从分数到分式(讲公开课用)
15.1.1从分数到分式 公开课ppt课件
5
第二步：互助探究
1、下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类
式子的区别是什么？ （课本129页第2题）
1x
4
2a 5
x
x3
3b3 5
3
x2 y2
mn mn
x2 2x 1 x2 2x 1
c
3a b
区分整式与分式的标准就是看分母中是否含有字母, 含有字母的是分式，不含字母的是整式。
3a b
6
x
2 2
1
x≠y
b≠3a
x≠±1
8
第二步：互助探究
三、当 B A=0时，分子和分母应满足 什么条件？
当A=0且B≠0时，分式 A 的值为零.
B
9
第二步：互助探究 例、已知分式 x2 4 ,
x2
(1) 当x为何值时，分式有意义? (2) 当x为何值时，分式的值为零? 解：(1)当x≠-2时，分式有意义
15.1.1从分数到分式
1
轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它沿江以最大航 速顺流航行90 km所用时间 与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的 流速为多少？
解：设江水的流速为v km/h.
90 60 . 30 v 30 v
2
第一步：交流预习
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
v
s和
S a
，以及
210和00 v
60有什么共同特点？
20 v
（分母中都含有字母）
它们与分数有什么相同点和不同点？
4
第二步：互助探究
： 一、分式定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含 有字母，那么称 BA为分式.其中A叫做分式的分子， B为分式的分母.
2024从分数到分式说课稿范文
2024从分数到分式说课稿范文今天我说课的内容是《从分数到分式》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《从分数到分式》是人教版小学数学六年级下册第五单元第2课时的内容。
它是在学生已经学习了分数的基本概念和运算规则的基础上进行教学的，是小学数学领域中的重要知识点，而且分数和分式在生活中有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解分数和分式的意义，掌握分数与分式之间的转换关系。
②能力目标：在分数与分式之间进行相互转换，培养学生灵活运用的能力。
③情感目标：在分数和分式的运用中，让学生体会数学与生活的联系。
3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解分数和分式的意义，能够将分数转化为分式。
难点是：将分式转化为分数，掌握分数与分式之间的相互转换关系。
二、说教法学法有这样一句话：听见了，忘记了；看见了，记住了；体验了，理解了。
可见让学生感受数学、经历数学、体验数学是学生学习数学的最佳方式。
因此，这节课我采用的教法：情景教学法，引导探究法；学法是：自主学习法，合作交流法。
三、说教学准备在教学过程中，我准备了幻灯片展示和教学实物等多媒体辅助教具，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。
四、说教学过程新课标指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”本着这个教学理念，我设计了如下教学环节。
环节一、引入新知，导入新课。
课堂伊始，我将通过实际生活中的例子引起学生的兴趣，例如在购物时遇到半价商品，我们如何表示这个折扣的比例等。
然后我会提出一个问题：如何用分数来表示这个折扣？让学生思考并回答。
设计意图：通过引导学生思考实际问题，让学生在交流讨论中初步感知到分数和分式的应用场景，激发学生学习的兴趣和欲望。
环节二、探究新知，突破难点。
1、分数转化为分式：首先，我将通过具体的例子向学生展示分数如何转化为分式，例如将1/4转化为1:4。
人教初中数学八上《从分数到分式》教案 (公开课获奖)
从分数到分式课时第 1 课时课型新课教具电子笔教学目标知识与能力了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．过程与方法通过分数与分式的比照，得出分式的概念及分式有意义时分母的取值条件限制。
态度与情感培养数学中类比思想，懂得知识的迁移。
重点理解分式的概念，分式有意义时分母的取值条件，分式的值为零时分子分母应满足的条件。
难点分式有意义时分母的取值条件，分式的值为零时分子分母应满足的条件。
教学手段方法教学手段：多媒体课件讲授法、讨论法、练习法教学过程教师活动学生活动说明或设计意图问题情境导入长方形的面积为10cm²,长为7cm，宽应为____cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为______.³的水倒入底面积为33cm²的圆柱形容器中，水面高度为____cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为______.学生答复以下问题，并且请几个学生上讲台写答案。
回忆已学知识，引入新知1.请大家观察式子和有什么特点？请大家观察式子和，有什么特点？它们与分数有什么相同点和不同点？学生观察式子答复以下问题相同点都具有分数的形式不同点〔观察分母〕分母中有字母培养数学中的类比思想与能力SaVS,10020u+6020u-探索新知通过比拟以上式子的异同点，引出分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母(B ≠0). 类比分数、分式的概念及表达形式有什么异同点？ 【例题1】：指出以下代数式中，哪些是整式，哪些是分式？【解析】整式有分式有 变式训练1 判断以下各式哪些是整式，哪些是分式？学生观察式子，得出分数和分式的最大区别在哪里。
学生思考并答复整式有哪些，分式有哪些？培养知识迁移的思维能力。
动脑动手 到达稳固的效果7x 9y 20+m 45-28y 3y -1x 9-AB 222x 2x 11x 1x a 2ab b ,,(a b),,,23x 2x a b ++-++π-x 1x 1,(a b),22++π2222x 1x a 2ab b ,,3x x a b+-+-1.分式 的分母有什么条件限制 当B=0时，分式无意义. 当B ≠0时，分式 有意义. 2.当 =0时分子和分母应满足什么条件？当A=0且B ≠0时，分式 的值为零. 【例题2】 〔1〕当x 时，分式 有意义. 解：分母 3x ≠0 即 x ≠0 答案：≠0〔2〕当x 时，分式 有意义. 解：分母 x －1≠0 即 x ≠1答案：≠1 〔3〕当b 时，分式 有意义.〔4〕当x,y 满足关系 时，分式 有意义.变式训练2 分式 (1) 当x 为何值时，分式无意义?(2) 当x 为何值时，分式有意义? 解：(1)当分母等于零时,分式无意义. x+2=0即∴ x =-2，∴当x = -2时分式 无意义 (2)由(1)得 当x ≠-2时，分式有意义. 【例题3】当 时，分式 的值为零.【解析】要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零， 所以 解得x=1 答案：x=1 变式训练3〔荆州·中考〕假设分式： 的值为0，那么〔 〕A ．x=1B ．x=-1C ．x=±1D ．x ≠1【解析】选B ． 由x2-1=0得x2=1，学生理解记忆学生观看老师解答第〔1〕和第〔2〕题例题后，自己解答第〔3〕和第〔4〕题学生认真做变式题，并且讨论之后上讲台书写步骤。
从分数到分式课件人教版数学八年级上册
这就是我们今天要学习的分式
3a+5
探究新知 识点1:分式的定义
X X—
思考：
X
有什么共
同特点?它们的形式类似小学学的什么?
分数
定 义 ：形如 的形式，分式的分子A与分母B都
是 整 式 ，并且B中都含有 字 母。
分式的特点
形如B .
B中含字母(元除外) .
学以致用
分式
活动1
整式
1
4x+1
-7
a3
X
X
a
X
π
π
Байду номын сангаас
X
知识点2:(1)分式有意义的条件.
小学数学中我们知道，分数有意义的条件是 分母不等于0,从而得到：
分式有意义的条件：
分母不等于0( B ≠0)
学以致用
1.分式 有意义的条件是 x≠4
2.当 x≠2 时，分式
意义.
3.当y ≠1 时，分式
有意义.
知识点2:(2)分式值为0的条件：
类比分数，你能
得到分式值 为0的 条件吗 ?
分 子A等于0 二者缺一不可
分母B不等于0
例：当
当
时，分式
时 ，分式
值为0? 值为0.
x=3
x=3和-3
x=1
知识点2:(3)分式无意义的条件：
类比分数，你能 得到分式无意义
的条件吗?
x=-1 x=3
当x
.
分母B等于0.
时，分式 2x-2无意义
x=1 x=-3
当x
时，分式 无意义
15.1.1从分数到分式
理解分式的含义，明确分式与整式的区别.
知识目标
从分数到分式 (优质课)获奖课件
3．补充例题：当 m 为何值时，分式的值为 0? m－2 m2－1 m (1) ；(2) ；(3) . m－1 m＋3 m＋1 思考：当分式为 0 时，分式的分子、分母各满足什 么条件？ 分析： 分式的值为 0 时， 必须同时满足两个条件： (1) 分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m＝0；(2)m＝2；(3)m＝1.
角形的外角？
2．探究三角形外角的性质． 老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间 进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出 以下问题： 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
学生归纳得出三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析 例1 如图 ， ∠ BAE ， ∠ CBF ， ∠ ACD 是△ ABC 的三个外角 ， 它们的和是多少？
三、归纳总结
1．分式的概念． 2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时
，分式无意义．
3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为 零．
四、布置作业
教材第133页习题15.1第2，3题．
在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来 自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的 条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生 利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．
15．1
15．1.1
分
式
从分数到分式
1 ． 以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的 概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2 ． 能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条
件．
重点 理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点
能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零
有关从分数到分式说课稿优秀15篇
有关从分数到分式说课稿优秀15篇从分数到分式说课稿精选篇1各位评委：下午好！今天我说课的题目是《分式的乘除法（第1课时）》，选用是人教版的教材。
根据新课标的理念，对于这节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书等五个方面加以说明。
一、说教材（一）教材的地位和作用本节教材是八年级数学第十六章第二节第一课时的内容，是初中数学的重要内容之一。
一方面，这是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的基础上，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础。
因此，这节课在整个的初中数学的学习中起着承上启下的过渡作用。
（二）教学目标分析根据新课标的要求和这节课内容特点，考虑到年级学生的知识水平，以及对教材的地位与作用的分析，我制定了如下三维教学目标：1.认知目标：理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。
2.技能目标：经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探究能力，加深对从特殊到一般数学的思想认识。
3.情感目标：教学中让学生在主动探究，合作交流中渗透类比转化的思想，使学生在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验。
（三）教学重难点本着课程标准，在充分理解教材的基础上，我确立了以下的教学重点、难点：教学重点：运用分式的乘除法法则进行运算。
教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除运算。
下面，为了讲清重点难点，使学生能达到这节课的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情1.学生已经学习分式基本性质、分式的约分和因式分解，通过与分数的乘除法类比，促进知识的正迁移。
2.八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力较强，通过类比学习加快知识的学习。
三、说教法学法（一）说教法教学方式的改变是新课标改革的`目标，新课标要求把过去单纯的老师讲，学生接受的教学方式，变为师生互动式教学。
从分数到分式十分钟说课课件
在进行分式混合运算时，需要注意运算顺 序和符号的处理，以及化简到最简情势等 。
总结词
掌握分式混合运算的应用
详细描述
分式混合运算在解决实际问题中有着广泛 的应用，如数学、物理、化学、工程等领 域中的公式推导和计算。
04
分式与分数的关系
分式与分数的联系
定义上的联系
分式和分数都表示两个整数的比 ，分母中都含有字母时称为分式 ，分母中不含有字母时称为分数 。
02
预告还将介绍数学建模在各个领 域中的应用，帮助学生更好地理 解这一重要概念。
谢谢您的凝听
THANKS
02
分式的定义与性质
分式的定义
总结词
分式是数学中一种重要的代数式，表示两个整式相除的关系 。
详细描述
分式由分子和分母两部分组成，分子是整式，分母也是整式 ，并且分母不能为零。例如，$frac{x^2 + 1}{x}$是一个分式 ，其中分子是$x^2 + 1$，分母是$x$。
分式的基本性质
总结词
总结词
掌握分式乘除法的应用
详细描述
分式乘除法在解决实际问题中有着 广泛的应用，如数学、物理、工程 等领域中的公式推导和计算。
分式的混合运算
总结词
理解分式混合运算的原理和 步骤
详细描述
分式的混合运算需要按照先 乘除后加减的顺序进行，同 时需要注意运算过程中的符
号处理和化简。
总结词
掌握分式混合运算的注意事项
运算上的联系
分式和分数在一定条件下可以相 互转化，例如当分母为0时，分式 转化为分数。
分式与分数的区分
定义上的区分
分式是代数式的一种，而分数是数学 中用于表示两个整数的比。
八年级数学上册《从分数到分式》PPT公开课
答案：x=1
【跟踪训练】
（荆州·中考）若分式： x2的1值为0，则（ ）
x 1
A．x=1 B．x=-1 C．x=±1 D．x≠1
【解析】选B． 由x2-1=0得x2=1， ∴x=±1， 又∵x-1≠0即x≠1， ∴x=-1.
x3
1.若分式： x 2有意义，则（ ） A．x≠2 B．x≠-3 C．x≠-3或x≠2 D．无法确定 【解析】选A．由题意得x-2≠0，解得x≠2.
9x+4,
7
,
9y
,
m4
,
8y 3 ，
1
x
20
5
y2
x9
【解析】整式有9x+4, 9 y
m4
,
20
5
分式有
7 , x
8yy2，3
1 x9
【例题】课本P128 例1
（1）当x
时，分式 2 有意义.
3x
解：分母 3x≠0 即 x≠0
答案：≠0
（2）当x
时，分式 x 有意义.
x 1
解：分母 x－1≠0 即 x≠1
容器中，水面高度为__3_3_cm；把体积为V的水倒入底
V
面积为S的圆柱形容器中，水面高度为___S___.
S
V
请大家观察式子 S 和 V , 有什么特点？
aS
请大家观察式子 100 和 60 ，有什么特点？
20 u 20 u
它们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
答案：≠1
（3）当b
时，分式 1 有意义.
5 3b
解：分母 5－3b≠0 即 b≠ 5
从分数到分式 课件
2.
x3 x2 1
3. x2 4 (x 2)(x 3)
甲、乙两人从一条公路的某处出发，同向而
行。已知甲每分钟行a米，乙每分钟行b米。
如果乙提前10分钟出发，然后甲去追乙.
(1)甲一定能追上乙吗? (a>b)
(2)若甲能追上乙,需要多少时间? (3)当a＝80，b＝60，甲追上乙需要多少时间？
填空: (1)当 x≠2
(2)当 X=3
1 x 时,分式 4 x8 有意义;
3x9 时,分式 x 2 的值是零;
(3)当x=2时,分式
xa xb 没有意义,则 b=
-2
(4) 已知分式
xx 2 x 2x 1
当
时,分式有意义;
当
时,分式的值是零;
当x取什么值时，下列分式有意义：
1. 3 x x4
根据下列y的值填表：
y … -1 0 1 …
y2 y
…
-1
没意义 3 …
2y 1 …
3
y2 1
2
-1
2y y 1
… 没意义
0
1…
2
1…
分式中的字母取值不能使分母为零,当分 母的值为零时,分式就没有意义。
试一试
例１ 对于分式 2 x 1
3x5
（１）当x取什么数时，分式有意义？ （２）当x取什么数时，分式的值是零？ （３）当x＝１时，分式的值是多少？
整式和分式统称有理式； 有理式是代数式的一种基础类别。
分式的分母不能为0， 即当B≠0时，分式 A
B
才有意义。
把下列各式写成分式形式
1÷a a÷ (a-1) (x-y) ÷(x+y)
下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？ 哪些是有理式？ 你认为区分整式与分式的关键是什么
从分数到分式 公开课大赛(省)优【一等奖教案】
15．1 分 式15．1.1 从分数到分式1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．(重点)2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．(难点)一、情境导入多媒体展示，学生欣赏一组图片(长江三峡)． 长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．早在1500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝城，暮至江陵，期间千二里，虽乘龙御风，不以疾也．”多媒体出示以下问题：(1)如果客船早6时从白帝城启航，顺水而下，傍晚6时到达江陵，航程600千米，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？(2)如果客船8小时航行了s 千米，该船航行的平均速度是多少？(3)如果客船在静水中的航行速度为v 千米/小时，江水流动的平均速度为20千米/小时．那么客船顺水而下，航行600千米需多少时间？如果客船逆水航行s 千米，需要多少时间？你能解答情境导入中的问题吗？与同学交流．二、合作探究探究点一：分式的概念【类型一】 判断代数式是否为分式在式子1a 、2xy π、3a 2b 3c 4、56＋x 、x 7＋y 8、9x ＋10y 中，分式的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：1a 、56＋x 、9x ＋10y这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数．【类型二】 探究分式的规律观察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9y4，…(其中x ≠0)．(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；(2)根据你发现的规律，试写出第n (n 为正整数)个分式，并简单说明理由．解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－x 13y 6；(2)由已知可得：第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn ，理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn .方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．【类型三】 根据实际问题列分式每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )A.nx ＋my x ＋y 元B.mx ＋nyx ＋y 元 C.m ＋n x ＋y 元 D.12(x m ＋y n)元 解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为mx ＋nyx ＋y元．故选B. 方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．探究点二：分式有意义或无意义的条件 【类型一】 分式有意义的条件分式x －1（x －1）（x －2）有意义，则x 应满足的条件是( )A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠1且x ≠2D ．以上结果都不对解析：∵分式有意义，∴(x －1)(x －2)≠0，∴x －1≠0且x －2≠0，∴x ≠1且x ≠2.故选C.方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零．【类型二】 分式无意义的条件使分式x3x －1无意义的x 的值是( )A ．x ＝0B ．x ≠0C ．x ＝13D ．x ≠13解析：由分式有意义的条件得3x －1≠0，解得x ≠13.则分式无意义的条件是x ＝13，故选C.方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.探究点三：分式的值为零、为正或为负的条件若使分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为( )A ．－1B ．1或－1C ．1D ．以上都不对解析：由题意得x 2－1＝0且x ＋1≠0，解得x ＝1，故选C.方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．三、板书设计从分数到分式 1．分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式．2．分式A B 有无意义的条件：当B ≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义． 3．分式A B值为0的条件：当A ＝0，B ≠0时，分式的值为0.本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成．第2课时 含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)一、情境导入 问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？ 2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD等于( )A ．3B ．2C ．1.5D ．1解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝12×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到CD ＝12DB .解：CD ＝12DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝12DB .方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．三、板书设计含30°角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．123452345123 4。
人教数学八年级上册：从分数到分式ppt课件
人教版八年级上册-第15章-第1节
难点名称：分式的定义以及分式有意义的条件
情境导入
目录
知识讲解
课堂练习
课堂小结
人教数学八年级上册：从分数到分式p pt课件
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它 沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速 逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
1
①
x
x
②
3
③ 4 ④ 2a 5
3b2 5
3
⑤ x ⑥ mn
x2 y2
mn
⑦ x 1
解:整式有:②④⑦;分式有:①③⑤⑥.
人教数学八年级上册：从分数到分式p pt课件
人教数学八年级上册：从分数到分式p pt课件
定义
分式 有意义 的条件
一般地，如果A,B表示整式，且B中含有 字母，式子 A 叫做分式，其中，A叫做分
B
式的分子，B叫做分式的分母.
分式 A 有意义的条件是B ≠0.
B
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课后作业 （1）课本P133-1、2、3
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1。 4
1 4x 1
有意义。
解 ⑶ ：由分母|x|－3 ≠ 0，得 x ≠ ±３ 。
所以当x≠
±３时，
分式
2x | x | 3
有意义。
请你编写满足下列条件的分式：
使其分子是x+2，且在x≠-1时有意义；
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从分数到分式课件
负数又需要什么条件？
【例题】
下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义.
（1） 2
3x
解：要使分式有意义，分母 3x≠0 ， 即 x≠0
（2） x
x 1
解：要使分式有意义，分母 x－1≠0 ，
即 x≠1
下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义.
（3） 1
5 3b
解：要使分式有意义，分母 5－3b≠0 即b≠ 5
分式的特点：
• 分式和分数相比较，形式相同。分数的分 子和分母都是整数；分式的分子和分母都 是整式，并且分母中含有字母。
• 分式和整式相比较，整式可以没有分母， 或者有分母，但分母中没有字母；分式一 定有分母，并且分母中含有字母。
分式的特点：分母中含有字母
【例题】
判断：下面的式子哪些是整式？哪些是分式？
（4） x y 3
xy
解：要使分式有意义，分母 x－y≠0
即 x≠y
【跟踪训练】
已知分式 x2 -4 ,
x+2
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
解：(1) 当分母等于零时,分式无意义.
即 x+2=0 ∴ x =-2， ∴当x = -2时分式 x2 -4 无意义.
,c
3(a
b)
.
解：整式有：2a 5 , a .
3 2π
分式有： x x2 y2
,
mn mn
,
x2 x2
2y 1 2y 1
,c
3(a b)
.
知识点2（重点）： 分式有意义的条件:
分式
A B
的分母有什么条件限制（类比分数）
从分数到分式ppt市公开课一等奖省优质课获奖课件
x y z 2.已知x y z
346
xy yz xz
，求 2
2
2
值。
第11页
认识过程
从特殊到普通
分
类比
分
数
式
从详细到抽象
第12页
千米∕小时。
（5）一艘轮船在静水中最大航速为20千米∕小时，若江水流速为v千米∕小时
100 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间能够表示为 20 v小时，
以最大航速逆流航行60千米所用时间能够表示为
60 小时。
20 v
注：顺流速度=船速+水速 逆流速度=船速-水速 第2页
问题1
请你将 “思索题”中式子分分类：
8x
80 x
x y 4
ab
ab
100 20 v
2s a
60 20 v
单项式： 8 x
x y
多项式：
ab
ab
4
80 2s 100
既不是单项式，也不是多项式：
x a 20 v
60 20第3页 v
普通地，假如A,B表示两个整式，而且B中含有字母，
那么式子 A 叫做分式。 B
分式 A 中，A叫做分子，B叫做分母。 B
2 x 1
有意义。
(3)当x
时，分式 1 有意义。
53 x
（4）当x，y满足何关系时， x y 有意义。
x y
第8页
x2 4
练习：已知分式 x 2 ，问：
（1）x取何值时，分式无意义？ （2）x取何值时，分式有意义？
第9页
问题：分式值为0条件是什么？
分式值为0
分子为0
例： 当x=
时，2xx37 值为0.
《从分数到分式》公开课课件
《从分数到分式》马学良一、地位和作用“从分数到分式”是九年制义务教育八年级第二学期第十六章的第一节内容，是中学知识体系的重要组成部分。
本节课的主要内容是分式的概念以及掌握分式有意义、无意义、分式值为0的条件。
它是以分数知识为基础，类比引出分式的概念，把学生对“式”的认识由整式扩充到有理式。
学好本节知识是为进一步学习分式、函数、方程等知识作好铺垫。
二、教学目标1、知识与技能了解分式的概念，能求出分式有意义的条件。
2、过程与方法通过对分式与分数的类比，学生亲身经历探究整式扩充到有理式的过程，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题。
3、情感、态度与价值观通过探究分式的概念，让学生体会到数学的应用价值。
三、教学重点与难点重点：分式的概念及分式有意义的条件。
难点：理解和掌握分式值为0时的条件。
四、教学方法与学法1．教学方法：引导—发现教学法2．学法引导：自主探索、交流发现。
五、教学过程(一)创设情景引入新课填空：1.100个桃子分给5个小朋友，每人多少个？2.100个桃子分给7个小朋友，每人多少个？3.100个桃子分给a个小朋友，每人多少个？4.100个桃子分给（a+b）个小朋友，每人多少个？5.m个桃子分给a个小朋友，每人多少个？6.（m+n ）个桃子分给（a+b ）个小朋友，每人多少个？学生很容易得到答案让学生根据五个代数式的特征进行归类学生探讨发现：列出的代数式，有些不是我们学过的整式，产生认知冲突，激发学习新知识的兴趣，以满足解决实际问题的需求。
引导学生发现它们的共同特点是：分母中都含有字母．从而引出课题——分式（板书：分式）（二）形成概念 合作交流(1) 学生根据上面探究到的结果，概括什么是分式．一般地，两个整式 A 、B 相除时，可以表示成BA 的形式．如果B 中含有字母，那么BA 叫做分式．其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．（教师板书） （如果学生能比较准确地得到分式概念，则教师给予肯定的评价。
从分数到分式课件
本PPT课件将全面介绍有关分数和分式的内容，从基本概念到实际应用，帮助 大家深入理解这一重要概念，让数学更加有趣和易学。
一、引言
分数和分式是数学中重要的概念，我们将从它们的定义和意义入手，引领大 家进入这个主题。
二、分数的基本概念
分子、分母的含义
深入剖析分数的构成元素， 让大家清楚分子和分母所 代表的含义。
分式的化简和约分
讨论分式的化简和约分方 法，帮助大家简化和简约 分式。
四、分式的运算
1
分式的乘法
2
详细介绍分式的乘法运算，以及乘法
运算的特殊情况。
3
分式的加减法
探索分式的加减法规则，帮助大家掌 握正确的运算方法。
分式的除法
解释分式的除法运算，揭示除法运算 中出现的问题和解决方法。
五、分式方程的解让大家理解分式方程的结构和特点。
分式方程的解法举例
通过案例分析，演示分式方程的解法步骤和技巧。
六、实际应用
分数和分式在日常生活中的应用
探索分数和分式在日常生活中的实际应用，如 食谱、体重计算等，让大家理解它们的重要性。
分数和分式在数学中的应用
介绍分数和分式在数学领域的应用，如几何形 状计算、概率统计等，展示它们在数学中的广 泛应用。
七、总结
回顾分数和分式的基本概念，总结它们的重要性，以及我们在本次课件中所学到的关键知识。
八、参考资料
阅读材料
提供相关的阅读材料，供有兴趣的学生进一步学习和深入研究。
参考书籍
推荐一些经典的参考书籍，帮助学生深入理解分数和分式的概念和应用。
网络资源
分享一些网络资源，如在线教学视频和练习题，供学生巩固所学知识。
常见的分数类型
公开课 从分数到分式
“从分数到分式”的教学反思分式是分数的一般形式，是中学知识体系的重要组成部分。
从整数到分数是数的扩充，从整式到分式是式的扩充。
分式作为一类重要的代数式，是研究函数、方程、不等式的重要载体。
同时，分式作为某些实际问题的数学模型，有着整式不可替代的作用。
“15.1.1从分数到分式”一节的内容是进一步学习分式性质、运算、解分式方程以及后续学习反比例函数的基础．因此，本节课的教学有着重要的意义。
我对这节课的教学有以下几点思考：一、重视章节起始课的引入环节本节课是分式单元的第一节课，也是全章的起始课。
一般说来，起始课有两个核心作用，一是获得研究对象，二是构建研究路径。
本节课的主要内容是分式的概念、分式有意义的条件。
因此，在本节课中要获得的研究对象是分式的概念。
那么就涉及一个问题，如何引入本节课？我预设了两种引入，一是从运算的角度引入，比如给一些整式，让学生用其中的任意两个，通过四则运算构造四个算式，当然也就构造出新的式子---分式。
这种引入从数学的逻辑上是没有问题的，但是，在义务教育阶段，课程标准对整式的除法不做要求，因此这种做法有偏离了课标要求，无形中给一些学生的学习增加了不必要的难度。
另一种是用实际问题作为引入环节的材料，从中获得新的代数式。
通过这样的情境让学生明确本节课乃至这一章研究的对象及研究的思路。
翻阅各种版本的教材，不难发现，用实际问题引入是教材倡导的。
这种方法最符合教材的编写理念，同时也符合分式的价值取向---分式及分式方程作为某些实际问题的数学模型，是整式无法替代的。
通过引入环节的设计应该让学生体会到，在实际问题的解决中有新的代数式，这些代数式是之前没有学习过的。
它们具有怎样的性质，如何进行运算，有怎样的应用？这是本章将要研究的问题。
以实际问题为引导性材料, 对所要学习的内容加以定向和引导，也符合“先行组织者”理论。
二、对分数与分式关系的认识很多人认为，分数与分式联系紧密，二者是具体与抽象、特殊与一般的关系的关系。
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①分子=0 ②分母≠0 ③最后答案
探究 附加问题
思考
分式 A 在什么条件下值为正？ B
分式 A 在什么条件下值为负？ B
当x 时， 当x
3x 1 x2 的值为负；
时，
3x 1 - x2 -1
的值为正.
作业：
课本P133 第1、2、3题
S
V
请大家观察式子 S 和 v,以及 9和0
60
as
30 v 30 v
有什么共同特点？ （分母中都含有字母）
他们与分数有什么相同点和不同点？
相同点
都是 A（即A÷B）的形式 B
不同点
分数的分子A与分母B都 是整数;分式的分子A与分母 B都是整式，并且分母B中都
含有字母
分数
分式
283 283 10 150 150 v 7
练一练:当x取什么值时，下列分式有意义？
1 8 x1
21 x2 9
3 x1 4x1
x2 4 例2. 已知分式 x 2,
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
解：(1)当分母等于零时,分式无意义。 即 x+2=0 ∴ x = -2 ∴当x = -2时分式: x2 4 无意义。
x y
(6)当x
___1__时,
分式
| x | 1 x2 3x
2
的值等于0.
小测验
1、⑴在下面四个代数式中,分式为( B )
A、2x 5 B、 1 C、x 8 D、－ 1 + x
7
3x
8
45
⑵ 当x=-1时，下列分式没有意义的是( C )
A、 x 1 B、 x C、 2x
D、 x 1
x
x 1
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
10
___7___cm;长方形的面积为S,长为a,宽应
S
为___a___;
S?
a
2.把体积为200cm³的水倒入底面积为33cm²
的圆柱形容器中,水面高度为__2_303_0_cm;把体
积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,
v
水面高度为__s____;
x 1
x
2、
当x
≠
1 2
时，分式
x2 2x 1
有意义。
3、
当x
=2
时，分式
x2 2x 1
的值为零。
4、 已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于
零，则k =-10 。 3x 2
p mn
B
D
8.分式
x
x
2
1 1
有意义的条件：
x取全体实数
。
当x=
-1时，分式 x
x 1的值为 2 1
1
；
9、 要使分式 x 2 (x 1)(x 2)
当B=0时，分式 A 无意义。
A
当B≠0时B，分式
BA B
有意义。
A
2、当 B =0时分子和分母应满足什
么条件？
当A=0而 B≠0时，分式B A的值为零。
例1、当a为何值时，分式 a1 有意义？ 2a
解：当分母的值等于零时，分式没有意义， 除此之外，分式都有意义。
由分母2a=0，得a=0。
所以，当a取零以外的任何实数时，分式都有意义。
被除数÷除数=商数
被除式÷除式=商式
如:
3
÷5
=
3 5
类比 如: (v-v0) ÷ t
=
v-v0
t
整数 整数 分数
整式(A) 整式(B)分式(AB )
观察下列一组数的规律，表示出第n个数是多少。
2 3
4
，
5
6
，
7
8
，
9
……
2n 2n 1 （n为正整数）
分式比分数更具有一般性
下面的式子哪些是分式？哪些是整式？ 两类式子的区别是什么？
x2
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
例2.
已知分式
x2
4
,
x2
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(4) 当x= - 3时，分式的值是多少?
解：(３)当分子等于零而分母不 （４）当x ＝ -３时，
等于零时,分式的值为零。
则 x2 - 4=0 ∴ x = ±2
x2 4 (3)2 4 x2 32
有意义，x
的取值满足（
C
）
A. x 1
B. x 2
C. x 1且x 2
D. x 1或x 2
10、分式 x 3 的值能等于0吗？说明理
由．
x2 x 12
小结
分式的定义
整式A、B相除可 写为 A 的形式，
B
若分母中含有字 母，那么 A 叫做 分式。 B
分式有意义 分母不
分式的值为0 等于0
5
而 x+2≠０
∴ x ≠ -2 x2 4
∴当x = 2时分式
的值为零。
x2
快速抢答
(1)当x ___0__时,分式 2 有意义.
3x
(2)当x ___1__时,分式 x 有意义.
(3)当b ___53__时,分式x5113b 有意义.
(4)当x
____1_时,
分式
x
1 2
1
有意义.
(5)当x、y满足关系 _x____y_时,分式 x y 有意义.
S 200 V a 33 S
这右些边请式的将子式它有子们什有分么什为共么两同相类特同。点点？？
分式定义
母为，分一那式般么的地称分，母BA如。为果注分意A式、：分。B都式其是表中不示A同整叫于式做整，分式且式的B的另中一分含类子有有，字B
理式，且分母中含有字母是分式的一 大特点。
类比分数，分式的概念及表达形式:
2x
4
2a 5 m n
c
x 3b3 5
3 m n 3(a b)
区分整式与分式的标准就是看分母中是 否含有字母,含有字母的是分式，不含字 母的是整式
1
x 1
当x取不同X值可时以，取该任分何式值的吗值？分别是多少？
A 你能说一说分式 B有意义的条件吗？
分式中B≠0时，分式
A 有意义。
B
思考：