数学之五迭代
大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解
Do M n , n, 2, 100
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
Do M n , n, 2, 100
2 True 0 2 3 True 1 1 4 False 0 2 5 True 1 1 6 False 2 2 7 True 1 1 8 False 0 2 9 False 4 1 10 False 2 2 11 True 1 1 12 False 8 2 13 True 1 1 14 False 2 2 15 False 4 1 16 False 0 2 17 True 1 1 18 False 14 2 19 True 1 1 20 False 8 2 21 False 4 1 22 False 2 2 23 True 1 1 24 False 8 2 25 False 16 1 26 False 2 2 27 False 13 1 28 False 8 2 29 True 1 1 30 False 2 2 31 True 1 1 32 False 0 2 33 False 4 1 34 False 2 2 35 False 9 1 36 False 32 2 37 True 1 1 38 False 2 2 39 False 4 1 40 False 8 2
99 False 3 27 100 False 1 67 Null2
m=4 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
高二数学函数方程与迭代
课外思考: 2 1. 已知二次函数 f (x)＝ax ＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴有 两个不同的公共点，若 f (c)＝0，且 0＜x＜c 时，f (x)＞0．
1 (1)试比较 与 c 的大小； a
(2)证明：－2＜b＜－1；
a b c ＞0． (3)当 c＞1,t＞0 时,求证: t 2 t 1 t 2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中， 以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、乙两个正方形有一边相重叠， 都有一边落在 BC 上，甲有一顶点 在 AB 上，乙有一顶点在 AC 上） ， 试求这样内接的两个正方形面积和的最小值．
2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中，以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、 乙两个正方形有一边相重叠， 都有一边落在 BC 上， 甲有一顶点在 AB 上，乙有一顶点在 AC 上） ，试求这样内接的两个正方形面积和的最小值．
解：设甲、乙两正方形的边长分别为 x, y ， 易知 BC 边上的四条线段之和为：
1 2 3 练习 x ＋x＋ 2 4 4 1.已知 f(2x－1)=x ＋x，那么 f(x)=_______.
2.(教程 P93 2 )已知 f(x)=ax +bx+1 c，若 1 f(0)=0 2 且 f(x+1)=f(x)+x+1，则 f(x)= 2 x ＋ 2 x .
2
y ,都满足 3. 函 数 f ( x ) 对 于 任 意 实 数 x 、 f ( x y 2 ) f ( x) 2 f 2 ( y) ,且 f (1) 0 ,则 f (1998) ___. 999
1 ∴ f ( n 1) f ( n) , 2 n ∴ f 3 6 )已知函数 f(x)对于 x>0 有意义， 且满 足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数. ⑴证明 f(1)=0; ⑵若 f(x)+f(x－2)≥2 成立，求 x 的取值范围.
数学数学实验Newton迭代法
数学实验题目4 Newton 迭代法摘要0x 为初始猜测，则由递推关系产生逼近解*x 的迭代序列{}k x ，这个递推公式就是Newton 法。
当0x 距*x 较近时，{}k x 很快收敛于*x 。
但当0x 选择不当时，会导致{}k x 发散。
故我们事先规定迭代的最多次数。
若超过这个次数，还不收敛，则停止迭代另选初值。
前言利用牛顿迭代法求的根程序设计流程问题1（1 程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun1_1',pi/4,1e-6,1e-4,10) r = 0.7391（2 程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun1_2',0.6,1e-6,1e-4,10) r = 0.5885问题2（1 程序运行如下：否 是否是是定义()f x输入012,,,x N εε开 始1k =01()f x ε<0100()()f x x x f x =-'102||x x ε-<k N =输出迭代失败标志输出1x输出奇 异标志结 束01x x = 1k k =+ 否r = NewtSolveOne('fun2_1',0.5,1e-6,1e-4,10)r = 0.5671（2）程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun2_2',0.5,1e-6,1e-4,20)r = 0.5669问题3（1）程序运行如下：①p = LegendreIter(2)p = 1.0000 0 -0.3333p = LegendreIter(3)p = 1.0000 0 -0.6000 0p = LegendreIter(4)p =1.0000 0 -0.8571 0 0.0857p = LegendreIter(5)p = 1.0000 0 -1.1111 0 0.2381 0②p = LegendreIter(6)p = 1.0000 0 -1.3636 0 0.4545 0 -0.0216r = roots(p)'r= -0.932469514203150 -0.6612 0.9324695142031530.6612 -0.238619186083197 0.238619186083197用二分法求根为：r = BinSolve('LegendreP6',-1,1,1e-6)r = -0.932470204878826 -0.661212531887755 -0.2386200573979590.2386 0.661192602040816 0.932467713647959（2）程序运行如下：①p = ChebyshevIter(2)p = 1.0000 0 -0.5000p = ChebyshevIter(3)p = 1.0000 0 -0.7500 0p = ChebyshevIter(4)p = 1.0000 0 -1.0000 0 0.1250p = ChebyshevIter(5)p = 1.0000 0 -1.2500 0 0.3125 0②p = ChebyshevIter(6)p = 1.0000 0 -1.5000 0 0.5625 0 -0.0313r = roots(p)'r = -0.965925826289067 -0.7548 0.9659258262890680.7547 -0.258819045102521 0.258819045102521用二分法求根为：r = BinSolve('ChebyshevT6',-1,1,1e-6)r = -0.965929926658163 -0.7755 -0.2588289221938780.2588 0.7020 0.965924944196429与下列代码结果基本一致，只是元素顺序稍有不同：j = 0:5;x = cos((2*j+1)*pi/2/(5+1))x =0.965925826289068 0.7548 0.258819045102521-0.258819045102521 -0.7547 -0.965925826289068（3）程序运行如下：①p = LaguerreIter(2)p = 1 -4 2p = LaguerreIter(3)p = 1 -9 18 -6p = LaguerreIter(4)p = 1 -16 72 -96 24p = LaguerreIter(5)p =1.0000 -25.0000 200.0000 -600.0000 600.0000 -120.000②p = LaguerreIter(5)p =1.0000 -25.0000 200.0000 -600.0000 600.0000 -120.000r = roots(p)'r =12.6432 7.8891 3.5964257710407111.4520 0.263560319718141用二分法求根为：r = BinSolve('LaguerreL5',0,13,1e-6)r = 0.263560314567722 1.4789 3.5964257656311507.0720 12.6490（4）程序运行如下：①p = HermiteIter(2)p = 1.0000 0 -0.5000p = HermiteIter(3)p = 1.0000 0 -1.5000 0p = HermiteIter(4)p = 1.0000 0 -3.0000 0 0.7500p = HermiteIter(5)p = 1.0000 0 -5.0000 0 3.7500 0②p = HermiteIter(6)p = 1.0000 0 -7.5000 0 11.2500 0 -1.8750r = roots(p)'r =-2.3587 2.3588 -1.3358490740136961.335849074013698 -0.4367 0.4366用二分法求根为：r = BinSolve('HermiteH6',-3,3,1e-6)r =-2.3516 -1.335849********* -0.43630.4366 1.335848983453244 2.3504所用到的函数function r = NewtSolveOne(fun, x0, ftol, dftol, maxit)% NewtSolveOne 用Newton法解方程f(x)=0在x0附近的一个根%% Synopsis: r = NewtSolveOne(fun, x0)% r = NewtSolveOne(fun, x0, ftol, dftol)%% Input: fun = (string) 需要求根的函数及其导数% x0 = 猜测根，Newton法迭代初始值% ftol = (optional)误差，默认为5e-9% dftol = (optional)导数容忍最小值，小于它表明Newton法失败，默认为5e-9 % maxit = (optional)迭代次数，默认为25%% Output: r = 在寻根区间内的根或奇点if nargin < 3ftol = 5e-9;endif nargin < 4dftol = 5e-9;endif nargin < 5maxit = 25;endx = x0; %设置初始迭代位置为x0k = 0; %初始化迭代次数为0while k <= maxitk = k + 1;[f,dfdx] = feval(fun,x); %fun返回f(x)和f'(x)的值if abs(dfdx) < dftol %如果导数小于dftol，Newton法失败，返回空值r = [];warning('dfdx is too small!');return;enddx = f/dfdx; %x(n+1) = x(n) - f( x(n) )/f'( x(n) )，这里设dx = f( x(n) )/f'( x(n) )x = x - dx;if abs(f) < ftol %如果误差小于ftol，返回当前x为根r = x;return;endendr = []; %如果牛顿法未收敛，返回空值function p = LegendreIter(n)% LegendreIter 用递推的方法计算n次勒让德多项式的系数向量Pn+2(x) = (2*i+3)/(i+2) * x*Pn+1(x) - (i+1)/(i+2) * Pn(x)%% Synopsis: p = LegendreIter(n)%% Input: n = 勒让德多项式的次数%% Output: p = n次勒让德多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %P0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %P1(x) = xp = [1 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为P0pMid = [1 0]; %初始化三项递推公式中项为P1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Pn+1pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的PnpBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd = (2*i+3)/(i+2) * pMidCal - (i+1)/(i+2) * pBkCal; %勒让德多项式三项递推公式Pn+2(x) = (2*i+3)/(i+2) * x*Pn+1(x) - (i+1)/(i+2) * Pn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把勒让德多项式最高次项系数归一化function p = ChebyshevIter(n)% ChebyshevIter 用递推的方法计算n次勒让德-切比雪夫多项式的系数向量Tn+2(x) = 2*x*Tn+1(x) - Tn(x)%% Synopsis: p = ChebyshevIter(n)%% Input: n = 勒让德-切比雪夫多项式的次数%% Output: p = n次勒让德-切比雪夫多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %T0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %T1(x) = xp = [1 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为T0pMid = [1 0]; %初始化三项递推公式中项为T1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Tn+1pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的PnpBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd = 2*pMidCal - pBkCal; %勒让德-切比雪夫多项式三项递推公式Tn+2(x) = 2*x*Tn+1(x) - Tn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把勒让德-切比雪夫多项式最高次项系数归一化function p = LaguerreIter(n)% LaguerreIter 用递推的方法计算n次拉盖尔多项式的系数向量Ln+2(x) = (2*n+3-x)*Ln+1(x) - (n+1)*Ln(x)%% Synopsis: p = LaguerreIter(n)%% Input: n = 拉盖尔多项式的次数%% Output: p = n次拉盖尔多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %L0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %L1(x) = -x+1p = [-1 1];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为L0pMid = [-1 1]; %初始化三项递推公式中项为L1for i = 0:n-2pMidCal1 = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Ln+1(x)pMidCal1(1:i+2) = pMid;pMidCal2 = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Ln+1(x)pMidCal2(2:i+3) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Ln(x)pBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd =( (2*i+3)*pMidCal2 - pMidCal1 - (i+1)*pBkCal )/ (i+2); %拉盖尔多项式三项递推公式Ln+2(x) = (2*n+3-x)*Ln+1(x) - (n+1)^2*Ln(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把拉盖尔多项式最高次项系数归一化function p = HermiteIter(n)% HermiteIter 用递推的方法计算n次埃尔米特多项式的系数向量Hn+2(x) = 2*x*Hn+1(x) - 2*(n+1)*Hn(x)%% Synopsis: p = HermiteIter(n)%% Input: n = 埃尔米特多项式的次数%% Output: p = n次埃尔米特多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %H0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %H1(x) = 2*xp = [2 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为L0pMid = [2 0]; %初始化三项递推公式中项为L1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Hn+1(x)pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Hn(x)pBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd =2*pMidCal - 2*(i+1)*pBkCal; %埃尔米特多项式三项递推公式Hn+2(x) = 2*x*Hn+1(x) - 2*(n+1)*Hn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把拉盖尔多项式最高次项系数归一化function r = BinSolve(fun, a, b, tol)% BinSolve 用二分法解方程f(x)=0在区间[a,b]的根%% Synopsis: r = BinSolve(fun, a, b)% r = BinSolve(fun, a, b, tol)%% Input: fun = (string) 需要求根的函数% a,b = 寻根区间上下限% tol = (optional)误差，默认为5e-9%% Output: r = 在寻根区间内的根if nargin < 4tol = 5e-9;endXb = RootBracket(fun, a, b); %粗略寻找含根区间[m,n] = size(Xb);r = [];nr = 1; %初始化找到的根的个数为1maxit = 50; %最大二分迭代次数为50for i = 1:ma = Xb(i,1); %初始化第i个寻根区间下限b = Xb(i,2); %初始化第i个寻根区间上限err = 1; %初始化误差k = 0;while k < maxitfa = feval(fun, a); %计算下限函数值fb = feval(fun, b); %计算上限函数值m = (a+b)/2;fm = feval(fun, m);err = abs(fm);if sign(fm) == sign(fb) %若中点处与右端点函数值同号，右端点赋值为中点b = m;else %若中点处与左端点函数值同号或为0，左端点赋值为中点a = m;endif err < tol %如果在a处函数值小于tolr(nr) = a; %一般奇点不符合该条件，这样可以去除奇点nr = nr + 1; %找到根的个数递增k = maxit; %改变k值跳出循环endk = k + 1; %二分迭代次数递增endendfunction X = powerX(x,a,b)% powerX 对给定向量(x1, x2,..., xn)返回增幂矩阵(x1^a, x2^a,..., xn^a; x1^a+1, x2^a+1,..., xn^a+1; ...; x1^b, x2^b,..., xn^b;)%% Synopsis: X = powerX(x,a,b)%% Input: x = 需要返回增幂矩阵的向量% a,b = 寻根区间上下限%% Output: X = 增幂矩阵(x1^a, x2^a,..., xn^a; x1^a+1, x2^a+1,..., xn^a+1; ...; x1^b, x2^b,..., xn^b;)if round(a) ~= a | round(b) ~= berror('a,b must be integers');elseif a >= berror('a must be smaller than b!');endx = x(:)';row = b-a+1;col = length(x);X = zeros(row, col);for i = b:-1:aX(b-i+1,:) = x.^i;Endfunction [f, dfdx] = fun1_1(x)f = cos(x) - x;dfdx = -sin(x) - 1;function [f, dfdx] = fun1_2(x)f = exp(-x) - sin(x);dfdx = -exp(-x) - cos(x);function [f, dfdx] = fun2_1(x)f = x - exp(-x);dfdx = 1 + exp(-x);function [f, dfdx] = fun2_2(x)f = x.^2 - 2*x*exp(-x) + exp(-2*x);dfdx = 2*x - 2*exp(-x) + 2*x*exp(-x) - 2*exp(-2*x);function y = LegendreP6(x)p = LegendreIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;function y = ChebyshevT6(x)p = ChebyshevIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;function y = LaguerreL5(x)p = LaguerreIter(5);X = powerX(x,0,5);y = p*X;function y = HermiteH6(x)p = HermiteIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;思考题（1）由于Newton法具有局部收敛性，所以在实际问题中，当实际问题本身能提供接近于根的初始近似值时，就可保证迭代序列收敛，但当初值难以确定时，迭代序列就不一定收敛。
迭代 数学名词
迭代数学名词
迭代是指通过反复应用一个算法或过程，来逐步逼近所求解的结果。
在数学中，迭代常被用于求解方程或优化问题。
以下是一些常见的迭代相关的数学名词：
1. 迭代算法：即通过迭代来求解问题的算法。
常见的迭代算法包括牛顿迭代法、雅可比迭代法等。
2. 迭代序列：通过迭代产生的一系列值的序列。
迭代序列通常会收敛到一个极限值。
3. 迭代收敛：迭代序列逐渐接近于某个极限值的过程。
如果迭代序列收敛，说明所使用的迭代方法是有效的。
4. 迭代步长：每次迭代中所取的步长或变量的更新量。
迭代步长的选取会影响迭代的速度和精度。
5. 迭代求解：使用迭代方法来求解一个数学问题，如方程的根或优化问题的最优解。
6. 迭代次数：迭代过程中进行迭代的次数。
迭代次数越多，通常结果越接近于精确解。
以上是一些常见的与迭代相关的数学名词。
迭代方法在数学中有广泛的应用，是求解各种数学问题的重要手段之一。
数学中的递推与迭代小学生了解递推与迭代的原理
数学中的递推与迭代小学生了解递推与迭代的原理在数学中，递推和迭代是两种常见的数学方法，用于解决问题和生成数列。
对于小学生来说，了解递推和迭代的原理可以帮助他们更好地理解数学概念，并培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
一、递推的原理递推是一种根据前一项或前几项推导后一项的方法。
简单来说，就是通过已知条件计算未知结果。
递推通常使用递推公式或递推关系来表示，常见的递推关系有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是一种数列，其中每一项与前一项之间的差值都相等。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
计算等差数列的递推关系很简单，只需要根据前一项和公差相加即可得到后一项。
2. 等比数列等比数列是一种数列，其中每一项与前一项之间的比值都相等。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
计算等比数列的递推关系也很简单，只需要根据前一项和公比相乘即可得到后一项。
递推在数学中有着广泛的应用，例如计算斐波那契数列、求解递推方程等。
通过递推，我们能够得到数列中任意一项的值。
二、迭代的原理迭代是一种通过不断重复计算来逼近目标值的方法。
迭代通常使用迭代公式或迭代关系来表示，每次迭代都将上一次的结果作为新的输入，循环进行计算，直到达到某个条件为止。
1. 二分法迭代二分法是一种常见的迭代方法，通过将一个区间不断二分，逼近目标值。
例如，在查找一个数的平方根时，可以利用二分法迭代来逼近。
每次迭代，我们将当前区间的中点作为新的猜测值，然后根据猜测值的平方与目标值的比较结果，将区间缩小一半，逐渐靠近目标值。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程根的迭代方法。
通过不断迭代求导和替换变量的方式，求解方程的近似解。
例如，求解方程f(x)=0的根时，我们可以通过迭代公式x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，不断更新变量x的值，直到满足精度要求。
迭代在数学中也有着广泛的应用，例如求解方程的根、求解最优化问题等。
数学学科知识数学概念的定义方式
数学学科知识数学概念的定义方式数学学科知识——数学概念的定义方式数学是自然科学的一门基础学科，它以抽象的形式研究数量、结构、变化以及空间等概念和现象。
在数学中，概念定义是理解和运用数学知识的基础，它具有精确定义、抽象性和普遍性的特点。
本文将探讨数学概念的定义方式，包括直观定义、公理定义、迭代定义和递归定义等，并举例说明。
一、直观定义直观定义是一种基于直观感受和常识的描述方式，对于初学者来说更易理解。
例如，在几何学中，可以用直观定义来描述“点”这个概念：“点是没有长度、宽度和高度的，是几何图形的最简单单位，用于确定位置。
”这种定义方式不够精确，但可以作为入门的起点，帮助学生理解数学概念。
二、公理定义公理定义是数学中最为严谨的定义方式之一，基于一组公理或假设，通过逻辑推论来定义概念。
公理是不证自明的命题，其真实性不需要证明。
例如，在实数系统中，可以通过公理定义“实数”：“实数是一个连续且具有无穷个小数位的数。
”公理定义可以确保数学推理的精确性和一致性。
三、迭代定义迭代定义是一种利用递归方法对概念进行定义的方式，通过不断迭代的过程来确定概念的性质。
迭代定义的基本思想是从一个已知的初等概念出发，并通过递推或迭代的方式来定义更复杂的概念。
例如，在计算机科学中，可以通过迭代定义来定义“斐波那契数列”：“斐波那契数列是以0和1为起始，后续每一项是前两项之和的数列。
”通过不断地迭代计算，可以得到斐波那契数列中任意一项的值。
四、递归定义递归定义是一种特殊的迭代定义方式，它将概念本身作为定义的一部分，同时借助于基本情况的设定来逐步推导。
递归定义常用于递归函数和递归结构的描述。
例如，在集合论中，可以通过递归定义来定义“自然数集”：“0是自然数，对于任意一个自然数n，它的后继n+1也是自然数。
”递归定义能够清晰地描述概念的构造和演化过程。
总结：数学概念的定义方式多种多样，不同的定义方式适用于不同的数学领域和目的。
直观定义适用于初学者的入门理解，公理定义确保了推理过程的严谨性，迭代定义和递归定义能够描述概念的演化和递推关系。
数字迭代求和
数字迭代求和一、引言数字迭代求和是一种常见的数学计算方法，通过将一系列数字按照规定的迭代方式相加得到总和。
本文将介绍数字迭代求和的原理及应用场景。
二、数字迭代求和的原理数字迭代求和的原理是通过不断迭代的方式，将一系列数字依次相加得到总和。
具体步骤如下：1. 初始化变量sum为0，用于存储累计求和结果。
2. 设置起始值为1，作为迭代的起点。
3. 利用循环结构，每次将当前数字与sum相加，并将结果存储到sum中。
4. 对于下一个数字，将其加1作为下一次迭代的起点。
5. 重复步骤3和步骤4，直到达到指定的终止条件。
6. 迭代结束后，sum中存储的值即为所求的累计和。
三、数字迭代求和的应用场景数字迭代求和广泛应用于各个领域，下面列举几个常见的应用场景：1. 数学计算：数字迭代求和可以用于解决各种数学问题，如等差数列求和、斐波那契数列求和等。
2. 统计分析：在统计学中，数字迭代求和常用于计算总和、平均值等统计指标，可以帮助分析数据的总体趋势。
3. 金融领域：数字迭代求和在金融领域常用于计算利息、资产总额等关键数据，用于财务分析和投资决策。
4. 编程算法：数字迭代求和是编程中常用的一种算法，可以用于解决各种与数值计算相关的问题，如图像处理、数据挖掘等。
四、案例分析为了更好地理解数字迭代求和的应用，以下给出一个简单的案例分析：假设有一个数列：1, 2, 3, 4, 5，我们要求解这个数列的累计和。
根据数字迭代求和的原理，我们可以依次将数列中的每个数字与sum相加，然后将结果存储到sum中。
具体步骤如下：1. 初始化sum为0。
2. 第一次迭代：sum = sum + 1，sum的值变为1。
3. 第二次迭代：sum = sum + 2，sum的值变为3。
4. 第三次迭代：sum = sum + 3，sum的值变为6。
5. 第四次迭代：sum = sum + 4，sum的值变为10。
6. 第五次迭代：sum = sum + 5，sum的值变为15。
如何通过迭代法解决初中数学中的迭代题
如何通过迭代法解决初中数学中的迭代题迭代法是一种解决数学问题的有效方法，尤其在初中数学中，它可以帮助我们解决一些迭代题。
在本文中，我们将探讨如何通过迭代法解决初中数学中的迭代题。
一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方法来寻找问题的解的过程。
它基于一个重要的原理：如果我们能够找到一个初始值，并且通过不断重复一个特定的计算步骤，使得每次计算结果都更接近真实解，那么经过足够多次的迭代运算，我们就能够得到非常接近真实解的近似值。
二、迭代法的基本步骤1. 确定问题：首先，我们需要明确给定的迭代题是什么，理解题目的要求和条件。
2. 设定初始值：根据题目的要求，我们需要设定一个初始值，作为我们的起点。
3. 迭代计算：通过设定的计算步骤，将上一次的计算结果作为下一次的输入，进行重复的迭代计算，直到达到满足题目要求的条件或最大迭代次数。
4. 检查结果：最后，我们需要检查我们得到的近似解是否满足题目要求，如果符合要求，我们就可以得到最终的解；如果不符合要求，我们可能需要重新调整初始值或迭代次数，再进行计算。
三、案例分析：使用迭代法解决数列问题让我们以一个简单的数列问题为例来说明迭代法的应用。
问题如下：已知数列An的递推关系式为An = An-1 + 3，且A1 = 2，求A100的值。
根据题目要求，我们可以设定初始值A1 = 2，然后进行迭代计算，直到达到目标条件。
开始迭代计算：A2 = A1 + 3 = 2 + 3 = 5A3 = A2 + 3 = 5 + 3 = 8...An = An-1 + 3重复这个计算步骤，直到计算到A100。
通过以上步骤，我们可以得到数列An的递推关系式：An = A1 +3(n-1)。
将n替换为100，带入递推关系式计算：A100 = A1 + 3(100-1) = 2 + 3(99) = 2 + 297 = 299所以，数列An的第100项的值为299。
四、迭代法的注意事项1. 初始值的选择很重要，它直接影响到最终的结果。
数学实验-迭代(方程求解)
实验六 迭代（方程求解）一.实验目的：认识迭代数列，考察迭代数列的收敛性.并学会用Mathematica 系统对线性和非线性的方程组进行迭代求解.二.实验环境：计算机，Mathematica 数学软件,Word 文档，课本。
三.实验的基本理论和方法：给定迭代函数f(x)以及一个初值0x 利用1(),0,1,n n x f x n +==⋅⋅⋅迭代得到数列n x ，0,1,n =⋅⋅⋅.如果数列n x 收敛与某个*x ，则有**()x f x =.即*x 是方程()x f x =的解.由此用如下的方法求方程()0g x =的近似解。
将方程()0g x =改写为等价的方程()x f x =，然后选取一初值利用1(),0,1,n n x f x n +==⋅⋅⋅做迭代.迭代数列n x 收敛的极限就是()0g x =的解.线性方程组以及非线性方程组的求解与单变量的方程求解方法类似.实验内容和步骤四.实验内容与结果 1.线性方程组⑴编写给定初值0x 及迭代函数()f x ，迭代n 次产生相应的序列.⑵给函数()(2/)f x x x =+初值为0进行迭代80次所产生的迭代序列并显示. 输入程序：Iterate f_,x0_,n_Integer :Module t ,i,temp x0,AppendTo t,temp ;For i1,in,i ,tempf temp ;AppendTo t,temp;tf x_:x 2x2;Iterate f,1.,80运行结果得：1.,1.5,1.41667,1.41422,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421输入程序：NTIterate g_,x0_,n_Integer :Modulei,var x0,t ,h,h x_Dt g x ,x;For i 1,i n,i ,AppendTo t,var ;If h var0,var N var g var h var ,20, Print"Divided by Zero after",i,"'s iterations.";Break ;tg x_:x^32;NTIterate g,1,40运行结果得：1,1.3333333333333333333,1.2638888888888888889,1.2599334934499769665,1.259921050017769774,1.259921049894873165,1.259921049894873165,1.259921049894873165,1.25992104989487316,1.25992104989487316,1.25992104989487316,1.2599210498948732,1.2599210498948732,1.2599210498948732,1.259921049894873,1.259921049894873,1.259921049894873,1.259921049894873,1.25992104989487,1.25992104989487,1.25992104989487,1.2599210498949,1.2599210498949,1.2599210498949,1.259921049895,1.259921049895,1.259921049895,1.259921049895,1.25992104989,1.25992104989,1.25992104989,1.2599210499,1.2599210499,1.2599210499,1.259921050,1.259921050,1.259921050,1.259921050,1.25992105, 1.259921052. 非线性方程组⑴对于给定的矩阵M ，数组f 和初始向量0x ，由迭代1n n x Mx f +=+编写迭代程序，并选择初值分别迭代20和50次所产生的序列. 迭代40次运行结果： 输入程序：LSIterate m_,f_List,f0_List,n_Integer :Modulei,var f0,t Table ,i,n,For i1,in,i,tivar;varm.varf ;t m1,0.4,0.5,1;f1,1;f00,0;LSIterate m,f,f0,40运行结果得：0,0, 1.,1., 2.4,2.5, 4.4,4.7,7.28,7.9,11.44,12.54,17.456,19.26,26.16,28.988,38.7552,43.068,56.9824,63.4456,83.3606,92.9368,121.535,135.617,176.782,197.385,256.736,286.776,372.446,416.144,539.904,603.367,782.251,874.319,1132.98,1266.44,1640.56,1833.93,2375.13,2655.21,3438.22,3843.78,4976.73,5563.88,7203.28,8053.25,10425.6,11655.9,15088.9,16869.7,21837.8,24415.1,31604.9,35335.,45739.9,51138.5,66196.3,74009.4,95801.,107109.,138645.,155010.,200650.,224334.,290385.,324660.,420250.,469854.,608192.,679980.,880185.,984077.,1.27382106,1.42417106, 1.84349106,2.06108106,2.66792106,2.98282106,3.86105106,4.31678106迭代60次运行结果输入程序：LSIterate m_,f_List,f0_List,n_Integer:Modulei,var f0,t Table,i,n,For i1,i n,i,t i var;var m.var f;tm1,0.4,0.5,1;f1,1;f00,0;LSIterate m,f,f0,60运行结果得：1,1.3333333333333333333,1.2638888888888888889,1.2599334934499769665,1.259921050017769774,1.259921049894873165,1.259921049894873165,1.259921049894873165,1.25992104989487316,1.25992104989487316,1.25992104989487316,1.2599210498948732,1.2599210498948732,1.2599210498948732,1.259921049894873,1.259921049894873,1.259921049894873,1.259921049894873,1.25992104989487,1.25992104989487,1.25992104989487,1.2599210498949,1.2599210498949,1.2599210498949,1.259921049895,1.259921049895,1.259921049895,1.259921049895,1.25992104989,1.25992104989,1.25992104989,1.2599210499,1.2599210499,1.2599210499,1.259921050,1.259921050,1.259921050,1.259921050,1.25992105,1.25992105⑵改写矩阵的等价形式，给定数组f 和初始向量0x ，运用迭代格式11()x I D A x D b --=-+编写迭代程序。
迭代通俗理解
迭代通俗理解
“迭代”的通俗理解是重复、循环、更新的过程。
具体来说，迭代是按照某种规律重复某一种运算或动作，直到满足某个条件或达到某个目标为止。
这个过程会不断重复，每次都按照同样的规律进行，直到达到预设的目标或完成特定的任务。
在计算机编程中，迭代是一种常用的算法，用于重复执行某个操作，直到满足特定条件为止。
迭代通常用于处理序列、数组、集合等数据结构，通过循环遍历这些数据结构，并执行某些操作，从而得到期望的结果。
举个例子，假设我们要计算一个数列的和，可以通过迭代的方式来实现。
首先定义一个初始值，然后重复执行加法运算，每次将当前值与序列中的下一个元素相加，直到序列中的所有元素都被遍历一遍。
在每次迭代中，当前值都会更新为上一次迭代的结果，直到最终得到总和。
总之，迭代是一种通过重复执行某个操作来解决问题的方法，广泛应用于计算机编程、数学、物理等领域。
通过迭代，我们可以高效地处理大量数据、解决复杂问题，并得到精确的结果。
高校工程数学迭代法求方程根教学课件
作迭代格式
xk+1=(2xk3+5)/(3xk2-2) 取x0=2.5,得迭代序 列:x1=2.164179104,x2=2.097135356,x3=2.094555232, X4=2.094551482=x5,故 α x4
补充[例1]
作迭代格式 xk+1=(xk3-5)/2
令x0=2.5,得迭代序列:x1=5.3125,x2=72.46643066,
≤(qp+qp-1+…+q)|xk–xk-1|≤q/(1–q)•|xk–xk-1|
收敛性
令p→∞，由上式可得
|x*–xk|≤q/(1–q)•|xk–xk-1| 这个误差估计式说明，只要迭代值的偏差|xk–xk-1| 相当小，就可以保证迭代误差|x*–xk|足够小，因此 可用条件：
|xk–xk-1|<ε
k
，也就是 x* = g(x* )，即x* 是 g lim x lim g x k 1 k k k
的根，也就是f 的根。若{ xk}发散，则迭代 法失败。
迭代法原理
[例2-3-1] 求方程 f(x0)=x3–x–1=0 在x=1.5附近的一个根。 [解] 将方程（2.3.1）改写成下列形式 （2.3.2） 用所给的初始近似x0=1.5代入(2.3.2)的右端，得到 （2.3.1）
[例2-3-1a]
迭代初值仍取x0=1.5，则有： x1=2.375
x2=12.3976
继续迭代下去已经没有必要，因为结果显然会越 来越大，不可能趋向于某个极限。这种不收敛的 迭代过程称作是发散的。 一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代， 其结果也是毫无价值的。
补充[例1]
[例1] 用简单迭代法求区间(2,3)内方程x3-2x-5=0的根
迭代法
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值，迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
比较典型的迭代法如“二分法”和"牛顿迭代法”属于近似迭代法。
方法介绍迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法。
例如，对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
迭代法应用迭代法的主要研究课题是对所论问题构造收敛的迭代格式，分析它们的收敛速度及收敛范围。
迭代法的收敛性定理可分成下列三类：①局部收敛性定理：假设问题解存在，断定当初始近似与解充分接近时迭代法收敛；②半局部收敛性定理：在不假定解存在的情况下，根据迭代法在初始近似处满足的条件，断定迭代法收敛于问题的解；③大范围收敛性定理：在不假定初始近似与解充分接近的条件下，断定迭代法收敛于问题的解。
迭代法在线性和非线性方程组求解，最优化计算及特征值计算等问题中被广泛应用。
迭代法算法迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。
一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组（这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式（代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。
迭代法：从初等函数到混沌现象的数学之旅
数学作为一门学科，一直以来都扮演着解开自然界奥秘的工具和媒介的角色。
而迭代法作为数学中的一种重要工具，在数学的发展和应用中发挥着不可替代的作用。
从初等函数到混沌现象，我们可以通过迭代法的数学之旅，揭示出许多神奇而又令人着迷的现象。
初等函数是数学中最基础的函数类型之一，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
初等函数的特点是可以通过有限次的代数运算表达出来。
但是，通过迭代法，我们可以进一步拓展初等函数的应用范围。
迭代法是通过不断重复同一代数运算，得到一个数的序列。
例如，通过不断迭代$f(x)=ax(1-x)$，我们可以发现，对于不同的初值$x_0$，迭代结果会趋向于一个特定的值。
这种现象被称为“迭代收敛”，通过迭代法，我们可以求解一些非线性方程，如方程$f(x)=x$的根。
不仅如此，通过迭代法，数学家们还发现了一些非凡的现象，如“分岔现象”和“混沌现象”。
分岔现象是指当参数增加时，方程的解会从一个点变成两个点、四个点，甚至无穷多个点。
这种现象最早在简单的线性方程中被发现，而后也被应用于更为复杂的系统中。
而混沌现象则是指当参数增大到一定程度时，方程的解会变得非常敏感，微小的变动也会导致完全不同的结果。
混沌现象最早是由天体力学家勒夫布里（Henri Poincaré）在研究三体问题时发现的，后来被应用于气象学、生物学、经济学等领域。
迭代法的应用还远不止于此。
在图像处理中，迭代法可以用来对图像进行增强和去噪。
在机器学习中，迭代法常常用来求解最优解。
在金融领域中，迭代法可用于计算复利和模拟股票价格等。
可以说，迭代法贯穿了各个领域的数学应用。
通过迭代法，我们可以更深入地理解和探索数学中的种种现象。
从初等函数到混沌现象，我们可以看到数学的力量和美丽。
迭代法不仅是一种数学方法，更是一把打开自然之门的钥匙。
无论是解方程、研究科学现象，还是应用于实际问题的求解，迭代法都具有极其重要的作用。
通过迭代法的数学之旅，我们不仅可以领略到数学的魅力，还可以发现许多神奇而又令人着迷的现象。
高三数学累积、迭代法证明不等式
用户 hxlzabcdefg@ 河南 马守林 累积、迭代法证明不等式综合性较强，高考中 一般以高档题出现，下面通过介绍等式原理、不等 式原理，并通过具体例子，介绍它的用法。
1.等式原理： bn 为等比数列， 公比为 q,求： 通项 bn 累积法： b2 b1q , b3 b2 q , b4 b3q ,……………, bn bn1q 累积 b2b3b4
1 a1 1 , S n (a n 3) 2 n N *， 3 1 f (a1 ) f (a 2 ) f (a n ) 2n 2 2 3 n 1
求证：
解： （1） f (0) 2 略 …………………3 分 （ 2 ） f ( x) 的 最 大 值 为 略 ………………6 分 （ 3 ） 由
如此,咱看您の修为也有隐隐要突破の迹象丶"根汉微笑着说,"只要再坚持突破壹下,进入下壹个小境界,阳寿还会增加の,重焕新春の丶""小子真是好修为,你是不是大魔神之境了?"老妪看着根汉,问道丶壹旁の二女,也是十分期待,之前就怀疑根汉是不是大魔神,但是她们不好意思问丶现在 她们还是很紧张の,若真是の话,那自己姐妹,就真成了大魔神之妻了丶令她们心中狂喜の是,根汉点了点头道："都是侥幸吧丶""这可不是侥幸丶"老妪微笑更浓了："她们能跟着你这样の强者,咱很放心,先前咱还担心你修行の是什么邪法,为何会看上她们,不过现在咱相信了丶""圣皇传人, 向来光明磊落,即使是有时候经常被人暗算,但壹向都是身怀赤子之心の丶"老妪道丶猫补中文叁70捌圣皇来历(猫补中文)叁70捌老妪微笑更浓了："她们能跟着你这样の强者,咱很放心,先前咱还担心你修行の是什么邪法,为何会看上她们,不过现
由迭代生成数列收敛的条件
由迭代生成数列收敛的条件数列是数学中一个非常重要的概念，它是一系列有序的数按照一定的规律排列而成。
在数学中，数列的收敛性是一个非常重要的概念，因为它涉及到了数列的极限及其性质。
在本文中，我们将讨论由迭代生成的数列收敛的条件。
一、什么是迭代？在数学中，迭代是指通过重复应用某个函数来逐步逼近一个解的过程。
简单来说，就是通过不断地反复计算，来逐步逼近某个目标值。
在实际应用中，迭代算法经常被用来求解各种数学问题，如求解方程、优化问题等。
二、什么是数列？数列是由一系列有序数按照一定的规律排列而成的数学概念。
一般来说，数列可以用一个通项公式来表示，也可以用递推公式来表示。
通项公式是指通过一个公式来计算数列中任意一项的值，而递推公式是指通过已知的前几项来计算后面的项的值。
三、什么是数列的收敛性？数列的收敛性是指数列中的数随着项数的增加而趋向于某一固定值的性质。
如果数列中的数随着项数的增加越来越接近某一固定值，那么我们就说这个数列是收敛的，否则就是发散的。
在数学中，我们通常用极限来描述数列的收敛性。
四、由迭代生成数列的收敛条件在数学中，由迭代生成的数列也可以是收敛的。
下面我们将讨论由迭代生成数列收敛的条件。
1. 收敛定理在数学中，有一个非常重要的定理，叫做收敛定理。
这个定理的内容是：如果一个数列满足某些条件，那么它就是收敛的。
具体来说，如果一个数列满足单调有界原理，也就是说它是单调递增或单调递减的，并且有一个上界或下界，那么它就是收敛的。
2. 收敛速度除了满足收敛定理的条件外，由迭代生成的数列的收敛速度也是一个非常重要的问题。
在实际应用中，我们往往需要尽可能快地求得数列的极限值。
一般来说，如果一个数列的收敛速度比较慢，那么我们就需要采取一些优化方法，以提高收敛速度。
3. 收敛精度在实际应用中，我们通常需要求得一个数列的极限值，并且需要保证其精度。
也就是说，我们需要求得一个足够精确的极限值。
在这种情况下，我们需要采取一些方法来提高数列的收敛精度。
数学试验之五迭代PPT精品课件
2021/3/1
12
博比:
长颈鹿 马马 老虎 猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸 纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位) 原码: 1传输 错码: 010010101011纠错
最接近的合法码
2021/3/1
13
数学聊斋
之三
•人与照片之维数
之四
•飞檐走壁之电影 实现
2021/3/1
14
之五 足球的圆与方 --- 概率
1.5 1
0.5
-6
-4
2021/3/1
-2 -0.5 -1
-1.5
2
4
6
27
sin x+sin(3x)/3+…+sin(nx)/n
n= 9
n = 199
0.75 0.5
0.25
-6
-4
-2
-0.25
-0.5
-0.75
-0.75
-0.5
-0.25
-6
-4
-2
2
4
6
0.25 0.5
0.75
2
4
6
2021/3/1
2021/3/1
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复数
平方得负岂荒唐, 左转两番朝后方. 加减乘除依旧算, 方程有解没商量.
2021/3/1
43
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/3/1
已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用),
高等教育出版社,2006.5
2021/3/1
数学迭代法
数学迭代法是一种求解方程的常用方法，它通过不断地近似方程的解来逼近真正的解。
迭代法的基本思想是通过建立一个（近似）解的初始估计值，通过不断地改变这个估计值，使其逐渐接近真正的解。
迭代法通常分为很多种，包括牛顿迭代法、割线法、梯形法等。
这里以牛顿迭代法为例进行说明。
牛顿迭代法是一种常用的求解非线性方程根的迭代法，它的基本思想是利用泰勒级数的思想，通过在函数的零点附近选取一个合适的点，以此为起点进行迭代运算，使函数的值逐渐逼近零点。
假设我们要求解方程f(x)=0 的根，利用牛顿迭代法进行迭代运算的一般形式为：x(n+1)=x(n)-f(x)/f'(x)，其中x(n) 是第n 次迭代得到的近似解，f'(x) 是函数f(x) 的导数。
具体步骤如下：
1. 选取一个初始点x(0) 作为近似解的起点；
2. 根据牛顿迭代法的公式进行迭代运算，得到下一次近似解x(1)；
3. 重复步骤2，直到满足停止条件（例如迭代次数达到预设值或近似解的精度达到要求），输出最终的近似解。
需要注意的是，迭代法的精度和收敛速度与初始点的选择以及方程的性质有关。
如果初始点选择不当，或者方程具有多解或多值性，可能会导致迭代过程无法收敛。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的初始点，并监控迭代过程的收敛情况。
总之，数学迭代法是一种常用的求解方程的方法，通过不断地改变近似解的值，使其逐渐逼近真正的解。
不同的迭代法适用于不同的情况，需要根据具体情况选择合适的迭代法进行求解。
数学中递归和迭代的区别
数学中递归和迭代的区别
数学中递归和迭代都是重要的概念，但它们有着不同的含义和应用。
递归是一种函数调用自身的方式，通常用于解决分治问题、递推问题等。
递归的本质是将大问题分解为小问题，并通过递归调用来解决这些小问题，最终得出大问题的解。
递归中常常出现递归基，即递归的终止条件，防止无限递归。
迭代则是通过循环来实现重复执行某段代码的过程。
迭代通常用于求解迭代函数、优化问题等。
迭代不像递归一样需要调用自身，而是通过循环实现。
迭代中通常需要定义初始值和迭代规则，即每次迭代如何改变变量的值，最终得到迭代的结果。
总的来说，递归和迭代都是用于求解数学问题的重要方式，但它们的应用场景和实现方式是不同的。
在解决问题时需要根据具体情况选择适合的方法。
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