《3.6第六节 简单的三角恒等变换》 教案

教学过程

课堂导入

前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，也明白了两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，那么二倍角的正弦、余弦、正切公式经过变形能推导出什么公式呢？

复习预习

1.两角和与差的正弦公式：

2.两角和与差的余弦公式：

3.两角和与差的正切公式：

4.二倍角公式：

知识讲解

考点1 半角公式

(1)用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2：sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. (2)用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2：sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2；tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.

(3)用sin α，cos α表示tan α2：tan α2＝sin α1＋cos α

＝1－cos αsin α.

考点2 形如a sin x＋b cos x的化简

a sin x＋

b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝b a.

例题精析

【例题1】

【题干】化简：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭

⎪

⎫1＋tan α·tan α2.

【答案】(1)22cos α

【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝

⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2

＝cos αsin α2cos α2·⎝

⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2

＝2cos αsin α＋2cos αsin α·sin αcos α·sin α2cos α2

＝2cos αsin α＋2sin α2cos α2

＝2cos αsin α＋4sin 2α2sin α

＝2cos α＋4sin 2α2sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＋4sin 2α2sin α

＝2sin α.

【例题2】

【题干】已知sin(2α－β)＝3

5，sin β＝－12

13，且α∈⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

π

2，π，β∈⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

π

2，0，求sin α的值．

【解析】∵π2

＜α＜π，∴π＜2α＜2π. ∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，

而sin(2α－β)＝35＞0，

∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.

又－π2＜β＜0且sin β ＝－1213，∴cos β＝513，

∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1213＝5665. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.

又α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，∴sin α＝3130130.

【例题3】

【题干】已知函数f (x )＝sin 2x －23sin 2x ＋3＋1.

(1)求f (x )的最小正周期及其单调递增区间；

(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，求f (x )的值域．

【解析】f (x )＝sin 2x ＋3(1－2sin 2x )＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.

由正弦函数的性质知，当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，

即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3为单调递增函数，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．

(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π3∈[0,1]， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π3＋1∈[1,3]． ∴f (x )的值域为[1,3]．

【例题4】

【题干】(2012·安徽高考)设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；

(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．

【解析】(1)f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2 x ＝22⎝ ⎛⎭

⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x 故f (x )的最小正周期为π.

(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故 ①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋π2＝g (x )， 从而g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12

sin(π＋2x )＝－12sin 2x . ②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，π2，从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x . 综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.