(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第24讲三角形的四心

G
E
F
D
C B
A
I
C
B
A
第24讲 三角形的四心
几何是数学中的这样一部分，其中视觉思维占主导地位， 几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加 勇气，提高修养。

------阿蒂亚
知识纵横
重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。

（1）重心
三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。

如图，设G 是ABC ∆的重心，则
①
;2
1
===GC GF GB GE GA GD ②.3
1
ABC ABG AGC BGC S S S S ∆∆∆∆=== （2）外心
三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心。

如图，设O 是ABC ∆的外心，则
①;OC OB OA ==
②,2,2ABC AOC BAC BOC ∠=∠∠=∠ .2ACB AOB ∠=∠ （2）内心
O
C
B
A
H F
E
D
C B
A
O
E
D C
B
A
三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。

如图，设O 是ABC ∆的内心，则 ①I 到三角形各边距离相等；
②,21
90,2190B CIA A BIC O O
∠+=∠∠+
=∠ .
2
1
90C AIB O ∠+=∠ （3）垂心
三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。

如图，设H 是ABC ∆的垂心，则 ①;,,AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥
②;;;F E C B D H E C F H D B E H F A 、、、；、、、、、、、、、 E D B A D F A C 、、、、、、;共六组四点共圆。

例题求解
【例1】如图，ABC ∆中，c AB b AC a BC ===,,．若BC AC 、上的中线
（第19届江苏省竞赛题）
思路点拨 设，y OE x OD ==,则由重心性质有；y BO x AO 2,2==建立y x 、的方程组。

【例2】已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，111C B A 、、分别是点I 关于边AB CA BC 、、的
对称点， 若点B 在111C B A ∆的外接圆上，则ABC ∠等于．( ) A.︒36 B.︒45 C.︒60 D.︒90
（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛题）
思路点拨 由r IC IB IA 2111===（r 为ABC ∆的内切圆半径），得I 同时是111C B A ∆外接圆 的圆心。

【例3】已知O
CDE ACE 90=∠=∠，点B 在CE 上，CD CB CA ==，经D C A 、、三点的圆交AB 于F （如图）．求证：F 为CDE ∆的内心．
思路点拨 连DF CF 、，即需证F 为CDE ∆角平分线的交点，充分利用与圆有关的角， 将问题转化为角相等问题的证明
G
F
E
O P
D
C
B
A
【例4】如图所示,CD BC AB 、、分别与圆相切于点CD BC AB G F E ==、、、，连结AC 与BD 交于P ，连结PF .求证：BC PF ⊥
（江苏省竞赛题）
思路点拨 设圆心为O ，证明O 是PBC ∆的垂心，则BC PO ⊥，由切线性质得；PO 一定通 过切点F
【例5】如图，已知ABC RT ∆中，CD 是斜边AB 上的高，21O O O 、、分别是 BCD ACD ABC ∆∆∆、、的内心。

求证：（1）;21CO D O ⊥ （2）210O OC =.
（武汉市竞赛题）
分析 在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，故通过证交角等于O
90的方法证两线垂直，再用全等三角形证两线段相等。

欧拉线
【例6】求证：（1）三角形的一个顶点到垂心得距离，是外心到对边距离的2倍
（2）三角形的垂心、重心、外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重 心的距离的2倍。

学习训练
基础夯实
1.如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，12910===DE AC AB ，，,则□ABCD 的面积 为 。

2.如图，D 是ABC ∆的内心，E 是ABD ∆的内心，F 是BDE ∆的内心．若BFE ∠的度数为 整数，则BFE ∠的最小度数为 。

3.如图，从圆外一点P 作⊙O 的两条切线PB PA ,，连PO AB ,，设PO 交⊙O 于点C ，则C 点 是ABD ∆的 心.
（第1题） （第2题） （第3题） 4.如图，CD 是ABC Rt ∆的斜边AD 上的高，21I I 、分别是BDC ADC ∆∆、的内心，若 43==BC AB ，,则21I I = 。

5.如图，锐角三ABC ∆的垂心为H ，三条高的垂足为F E D 、、则H 是DEF ∆的（ ） A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
6.如图，设锐角ABC ∆CF BE AD 、、的三条高线相交于H ，若c AB b AC a BC ===,,， 则CF CH BE BH AD AH •+•+•的值为（ ） A.
)(21ac bc ab ++ B.）（22221c b a ++ C.）（ca bc ab ++32 D.）（2
223
2c b a ++ G
E
D
C
B
A
H
F
E D
C
B
A
H
F
E D
C
B
A
（第4题） （第5题） （第6题）
7.已知锐角ABC ∆的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则A ∠的度数是（ ）. A.O
30 B.O
45 C.0
60 D.0
75
(全国初中数学竞联赛题) 8.如图，ABC ∆内接于⊙O ，BC AD ⊥于点D ，AC BE ⊥于点E ，
BE AD 、相交于点H ．若46==AH BC 、，则⊙O 的半径为（ ）
A.5
B.132
C.13
D.
2
11 （2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）
9.如图，设AD 是ABD ∆的中线，ADC ABD ∆∆、的外心分别为F E 、,直线BE 与 CF 交于点G ，若BC DG 2
1
=
，求证ACG ADG ∠=∠2. （“我爱数学”夏令营竞赛题）
C
D
B
E
F
G
A
I
E D A
能力拓展
10.如图，设CF BE AD 、、为三角形的三条高，若356===EF BC AB ，，，则BE = .
（第10题） （第11题）
11.如图，ABC ∆中，987===CA BC AB ，，，ABC ∆的内切圆圆心I 作BC DE //， 分别与AC AB 、相较于E D 、，则DE = .
（全国初中数学竞赛试题） 12.若锐角ABC ∆的三边比是c b a ::，它的外心O 到三边的距离分别为p n m ,,，则p n m ::等于（ ）。

A.
c
b a 1
:1:1 B.c b a :: C.C B A cos :cos :cos D.C B A sin :sin :sin
13.如果一个三角形的面积和周长都被同一条直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 （ ）
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
I
M
F E
D
C
B
A
14.如图，ABC ∆的三条中线CF BE AD 、、的长分别是13,12,5，求ABC ∆的面积。

15.如图，已知I 是ABC ∆的内心，CI BI AI 、、的延长线分别交ABC ∆的外接圆于 EF F D ,、交AD 于M 求证：AD EF ⊥
（第22届加拿大奥林匹克试题）
O E O 1
F C
D
B
A
综合创新
16.锐角三ABC ∆的外心为O ，外接圆半径为R ，延长CO BO AO 、、，分别与对边CA BC 、、
AB 交于F E D 、、.证明：
R
CF BE AD 2
111=++.
(江西竞赛题)
17.如图，在□ABCD 中，A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于点F E 、.点1,O O 分 别为CEF ∆、ABE ∆的外心. （1）求证：1O E O 、、三点共线. （2）求证：ABC OBD ∠=
∠2
1
（全国初中数学联赛题）。