概率论与数理统计 独立事件

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结论的应用
n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1 , A2 , „, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
第5节 事件的独立性
一、事件的相互独立性
二、几个重要定理
三、例题讲解 四、小结
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一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
由条件概率，知
P ( AB) P ( A B) P ( B) 一般地， P ( A B) P ( A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率
则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
注. 1º若 P ( A) 0, 则
P ( B A) P ( B )
说明
P ( AB) P ( A) P ( B)
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
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例1 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中
敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率.
解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 }
则 C A B. 依题设, P ( A) 0.6, P ( B) 0.5 ∴ A与B不互斥 ( P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B) )
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见 两事件相互独立但两事件不互斥 . 两事件相互独立 两事件互斥.
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又如：
1 1 若 P ( A) , P ( B ) (如图) 2 2
则 P ( AB) 0,
1 P ( A) P ( B ) , 4
B A
故 P ( AB) P ( A) P ( B )
由此可见两事件互斥但不独立. 两事件互斥
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两事件相互独立.
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可以证明： 特殊地，
当 P ( A) 0, P ( B) 0时，有
A与B 独立 A与B 相容( 不互斥)
或 A与B 互斥 A与B 不独立
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3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
则称A1，A2， An两两相互独立.
定义 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< · · · < i k ≤n
则有
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 . 若 P ( A) 0，则
P ( B A) P ( B)

P ( AB ) P ( A) P ( B )
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2. 定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB) P ( A) P ( B )
A 与 B； ② A 与 B； ③ A 与 B.
证 ① A A A( B B ) AB AB
P ( A) P ( AB) P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( AB)
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又∵ A与B相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( AB)
P ( A) P ( A) P ( B) P ( A)[1 P ( B)] P ( A) P ( B )
③ A B A B (对偶律)
P ( A B ) P ( A B)
1 P ( A B)
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1 P ( A B)
类似可以得出： “ A1 , A2 ,„, An 至少有一个不发生”的概率为
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
=1- p1 … pn
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例3
若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎 病毒相互独立，混合100个人的血清， 求此血清中含有肝炎病毒的概率.
2º 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB 例如
B
AB A
1
1
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
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由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立, 进而 A 与 B 独立.
C A B AB
P (C ) 1 P (C )
1 P( A)P( B ) 1 [1 P ( A)][1 P ( B)] 1 (1 0.6)(1 0.5)
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
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① 系统Ⅰ. ②
A1 , A2 ,„, An
也相互独立
即
n个独立事件至少有一个发生的概率等于
1减去各自对立事件概率的乘积.
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若设n个独立事件 A1 , A2 ,„, An 发生的概率 分别为 p1 ,, pn , 则“ A1 , A2 ,„, An 至少有一个发生”的概率为 P(A1…An) =1- (1-p1 ) …(1-pn )

B发生时，A一定不发生.
B
A
P ( A B) 0
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成
A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
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3.性质
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1
P ( B) P ( A1 A2 A100)
1 P ( A1 A2 A100 )
1 P ( A1 A2 A100) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A100)
1 [1 P ( A1 )]100
1 (1 0.004)100 1 (0.996)100 0.33
解 记 Ai {第i个人的血清含有肝炎病 毒}
(i = 1,2,
则
,100)
B {100个人的混合血清中含有 肝炎病毒 }
P ( Ai ) 0.004
B A1 A2 A100
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依题设， A1 , A2 ,, A100相互独立
有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
P ( A B ) P ( A)
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1.引例
盒中有5个球( 3绿2红), 每次取出一个, A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球, 3 P( B) P ( B A) 5
有放回地取两次 .记
1 [ P ( A) P ( B) P ( AB)]
1 [ P ( A) P ( B) P ( A) P ( B)] [1 P ( A)] P ( B)[1 P ( A)] [1 P ( A)] [1 P ( B)]
P ( A ) P ( B ).
证 若A与B 独立, 则 P ( AB) P ( A) P ( B)
P ( A) 0, P ( B) 0
P ( AB) P ( A) P ( B) 0
故 AB
即 A与B 不互斥(相容).
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理解: 若A与B互斥，则 AB =
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2. 三事件相互独立的概念
定义1.10 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A)
即 与A独立.
∵ A=, P()=0
∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
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(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
有 P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
则称A1，A2， An相互独立.
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注.
A1 , A2 ,, An相互独立 A1 , A2 ,, An两两相互独立
例2
设一个口袋里装有四张形状相同的卡 片.在这四张卡片上依次标有下列各组 数字：110，101，011，000 从袋中任取一张卡片，记 Ai {取到的卡片第i位上的数字为1} (i = 1,2,3) 证明： (1) A1 , A2 , A3两两相互独立;
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事件的独立性在可靠性理论中的应用： 一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率.
一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常 工作的概率.
例4 设一个系统由2n 个元件组成，每个元件 的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作 是相互独立的.
(1) 求下列两个系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性；
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两个结论
1. 若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
2 . 若 n 个 事 件 A1 , A2 , , An ( n 2)相 互 独 立 , 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 们 它的 对 立事件 , 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立 . (独 立 性 关 于 运算封闭 )
( 2) A1 , A2 , A3不相互独立.
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证 (1) P ( A1 )
2 1 P ( A2 ) P ( A3 ) 4 2 1 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 4 110，101， 1 P ( A1 A3 ) P ( A1 ) P ( A3 ) 011，000 4 1 P ( A2 A3 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 4 A1 , A2 , A3两两相互独立; 1 0 ( 2) P ( A1 A2 A3 ) 0 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 8 4 A1 , A2 , A3不相互独立.
= 0.8
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(二) 多个事件的独立性
1. 三事件两两相互独立的概念 定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), 则称事件 A, B , C 两两相互独立 .