第七讲合成标准不确定度的计算

????而u(Ek)=2.2×10-3×(1/2)×1kg×(100m/s)2
????=2.2×10-3×0.5×104kg·m2/s2
????=11kg·m2/s2=11J
????如果pi，只是正1或负1，则在这一情况下:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
????
????这就是说:在这种情况下估计值y的相对合成标准不确定度，等于输入估计值xi的相对标准不确定度的方和根。举例如下:
在间接测量中，被测量Y不能直接测量，而是通过若干个别的可以直接测量的量或是可以通过资料查出其值的量，按一定的函数关系得出:
Y=f(X1，X2，…，Xn)
其中Xi为输入量，而把Y称之为输出量。
例如:被测量为一个立方体的体积V，通过其长l、宽b和高h三个量的测量结果，按函数关系V=l·b·h计算，则l，b，h为输入量，V为输出量。
????有些情况下，例如在化学分析中，在给定浓度下的某些不确定度的分量，这些分量的相对标准不确定度均是除以某个相同的分母，而输出量的相对标准不确定度也是这同一个分母，这时是可以采用方和根来合成相对标准不确定度的。
????必须注意，尽管相对标准不确定度urel(xi)都无例外地是无量纲量，它们都用纯数给出，但是这些纯数并不都是无条件地可以相对减或是进行方和根运算的。因为这些数都是量值，而且往往是不同定义的量值。
式中:
ci= ，ui(y)=|ci|ui(xi)
以下给出几种比较简单而又较常见的函数关系的灵敏系数:
(a)y=Ax1+Bx2
c1=A；c2=B
(b)y=1/x
c=-(1/x2)
(c)y=x1/(x1+x2)
c1=x2/(x1+x2)2
c2=-x1/(x1+x2)2
(d)y=x/(1+x)
c=1/(1+x)2
????7.8??合成标准不确定度uc(y)的自由度计算中应注意什么问题？
????合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，符号为veff输出量估计值y不确定度的各个分量ui(y)的自由度不论是采用A、B两类中的何种方法评定出的，ui(y)的自由度与u(xi)的自由度相同。不因为u(xi)乘灵敏系数ci之后而改变。计算式
输入量Xi的不确定度u(xi)只有在乘了相应的灵敏系数ci之后，才是输出量Y的不确定度u(y)的一个分量ui(y)。它们也才会有相同的量纲。
7.5??在线性函数关系中输入量的相对标准不确定度urel(xi)是否可以也按方和根合成为输出量Y的相对标准不确定度urel(y)？
????在输入量X1，X2，…，XN彼此独立的情况下，如果它们与输出量Y的函数关系是线性的，例如最简的一种情况:
????Y=X1+X2
若已知urel(x1)与urel(x2)，是不能按方和根 计算Y的相对标准不确定度urel(y)的。例如:由两个500g的砝码相加，组成为输出量1000g。每个500g砝码的标准不确定度u(x1)=u(x2)=0.5g，则这输出量1000g的不确定度实际上u(y)= = =0.71g。对1000g来说，其相对标准不确定度应为urel(y)=0.71g/1000g≈0.7×10-3。但如果用相对不确定度来合成，urel(x1)=urel(x2)=0.5g/500g=1×10-3，它们未合成前已大于urel(y)。显然是不合理的。
????W(KOH)=f(V(HCl)，c(HCl)，M(KOH)，m)
????????=(V(HCl)×c(HCl)×M(KOH))/m
代入输出量的估计值得:
????W(KOH)=56.1×10-3
其相对标准不确定度urel[W(KOH)]，可按urel(V)，urel(c)，urel(m)按方和根得出为:
????也往往在这种相互独立的线性函数中，输入量X1与X2按B类方法评定时，一开始就是给出的相对标准不确定度urel(x1)和urel(x2)，例如通过测量仪器引用误差评定的结果。那么，由于分母不同(输出量与输入量)，也是不能采用方和根得出输出量的相对合成标准不确定度ucrel(y)的。在这种情况下，必须先把urel(x1)与urel(x2)算成标准不确定度u(x1)与u(x2)后再合成为uc(y)；如这时要求给出ucrel(y)，即可将uc(y)除以y。这是当前极易被忽略的问题之一。
7.3??什么叫作线性合成？
例如在测量误差的合成计算中，其各个误差分量，不论是随机误差分量还是系统误差分量，当合成为测量误差时，所有这些分量按代数和相加。这种合成的方法称为线性合成。
不确定度的各个分量如彼此独立，则恒用方和根的方式合成。但如果其中某两个分量彼此强相关，且相关系数r=+1，则合成时是代数相加，即线性合成而非方和根合成。
????
如果我们要求得到uc(y)而不是u-crel(y)，则可将得到的ucrel(y)乘以y即可。这是一种完全等效的计算方法。
????例如通过物体质量m与其运动速度v的测量，求该物体的动能Ek。它们之间的函数关系式(称测量模型)是:
????Ek=(1/2)mv2
????设输入量m的标准不确定度为u(m)=lg，而m的最佳估计为1kg，速度v的量佳估计为100m/s，其标准不确定度u(v)=0.1m/s，求输出量Ek的标准不确定度u(Ek)。这时，不必去求偏导数得出灵敏系数，而是求输入量的相对标准不确定度urel(m)=u(m)/m=lg/1kg=1×10-3，urel(v)=u(v)/v=(0.1m/s)/(100m/s)=1×10-3，m的指数为1，v的指数为2，则 =(1×10-3)2+(2×1×10-3)2=5×10-6，故urel(Ek)≈2.2×10-3
????7.6??当输入量Xi与输出量Y之间的函数关系为Y=f(X1，X2，…，XN)= …… 时，是否也应按先算出灵敏系数ci通过 = [ciu(xi)]2= (y)合成？
????可以这样合成，但不一定要如此复杂。采用这种方法需要麻烦的偏导数。更为简单的办法是采用输入量的相对标准不确定度urel(xi)=u(xi)/xi>乘以其相应的xi的指数pi，即piu(xi)/xi，进行简单的平方和得到输出量Y的相对合成方差 ，即
???? 即线性相加，因而，所构成的10kΩ的Rref的合成标准不确定度
????uc(Rref)= u(Ri)
????=10×0.10Ω=1.0Ω
????但是，如果校准过程中带来的不确定度并非可忽略不计，例如在对这10个中每个电阻器校准过程中的标准不确定度为0.5Ω，10个这样的分量彼此独立，大小也一样，合成起来就是0.5Ω× =1.6Ω。它应按方和根与前面相关部分合成的1.0Ω合成的u(Rref)= =1.9Ω。
????在《JJF1059》中只提到协方差与相关系数的A类评定方法，将它与其他分量的方差相加进行合成。实际工作中，特别是在计量学领域，采用A类评定是十分复杂的。我们可以按经验，把输入量xi中强相关的那些分量(u(xi)等也是由若干分量合成的，其中既有与其他输入量强相关的分量，也有相互独立的分量)，按强相关(r=+1)先行单独合成作为输出量不确定度u(y)的一个分量，然后把不相关的那些分量按彼此独立合成为u(y)的第二个分量，最后将此两分量按彼此独立来进行合成(参阅本讲座6.18)。
????例如:在《JJF1059》合成标准不确定度uc(y)的评定中，给过一个例子，当标称值为1kΩ的10个电阻器，用1个值为Rs的标准电阻器校准，设校准过程中的不确定度远小于Rs的标准不确定度u(Rs)而忽略不计，校准证书给出u(Rs)=0.10Ω。现将此10个电阻器用电阻可忽略的导线串联构成一个10kΩ的参考电阻，其Rref=f(Ri)= Ri(线性相加)。《JJF1059》中给出的电阻器的相关系数为r(Ri，Rj)=1，并不可能是按A类评定的，因为不存在多个标准器分别对这10个电阻器进行校准。这里的r(Ri，Rj)是按经验得出的。通过经验，当两个(或多个)输入量使用了同一个标准器或同一台测量仪器时，或使用了相同的参考数据，则它们之间存在极大的正相关。10个电阻器的校准正是这种情况。在r=+1的情况下，
????设以盐酸作为标准滴定溶液，用以测量某样品中所含氢氧化钾的质量分数W(KOH)，标准溶液的浓度c(HCl)=0.2(1±10-3)mol/L(k=2)，则其标准不确定度urel[c(HCl)]=(1/2)×1×10-3=0.5×10-3。滴定终点消耗50mL，按所用的B级滴定管△=±0.6%(△为最大允许误差)，由于通过两次读数之差得出，按正态分布考虑，取包含因子k=3，得消耗体积V的相对标准不确定度urel(V)=(1/3)×0.6%× =0.28×10-2。氢氧化钾的相对摩尔质量来自国际1995年公布的相对原子质量表，其不确定度大大小于10-5，可忽略不计，其值Mr(KOH)=56.10024，在本例计算中可取近似为56.10，其修约导致的不确定度即可忽略。样品质量m=10g，按所用天平和砝码的相对扩展不确定度Urel(m)=3×10-4，包含因子k=3，得其相对标准不确定度为urel(m)=1×10-4。计算方程(测量模型)为:
(e)y=x1x2
c1=x2，c1=x1
(f)y=x2
c=2x
(g)y=x1/2
c=1/2(2x1/2)
以上A，B，a，b，k可以是负数或分数或等于1。
当用实验方法求灵敏系数时，特别是在y与xi之间不存在简单函数关系时，可以通过将其余输入量保持不变，仅变化第i个xi，设变化量为△xi，由此而导致的y的变化设为△y，则ci=△y/△xi。但也可通过函数关系计算出△y。
???? 用于按ui(y)计算的情况。如有相关项，协方差只出现在合成前uc(y)的计算之中，在分母中不再出现。
????当用相对标准不确定度分量urel(xi)合成时，ucrel(y)的有效自由度只按下式计算:
????
式中，pi为xi的指数，参阅7.6
偏导数应该是在代入输入量的估计值时作出评定，即在Xi=xi时评定的。