º （2） cos105º如何利用两角和与差的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β和 cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β推导出两角和与差的正弦公式？运用公式cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β及诱导公式有：sin()βα+=cos[)(2βαπ+-]=cos[βαπ--)2(] =cos(απ-2)cos β+sin(απ-2)sin β= sin αcos β+cos αsin β 即：两角和的正弦公式 sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β. 在上式中用-β代换β 得：sin()βα-= sin αcos （-β）+cos αsin （-β） 即：两角差的正弦公式 sin()βα-= sin αcos β-cos αsin β注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.2 两公式间的关系、异同.3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号.4牢记公式，熟练左右互化.练习2、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值(1) sin75º (2) sin105º如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos(βα+)≠0时，将公式sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β 与cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β两边分别相除，有：βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若cos αcos β≠0 时，上式即为:两角和的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 用-β代换β，则有：两角差的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 练习3、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值(1) tan75º (2) tan105º注意：1、 和角公式: S )(βα+、 C )(βα+ 、 T )(βα+差角公式： S )(βα-、 C )(βα- 、 T )(βα-2、公式之间的内在联系.3、明确各三角函数的意义.4、公式的逆向变换、多向变换.5、理解公式推导中角的代换的实质.6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例 如：ααααπαπαπcos sin 0cos 1sin 2sin cos 2cos )2cos(=⋅-⋅=-=+7、形如asinx+bsinx(a 、b 不同时为0)的变化.三、例题例4：:课堂练习：1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 2.已知sin α－sin β＝－31, cos α－cos β＝－31,求cos(α－β)的值。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (导学案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1课时）班级 姓名一、学习目标：1. 在学习两角差的余弦公式的基础上，能导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系，能用自己的话简洁地概括出公式的特点。
2.能应用公式解决比较简单简单的求值、化简、恒等证明的有关问题。
3. 应用两角和与差的正弦、余弦公式，解决“ααcos sin b a +”型化简问题。
学习重点：两角和与差的正弦、余弦公式的准确运用二、学习过程（一）教材核心知识及推导过程cos()αβ-=cos()αβ+==+)s i n (βαsin()αβ-=自我总结4个公式的特点(二)预习自测：()()._________s i n s i n c o s c o s 1=---ββαββα、 2、计算下列各式的值（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -（2） 70sin 20sin 70cos 20cos -（三）自主探究---三角函数的求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值. 分析解答.________3sin ,2,23,51cos 1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则、若变式 总结（四）自主发展1---配凑角求值例2、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ- 分析解答变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos2α的值。
总结自主发展2---公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用 例3、计算12cos 12sin3ππ+的值分析解答变式3、教材练习总结公式（当堂检测放于后） 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）班级 姓名学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用学习过程（一）两角和与差的正弦、余弦公式cos()αβ-= cos()αβ+==+)s i n (βα sin()αβ-=如何以上公式推导tan()αβ+和tan()αβ-？（二）两角和与差的正切公式t a n ()αβ+=t a n ()αβ-= 自我总结以上6个公式的特点(三)预习自测：1、计算下列各式的值35tan 95tan 135tan -95tan 1+）（15tan 115tan 12-+）（ （四）自主探究1---三角函数求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα和⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值。
《两角和与差的正切公式》教案新人教A版
数学：3.1.2《两角和与差的正切公式》教案（新人教A版必修4）§3.1.2 两角和与差的正切公式（一）、教学目标1、知识目标：掌握公式的结构特点及其推导过程，理解公式成立的条件；运用公式求值；2、能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套公式,需要变化条件,寻找依据,才能推出结论）；自学能力；3、情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质；（二）教学重点、难点重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件；运用公式求值；难点：公式的逆向及变形运用；（三）学法与教学用具学法：研讨式教学（四）教学设计：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习公式、首先回顾一下两角和与差的正、余弦公式：以旧引新，让学生明确学习内容公式推导及理解公式推导这是两角和与差的正、余弦公式，下面大家思考一下两角和与差正切公式是怎样的呢？提示：我们学习过正弦、余弦与正切的关系，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差的正切公式.（学生动手）通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．注：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注：引导学生运用学过的公式探究新公式公式的深化对公式的扩展（1）联想：推导还有哪些办法？（2）扩想：、条件？（3）猜想：为下节课做准备公式应用例1、求下列各式的精确值.都有哪些解法？你还能怎样解？解：（1）====（2）===例1是直接正用、逆用公式；例2、已知，，求的值解：===1例2是典型例题，与课后习题结合例3、已知，求，，分析：公式、和本题的已知条件，要计算，，应先计算；解：例3是对本节的综合复习练习1、课本P140练习A组 1、2、32、已知求的值．（）※学生独立完成，教师巡视，全班讲评练习考虑分层分类指导带※不要求全体学生都作，仅供学有余力的同学选作小结本节我们学习了两角和与差的正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用已学知识解决问题；反馈课本P141练习B组要求学生在5分钟内独立完成及时反馈，有助于教师教学中及时改进作业课本P141习题3-1A组5；课本P142习题3-1B组4、5课本P142习题3-1B组6、7※分层分类教学带※不要求全体学生都作，仅供学有余力的同学选作教学反思。
教学设计1：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
必修四第3章 三角恒等变形3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学目的：知识目标：掌握两角和与差的正弦公式能用所学知识解决有关综合问题能力目标： 让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标： 通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：两角和与差的正弦公式教学难点：两角和与差的正弦公式教学过程：一、两角和与差的正弦公式的引入（学生活动）1．回顾上一课：sin15°可转化为cos75°＝cos （45°＋30°）来进行计算．而sin15°＝sin （45°－30°），sin75°＝sin （45°＋30°），那么有没有两角和与差的正弦公式呢？2．学生就上述问题展开讨论：考虑问题的合理性：sin （α＋β）能否用α，β的三角函数来表示．如果上述问题是合理的，那么怎样推导两角和与差的正弦公式．预设一：引导学生回顾两角差的余弦公式的推导方法，使学生往向量证法上思考．利用向量旋转和向量数量积的知识，模仿两角差的余弦的证法，可以求得两角和的正弦公式．如下图，设a ＝（sinα，cosα）＝（cos （90°－α），sin （90°－α）），b ＝（cosβ，sinβ），则一方面，a ·b ＝sinαcosβ＋cosαsinβ；另一方面，向量a 与b 的夹角是（90°－α）－β＝90°－（α＋β），a ·b ＝|a ||b |cos[90°－（α＋β）]＝sin （α＋β）．比较两方面得sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ．预设二：研究sin （α＋β）与cos （α＋β）之间的关系，引导学生从诱导公式的角度来思考。
高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦教案 苏教版必修3
3.1.2 两角和与差的正弦一、课题：两角和与差的正弦二、教学目标：1.能推导2πα±，32πα±的诱导公式，并能灵活运用； 2.掌握()S αβ±公式的推导，并能熟练进行公式正逆向运用。
三、教学重点：()S αβ±公式及诱导公式的推导、运用；四、教学难点：()S αβ±公式及诱导公式的运用。
五、教学过程：（一）复习：1．()C αβ±公式；2．练习：化简：（1）cos3cos sin 3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-． （二）新课讲解：1．诱导公式（1）cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα-=+=；（2）把公式（1）中2πα-换成α，则cos sin()2παα=-． 即：cos()sin 2παα-= sin()cos 2παα-=． 2．两角和与差的正弦公式的推导sin()cos[()]2παβαβ+=-+ cos[()]2παβ=-- cos()cos sin()sin 22ππαβαβ=-+- sin cos cos sin αβαβ=+即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到： sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。
练习：习题4.6第二题，补充证明：sin()cos 2παα+= cos()sin 2παα+=-. （2）2πα±，32πα±的三角函数等于α的余名三角函数，前面再加上一个把α看作锐角时原三角函数的符号；（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。
3．例题分析：例1：求值(1)sin 75； (2)sin195； （3）cos79cos56cos11cos34-．解：（1）sin 75sin 30cos 45cos30sin 45=+=12=； （2）sin195sin(18015)=+sin15(sin 45cos30cos45sin30)=-=--=；（3）cos79cos56cos11cos34-cos(7956)=+=-． 例2：已知2sin ,(,)32πααπ=∈，33cos ,(,)42πββπ=-∈，求sin()αβ-，cos(),tan()αβαβ++．解： 2sin ,(,)32πααπ=∈， ∴cos α==33cos ,(,)42πββπ=-∈， ∴sin β==，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-=cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．又sin()αβ+=∴sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ ==． 例3：已知5cos 13θ=-，求cos()6πθ+及sin()6πθ+的值。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学目标：【知识与技能】了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题 目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。
【过程与方法】通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质教学重难点：【重点】引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推到出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。
【难点】掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。
教学过程：一、复习及引入：1、回顾诱导公式3、5 （诱导公式5、6实现了正弦与余弦的互化）。
2、公式)(βα-C :______________________________________3、若αsin =55，α∈(0,2π)，βcos =1010,β∈(0,2π), 求：（1）)cos(βα- 学生独立完成（2）)cos(βα+ ————引入课题：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二、自主学习，合作探究：1、探究一：探究两角和的余弦公式思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，推导cos(α＋β)等于什么？)cos(βα+=_________________（学生独立完成，组内核对）思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作)(βα+C ，该公式有什么特点？如何记忆？试一试： 75cos 求（学生独立完成，组内核对答案）2、探究二：探究两角和与差的正弦公式思考3：诱导公式)2cos(sin απα-=可以实现由正弦到余弦的转化，则sin(α＋β)=_)cos(______，利用以上方法完成)sin(βα+公式。
两角和与差的正弦正切公式教案
3.1.2两角和与差的正弦、正切公式教案
授课教师：肇庆高新区大旺中学 XXX 教材：人教A 版必修4第三章
教学目标：
1、能以两角和与差的余弦公式C (α-β) 、C (α+β)推导出两角和与差的正弦、正切公式S (α-β) 、 S (α+β) 、T (α-β) 、T (α+β),并能找到公式之间的逻辑联系。
2、熟悉各公式的结构特征，找出熟记公式的方法，能应用公式进行三角恒等变换。
3、通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想、变换能力，逆向思维能力，换元思想与代换思想。
4、培养学生思维的有序性、发散性，答题中表述的规范性、条理性和完整性。
教学重点：
1、以两角和与差的余弦公式为基础，推导出两角和与差的正弦、正切公式。
2、将公式熟练的应用到三角恒等变换中。
教学难点：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式在应用中的注意细节：角度范围的确定，三角函数值的确定，公式的逆用。
教学方法：
教师采用启发引导式教学，指导学生主动参与公式的发现、推导和应用，对学生探究的结果、及公式应用的成果展示做合理的评价。
学生采用自主探究、小组讨论、合作交流的学习方式，并展示自己的学习成果。
教学手段：
教师利用多媒体平台，展示教学内容与教学过程，学生用小黑板展示小组的探究成果。
教学反思：。
§3.1.2 两角和与差的正弦
§3.1.2 两角和与差的正弦一、教学目标1、知识与技能目标：能从两角差的余弦公式导出两角和、差正弦公式，了解它们的内在联系。
2、过程与方法目标：引导学生推导和角公式，使学生认识整个公式体系的推理和形成的过程。
从这一过程中，使学生领会其中体现出来的数学基本思想、蕴含的创新思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质。
3、情感、态度与价值观目标：通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。
体会学科间的联系。
二、教学重点、难点1. 教学重点：两角和、差正弦公式的应用和旋转变换公式。
2. 教学难点：利用两角和的正弦公式变为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法研讨式教学，讲授式教学四、教学过程：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ；．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征①里加外加，里减外减②顺序不变简单应用：（视学生情况，2可酌情删减）1、求的值（答案：）2、（口答）课本138页练习A 1——4题（二）例题讲解例题安排：例1与例2是三角与向量的综合问题，其过程是一次旋转变换。
例1是例2的一个特例，在编排上体现了由特殊到一般的认识规律，例2求证的结论是一组旋转变换公式。
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3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦公式
三维目标
1.在学习两角和、差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.
2.通过两角和与差的正弦、余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.
3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
重点难点
教学重点：两角和与差的正弦公式及其推导.
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
教学过程
复习巩固
两角差的余弦公式______________________________________________ 两角和的余弦公式_______________________________________________ 练习：
合作探究
①在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)= sin(α-β)=
().cos )cos(),2,23(,43cos ),23,(,32sin .1的值、求已知βαβαππββππαα-+∈=∈-=()()()()
25sin 110sin 335cos 70cos 215sin sin 15cos cos 1.2+---x x x x 求值：
结论1、
S
(α+β)
、S
(α-β)
.
②公式S
(α-β)
、S
(α+β)
的结构特征如何
我们把前面四个公式分类比较可得C
(α+β)
、S
(α+β))
叫和角公式；S
(α-β)
、C
(α-β)叫差角公式.归纳总结以上四个公式的推导过程，得出什么逻辑联系图
通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式
精讲点拨
练习：的值。
、
求
已知⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
∈
-
=
3
sin
3
sin
,
,
2
,
5
3
cos
π
θ
π
θ
π
π
θ
θ
的值。
是第四象限角，求
，
：已知
例
)
4
cos(
,
4
sin
),
4
sin(
5
3
sin
1
α
π
α
π
α
π
α
α
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
-
=
例2（公式逆用）利用和差角公式计算下列各式的值.
例3化简
（1） （
2）
练习：化简下列各式：
（1）3sinx+cosx;
（2）2cosx-6sinx.
1
cos 2x x
=
cos x x -=
()()()
307cos 83sin 37cos 7sin 314cos 74sin 14sin 74cos 242sin 72cos 42cos 72sin 1---()()()
15sin 15cos 326
cos 34cos 26sin 34sin 218sin 72cos 18cos 72sin 122--+练习：
课堂小结
1、 两角和与差的正弦、余弦公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.
当堂检测
1、已知：向量a=（2 sin35°，2cos35°），向量b=（cos5°，—sin5°）， 求向量a 、b 的数量积。
2、求值
（1）sin7°cos 37°-sin83°sin 37°;
（2）sin 20°cos 110°+cos160°sin70°
3、化简： 2(sinx —cosx
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=---45sin ,53sin cos cos sin πββαβααβα是第三象限角，求已知拓展应用
教学设计说明
1、公式的推导应由学生自主得到，此过程有利于进一步提高学生推证的能力，感受三角证明的灵活性和多变性.
2、在例题的设计中注意公式的正用、逆用以及变式使用.对于三角恒等式的证明应由浅入深，较复杂的证明题可以留作思考题.
)
sin(cos sin 222ϕ++=+x b a x b x a 解公式、公式正用、逆用。
理。