空间两条直线所成的角教学设计
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
空间两条直线所成的角教学设计
《空间两条直线所成的角》教学设计罗央旦一、教材分析《异面直线所成角》是高等教育出版社数学基础模块下册9.3.1内容。
它是职高数学教学的重点和难点之一，并且与直线与平面所成的角，平面与平面所成的角都有很大的关联。
所以这块内容掌握的好坏直接影响后面的学习，非常关键。
学生在初中已经学习过平面两条直线所成角，如何把空间两条直线所成角转化成平面中两条直线所成角，这是本节课的关键。
对立体几何这块内容，新大纲要求采用直观教学的方法，遵循从具体到抽象，从特殊到一般的教学原则，利用计算机软件多媒体方式呈现空间几合体，这就需要适当引导学生通过实验，亲身做一做，观察等引出新知识，在理解的基础上，指导学生应用所学知识去解决实际问题，提高学生的学习兴趣。
三、学情分析对学生而言，本节内容比较抽象，难学。
尤其是初中平面几何基础掌握不是很好的，听课似乎是云里雾里。
本节主要内容是两条异面直线所成角的概念，学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念。
突破这个难点的关键是采用多媒体课件进行辅助教学，通过直观的演示，使学生切实明白。
弄清楚了概念后，如何求出这个角也是关键。
涉及到计算问题，就要复习解三角形的相关概念，余弦定理等都要提及。
三、教学目标知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。
能力目标：培养学生的识图、作图能力，在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。
情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。
四、教学重点难点教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。
教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。
五、设计思想“授人以鱼，不如授人以渔”。
在教学过程中，我们要传授学生课本知识，但比课本知识更重要的是，通过学习培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，这才是教学的终极目标。
一体化课程培训——空间两条直线及所成的角教学设计
空间两条直线及所成的角教学设计【设计理念】：中职学校立体几何课程以培养学生的逻辑思维和空间想象力为主要目标。
根据我校学生特点，坚持教学课堂的先做后学，先学后教，以教促学的“生本理念”，在处理方式上采用削干强枝，淡化形式的教学原则，通过多媒体应用，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得教学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。
注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验，猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证。
另外，通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动在进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程。
一、教学目标知识目标：（1）理解异面直线的概念，掌握空间两条直线的位置关系（2）理解异面直线夹角的定义，熟练掌握求异面直线夹角的的方法能力目标：（1）采用情景、对话、探讨等教学模式，通过动手画图，分析总结，空间想象等小结出异面直线的概念，得出空间里面两条直线的位置关系。
（2）通过平移的方法，得出夹角的定义，并熟练求异面直线的夹角（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）培养学生善于提出问题、分析问题的思维品质，理解事物之间相互关系、相互转化的辩证唯物主义思想。
（2）努力创造一种和谐、平等、宽松的课堂氛围，让学生乐于学习，敢于表达、交流自己的看法和想法。
二、教学重点和难点：教学重点: （1）异面直线概念的定义，判断异面直线所成的角。
（2）如何求异面直线的夹角。
教学难点：异面直线所成的角【教法分析】在教学内容的处理上，按照“直观感知—操作确认—思辨应用”的认识过程展开。
采用合作讨论法，实践学习法等教学方法，先通过直观感知和操作确认的方法，概括出异面直线的概念。
采用多媒体教学等有效手段，通过对图形的观察、实验和画图，使学生进一步了解空间的直线与直线夹角，学会准确的运用异面直线夹角知识解决一些简单的推理应用问题。
人教版高中数学必修第二册7.3两条直线所成的角教案
两条直线所成的角一、教学目标(一)知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．(二)能力训练点通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．2，难点：公式的记忆与应用．3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．(二)l1到l2的角正切两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么θ=90°，下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．tgα1=k1， tgα2=k2．∵θ=α2-α1(图1-32)，或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg(α2-α1)．或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)．可得即eq \x( )上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．(三)夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式(四)例题解：k1=-2，k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)，l1到l2的角是θ，求证：证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得 k3=2．因为l3经过点(-2，0)，斜率为2，写出点斜式为y=2[x-(-2)]，即 2x-y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．(五)课后小结(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；(2)l1到l2的角的正切公式；(3)l1与l2的夹角的正切公式；(4)等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．(教材第32页，1．8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角：∴θ1=45°．l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．2．(教材第32页，1．8练习第2题)求下列直线的夹角：∵k1·k2=-1，∴l1与l2的夹角是90°．(2)k1=1， k2=0．两直线的夹角为45°．∴l1与l2的夹角是90°．3．(习题三第10题)已知直线l经过点P(2，1)，且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o，求直线l的方程．即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0，底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在的直线l3的方程．解：这是本课例3将l1与l3互换的变形题，解法与例3相同，所求方程为：x-2y-2=0．六、板书设计。
空间两条直线所成的角教学设计
《空间两条直线所成的角》教学设计天长市工业学校单连智课题：空间两条直线所成的角一、教学目标：1、知识目标：进一步了解空间直线位置关系；理解异面直线；会求简单异面直线所成角2、能力目标：培养学生空间想象能力、动手操作、知识转化能力二、教学重点：异面直线所成的角概念三、教学难点：求两条异面直线所成的角四、教学方法：启发式+互动式教学五、课时安排：1课时六、教学过程：（一）温故知新承前启后空间两条直线位置关系【课件展示】拿两支笔分别代表两条直线,请你摆放它们的位置来表示空间两条直线位置。
（二）动脑思考探索新知1、两条相交直线的夹角【课件展示】图中三支不同颜色的圆珠笔（红黄白）中，红色的圆珠笔与黄色的、白色的圆珠笔都是相交的，但它们之间又有何区别?【课件展示】两条相交直线a 与b的形成4个夹角如图所示，直线a与b的夹角是α还是β？为什么？两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角。
【课件展示】一张纸上画有两条不相交的线段（但所在直线可以相交，交点在纸外）m、n 如图所示.现只给一副三角板和量角器，要求不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出m、n所成角的大小？看谁做的又快又好！2、异面直线所成的角(1)定义【做一做】拿两支笔分别代表两条直线,请你利用课桌面，摆放它们，使得它们的位置是异面直线关系。
【试一试】如图所示，如果红笔在桌上不动、蓝笔与桌面接触点不动，它们的相对位置如何？【思一思】两条异面直线不可能相交，如何形成夹角？经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．【悟一悟】★异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关，而和点O位置的选择无关。
★点O常取在两条异面直线中的一条上。
(2)范围【课件展示】请同学们看图，观察两条线（红、绿）是何特殊位置关系？【课件展示】请同学们看图，观察两支笔的位置关系，并自己模仿去摆一摆，分析它们的夹角大小。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
空间直线间夹角导学案
主备人：审核：包科领导：使用时间：§5.1直线间夹角导学案【学习目标】 1. 理解空间两直线夹角的定义。
2. 掌握两直线夹角的算法。
【学习重点】两直线夹角的计算。
【学习难点】公式的应用。
【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
3.带*号的为选做题。
【自主探究】1.当直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两条直线的夹角.2.当两条直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作3.两条异面直线所成的夹角的取值范围是4.设直线l1,l2的方向向量为s1,s2，当0≤〈s1,s2〉≤π/2时，直线l1与l2的夹角等于；当π/2 <〈s1,s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于；即：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。
因此，在计算时公式可化简为。
【合作探究】1.如图1，在正方体中，直线AD1与B1C是______直线，所成角为_______.(图1) (图2) (图3)2.如图2，在棱长为2的正方体中，E为A1B1中点，求异面直线AE与B1C所成角的余弦值?3.如图3，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F 1=41A 1B 1,求BE 1与DF 1所成角的余弦值?【巩固提高】1. 如图4，正四棱锥S-ABCD 的高SO=2，底边长AB =。
求异面直线BD 和SC 之间的夹角?※2．如图5，在三棱锥S —ABC 中，∠=∠=∠=︒SAB SAC ACB 90，AC =2，【课堂小结】__________________________________________________________________________________________________________________________。
空间两条直线所成的角教学设计
空间两条直线所成的角教学设计教学目标：1.知识目标：了解空间中两条直线所成角的概念和性质，熟练掌握相关定理；2.能力目标：能够应用所学知识解决实际问题；3.情感目标：培养学生对数学学科的兴趣和自信心。
教学重点：1.掌握空间两条直线所成角的定义；2.理解并掌握空间两条直线所成角的性质和相关定理；3.能够应用所学知识解决实际问题。
教学难点：1.熟练掌握空间两条直线所成角的性质和相关定理；2.能够结合实际问题应用所学知识解决问题。
教学准备：1.教师准备：教学课件、黑板、粉笔、直尺、三角板等；2.学生准备：教材、笔记本、铅笔、橡皮等。
教学过程：Step 1 引入新知1.教师可以通过视频或图片等方式，引导学生观察空间中的两条直线相交的情况，并提问：两条直线的相交部分有什么特点？2.引导学生思考，激发学生的兴趣，然后告诉学生这两条直线的相交部分叫做角。
Step 2 规定1.教师向学生传达定义：空间中的两条直线相交，在所在面上形成一个角。
这个角是由两条直线的公共点和这两条直线所在面上相对的两条线段组成的，其中一条线段是两条直线的公共部分，另一条线段是两条直线在同一侧的两条线段。
2. 示意图 on the board: 正确描述和画出一个角。
3.引导学生形成两条直线所成角的概念。
Step 3 规定和练习1.教师向学生介绍两条直线所成角的性质：两条直线所成角的大小只与两条直线所在面上相对的两条线段有关，与这两条直线在空间中的位置无关。
2. 通过示意图 on the board 以及具体的例子，引导学生进行实际测量。
3.教师出示一组图形，让学生观察并说出是否为两条直线所成角，如果是，说明成立的理由是什么。
引导学生发现两条直线所成角的一些特殊情况。
a)两条直线重合；b)两条直线平行；c)两条直线互相垂直。
Step 4 相关定理1.学生先自学教材相关定理，然后教师给出例题，引导学生运用相关定理解答问题。
Step 5 拓展练习1.教师布置一些拓展练习，要求学生运用所学的知识解决实际问题。
9.3《直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角》
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））(1)讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析nm'm'noθ过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．图9−36质疑思考带领学生分析42图9−35过程行为行为意图间*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得BE=8.在Rt∆AEB中，∠AEB=90°，因此222217815AE AB BE=-=-=.（2）联结DE.因为AD是平面α的垂线，AE是α的斜线，所以DE是AE在α内的射影.因此AED∠是AE和平面α所成说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===， 所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？讲解 说明思考注意 观察 学生 是否 理解 知识 点55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑引导 分析思考启发 思考63 *动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面讲解（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 说明引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．说明 强调观察通过图9−40CD图9−41loNM βαCD过 程行为 行为 意图 间图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°. 引领 讲解 说明思考 主动 求解例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想引导回忆练习9.3.3题继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/。
空间两条直线及所成的角教学设计
空间两条直线及所成的角教学设计教学目标：1.了解空间两条直线及所成角的概念和性质。
2.能够判断空间两条直线是否平行、垂直、相交，并能解释原因。
3.能够应用所学知识解决与空间两条直线相关的问题。
教学准备：1.教师准备：教学课件、黑板、粉笔、直尺、量角器等。
2.学生准备：课本、笔和纸。
教学步骤：Step 1 引入新知识（10分钟）1.教师向学生展示一张平面图，其中有两条直线，并问学生这两条直线是否平行、垂直或相交。
2.引导学生观察直线的方向、角度等特点，帮助他们理解直线的性质。
3.教师给出空间两条直线和所成角的定义，并提出学习空间两条直线及所成角的重要性。
Step 2 探索性学习（20分钟）1.学生分组，每组3-4人，给每组发放一张纸和一支笔。
2.要求学生在纸上画出两条直线，并标注两线的特性（平行、垂直、相交），以及所成角的类型（锐角、钝角、直角）。
3.学生相互讨论、比较作图结果，并在纸上写下自己的观察和感悟。
4.随机抽取几组学生进行展示，并邀请他们解释自己的作图解释。
Step 3 知识巩固（30分钟）1.教师在黑板上继续讲解空间两条直线及所成角的性质和判断方法。
2.教师通过例题演示如何判断两条直线的关系，并让学生用直尺和量角器进行实践操作。
3.学生跟随教师一起完成几道练习题，检验自己对空间两条直线及所成角的理解程度。
4.教师将学生的答案进行批改，给予必要的指导和讲解。
Step 4 拓展应用（20分钟）1.教师给学生提供一个拓展问题：已知两条直线，线段CD横穿于直线AB，且相邻的两个角ACD和BCE的度数分别为60°和120°，求直角ACE的度数。
2.学生在纸上画出示意图，并设法找到解题思路。
3.学生互相讨论和解题，找出正确的答案，并解释解题过程。
4.随机抽取几名学生进行解题展示，并请他们上前讲解自己的思路和答案。
Step 5 总结归纳（15分钟）1.教师总结和强调空间两条直线及所成角的重要性和应用价值。
空间两条直线所成的角教学设计
朱燕芝
课题名称
空间两条直线所成的角
专业
数学
授课班级
旅123班
授课地点
教室
课型
新授课
选用教材
《数学基础模块》
人数
35
课时
1课时
教材分析
本节课是立体几何的重点内容之一，也是难点之一；
本节课是立体几何教学的起始阶段，对发展学生的空间想象能力、培养学生优良数学思维品质是非常必要的 ；
本节课所渗透的“转化”思想不仅是这节课的重要思想方法，也是立体几何学习的核心思想。
二、
运用
知识
强化
练习
（约25分钟）
设置了三个小练习，内化本节课的核心知识：异面直线所成角的求解。
展示学生在任务单中编写的求解异面直线所成角的题，并进行分析和求解。
练习一，练习二，学生借助模型，独立完成。
由于练习三具有一定的难度，学生借助模型的同时，可进行组内讨论。利用道具，制作需要的连接线。
设计
意图
设计
意图
《自主学习任务单》中第三环节困惑的提问，利于教师定位学生的难点，在课堂中加以落实突破。
五、
自我
反思
整体
Байду номын сангаас构建
（约2分钟）
视频片段展示本节课主要内容。
学生先自我小结，教师辅助构建。
设计
意图
学生自我小结，通过小结，使学生对本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法。
教学反思
课堂外的在线学习中，学生通过自主学习、思考并提出问题进行知识传授。课堂内的面对面学习中，学生进行展示交流、协作探究达到知识内化。本节课将在线学习与面对面学习混合教学，逐步实现“先学后教”的教学模式。
两条直线所成的角PPT教学课件
初三语文组
基本目标
• 感受诗词经典，追溯文化渊源; • 提高审美品位，积蓄典雅语言。
要点与方法：
• 节律是特征，朗读以凸显之。 • 意象是风景，想像以再现之。 • 情感是灵魂，体验以沟通之。 • 语言是珍品，玩味以珍藏之。
五个环节
• 一、朗读全诗，力求读准——感知作品 • 二、弄懂字词，理顺语句——疏通作品 • 三、揣摩意象，领略意境——领会作品 • 四、自我感受，独特体验——感悟作品 • 五、赏析技巧，品味语言——鉴赏作品
—骆宾王
触景生情：
昔人已乘黄鹤去， 此地空余黄鹤楼。 黄鹤一去不复返， 白云千载空悠悠。 晴川历历汉阳树， 芳草凄凄鹦鹉洲。 日暮乡关何处是？ 烟波江上使人愁。 —崔颢《黄鹤楼》
绘景言志：
东临碣石，以观沧海。 水何澹澹，山岛竦峙。 树木丛生，百草丰茂。 秋风萧瑟，洪波涌起。 日月之行，若出其中， 星汉灿烂，若出其里。 幸甚至哉，歌以咏志。 —曹操《观沧海》
y
x o
提问：１.解析几何中怎样判断两条直线的平 行和垂直？
直线的斜率 或 以方程的特点观察
２、区分以下两组直线的相交程度用什
么量刻画？
２
１
４３
两条直线所成的角
想一想 ？
观察下列两组相交直线，自己下定义以便区
分两组对顶角
l2
l4
2
3
1
4
甲
l1
2
3 1
4
乙
l3
一、概念的建立
1、l1到 l2角的定义
• 第二、“画意”揣摩。即探寻画面所蕴含 的意义及作者所要表达的思想感情，这是由画 面向画意的转化；越是客观本然，越是符合作 者本意就越好。
• 第三、“画源”追溯。一种情况是意象成 因的分析，如周振甫先生就曾对杜甫<春夜喜 雨>的意象形成，作过具体阐释。另一种情况 是对作者心路历程的追寻，即要知道作者是在 怎样的生活背景和心理情绪下写出这一作品的 。
【中职】9.3.1 空间两直线所成的角
C、与a、b中至少有一条相交 D、与a、b中至少有一条相交
10、在长方体AC 中，对角线BD 与各面的对角线可以组成异面直线的对数是（ ）
1
1
A、6 Ｂ、4 Ｃ、２ Ｄ、８
11、已知空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H，
若DB 2，AC 6，则EG2 HF2 （ ）
就是异面直线m、n所成的角．
n
n'
m'
m
O
观察动画09-02 n
（2）为了简便，经常取一条直线与过另一条 直线的平面的交点作为点O．如图
mO
观察动画09-03
归纳：做平行线使之产生交点
3、异面直线所成角的范围（0°,90°]
如果两条异面直线所成的角是直角， 我们就说两条异面直线互相垂直．
两条互相垂直的异面直线 a，b， 记作 a b ．
Ａ、相交 B、平行 C、异面 Ｄ、相交或异面
3、下列推理中正确的是（ ）
Ａ、a ∥b,b a ∥ Ｂ、 l, a ,a ∥l a ∥ C、a ∥，a ∥b b∥ D、a ∥，b a ∥b 4、直线m, n都与平面平行，则m，n( )
Ａ、相交或平行或异面 B、平行 C、平行或异面 Ｄ、相交或异面
解：(1) 由异面直线的判定方法可知， D
与直线 BA 成异面直线的有
A
直线 BC，AD， CC，
DC，DC，DD；
D
C B
C
A
B
例2 如图所示的是正方体 ABCD－ABCD，
(2) 求直线BA 与 CC 所成的角的度数；
(3) 哪些棱所在的直线与直线 AA 垂直．
解： (2) 因为 BB // CC，
高二数学最新教案-直线两条直线所成的角 精品
直线教案两条直线所成的角教案教学目标1．使学生理解两条直线夹角的概念，掌握夹角公式的推导及运用．2．通过夹角公式推导过程的教学，培养学生周密分析、严格论证的能力．3．使学生进一步体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法．教学重点与难点夹角公式的推导及解析法的运用．教学过程一、复习提问师：请同学们回忆一下，平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？分别是什么？生：两条直线的位置关系有平行和相交两种．(学生有可能答平行和垂直两种位置关系，教师应注意纠正．)师：相交这种位置关系中有一种非常特殊的情况，即两条直线垂直，在解析几何中是利用什么来判定两条直线垂直的呢？生：利用两条直线的方程．师：对！直线方程是直线这一平面图形的代数化，通过对直线方程的性质的研究就可以得到相应的图形——直线的性质，那么两条直线l；和人的方程有什么性质，两条直线便垂直了？生：如果两条直线的斜率都存在，而且斜率互为负倒数，两条直线互相垂直．反之，若两条直线互相垂直，斜率互为负倒数．师：如果两条直线斜率都不存在呢？生：因为这两条直线都垂直于x轴，所以根本不可能互相垂直．师：如果一条直线l1的斜率存在，而另一条直线l2斜率不存在呢？生：关键是看l1的斜率k1是不是等于零，如果k1=0，那么l1垂直于l2，如果k1≠0，l1与l2肯定不垂直．(如果学生答不出来，可以画出l2帮助思考．)师：好，通过以上这些问题，综合起来才是完整的，同学们在考虑直线的问题时，一定要注意直线的斜率是否存在．另外，直线间的位置关系与直线的斜率密切相关，斜率又由倾斜角来确定，所以研究直线的位置关系就离不开倾斜角这一几何图形的帮助，这一点同学们在推导两条直线平行垂直的判定方法时就应该注意到了．然而两条直线相交更一般的情况是不垂直，那用什么来刻画两条直线的相对位置呢？(用两支铅笔演示两条直线相交成角变化，学生一般能回答出来用角来刻画．)二、讲授新课师：请同学们看，两条直线相交，一共构成几个角？它们之间有什么关系？生：一共构成4个角，它们是两对对顶角．师：如果这4个角全相等，我们称这两条直线垂直．如果这4个角不全相等，为统一也为研究方便，我们研究哪对对顶角更好呢？生：愿意研究锐角．师：我们给出定义．(板书)1．两条直线所成的角两条直线相交，称不大于直角的角叫做两条直线所成的角，简称夹角．师：由夹角定义，能否得到夹角θ的取值范围呢？师：如果只研究两条直线斜交的位置关系，有两条直线的夹角就足够了，但是要研究多条直线时，夹角就有局限性，比如图1-24中，l1与l3的夹角等于l2与l3的夹角，但l1与l2的位置关系并不确定，所以最好让“角”也具有方向．(板书)2．l 1到l 2的角 把直线l 1依逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角，简称到角．师：如图1-25，l 1到l 2的角为θ1，l 2到l 1的角为θ2，θ1和θ2有什么关系？生：θ1与θ2和为180°．师：可以看出，到角是有顺序的，它具有指向性，我们现在关心的是l 1到l 2的角是多大，如何用解析几何的方法来求证？生：应该对两条直线方程进行研究．师：为了具有一般性，我们设出直线的方程． (板书)设l 1： y=k 1x+b 1，或 x=x 1； l 2： y=k 2x+b 2，或x=x 2，(k 1≠k 2)师：可以看到，l 1、l 2的方程情况很多，先研究简单、特殊的情况——有一条直线斜率不存在．(1) 若l 1：y=k 1x+b 1，l 2：x=x 2，那么l 1到l 2的角可通过图形来观察． 显然θ与l 1、l 2的倾斜角α1、α2相关，根据图1-26(1)可以看出θ=α2-α1=90°-α1；根据图1-26(2)则有θ=α2+180°-α1=270°-α1，由于这种情况特殊，所以画出图来帮助分析就可以了，我们研究的重点是两条直线斜率都存在时，l 1到l 2的角如何计算．(2)若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，且1+k2k1≠0(因为要研究两直线斜交的情况)．设l1到l2的角为θ．师：请同学们思考θ与直线方程的关系，明确地说，由什么量决定θ？生：两条直线所成的角应该和这两条直线的方向有关(教师追问直线方向的代数化是什么)．直线的方向的代数化是直线的斜率，所以l1到l2的角应该和这两条直线的斜率有关．师：我们现在想找θ与k1、k2的关系，应该怎么办呢？生：θ是角，k1，k2是实数，不太容易找关系．生：k1、k2也是和角有关的，是不是可以间接找关系？生：试试先找θ和l1、l2的倾斜角的关系，然后再转化为k1、k2的关系．师：很好，l1，l2的倾斜角α1、α2是联系θ与k1、k2的纽带了，能不能凭空想出θ与α1、α2的联系？生：应该画图帮助思考．师：请一位同学在黑板上画出图形，反映两直线斜交的情况，其他同学在笔记本上画．(教师巡视学生作图情况，根据黑板上作出的图形，另外挑一位同学上黑板画图，两个图形分别代表α1＜α2，α1＞α2的情况，如图1-27．)师：两幅图有什么区别？生：图(1)中α1＜α2，图(2)中α1＞α2．师：l1、l2相对位置不同，θ与α1、α2的关系可能不一样，我们先研究图(1)中的情况．由于l1与l2相交，α2为三角形的外角，α1为这个三角形的内角，故有(板书)θ=α2-α1．师：得到了θ与α1、α2的关系，如何转化为斜率呢？生：取角的正切．师：为什么？生：因为斜率是倾斜角的正切值，取了角的正切，就把这个倾斜角转化为斜率了．师：等式两边取正切，有(板书)tanθ=tan(α2-α1)师：由于k1、k2存在且1+k2k1≠0，所以这个关系式有意义，对于图(2)是否有相同的结论呢？可以看到，α1是三角形的外角，α2是三角形的内角，α1=α2+(180°-θ)，所以有(板书)θ=180°+α2-α1．生：仿照上面的做法，等式两边取正切，然后利用两角差的正切公式，转化为单角的正切．(学生叙述，教师板书)tanθ=tan(180°+α2-α1)=tan(α2-α1)(诱导公式)师：比较两种情况的结果发现，无论l1与l2的相对位置如何，l1到l2的角的正切的表达式是一致的．(板书)3．“l1到l2的角”公式设θ是l1到l2的角，则有师：同学们要注意，公式的分子是角的终边所在直线l2的斜率减去角的始边所在直线l1的斜率，绝不能颠倒．由tanθ的取值情况，能否判定θ的取值？生：当tanθ＞0时，θ是锐角，当tanθ＜0时，θ是钝角．师：这个公式该怎么证呢？生：利用两角差的正切公式．生：记公式的推导过程，只记图(1)中的3个角的关系．(这时不必强求一致)师：怎么求l2到l1的角θ′呢？生：可以把公式中的k1换成k2，k2换成k1，也就是师：同学们在利用这一公式求“到角”时，一定要注意哪条直线是l1，哪条直线是l2，还需要条件l1与l2不垂直，即1+k2k1≠0．接下来的一个问题是：tanθ和tanθ′有什么关系？说明了什么？生：tanθ与tanθ′互为相反数．说明θ和θ′二个角中，一个是锐角，一个是钝角，正切值的绝对值相等，所以θ+θ′=180°．师：两条直线的夹角φ要么等于l1到l2的角θ，要么是l2到l1的角θ′，那么tanφ如何计算？生：两条直线的夹角的正切一定是正的，tanφ=|tanθ|=|tanθ′|．(板书)4．夹角公式师：显然φ是锐角了，我们现在有两种角，一个是到角，有方向的，可能是锐角，可能是钝角；另一个是夹角，无方向，只能是锐角，求角时要注意求的是夹角还是到角，弄清角的类型再调动相应的公式．师：我们来利用所学的知识解决一些问题．(板书，或打出投影)师：这里已知两直线方程，要求两条直线的夹角，如何处理？生：由已知直线方程就可以知道两条直线的斜率，再利用夹角公式就能求出夹角了．师：求夹角不必考虑始边与终边，直接代入夹角公式计算结果．解直线l1的斜率为k1=-2，l2的斜率为k2=1，所以l1与l2的夹角θ有：因为θ是锐角，所以θ=arctan3．师：如果再求l1到l2的角，这个角多大？，l2到l1的角又多大？生：那需用到角公式，求出l1到l2的角的正切为-3，这个角是钝角，所以l1到l2的角是π-arctan3，l2到l1的角是arctan3．师：答案正确，从这道题的求解我们可以总结些什么规律？明确地说，是该如何选择公式？结果是正还是负？生：如果所求是两条直线的夹角，就用夹角公式，求出的值必是正值；如果求一条直线到另一条直线的角，就得用到角公式，它不带绝对值符号，求出的值可能是正的，也有可能是负的．师：归纳得很好，之所以求夹角时选用带有绝对值符号的公式，是因为不必区分两条直线中的哪一条是始边，哪一条是终边；而“到角”具有方向性，所以公式中的分子是终边的斜率减去始边的斜率，由正切值判断这个角是锐角还是钝角，当难以区分夹角还是到角时应画出图形帮助分析，判断．(板书)例2 等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是 x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是 x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．师：要求直线l3的方程，已知点(-2，0)在l3上，故只需求出l3的斜率k3，要求k3，运用方程思想，要建立关于k3的一元方程．那么就需从题目中挖掘等量关系，从而转化为一个含k3的等式，显然“等腰三角形”这一条件十分重要，它能推出两腰长相等，两底角相等．那么与k3有关的条件是底角相等，所以要用已知的直线方程表示等腰三角形的底角，通过等腰三角形两底角相等建立关于k3的等式．(由学生列等式，教师巡视，从中发现不当的解法，加以展示．)生：因为l3、l1是三角形的二腰所在的直线，所以l3与l2的夹角等于l1与l2的夹角，所以有(板书)不可能构成三角形，这个解法有问题．师：这就是我们刚才说的，两个夹角相等，二直线位置并不确定，所以应用到角，为避免错误，结合直观图形加以判断．(只需画出三线相对位置，如图1-28．)生：由图可以看出，l2到l1的角θ1等于l3至l2的角θ2，列式(板书)解得 k3=2．因为 l3过点(-2，0)，所以直线l3的方程为 y=2(x+2)，即2x-y+4=0．师：通过这两道例题，我们可以看到，恰当地调用公式是十分重要的，角度与两条直线的先后顺序没有关系时，应选用夹角公式，运算可变得简捷一些，但一定要加以判断：角是否与直线顺序无关；若角度与直线的先后顺序有关，或是出现多条直线时，通常要用“到角”公式，且要画图以助分析．三、小结师：本节课研究的是两条直线斜交所成的角、有关公式及应用，从公式推导过程，同学们要体会其中的数学思想：如转化思想，方程思想，分类讨论思想，数形结合思想，体会研究解析几何问题的基本方法，此外要掌握公式并能灵活运用．四、作业(1)复习课本中“两条直线所成的角”一节．(2)课本习题(略)．设计说明直线是最基本、最简单的平面图形，学生在初中就已研究过许多有关直线的理论，如两条直线平行、相交的位置关系，成角与距离等数量关系，但在解析几何中，解析法这种方法对学生来说是陌生的，所以课本要通过直线这一学生熟悉的图形、学生熟知的性质来使学生理解并掌握解析几何的基本思想和方法．对于两直线成角，学生并不难理解与接受，因为他们已经有了研究两条直线平行和垂直位置关系的经验．其实平行和垂直都是两直线成角的问题，都是通过两条直线的斜率(如果存在)来研究的，因而利用斜率讨论两条直线斜交的成角就十分自然了，在研究过程中，都离不开倾斜角这个中间环节，学生不难想到研究新问题的手段与方法，所以在教学中应多启发学生，让学生参与到问题的研究中来，通过类比、归纳、推证得出结论．在教学中要注意解析几何思想方法的渗透，时刻提醒学生，我们是用代数方法研究几何图形，同时注意思考上要严密，表述上要规范，学好这一章的知识能为进一步研究圆锥曲线作好知识上方法上的准备，也为今后灵活运用解析几何的基本思想方法打下坚实的基础．。
两直线的夹角教学设计
两直线的夹角教学设计引言:二维几何中，直线是基本要素之一。
直线的交点、夹角等概念在几何学中具有重要的意义。
而其中，两直线的夹角是一个基本的概念，其理解对于学生的几何学学习非常关键。
然而，在传统的数学教学中，学生对于夹角的理解和运用仍然存在困难。
因此，本文将介绍一种有效的两直线夹角教学设计，以帮助学生更好地理解和应用这一概念。
一、教学目标1. 知识目标：理解两直线的夹角的定义和性质，能够准确计算两直线的夹角；2. 技能目标：能够应用两直线夹角的性质解决与夹角相关的问题；3. 情感目标：培养学生的几何思维和空间想象能力，增强学生对几何学的兴趣。
二、教学重点1. 两直线夹角的定义和性质；2. 夹角的计算方法；3. 夹角的应用题和解题思路。
三、教学内容和步骤1. 引入：通过展示一个有两直线相交的图形，引发学生对夹角的疑问。
- 引导学生观察图形中直线的性质，思考为什么会有夹角的存在；- 提问：你们知道什么是夹角吗？夹角有哪些性质？2. 学习夹角的定义和性质- 讲解两直线夹角的定义和性质；- 给出几个示例，让学生通过观察和分析来理解夹角的概念和性质；- 引导学生找出几个夹角的特殊性质，如对顶角、邻补角等。
3. 夹角计算方法的学习- 给出一些简单的夹角计算题，讲解计算方法；- 引导学生运用已学知识，自主计算一些夹角；- 提醒学生注意夹角计算过程中的常见错误，并通过解答疑惑加深理解。
4. 夹角应用题的解析- 给出一些夹角的实际应用题，如角度测量、地理问题等；- 引导学生分析题目要求，运用已学知识解决问题；- 鼓励学生自由思考和讨论，培养解决问题的能力。
5. 实际操作和练习- 提供一些实际操作的练习题，如在平面上画直线、测量夹角等；- 引导学生通过实践操作加深对夹角概念和计算方法的理解；- 分组讨论，互相交流答案，加强学生之间的合作和交流。
四、教学方法和手段1. 教师讲解法：通过讲解夹角的定义和性质，引导学生理解与掌握；2. 课堂讨论法：引导学生观察、分析和推理，参与问题解决过程；3. 实践操作法：提供实际操作的练习题，培养学生的动手能力和思维能力；4. 小组讨论法：学生分组讨论，互相交流并解决问题。
《直线与平面所成的角》教学设计
注重突显学生主体：在教学中我以学生发展为本，通过想一想，练一练，量一量，试一试，做一做等环节引导他们自主学习、合作探究,不仅完成了掌握知识到形成能力的转变，同时也体验到获得成功的喜悦。
直线与平面所成的角的取值范围是[0, ].
想一想：（小组讨论）
如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？（不一定！）
（三）学以致用，提升能力（约20分钟）
1.小试身手
练一练：找到正方体中的线面夹角
量一量：正确的握笔姿势
笔杆和桌面成60-70度角，握笔高度约3厘米，能清楚书写视野,处于放松的姿势和角度。
通过几何画板的动态演示，深刻理解直线与平面所成的角的定义。通过多媒体教学的使用，突出了重点。
通过理解直线与平面所成的角的范围，更深刻的理解直线与平面所成的角的定义。
进一步理解强化线面夹角概念
为例题的解答做好铺垫，同时信息化手段可以更加形象、直观，体现出了对传统教学的传承和创新。
活跃气氛、提高发散性思维能力，体会数学的应用价值。
板书设计
直线与平面所成的角
1.定义例题讲解
直线与平面内射影的夹角例1
2.取值范围例2
[0, ]
教学反思：
注重联系生活和专业：，整节课运用了不少贴近生活专业的实例，如焊炬倾角，榴弹炮，握笔姿势等，让学生认识到数学既来源于生活，又能帮助我们解决生活中的问题，充分调动学生学习的积极性，提升了学生对数学学习的认知。
课题
9.3.2 直线与平面所成的角
教材
高等教育出版社出版《数学》（基础模块）下册
课型
两条直线所成的角
2）当k1k2≠－1时 ，则有 ） 时
tanα2 −tanα1 k2 −k1 ∴ tanθ = = 1+ tanα2 tanα1 1+k1k2
（到角 公式 ）
我们把两条直线斜交， 我们把两条直线斜交，所形成的四个角 中的锐角，叫做两条直线的夹角 中的锐角，叫做两条直线的夹角
k2 −k1 ∴ tanθ = 1+k1k2
1 ：（1）由题意得： 解：（ ）由题意得：k1=3,k2= 2
则由到角公式得： 则由到角公式得：
1 −3 k2 −k1 −k tanθ = = 2 = −1 1+k1k2 1+ 1 ×3 2 3
即θ = π : 4 π (2)α =π −θ = 4
例2 已知直线l1 ：x-y-1=0，直线l2：x=3,求 l1到l2 ， 求 的角。 的角。
两条直线l 相交构成几个角？ 两条直线 1与l2相交构成几个角？ l2
l1
两直线相交，我们把直线 两直线相交，我们把直线l1绕着交点逆 时针方向旋转到与l 重合时所转的角，叫做l 时针方向旋转到与 2重合时所转的角，叫做 1 到l2的角
的角与l 的角不同， 注：1）l1到l2的角与 2到l1的角不同，但它们互补 ） 2） l1到l2的角的范围是（0，π） ） 的角的范围是（ ， ）
3 x − 2 y = 0或 y = 0
2.两条直线 x − 3 y + 1 = 0与 3 x + 3 y − 5 = 0
的夹角是 ………………………………(
A. 30° B. 60° C . 90°
)
D. 120°
Байду номын сангаас
3.求直线x + 2 = 0与3 x − 3 y = 5的夹角。 的夹角。
高中数学《两条直线所成的角》说课稿范文_说课稿
高中数学《两条直线所成的角》说课稿范文各位老师：今天我说课的课题是“两条直线所成的角”的第一课时，我准备从以下五个方面来汇报我是如何处理教材和设计教学过程的。
一.关于教学目标的确定通过这节课的教学，要使学生掌握两条直线所成角的概念和夹角公式的推导方法，掌握一直线到另一直线的角和两条直线的夹角公式及其应用，正确理解夹角公式成立的条件及特殊夹角的求法。
能力的培养也是数学教学不可缺少的一环，通过这节课的教学，应培养学生数形结合的能力和提高他们阅读理解的自学能力。
另外渗透“由特殊到一般”的辩证思想和“分类讨论”的思想也是这堂课的重要目标。
二.关于教材内容的选择和处理这节课所选用的教学内容是：教材中的定义、公式，但例题的选择较课本难度有所加深，这是因为教材上的例题只是公式的直接应用，通过学生自学和思考老师提出的问题后，对一般学生来说是没有什么问题的。
因此，本着因材施教的原则，并着眼于会考与高考的要求，例题的难度有所加深，这样选择教学内容也是与教学目标相符的。
我认为这节课的教学重点是两条直线的夹角公式及其应用，这是因为：1.《全日制中学数学教学大纲》上明确规定要求学生“掌握两条1 / 5直线所成的角”。
2. 数学知识的应用也是会考与高考的要求，因此两条直线夹角公式的应用毫无疑问地成为重点。
教学难点是直线L1到L2的角的公式的推导，理由有二：1. 由于一条直线到另一条直线的角是带方向的角，这是学生不易理解的地方。
2. 在推导直线L1到L2的角的公式的过程中，要进行分类讨论，这是学生的薄弱环节。
三.关于教学方法的确定根据这节课的内容和学生的实际水平，我采用自学辅导的方法进行教学。
自学辅导法符合教学论中的自觉性和积极性、巩固性、可接受性，教学与发展相结合，教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则;自学辅导法的关键是通过老师的引导和启发要求学生针对老师提出的问题阅读理解最终解决问题。
这样就能充分调动学生学习的主动性和积极性，使学生变被动学习为主动学习。
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《空间两条直线所成的角》教学设计
天长市工业学校单连智
课题：空间两条直线所成的角
一、教学目标：
1、知识目标：进一步了解空间直线位置关系；理解异面直线；会求简单异面直线所成角
2、能力目标：培养学生空间想象能力、动手操作、知识转化能力
二、教学重点：异面直线所成的角概念
三、教学难点：求两条异面直线所成的角
四、教学方法：启发式+互动式教学
五、课时安排：1课时
六、教学过程：
（一）温故知新承前启后
空间两条直线位置关系
【课件展示】拿两支笔分别代表两条直线,请你摆放它们的位置来表示空间两条直线位置。
（二）动脑思考探索新知
1、两条相交直线的夹角
【课件展示】图中三支不同颜色的圆珠笔（红黄白）中，红色的圆珠笔与黄色的、白色的圆珠笔都是相交的，但它们之间又有何区别?
【课件展示】两条相交直线a 与b的形成4个夹角如图所示，直线a与b的夹角是α还是β？为什么？
两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角。
【课件展示】一张纸上画有两条不相交的线段（但所在直线可以相交，交点在纸外）m、n 如图所示.现只给一副三角板和量角器，要求不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出m、n所成角的大小？看谁做的又快又好！
2、异面直线所成的角
(1)定义
【做一做】拿两支笔分别代表两条直线,请你利用课桌面，摆放它们，使得它们的位置是异面直线关系。
【试一试】如图所示，如果红笔在桌上不动、蓝笔与桌面接触点不动，它们的相对位置如何？【思一思】两条异面直线不可能相交，如何形成夹角？
经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．
【悟一悟】
★异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关，而和点O位置的选择无关。
★点O常取在两条异面直线中的一条上。
(2)范围
【课件展示】请同学们看图，观察两条线（红、绿）是何特殊位置关系？
【课件展示】请同学们看图，观察两支笔的位置关系，并自己模仿去摆一摆，分析它们的夹角大小。
当两条异面直线所成的角为直角时称这两条异面直线垂直。
两条异面直线 m ，n 互相垂直，记作 m n ．
【议一议】两条异面直线所成的角的取值范围是多少？
（0°，90 °]
【思一思】空间中两条直线垂直，这两条直线有哪些位置关系？
（三）巩固知识 评析典例
例 如图所示的长方体中，∠BAB1=30°,求下列异面直线所成的角的度数？
(1)AB1与DC ；(2)AB1与CC1
解：略（教师示范，课件展示）
（四）运用知识 学以致用
在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数： (1)DD1与BC ；(2)AA1与BC1 解：略（学生分组做并板演，课件展示）
A 1C 1
D 1
C 1
D 1
（五）规律总结理论升华
（学生总结，教师补充，课件展示）
（六）归纳小结自我反思
（七）课后自测巩固成果
必做题：教材p96习题9.3A 组1、2题
选做题：空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别为AB、CD的中点，EF=3，求异面直线AD与BC的夹角.。