培优专题(六) 一次函数与动点问题
一次函数动点问题
一次函数是指函数的最高次幂为1的多项式函数，其一般形式为y = mx + b，其中m 和b 是常数。
针对一次函数的动点问题，我们可以考虑一个点在直线上的运动情况。
假设有一条直线，用一次函数的方程y = mx + b 来表示，其中m 是斜率，b 是截距。
给定一点的初始位置(x₀, y₀)，我们可以根据一次函数的方程计算点在直线上的位置。
假设时间t 经过后，点的位置为(x, y)。
根据直线上任意一点的坐标计算公式，我们可以得到：
x = x₀+ vt,
y = y₀+ mt,
其中v 是点在x 轴上的速度，m 是斜率。
这样，我们可以通过给定初始位置、速度和斜率来描述一次函数的动点问题。
根据给定的条件和问题要求，我们可以进一步计算点的运动轨迹、到达特定位置的时间等。
需要注意的是，一次函数的动点问题通常与直线运动或直线关系有关，其中斜率和截距是重要的参数。
具体问题的解决方法和计算步骤可能会因问题的具体条件而有所不同，所以在解决具体问题时，需要根据问题的要求和给定条件来进行适当的数学建模和计算。
经典一次函数培优题含答案及讲解
一次函数培优讲解已知一次函数y=ax+b的图像经过一，二，三象限，且与x轴交易点（-2，0），则不等式ax大于b的解集为（）A.x>2. B.x<2. Cx>-2. D.x<-2此题正确选项为A解析：∵一次函数的图像过一、二、三象限∴有a＞0将（-2，0）代入一次函数解析式则b=2a∴ax＞b可化为ax＞2a又a＞0∴原不等式的解集为x＞2在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点时，k的值可以取（）个．因为直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点，让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．由题意得：{y=x+2y=kx-4，解得：{x=6k-1y=6k-1+2，∴k可取的整数解有0，2，-2，-1，3，7，4，-5共8个．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a有解，则实数a最小值是（）绝对值的一元一次不等式．算题；分类讨论．类讨论：当x＜1或1≤x≤3或x＞3，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．≥＜1，解得a＞6当1≤x≤3，原不等式变为：2x-2+9-3x≤a，解得x≥7-a，∴1≤7-a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a，解得x＜＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．已知实数a，b，c满足a+b+c不等于0，并且a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，则直线y=kx-3一定通过哪三个象限？这个题目不需要证明，只需要判断即可。
首先，令x=0，则y=-3显然只要k>0 则，过1，3，4象限。
只要k<0 则，过2，3，4象限。
由a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，显然a=b=c=1的时候，满足所有条件，而此时k》0所以过1，3，4象限。
再如a=b=c=-1的时候，也满足，此时k=0 , 那么y = -3 ，只过3、4象限。
一次函数之动点问题
一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．y xOBA2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，∠ABC =60°．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．C ABOxy CABOxy3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14？（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．P DCxA OByyBO A xCD4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线33y x =交于点P ． （1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．PFE xA OB y5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重 叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．xy OABm l PM N【参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）343y x =-+（2）223(04)2343(48)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（3）123(0438)(0438)(043)M M M -+-，或，或，443(0)3M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(33)P ， （2）23（3）223(03)653163243(34)2tt S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =（3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。
动点问题产生的最值综合训练(培优)
动点问题产生的最值综合训练（培优）一．试题（共30小题）1．如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝，则正方形移动的距离AA′为（）A．B．1C．﹣1D．1﹣2．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．8B．6C．4D．23．一次函数y＝kx﹣2k的大致图象是（）A．B．C．D．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度向终点B移动，动点Q从点B出发以2cm/秒的速度向终点C移动，则移动第到秒时，可使△PBQ的面积最大．5．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是．6．如图，已知A（2，0）、B（0，5），⊙C的圆心坐标为C（﹣1，0），半径为1，若D是⊙C上一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是．7．函数y＝的图象如图所示，在同一平面直角坐标系内，如果将直线y＝﹣x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数y＝的图象的交点共有个．8．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC 上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．9．如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB＝4，AD＝7，AH＝．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG 与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由．10．如图所示，在矩形OCBD中，OD＝1，OC＝3，∠DOC的角平分线交DB于A，动点P 从O点出发，沿射线OC方向以每秒1个单位长度的速度移动，过点P作PQ⊥射线OA，垂足为Q，设点P移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求S与t的函数关系式；（2）画出S与t的函数图象．11．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点．抛物线y＝ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连接OA、OB、OD、BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B的坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．14．在△AOB中，OA＝OB＝8，∠AOB＝90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．（1）如图1，若C、D恰好是边AO、OB的中点，则此时矩形CDEF的面积为；（2）如图2，若＝，求矩形CDEF面积的最大值．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？16．两个反比例函数和（k1＞k2＞0）在第一象限内的图象如图所示，动点P 在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B．（1）求证：四边形P AOB的面积是定值；（2）当时，求的值；（3）若点P的坐标为（5，2），△OAB、△ABP的面积分别记为S△OAB′S△ABP．设S＝S﹣S△ABP′△OAB①求k1的值；②当k2为何值时，S有最大值，最大值为多少？17．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．（1）设点E，F的坐标分别为：E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，求证：S1＝S2；（2）若y2＝1，求△OEF的面积；（3）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？18．如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC．（1）填空：∠PCB＝度，P点坐标为；（2）若P、A两点在抛物线上，求b，c的值；（3）若直线y＝kx+m平行于CP，且于（2）中的抛物线有且只有一个交点，求k，m的值；（4）在（2）中抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在求此时M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线AC的解析式；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值．21．已知反比例函数的图象经过点（4，），若一次函数y＝x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m）．（1）求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标；（2）求平移后的一次函数图象与反比例函数的图象的交点坐标．22．已知抛物线F：y＝ax2+bx+c的顶点为P．（Ⅰ）当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）设抛物线F：y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，过点P作PD⊥x轴于点D．平移该抛物线使其经过点A、D，得到抛物线F：y＝a′x2+b′x+c′（如图所示）．若a、b、c满足了b2＝2ac，求b：b′的值；（Ⅲ）若a＝3，b＝2，且当﹣1＜x＜1时，抛物线F与x轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围．23．已知关于x的一元二次方程x2+（4﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是﹣3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2+（4﹣m）x+1﹣m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y＝x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．24．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数得到图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象讨论直线y＝x+b （b＜k）与此图象交点个数，并求出相应的b的取值范围．25．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过两点C（﹣2，5）与D（0，﹣3），且与x 轴相交于A、B两点，其顶点为M．（1）求b和c的值；（2）在二次函数图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点D作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象直接写出当m为何值时直线y＝x+m与此图象只有两个公共点．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n与x轴交于A、B两点，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）求B点坐标；（2）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于﹣5，求m的取值范围．（3）直线y＝x+4m+n经过点B．①求直线和抛物线的解析式；②设抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，请你结合新图象回答：当直线y＝x+b与新图象只有一个公共点P（x0，y0）且y0≤8时，求b的取值范围．27．已知点A（2，﹣3）在抛物线y＝x2﹣2x+m上，求经过点A且与抛物线只有一个公共点的直线解析式．28．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x的二次函数y＝x2﹣3x+k﹣1的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G．当直线y＝5x+b与图象G有3个公共点时，请你直接写出b的取值范围．29．已知，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A（﹣1，0）和B两点，与y轴交于点C，其顶点为M．（1）求a的值和M的坐标；（2）将抛物线平移，使其顶点在射线CB上，且A点的对应点为A′，若S△A'AC＝9，求平移后的抛物线的解析式；（3）如图2，将原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到新图象，当直线y ＝kx﹣2k+5与新图象有三个公共点时，求k的值．30．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣a2（a＞0）经过点B（1，0），顶点为A（1）求抛物线C1的解析式；（2）如图2，先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y＝x平移得到抛物线C2，设抛物线C2与直线y＝x交于C、D两点，求线段CD的长；（3）在图1中将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C3，直线y＝kx﹣2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线l与抛物线C3只有一个公共点，求直线l的解析式．。
(完整版)一次函数动点问题
一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB= ，C′B=∴ AC+CB=AC+CB′=．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC对称，连结ED 交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．3．已知函数y=kx+b 的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1 的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和m 的值？（2）若在x 轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P 的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x 轴的交点，若S△OAP=2，求点P 的坐标．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共 6 小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴CB= CB' ，C′B= C'B'∴ AC+CB=AC+CB′=AB' ．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC 对称，连结ED交AC于F，则EF+FB 的最小值就是线段DE 的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙ O的直径CD为4，∠ AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD 上找一点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值是 2 ；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB=CB，' C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=A．B'在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D 关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=9°0 ∵点E是AB 中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE= ，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB 的最小值就是线A'BE的长度，∴∠ AOD=∠A'OD=60°∵点 B 是的中点，∴∠ AOB=∠BOD= ∠AOD=3°0，∴∠ A'OB=90°∵⊙ O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2 ，∴ BP+AP的最小值是 2 ．故答案为 2 ，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D 的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B （0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y 轴对称，∴C'（﹣1，0），∴ C'D= =2 ，∴ PC+PD的最小值为 2 ，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D 的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得解得，次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1 中，得2a﹣1=2，③由 y=2x ﹣1，令 y=0得 x= ， ∴C （ 又∵点 P（m ，n ）在直线 y=2x ﹣1 上， ∴ n=2m ﹣1，3．已知函数 y=kx+b 的图象经过点A 43 y=x+1 的图象平行，点 B （ 2， m ）在一次函数 y=kx+b 的图象上1）求此一次函数的表达式和 m 的值？2）若在 x 轴上有一动点 P （x ，0），到定点 A （4，3）、B （2，m ）的距离分别 为 PA 和 PB ，当点 P 的横坐标为多少时， PA+PB 的值最小．解答】 解：（1）∵函数 y=kx+b 的图象经过点 A （4，3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行，，解得：∴一次函数的表达式为 y=x ﹣1． 当 x=2 时， m=x ﹣1=2﹣ 1=1， ∴m 的值为1．（2）作点 B 关于x 轴的对称点 B ′，连接 AB ′交x 轴于点 P ，此时PA+PB 取最小值， 如图所示． ∵点 B 的坐标为（ 2，1）， ∴点 B ′的坐标为（ 2，﹣ 1）． 设直线 AB ′的表达式为 y=ax+c ， 将（ 2，﹣1）、（4，3）代入 y=ax+c ，，解得：∴直线 AB ′的表达式为 y=2x ﹣5． 当 y=0 时， 2x ﹣ 5=0，，0），∴S= × ×|n|= | （2m ﹣1）|=|m﹣4．已知：一次函数图象如图： 1）求一次函数的解析式；2）若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 S △OAP =2，求点 P 的坐标．解答】 解：（1）设一次函数解析式为 y=kx+b ，所以一次函数解析式为 y=﹣x+1；（2）当 y=0时，﹣ x+1=0，解得 x=1，则 A （ 1， 0）， 设 P （t ，﹣ t+1）， 因为 S △OAP =2，所以 ×1×|﹣t+1|=2，解得 t=﹣3或t=5， 所以 P 点坐标为（﹣ 3，4）或（ 5，﹣ 4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中， 我们学过两条直线平行的定义． 下面就两个一次函数的图象所确 定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数 y=k 1x+b 1（k 1≠ 0）的图象为把（﹣ 2，3）、（2， 分别代入得，解得PA+PB 的值最小．P 的横坐标为 ﹣1)直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴ A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ ABC为等腰直角三角形，∴AB= =4 ，且ON 为斜边上的中线，∴ ON= AB=2 ，则l1 和l2 两平行线之间的距离为 2 ；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB 最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P 坐标代入得：，解得：m= ，n= ，∴直线B′P的解析式为y= x+ ，令x=0，得到y= ，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图 2 所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2 为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（ 2.5， 1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M 2（1，0）；当PB=M3B= =3 时，OM3=OB+BM3=4+3 ，此时M 3（4﹣3 ，0），M 3（4+3 ，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣ 3 ，0）或（4+3 ，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l 的解析式为y=kx+b，∵直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l 的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l 的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB 于点C，在y=2x+6 中，令x=0 可得y=6，令y=0 可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴ AB= =3 ，∵ AB?OC= OA?OB，∴ 3 OC=3×6，∴ OC= ，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G⊥x 轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴ BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴ P″G=，4 OG=1，∴BG=BO+OG=4=″P G，∴∠ OBQ=4°5，BP″=4 ，∴ OQ=BO=3，∴ Q点坐标为（0，3），又BP= =2 ，此时△ BPQ的周长=BP+BP″=4 +2 ；（4）由（3）可知∠ OBQ=∠OQB=4°5，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ⊥BQ，如图3，延长PQ到点P′，使PQ=P′Q，则P′即为点P 关于BQ的对称点，过P′作由（3）可知PQ=Q′P = ，∴QH=H′P =1，∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2，∴ S四边形ABO′P=S△AOB+S△AOP′= ×6×3+ × 6× 1=12，四边形△ △即四边形ABOP′的面积为12．。
一次函数之动点问题培优
第十讲一次函数之动点问题一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息；②分析运动过程，注意状态折叠，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用懂点的运动情况，又要结合图形的基本信息．二、精讲精练（2）求△OPA 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP或线段PA 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t （秒），矩形OEFB 与△OPA 重叠部分的面积为S ，求S 与t之间的函数关系式．点C ．动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向向终点A 运动，动点F 同时从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度折线AC -CO 方向向终点O 运动，设点F 运动的时间为t （秒）．（1）设△OEF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（2）当12t ≤≤时，是否存在某一时刻，使得△OEF 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．AB⊥y轴于点B．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→B→A →O的路线向点O运动；同时动点Q以相同的速度沿C→A→O→C的路线向点C 运动，设点P运动的时间为t（秒）．（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（这里规定：线段是面积为零的三角形）（2）当点Q在OC上运动时，是否存在某一时刻，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．。
一次函数有关的动点问题
一次函数中有关的动点问题例题1：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．:例题2：如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x ，y=-2x+12的图象相交于点A ，动点E 从O 点出发，沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作EF ∥y 轴与直线BC 交于点F ，以EF 为一边向x 轴负方向作正方形EFMN ，设正方形EFMN 与△AOC 的重叠部分的面积为S ．（1）求点A 的坐标；（2）当点E 在线段OA 上运动时，求出S 与运动时间t （秒）的函数表达式；例题3：（湖南邵阳）如图（十二），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． （1）求A B 、两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式； ②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516？模仿练习：（衡阳市）如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A.B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．图（1）图（2）图（3）例题4：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？例题5：（济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.x。
中考复习函数专题06 一次函数中的动点问题(老师版)
专题06 一次函数中的动点问题知识对接考点一、怎样解一次函数图象的平移问题 1、直线的平移规律（1）直线)0(≠+=k b kx y 可由直线)0(≠=k kx y 向上或向下平移得到，当b>0时，将直线kx y =沿y 轴向上平移b 个单位长度得到直线b kx y +=；当b<0时，将直线kx y =沿y 轴向下平移b 个单位长度得到直线b kx y +=.简而言之，“上加下减”（2）直线)(m x k y +=可由直线kx y =向左或向右平移得到，当m<0时，将直线kx y =沿x 轴向右平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=；当>0时，将直线kx y =沿x 轴向左平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=，简而言之，“左加右减”（3）一次函数的图象平移，不会改变图象的形状与大小，平移后的图象与原来的图象平行，直线平移后的解析式中，k 的值不变，只有b 的值发生变化.专项训练一、单选题1．一次函数y ＝kx +b 的图象是由函数y ＝2x 的图象向左平移3个单位长度后得到的，则该一次函数的解析式为（ ） A ．y ＝2x +6 B ．y ＝﹣2x +6C ．y ＝2x ﹣6D ．y ＝﹣2x ﹣6【答案】A 【分析】利用一次函数平移规律，左加右减得出答案． 【详解】解：由题意可得：y ＝2（x +3）＝2x +6． 故选：A ． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意平移不影响k 的值是关键．2．若一次函数的y ＝kx +b （k ＜0）图象上有两点A （﹣2，y 1）、B （1，y 2），则下列y 大小关系正确的是（ ） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1≥y 2【答案】B首先观察一次函数的x 项的系数，当x 项的系数大于0，则一次函数随着x 的增大而增大，当x 小于0，则一次函数随着x 的减小而增大．因此只需要比较A 、B 点的横坐标即可． 【详解】解：根据一次函数的解析式y ＝kx +b （k <0） 可得此一次函数随着x 的增大而减小 因为A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）， 根据-2<1，可得12y y > 故选B ． 【点睛】本题主要考查一次函数的一次项系数的含义，这是必考点，必须熟练掌握．一次函数的x 项的系数，当x 项的系数大于0，则一次函数随着x 的增大而增大，当x 小于0，则一次函数随着x 的增大而减小．3．已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,1)-，则这个函数的解析式为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2y x =-- D ．2y x =--【答案】A 【分析】利用待定系数法即可求得函数的解析式． 【详解】设所求一次函数的解析式为：y =kx +b ，其中k ≠0 ∵直线y =kx +b 的图象过点(2,0)和点(1,1)-∵201k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 解得：12k b =⎧⎨=-⎩ ∵y =x －2 故选：A ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，其一般步骤是：设函数解析式y =kx +b ；根据条件得出关于k ，b 的方程组；解方程组；写出函数解析式，可简记为：设，代，解，答． 4．将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位，则新的一次函数的解析式为（ ） A ．21y x =+ B ．4y x =--C ．4y x =-+D ．41y x =-+【答案】C直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位， 所得的直线解析式为：13y x =-++， 即：4y x =-+， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知函数图像的平移法则是解答此题的关键． 5．定义：对于给定的一次函数y ax b =+（a 、b 为常数，且0a ≠，把形如()()00ax b x y ax b x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩的函数称为一次函数y ax b =+的“相依函数”，已知一次函数1y x =+，若点()2,P m -在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【分析】找出一次函数1y x =+的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m 的值． 【详解】解：一次函数1y x =+的“相依函数”为()()1010x x y x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩，∵点P （−2，m ）在一次函数的“相依函数”图象上， ∵m ＝−1×（−2）−1＝1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数1y x =+的“相依函数”是解题的关键．6．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ） A ．y ＝﹣12x ﹣1 B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣1【答案】C 【分析】设直线AB 的解析式为y =kx +b ，根据题意，得402k b b +=⎧⎨=-⎩，得到直线解析式为y ＝12x -2，将其向左平移2个单位，得到y ＝12x -1，绕着原点旋转180°，得解． 【详解】设直线AB 的解析式为y =kx +b ，根据题意，得402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∵直线解析式为y ＝12x -2，将其向左平移2个单位，得y ＝12（x +2）-2， 即y ＝12x -1，∵与y 轴的交点为（0，-1），与x 轴的交点为（2,0）， ∵绕着原点旋转180°，∵新直线与与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（-2,0）， ∵设直线的解析式为y =mx +1， ∵-2m +1=0， 解得m =12， ∵y ＝12x +1， 故选C ． 【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．7．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点(3,2)A ，(1,6)B --，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：∵该函数表达式为24y x =-；∵该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；∵点(2,44)P a a -该函数图象上；∵直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】已知一次函数过两个点A （3，2），B （-1，-6），可以用待定系数法求出关系式；根据关系式可以判定一个点（已知坐标）是否在函数的图象上；根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当k ＞0，y 随x 的增大而增大；根据关系式可以求出函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标，进而可以求出直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积，最后综合做出结论． 【详解】解：设一次函数表达式为y =kx +b ，将A （3，2），B （-1，-6）代入得：326k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：k =2，b =-4，∵关系式为y =2x -4，故∵正确；由于k =2＞0，y 随x 的增大而增大，故∵正确； 点P （2a ，4a -4），代入，得：2×2a -4=4a -4，∵其坐标满足y =2x -4，因此该点在此函数图象上；故∵正确； 令x =0，则y =-4，令y =0，则x =2，∵直线AB 与x 轴，y 轴的交点分别（2，0），（0，-4），因此与坐标轴围成的三角形的面积为：124482⨯⨯=≠，故∵错误；因此，∵∵∵均正确，∵不正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，一次函数的性质，一次函数图象的点的坐标特征，以及依据关系式求出函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形的面积等知识点，在解题中渗透选择题的排除法，验证法．8．下列函数关系式：（1）y x =-；（2）1y x =-；（3）1y x=；（4）2y x ，其中一次函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可知：（1）y x =-；（2）1y x =-；是一次函数，（3）1y x=，是反比例函数；（4）2yx ，是二次函数；故一次函数的个数有2个． 故选B ．。
一次函数中的动点运动问题
一次函数中的动点运动问题一次函数中的动点问题一直是难点。
其难度在于:①直线或点的旋转、平移、翻折运动；②因动直线或动点产生的面积问题；③因动点产生的三角形存在性问题。
解法分析：本题的第1问是点的平移，点的平移运动遵循“上加下减，左减右加”；本题的第2问是直线的左右平移，尽管是新的背景，但是直线的平移就是直线上点的平移运动，只要找准直线上的一个点进行平移运动，代入即可；本题的第3问是点的旋转运动，经过的路径长就是以O为圆心，AO为半径，圆心角为90°的弧长；本题的第4问是直线的旋转运动，只要求出直线上的任意两点(一般选与坐标轴的两交点)绕旋转中心旋转后的对应点，即可求出型的直线表达式。
(旋转后构造“一线三直角模型”，即可求出旋转后对应点的坐标)对于直线的左右平移按照以下方法进行：①从直线上任意取一点进行左右平移，得到平移后的点的坐标；②设出平移后的直线表达式；③将平移后的点代入平移后的表达式中，即可求出b，得到新的表达式。
对于平面直角坐标系中点的旋转运动，往往可以通过构造一线三直角模型，借助全等三角形找到对应的等边。
解法分析：本题的第1问和第2问是手拉手旋转型模型，难度不大，围绕旋转角相等，证明▲AOE'≌▲BOF'，即可得到AE'=BF'，AE'⊥BF'。
本题的第3问是求P纵坐标的最大值，这是本题的难点，从动态的角度来看，当P与D'重合时，可以求得点P的纵坐标的最大值。
通过画出图形，进行分析，可以得到此时∠A为30°，以此通过30°-60°-90°直角三角形的性质得到点P的纵坐标。
因动点产生的三角形存在性问题有以下几类：①等腰三角形的存在性问题(设点、利用距离公式，线段相等即可求出点的坐标)；②直角三角形的存在性问题(设点，利用距离公式和勾股定理求出点的坐标)；③等腰直角三角形的存在性问题(根据题意画出图形，利用等腰直角三角形的性质求出点的坐标)。
第六章一次函数(动点、全等、三角形存在性问题压轴)(原卷版)
第六章 一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A B C D A ®®®®方向运动到点A 处停止（提示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC ）．设点P 运动的路程为x ，PCD V 的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．9C ．15D ．182．已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积 ()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（ ）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线A -B-C -D 运动.设P 点的运动时间为ts ，PAD V 的面积为S ，当P 运动到BC 的中点时，PAD V 的面积为A ．7B ．7.5C ．84．如图，在长为形ABCD 中，5cm 16cm AB AD ==，，点3cm 4cm AM AE ==，，连线CE ，动点P 从点B 出发，以运动到点A 即停止运动，连接MP ，设点P 运动的时间为(1)如图1，线段CE = cm ；当10t =时，线段EP = cm ；(2)如图1，点P 在线段BC 上运动的过程中，连接EM EP ，，当EMP V 是以EM 为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(1)求线段OC的长；(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求(3)已知y轴上有一点P，若以点标．(1)求n和b的值；△是直角三角形，求点P的坐标；(2)若ACP∠=∠，求点P的坐标．(3)当PBE BAC(1)求点D的坐标；(2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点i）若BDFV的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线接FM，若1OF MF=+，求线段MF的长．(1)求直线AB的解析式；(2)已知点D为直线BC上第三象限的一点，连接AD，设点D的横坐标为t 间的函数关系式（不要求写出变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，256S=，点D关于y轴的对称点为点E，点F在第一象限直线。
一次函数之动点问题(word文档良心出品)
一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．y xOBA2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，∠ABC =60°．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．C ABOxy CABOxy3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14？（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．P DCxA OByyBO A xCD4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线33y x =交于点P ． （1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．PFE xA OB y5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重 叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．xy OABm l PM N【参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）343y x =-+（2）223(04)2343(48)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（3）123(0438)(0438)(043)M M M -+-，或，或，443(0)3M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(33)P ， （2）23（3）223(03)653163243(34)2tt S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =（3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。
一次函数动点问题
一次函数动点问题题目描述：已知一次函数 y = kx + b，其中 k 和 b 为常数，画出该函数的图像，并在坐标系上放置一个点 P，使该点具有以下性质：1. 在坐标系中，点 P 的横坐标在 2 和 5 之间。
2. 点 P 的纵坐标的值是在 3 和 7 之间随机生成的。
3. 点 P 在坐标系中的位置是随机生成的。
求：1. 该函数在点 P 处的函数值。
2. 该函数在点 P 处斜率的值。
解题思路：由题目可知，该函数为一次函数，因此可以根据已知的 k 和 b，画出函数的图像。
然后在坐标系中随机生成一个点 P，满足题目所给出的条件。
最后，根据点P 的坐标和已知的函数公式，计算出该函数在点 P 处的函数值和斜率的值。
代码实现：为了方便起见，我们可以将代码分成三个部分，分别是：1. 定义一次函数及绘制函数图像的函数。
2. 生成随机坐标的函数。
3. 计算函数在随机点处的函数值和斜率的函数。
第一部分：定义一次函数及绘制函数图像的函数。
def line(k, b, x):return k*x + bimport matplotlib.pyplot as pltdef plot_line(k, b, x_min, x_max):x = [i for i in range(x_min, x_max+1)]y = [line(k, b, i) for i in x]plt.plot(x, y)plt.show()该代码中，line() 函数用于计算一次函数在某个点 x 处的函数值，plot_line() 函数用于绘制一条一次函数的图像。
其中，k 和 b 为一次函数的系数，x_min 和 x_max 为绘制函数图像的横坐标范围。
第二部分：生成随机坐标的函数。
import randomdef random_point(x_min, x_max, y_min, y_max):x = random.uniform(x_min, x_max)y = random.uniform(y_min, y_max)return (x, y)该代码中，random_point() 函数用于生成一个横坐标在 x_min 和 x_max 之间，纵坐标在 y_min 和 y_max 之间的随机点。
一次函数动点问题
一次函数动点问题一次函数动点问题一、一次函数与三角形（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D，是否存在这样的点P，使△COD ≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．2、已知△ABC中，△ABC=90°，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．（1）如图1，若点C的横坐标为4，求点B的坐标；（2）如图2，BC交x轴于D，AD平分△BAC，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求S△BEM∶S△ABO．=1：3．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）如图1，若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为x E、x F，当BD平分△BEF的面积时，求x E＋x F的值；（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH△PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，△CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；（3）如图2，点B（－2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角△ABC，点C在第一象限，D 为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰△DCE，EF⊥x轴，F为出正确的结论，并求出其定值．二、一次函数与四边形1、如图，直线l1的解析表达式为：y=－3x＋3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC 的面积相等，求出点P的坐标；（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．三、一次函数与面积1、如图，已知直线l1：y=－x＋2与直线l2：y=2x＋8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t ≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．2、已知如图，直线343+-=x y 与x 轴相交于点A ，与直线x y 33=相交于点P ．（1）求点P 的坐标；（2）求S △O PA 的值；（3）动点E 从原点O 出发，沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ，设运动t 秒时，F 的坐标为（a ，0），矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ，求：S 与a 之间的函数关系式．四、一次函数与最值问题1、如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB与x轴交于A（5，0），与y轴交于B（0，5）．（1）求△ABO的面积．（2）如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．（3）如图2，点E是y轴负半轴上一点，且△OAE=30°，AG平分△OAE，点M是射线AG上一动点，点N是线段AO上一动点，试判断是否存在这样的点M、N，使得OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明．2、如图△，在平面直角坐标系xoy 中，直线233+-=x y 分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点，将射线AM 绕着点A 顺时针旋45°得到射线AN ，点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在△MAN 的内部．（1）求线段AC 的长；（2）当AM △x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积；（3）求△BCD 周长的最小值；（4）当△BCD 的周长取得最小值，且BD=325时，△BCD 的面积为．（第（4）问需填写结论，不要求书写）3、如图△，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y 轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有______个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标______；（3）如图△，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN 的周长最短，在图△中作出图形，并求出点N的坐标．课后作业1、如图1，已知直线y=2x＋2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y 轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=－2x＋12，△求点C的坐标；△求△OAC的面积．（2）如图，作△AOC的平分线ON，若AB△ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．。
初一培优专题：数轴上动点问题(有答案)Word版
培优专题：借助方程求解数轴上的动点问题(压轴题常考题型)数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。
为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。
2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
一、相关知识准备1.数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____________。
-，则A与B两点之间的距离用式子2.若数轴上点A表示的数为x,点B表示的数为1可以表示为_____________，若在数轴上点A在点B的右边，则式子可以化简为_____________。
3.A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A点运动的路程可以用式子表示为______________。
-,A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，4.若数轴上点A表示的数为1若运动时间为t，则A点运动t秒后到达的位置所表示的数可以用式子表示为______________。
答案：1、3； 2、1x+，x+1； 3、2t； 4、12t-+二、已做题再解：1、半期考卷的第25题：如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a，B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足-2++8=a16(b)0（1）点A表示的数为_________，点B表示的数为________。
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数。
一次函数动点问题专题(补课培优补课教程)
xyA B C D 0 1 2 2 1 （第2题图）一次函数动点问题培优例1.如图1，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为多少？变式1：如图，一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0）、B （0，4）．O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB上一动点，则当P 点坐标为 时，PC+PD 的最小值为 ．例 2.如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD 是黑色区域（含正方形边界），其中(11)(21)(22)(12)A B C D ，，，，，，，，用信号枪沿直线2y x b =-+发射信号，当信号经过黑色区域时，b 的取值范围为 ．变式1：如图，直线y=kx+b 经过A （3，1）和B （6，0）两点，则不等式组 0＜kx+b ＜13x 的解集为 ．图1MO x y BD A C P变式:2：函数y=ax－3的图象与y=bx+4的图象交于x轴上同一点，那么a∶b=例3：如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P在AB上运动时间为s，在CD上运动的速度为cm/s，△APD的面积S的最大值为cm2；（2）求出点P在CD上运动时S与t的函数解析式；（3）当t为s时，△APD的面积为10cm2．变式1：在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、D匀速运动至点A停止，设点P 运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）A、10B、16C、18D、20yPD例题:4：已知：在平面直角坐标系中，点Q 的坐标为（4，0），点P 是直线y=-21x+3上在第一象限内的一动点，设△OPQ 的面积为s 。
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第5题答图
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∴CD 是△OBA 的中位线， ∴OP∥CD，CD＝12OB＝2， ∵C′O＝OC，∴OP 是△C′CD 的中位线， ∴OP＝12CD＝1，∴点 P 的坐标为(0，1)．
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6．如图 6，已知直线 y＝－ 33x＋1 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B， 以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC＝ 90°.且点 P(1，a)为坐标系中的一个动点．
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4．已知，如图4所示，直线PA与x轴交于点A，与y轴交于点C(0， 2)，且S△AOC＝4，直线BD与x轴交于点B，与y轴交于点D，直 线PA与直线BD交于点P(2，m)，点P在第一象限，连接OP. (1)求点A的坐标； (2)求直线PA的解析式； (3)求m的值； (4)若S△BOP＝S△DOP，请你直接写出直线BD的解析式．
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则 PM∥OD，PN∥OB， ∴OM＝BM，ON＝DN， ∴OD＝2PM，OB＝2PN，∵P(2，3)， ∴PM＝ 3，PN＝2，∴OD＝ 6， OB＝ 4， 即 D(0，6)，B(4，0)， 设直线 BD 的解析式是 y＝kx＋b， 则06＝＝4bk，＋ b，
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解：(1)∵点 C(0，2)，S△AOC＝4， 而 S△AOC＝12·AO·OC， ∴AO＝4， ∴点 A 的坐标为(－4，0)； (2)设直线 PA 的解析式为 y＝kx＋b，
则有02＝ ＝－b，4k＋b，解得kb＝ ＝122，，
解得：k＝－32，b＝6，
∴直线 BD 的解析式为 y＝－32x＋6.
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5．如图5，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴，y轴分别交于点A(2， 0)，B(0，4)． (1)求该函数的解析式； (2)O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C，D，P为OB上一 动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
(3)探究：当 P 运动到什么位置时，三角形 OPA 的面积为287？ 并说明理由．
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图3
解：(1)∵点 E(－8，0)在直线 y＝kx＋6 上， ∴0＝－8k＋6，∴k＝34； (2)∵k＝34， ∴直线的解析式为：y＝34x＋6，
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培优专题(六) 一次函数与动点问题
1．[2014·德惠一模]如图1，点A，B的坐标分别为(1，0)、(0，1)，
点P是第一象限内直线y＝－x＋3上的一个动点，当点P的横坐
标逐渐增大时，四边形OAPB的面积 ( D )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先减小后增大
D．不变
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图1
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第1题答图
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【解析】 连接 AB，∵点 A，B 的坐标分别为(1，0)，(0，1)， ∴设 AB 所在直线的解析式为：y＝kx＋b， ∴bk＝＋1b，＝0，解得kb＝＝－1，1， ∴AB 所在直线的解析式为：y＝－x＋1， ∵点 P 是第一象限内直线 y＝－x＋3 上的一个动点， ∴两直线平行， ∴P 到直线 AB 的距离是定值， ∵S△AOB 是定值，AB 是定值，P 到直线 AB 的距离是定值， ∴当点 P 的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积不变．
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2．[2014·徐州]如图2①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向 点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB，BC从点A开始向点C 以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P，Q同时停止移动．设 点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2②所 示，则线段EF所在直线对应的函数关系式为___y＝__1_8_－__3_x__．
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∵P
点在
y＝34x＋6
上，设
Px，43x＋
6，
∴△OPA
以
OA
为底的边上的高是43x＋
6，
当点 P 在第二象限时，34x＋6＝34x＋6，
∵点 A 的坐标为(－6，0)，
∴OA＝6.
∴
S＝634x2＋
6＝94x＋
18.
∵P 点在第二象限，
∴－8＜x＜0；
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(3)设点 P(m，n)，则△OPA 的面积为62|n|＝287， 解得|n|＝98，则 n＝98或 n＝－98. 当 n＝98时，98＝34m＋6，则 m＝－123，故 P－123，98； 当 n＝－98时，－98＝34m＋6， 则 m＝－129，故 P(－129，－98)．
①
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图2
②
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3．如图3，直线y＝kx＋6与x轴，y轴分别交于E，F，点E坐标为(－8， 0)，点A的坐标为(－6，0)，P(x，y)是直线y＝kx＋6上的一个动点． (1)求k的值； (2)当点P在第二象限内运动时，试写出三角形OPA的面积S与x的函 数关系式，并写出自变量x的取值范围；
∴直线 PA 的解析式为 y＝12x＋2；
第4题答图
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(3)∵点 P(2，m)在直线 PA 上，
∴m＝12×2＋2， ∴m＝3； (4)∵S△BOP＝S△DOP，△BOP 的边 BP 上的高和△DOP 的边 DP 上的 高相同， ∴PD＝PB， 即 P 为 BD 中点， 过 P 作 PM⊥OB 于 M，作 PN⊥OD 于 N，如答图，
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图5
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解：(1)将点 A，B 的坐标代入 y＝kx＋b 得 2b＝k＋4b，＝0，解得kb＝＝－4. 2， ∴该函数的解析式为 y＝－2x＋4；
(2)设点 C 关于点 O 的对称点为 C′，连接 C′D 交 OB 于 P，则 PC＝PC′， ∴PC＋PD＝PC′＋PD＝C′D，即 PC＋PD 的最小 值是 C′D. 连接 CD，在 Rt△DCC′中， C′D＝ C′C2＋CD2＝2 2， 即 PC＋PD 的最小值为 2 2， ∵OA，AB 的中点分别为 C，D，