2020年陕西高三二模数学试卷(理科)

2020年陕西高三二模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．
A. B. C. D.
2.已知集合 ,，则 （ ）．
A. B. C. D.
3.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，则在上的投影为（ ）．
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则满足条件的实数的个数是（ ）．A.
B.
C.
D.
6.设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（ ）．
（注：，则，，
）
A.
B.
C.
D.
7.在公差不为的等差数列中，，，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
8.已知，且，，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
9.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，
则的最小值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
10.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同
一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
11.已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，
则的面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
12.已知函数，，若存在，对任意
，都有，则实数的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.如图是样本容量为的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对
值是 ．
频率
组距
14.在
的展开式中，
的系数为，则
．
15.在，为的中点，且
，若
，则的周长
为 ．
16.已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线
的离心率为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
（1）
（2）
17.
如图，正四棱锥的底边长为，侧棱长为，为
上一点，且，点，分别为，上的点，且．
证明：平面
平面．
求锐二面角
的余弦值．
（1）
（2）
18.
已知正项数列的前项和为， ，．
求数列的通项公式．
若数列
满足
，令
，求证：
．19.某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取份，统计得出如下列联表：
优秀一般总计男
女
总计
（1）（2）
（3）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中随机抽取
人，求这三位市民中男女都有的概率．
以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取人，用表示这人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差．
附：
（其中
）．
（1）
（2）
20.已知函数．
求函数的极值．
当时，若函数有两个极值点，，且，求证：
．
（1）
（2）
21.已知椭圆：的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点
的最大距离为．
求椭圆的标准方程．
若过点的直线
与椭圆相交于
，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面
积的最大值．
四、选择题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
（1）
（2）
22.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．
若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．
23.设函数的最小值为．
【答案】
解析:
方法一：
本题考查复数的运算．
由题意得，
∴的虚部为，故选．
方法二：
∵，
∴的虚部为，故选．
解析:
本题考查集合并集的运算．由题意可知
集合，
∴．
故选．
解析:
本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），（1）
（2）
求的值．
若，求证：．
C
1.
B
2.
A
3.
其中，， ．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值
，
故选．解析:
本题考查平面向量的数量积及向量的投影．由题可得
，
，
∴，
∴
在
上的投影为，
故选．解析:
本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数
的图象如图所示，
x
1
23
y
1
2O
由题意可得当时，；
当时，
．
若，则或
，
解得或，
则
或
，
结合函数图象可知的取值有个．故选．解析:
B 4.D 5.A 6.
本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算．由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是
，则，标准差是，而，∴
，∴
图中阴影部分的面积为
．记“黄豆落入阴影部分”为事件，则
， 故正确，
错误．
故选．解析:
本题考查等差数列的通项公式，由题意可设数列的公差为（
），
则通项公式，
∴，
，
，
，∴，解得（
舍去），∴．故选．解析:
本题考查三角恒等变换，由题意可得，∵，∴，∴
．
故选：．解析:
本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由题意可得平移后的函数解析式为，
若该函数图象关于坐标原点对称，则
，
阴影部分的面积正方形面积
A 7.D 8.C 9.
解得．
∵，
∴，
∴
∴的最大值为，∴．故选．解析:由题意可知
外接圆的半径．
设该三棱柱外接球的半径为，则．
由可得
，
∴
，
∴
，当且仅当
，
时取得最小值，
∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为．
故选．解析:方法一：
由题意可得抛物线的焦点，
设直线的方程为
，
联立直线与抛物线的方程得，
即
，
设，两点的坐标为，，
则由韦达定理可得
，
D 10.B 11.
，
∴
，
，
∴，
∴
，
∴直线的方程为，
则点到直线的距离为，∴的面积为
．
故选．方法二：
由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为
，
联立直线与抛物线的方程得，
即
，
设，两点的坐标为，，
则由韦达定理可得，
，
∴
，
∴，即，
∵，
∴
．
故选．解析:
本题考查函数的图象与性质、导函数及利用导函数解不等式．由题意可得
，
C 12.
令，得
，
而，
，
，∴，
，
∴，
∵，令，得
，而，
，
，∴，
，
∴
．由题意可知存在，对任意
，
都有等价于
，
即，∴
，故选．解析:由样本容量为
的频率分布直方图，知：
的频率为，的频率为
，
∴该样本数据的中位数为：
，
该样本数据的平均数为：
，
∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：
，
故答案为：．
解析:
本题考查二项式定理．∵
展开式的通项为
，
13.或
14.
则由可知，
展开式中的系数为，
∴，
即，
解得或．
15.
解析:
本题考查余弦定理．
令，则，，
则 ．
∵，
∴．又点为的中点，
∴，在中，由余弦定理得，∴，
∴， ，
故的周长为 ．
16.
解析:
本题考查双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系．
设直线的方程为，与双曲线的方程联立可得，
化简得，
令，，则，，，∵以为直径的圆过坐标原点，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
代入化简可得，即，
（1）（2）又∵双曲线的离心率，
∴
．
解析:∵
，且
，
∴四边形为平行四边形，
∴．∵，
，
，
∴，∴
．
∵
，
平面，
，
，平面，，
∴平面
平面
．
如图：
如图，连接，相交于点，连接．
∵四棱锥为正四棱锥，
∴，
，又，∴，且，
同理可得，∴
，
，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，，．
，，
，
（1）证明见解析．（2）．
17.，
，
，
，
（1）（2）∴，
，，
令平面的法向量为
，
则，即，
解得，∴取，则
，
，
故
，
同理可得平面的一个法向量，∴
，
∴锐二面角
的余弦值为．
解析:
由题意可得当
时，
，
∴；当时，
， ，
∴，
∵，
∴，
∴数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项也是公差为的等差数列，
又∵ ，
∴数列是公差为的等差数列，∴
．
由（）知，
，
，
∴
，
，
两式相减得
，
，
（1）
．
（2）证明见解析．18.
（1）（2）（3）（1）∴，
∵当时，
，
∴
．
解析:由
列联表可得
，
∴没有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．
调查结果为一般的市民中有男
人，女
人，人数之比为
，
所以按分层抽样抽取的人中，男人，女人．设“这三位市民中男女都有”为事件，则（或
）．
由
列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为
，
∴
，
，，，，，
，
∴~
，
∴
，
，
∴随机变量
的期望为
，方差为．
解析:
由题意可得
（1）没有．（2）
．
（3）期望，方差
．
19.（1）当
时，函数的极大值为
，极小值为
；
当时，无极值；当
时，函数
的极大值为，极小值为．
（2）证明见解析．20.
（2）（1），
当
时，
，函数
的单调性和极值如表：
递增
极大值
递减
极小值递增
∴，；
当时，，，
，函数在上单调递增，
∴无极值；当
，
，函数的单调性和极值如表：
递增
极大值递减
极小值递增
∴
，
，
综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为
；
当时，无极值；当
时，函数
的极大值为，极小值为
．
由题意得
，即
，，
由（）可知，
，∴， ，
∴，
令，则
，
∴在
上单调递减，
∴，即，
∵，
∴
．
解析:
方法一：
极大值
极小值
极大值
极小值
（1）．
（2）．
21.
（2）由题意可得离心率，
又，
∴，，
令点为椭圆上任意一点，
则
，
∴，
∴，，
∴椭圆的标准方程为．
方法二：
由题意可得离心率，
又，
∴，，
令椭圆上任意一点，
∴
，
当时，，
∴，满足；
当时，，
解得（负值舍去），，
则，不满足条件，舍去．
综上，，，
椭圆的标准方程为．
设点坐标为，
直线的方程为 ，联立直线方程与椭圆方程化简得，令，两点的坐标分别为，，
（1）由韦达定理可得，，则，
化简得，
点到直线的距离
，
∴的面积
，
令，
则
，
,
当
时，
，
当且仅当，
时等号成立，此时，∴，∵
，
∴当且仅当时，
取到最大值为，此时
面积取到最大值，即，此时直线的方程为，点
的坐标为
，
综上，
面积的最大值为
．
解析:由
得
，
将
（为参数）消去参数，
得直线的普通方程为，
由得，
将，
代入上式，
得
，
（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．
（2）．
22.
（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为
．
由（）可知直线的普通方程为
，化为极坐标方程得，
当时，设，两点的极坐标分别为
，
，
则，
，
所以
．
解析:由
可得
，
则．
∵，∴
．
由（）可知
，∴
，（当且仅当
时等号成立），
∴
，故
．
（1）
．
（2）证明见解析．23.。