初三年级圆章节知识点复习专题超级经典
初中数学 圆知识点归纳
《圆》整章知识点复习《圆》章节知识点复习名词解释：1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。
4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。
5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。
7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。
10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。
12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线。
13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。
16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
初三圆知识点复习总结
初三数学圆知识点一.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧简单记成：一条直线：①过圆心②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④⌒BC =⌒BD ⑤⌒AC =⌒AD中任意2个条件推出其他3个结论。
例1．如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ___． 例2 ．已知⊙O 的直径10CD cm =，AB 是⊙O 的弦，8AB cm =，且AB CD ⊥，垂足为M ，则AC 的长为（ C ）A．B．C．D．或例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD⊥AB 交外圆于点C ．测得CD=10cm ，AB=60cm ，则这个车轮的外圆半径为 ．例4、如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A ．点P B ．点Q C ．点R D ．点M 二、圆周角定理1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是⌒AB所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90︒圆周角所对的弦直径 推论2：圆内接四边形的对角互补；由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等； 2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等； 简记：在同圆或等圆中，①弦②圆心角③弧中只要一个相等，其它两个也相等。
中考圆的复习资料(经典+全)
圆的知识点复习知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题型1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。
CBDA4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。
知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。
题型1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对2.下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等3.线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（）A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.5. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.6. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7. 如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD =弧BC , 求证：AB =CD 。
九年级(上)《圆》章节知识点
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒d r <⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒d r =⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒d r >⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系A1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1图4图5图2五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥③CE DE =④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级初三 圆 知识点大汇总
九年级初三圆知识点大汇总考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性1、圆的轴对称性，圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性，圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角，顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距，从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
初三数学九年级上《圆》整章知识点复习
数学九年级上《圆》复习一、知识点总结1.垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的两条弧．平分弦( )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．3.圆心角与圆周角性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________． (4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________． 4.过 点确定一个圆。
5.直线和圆的位置关系________.________.________.6.切线的判定方法(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线． 7.切线的性质圆的切线垂直于经过________的半径．8.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．9.（1）如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝__________.此时该弧所围成的扇形的面积是计算公式是S= = (2)圆锥的轴截面为由母线.底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr ＝πrl(l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.10.和三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心． 三角形的内心是三角形三条 的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．二、知识小检测1．在圆中80°的弧所对的圆心角的度数是_________________. 2．如图,A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=30°, ∠COB=_______°DF EBAOP3．在直径为10的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如下图所示，如果油面宽AB=8，那么油的最大深度是________________.4．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,AB=4,CM 是斜边AB 的中线,以C 为圆心、2为半径画圆,则A 、B 、M 三点中在圆外的是_______________,在圆上的是________________. 5．如图,在⊙O 中,弦AB=1.8,圆周角∠ACB=30°,则⊙O 的直径等于_______________. 6.如图， PA 、PB 、DE 都为⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、F ，且PA=6，∠DOE=65º． 则△PDE 的周长为 ；∠APB = ；7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD ∥半径OC ，弧AD 的度数为800，则∠BOC ＝ 。
2021年初三《圆》章节知识点总结(精华版)
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；2、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合3轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；3、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定4长的两条直线；、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离5都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系d r点C 在圆内；1、点在圆内 Adrd r点B 在圆上；2、点在圆上OBdd r点A 在圆外；3、点在圆外C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离2、直线与圆相切ddrr无交点；有一个交点；d r3、直线与圆相交有两个交点；r d=r rd d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 d R r ； d R r 外切（图 2） 有一个交点 ； R r d R r 相交（图 3） 有两个交点 ； d R r 内切（图 4） 有一个交点 ； d R r 内含（图 5）无交点；d dd r RrRR r图 2图 1图 3dd r RrR图4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即： ABCD ③ CE DE BC AC① AB 是直径② ④ 弧 弧 BD ⑤ 弧 弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论； A推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；DC即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CDO OBEAACBD∴弧 弧 CDB六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对E的弧相等，弦心距相等；此定理也称 1 推3 定理，即上述四个结论FO中，D 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，ACB AOB DOE ；②AB DE即：①；③OC OF BA BD；④弧弧七、圆周角定理C1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：∵AOB 和AOBACB 是弧ACBAB 所对的圆心角和圆周角OB2∴A2、圆周角定理的推论：D推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的C圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙ O 中，∵C D O、都是所对的圆周角 BAC D∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧C是半圆，所对的弦是直径；B A 即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径或∵C90 O∴C90 ∴ AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是C直角三角形；B A 即：在△ABC 中，∵OC OA OB O∴△ ABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角；即：在⊙ O 中，DC∵四边形ABCD 是内接四边形C BAD 180 B D180∴DAE C BEA九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可MN OA且MN 过半径OA 外端即：∵∴MN 是⊙O的切O（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；M NA推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；BPA 、PB 是的两条切线即：∵PA PB∴OPPO 平分BPAA十一、圆幂定理D （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等；OB即：在⊙ O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，PAC∴ PA PB PC PD（ 2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 C两条线段的比例中项； BAO E即：在⊙ O 中，∵直径AB CD ，DCE 2∴ AE BE（ 3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 A线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； EDO即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线PCBPA2∴ PC PB（ 4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等（如上图） ；即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线PCPB PD PE∴ 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 A的O2的公共弦；O1如图： O 1O 2 垂直平分 AB ；B即：∵⊙ O 1 、⊙ O 2 相交于 A 、 B 两点∴ O 1O 2 AB垂直平分AB 十三、圆的公切线CO1两圆公切线长的计算公式：O22 22 2 （ 1）公切线长： Rt O 1O 2C 中， ；ABCO1O 1O2CO 2（ 2）外公切线长： CO 2 是半径之差； CO 2 是半径之和 内公切线长： ； 十四、圆内正多边形的计算 C（ 1）正三角形OO ABC Rt BOD 在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在中进行：ABOD : BD : OB 1: 3 : 2 ；DCB （ 2）正四边形同理， 四边形的有关计算在 Rt OAE 中进行， 2 ：OOE : AE : OA 1:1: ADE（ 3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行， AB : O B : OA 1: 3 : 2 .OBA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 An R ；1801、扇形：（ 1）弧长公式：lOlS2n R1lR 2（2）扇形面积公式：S360Bn ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径 l S ：扇形面积：扇形弧长 2、圆柱：DD1 A（ 1）圆柱侧面展开图母线长r 2S S2S 底 2 rh 2 底面圆周长BC1C2（ 2）圆柱的体积： Vr hB1O（ 3）圆锥侧面展开图 R2SSS 底（ 1） Rr rC1 32r h 二 . rA（ 2）圆锥的体积： V 中考聚焦：B圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：内容圆的有关性质直线和圆的位置关系8%～16% 圆与圆的位置关系3% ～12%正多边形和圆所占分数百分比5%～15% 2% ～8%圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识；圆中考试题集锦一、选择题1．（北京市西城区）如图，BC是⊙ O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O3 ，PB＝1，那么∠APC等于于点A，如果PA＝（）（切割线定理）（A）15（B）30 （C）45 （D）6014 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20 厘米，底面半径是高的，那么这个圆柱的侧面积是（）（圆柱展开图）（A）100π平方厘米（B）200π平方厘米（C）500π平方厘米（D）200 平方厘米3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，C E＝1寸，AB＝10 寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）（垂径定理）252（A）寸（B）13 寸（C）25 寸（D）26 寸4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO 交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（）（切线的性质）（B）2 5 10 （D）2 14（A）6 （C）25．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5 厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（圆锥的展开图）（B）2 2 厘米（A）2 厘米（C）4 厘米（D）8 厘米6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16 厘米，若两圆的半径长分别为10 厘米和17 厘米，则这两圆的圆心距为（）（公共弦定理）（A）7 厘米（B）16 厘米（C）21 厘米（D）27 厘米7．（沈阳市）如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线且过圆心，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于（）（切割线定理）（A）3 （B）4 （C）6 （D）88．（甘肃省）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30AB D＝，则∠（）（圆周角）（A）30（B）40 （C）50 （D）609．（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为60 ，则弧所在的圆的半径为（）（弧长公司）（B）6 2（A）6 （C）12 （D）1810．（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为（）（内接正多边行的计算）（A）18π（B）9π（C）6π（D）3π11．（安徽省）已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是（）（圆锥展开图）（A）12π（B）15π（C）30π（D）24π12．（安微省）已知⊙O 的直径AB与弦AC的夹角为30 ，过C 点的切线PC 与AB延长线交P．P C＝5，则⊙O的半径为（）（切线的性质）5 3353（A）（B）（C）10 （D）5613．（福州市）如图：PA 切⊙O 于点A，PBC是⊙O的一条割线，有PA＝3 2 ，PB＝BC，那么BC的长是（）（切割线定理）（B）3 2 （C） 3 （D）2 3（A）314．（苏州市）如图，⊙O的弦AB＝8厘米，弦CD平分AB于点E．若CE＝2 厘米．ED长为（）（A）8 厘米（B）6 厘米（C）4 厘米（D）2 厘米15．（苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BO D＝160BCD＝，则∠（）（内接多边形）（A）160（B）100 （C）8020（D）16．（扬州市）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15，则∠BAD的度数为（）（圆周角）（A）75 （B）72（C）70 （D）6517．（扬州市）已知：点P 直线l 的距离为3，以点P 为圆心，r 为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线l 的距离均为2，则半径r 的取值范围是（）（圆与直线的位置关系）（A）r ＞1 （B）r＞2 （C）2＜r ＜3 （D）1＜r ＜5二、解答题：1．（河北省）已知：如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若A D︰DB＝2︰3，A C＝10，求sin B的值．2．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D 为切点，且MN∥AB，M N＝a，O N、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．3．（四川省）已知，如图，以△ABC的边AB作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S△CD E︰S△AB C＝1︰4，D E＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB的面积．4．（贵阳市）如图所示：PA为⊙ O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，求：（1）⊙O的面积（注：用含π 的式子表示）；（2）cos ∠BAP的值．（用相似）。
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版《圆》章节知识点复习
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系A外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
初三圆知识点汇总
初三圆知识点汇总圆是初中数学中的一个重要图形，在初三数学中占据着重要的地位。
下面我们来对初三圆的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。
二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
2、圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
4、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
5、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
四、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
五、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
六、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
七、圆内接四边形如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形的对角互补。
(完整版)九年级数学圆的知识点总结大全(可编辑修改word版)
一、知识回顾第四章：《圆》圆的周长：C=2πr 或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外⇒ d <r ⇒⇒ d =r ⇒⇒ d >r ⇒点C 在圆内；点 B 在圆上；点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离2、直线与圆相切3、直线与圆相交⇒ d >r⇒ d =r⇒ d <r⇒无交点；⇒有一个交点；⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图 1） ⇒ 外切（图 2） ⇒ 相交（图 3） ⇒ 内切（图 4） ⇒ 内含（图 5） ⇒无交点 有一个交点有两个交点有一个交点无交点 ⇒ d > R + r ；⇒ d = R + r ； ⇒ R - r < d < R + r ； ⇒ d = R - r ； ⇒ d < R - r ；周 2周 4 周 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典
A
D
E
O
C
B
线长是这点到割
（ 4 ）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
（如上图） 。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线
∴PC PB PD PE
例 1. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆 于 E，求 DE： AE的值。
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称 1
推 3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：① AOB DOE ；② AB DE ； ③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BD
O A
C
E F D
∴C D
推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
C
是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径
或∵ C 90
B
A
O
∴ C 90
∴AB 是直径
推论 3 ：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
C
直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB
B
A
推论 1：（ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3 ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结
初三数学常考圆的知识点归纳
初三数学常考圆的知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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(完整版)中考初三圆知识点专题复习
、圆中重要的知识点 1、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：( 1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论,即:3、如图，已知在O O 中，弦AB CD ，且AB CD ，垂足为H , 0E(1) 求证：四边形OEHF 是正方形.(2) 若CH 3 , DH 9,求圆心0到弦AB 和CD 的距离.以上共4个定理,①AB 是直径 ②AB CD ③ CEDE ④弧BC 弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在O O 中，••• AB // CD•••弧 AC 弧 BD例题1、基本概念1. F 面四个命题中正确的一个是( A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 •平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2. F 列命题中，正确的是().A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,为 16cm, 那么油面宽度AB 是cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,，如果油面宽度是 48cm,那么油的最大深度为 _______ cm.AB 于 E , OF CD 于 F .截面如图所示，如果油的最大深度4、已知：△ ABC内接于O O, AB=AC半径OB=5cm圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是〒的中点，AD丄BC于D,求证：AD=1 BF.2F例题3、度数问题1、已知：在O O中，弦AB 12cm , 0点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径2、已知：O O的半径0A 1，弦AB AC的长分别是J2、J3.求BAC的度数。
2024～2025学年九年级数学上册期中复习——圆的基本性质学案(知识点+例题含解析)
《圆的基本性质》章节复习【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5.圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1.如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点,设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1B．≤x≤2C．0≤x≤2D．x＞2【答案】C；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1B．0＜x≤1C．-2≤x＜0或0＜x≤2D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且 CF CB=，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴ CB GB=．∵CF BC=，∴CF GB=．∴∠C＝∠CBE．∴CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴ CB BG=．∵CB CF=，∴CF BC BG==．∴BF＝CG，ON＝OD．∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE，∴NE＝DE．∵12BN BF=，12CD CG=，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵CF BC=，∴OC⊥BF．∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∵BG BC=，CF BG BC==．∴BF CG=，ON OD=．∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD．又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【总结升华】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20.故选D类型三、图形的旋转3．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【思路点拨】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【答案】B；解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6-4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．【总结升华】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．类型四、圆中有关的计算4．（2016•绵阳）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF ⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．【思路点拨】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．【答案与解析】解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，==，∴=，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，∴S△ACF即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．如图，△是等边三角形，是⌒上任一点，求证：ABC D BC DB DC DA+=.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，BE CDABE ACD AB AC===⎧⎨⎪⎩⎪∠∠∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A.3πB.6πC.5πD.4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为().A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。
人教版初三数学上册《圆》的章节知识点复习专题
《圆》章节知识点复习柴秀亮一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；A2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；图2图4图5（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
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《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆⇒d r<⇒点C在圆；
2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；
3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；
2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；
3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
>+；
外离（图1）⇒无交点⇒d R r
=+；
外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r
相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；
切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；
含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；
五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD
∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
图4
图5
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角
∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角
∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒
∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆接四边形
圆的接四边形定理：圆的接四边形的对角互补，外角等于它的对角。
即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒
DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端
∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线
∴PA PB =
PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，
∴PA PB PC PD ⋅=⋅
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，
∴2
CE AE BE =⋅
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线
∴ 2PA PC PB =⋅
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线
∴PC PB PD PE ⋅=⋅
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点
∴12O O 垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，221AB CO ==
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 公切线长：2CO 是半径之和 。
十四、圆正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆
中进行，::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆
中进行，::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：180
n R l π=； （2）扇形面积公式： 213602
n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2
V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：213
V r h π=。