7.2(2)定义与命题 徐利华
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…………………………… 师：其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数 学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本 》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学 名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称 为公理（axiom）．.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（p roof）．经过证明的真命题称为定理（theorem）．而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证 明的这个定理的前面．《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《 原本》是一部具有划时代意义的著作． 生：老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实． 师：对，我们这套教材有如下命题作为公理：
教学过程：
一、创设情境，导入新课
师：上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？ 生：判断一件事情的句子，叫做命题． 师：那么如何判断一个命题的真假呢？ 生：举反例就可以． 师：好，下面我们来做一组练习：
下列各命题哪些是真命题？哪些是假命题？请说出你的理由． （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a>b,b>c,那么a=c； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （4）菱形的四条边都相等； （5）全等三角形的面积相等. 师：大家思考后，来分组讨论．
师：很好，同学们不仅能辨别命题的正确与否，还能举例说明命题的错误.真棒！由大家刚才分析可以
知道：要说明一个命题是一个假命题，通常举出一个例子就可以．
师：那么请同学们思考一下，如何证实一个命题是真命题呢？下面开始我们今天的主要的探究任务（
教师板书课题）
【设计意图】：依旧带新，引导学生通过对一组命题真假的判断，引出真命题应如何证实，激发学生
教学重点：
对公理和定理的了解和识记．
教学难点：
定理证明所涉及的推理方法和表述．
教法学法：
针对八年级学生的认识特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学 生学会学习。本堂课采用自主、合作、探究、体验式教学法．
课前准备：
1．教师准备好多媒体课件． 2．学生收集曾经学过的公理和定理．
师：（集体讲评）通过这个证明我们得到定理：对顶角相等． 师：上节课我布置了去收集学过的定理，不知大家收集了多少？ 生1：（纷纷举手抢答）同角（等角）的补角相等． 生2：同角（等角）的余角相等． 生3：三角形的任意两边之和大于第三边． …………………………… 师：看来大家课下做足了功课，我希望同学们课下，尝试用我们公理、定理把你们收集的定理证一遍
北师大版数学八年级（上）优秀教案
徐利华
师：好，除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.在等式或不等式中，一个 量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c，那么，a=c，这一性质也看做公理，称为“等量代换” ．
师：好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史． 生：阅读课本阅读材料． 【设计意图】：让学生感受到在已有的知识基础上证实一个命题是真命题有难度，激起学生的求知欲
例 已知：如图7-5，直线AB与直线CD相较于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角． 求证：∠AOC=∠BOD．
生：（先独立思考，组内互说推理过程，然后一生黑板板演）． 证明： ∵直线AB与直线CD相较于点O， ∴∠AOB与∠COD都是平角（平角定义）． ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角定义）． ∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）．
。同时通过对《原本》知识的了解，扩大了学生的知识面，激发学生的学习兴趣，使他们体会到数 学就在身边，体会到数学的作用。这样的设计更能促使学生自主去研究、探讨，更容易体现学生自 主学习的能力．
三、知识拓展，提升能力
师：刚才了解“公理”是不必经过证明的真命题，它是几何理论体系的基础，是作为判断其他命题真 假的原始依据．定理要经过证明，定理的作用不仅在于它提示了客观事物的本质属性，而且可以 作为进一步确认其他命题真假的根据．下面我们来试一试．（展示例题）
． 【设计意图】：本环节的设计主要是向学生展示证明的一般过程，并向学生强调因为和所以的几何写 法。便于学生学习和模仿，要求学生注意证明步骤之间的逻辑性。
北师大版数学八年级（上）优秀教案
徐利华
课 题：第七章 第二节 定义与命题 第2课时
授 课 人：市中区 枣庄市四十二中学 徐利华
课 型：新授课
授课时间：2013年12月20日，星期五，第 3 节课
教学目标：
1．了解公理与定理的含义． 2．经历实际情景，初步体会公理化思想和方法，知道基本的公里和定理． 3．初步了解几何证明的过程逻辑性．
1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 8.三边对应相等的两个三角形全等． 师：同学们来朗读一次．
的求知欲望，使学生在已有的基础上主动去探索新知，使知识的产生变得自然，并培养学生的思维习
惯.
二、探究交流，获取新知
师：大家思考后，来分组讨论． 生甲：用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法． 生乙：这些方法往往并不可靠． 生丙：能不能根据已经知道的真命题证实呢？ 生丁：那已经知道的真命题又是如何证实的？ 生戊：哦……那可怎么办呢？
北师大版数学八年级（上）优秀教案
徐利华
生甲：第三个、第四个、第五个命题是正确的，第一个、第二个命题是不正确的．
生乙：我们讨论的结果是与甲同学的一样，如图∠
1=∠
2,从图形中可知∠
1与∠
2不是对顶角.所以第一个命题：如果来自个角相等，那么它们是对顶角是错误的．
生丙：第二个命题中的a取6，b取3，c取2，这样可知：a与c是不相等的.所以第二个命题是不正确的．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
师：上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？ 生：判断一件事情的句子，叫做命题． 师：那么如何判断一个命题的真假呢？ 生：举反例就可以． 师：好，下面我们来做一组练习：
下列各命题哪些是真命题？哪些是假命题？请说出你的理由． （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a>b,b>c,那么a=c； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （4）菱形的四条边都相等； （5）全等三角形的面积相等. 师：大家思考后，来分组讨论．
师：很好，同学们不仅能辨别命题的正确与否，还能举例说明命题的错误.真棒！由大家刚才分析可以
知道：要说明一个命题是一个假命题，通常举出一个例子就可以．
师：那么请同学们思考一下，如何证实一个命题是真命题呢？下面开始我们今天的主要的探究任务（
教师板书课题）
【设计意图】：依旧带新，引导学生通过对一组命题真假的判断，引出真命题应如何证实，激发学生
教学重点：
对公理和定理的了解和识记．
教学难点：
定理证明所涉及的推理方法和表述．
教法学法：
针对八年级学生的认识特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学 生学会学习。本堂课采用自主、合作、探究、体验式教学法．
课前准备：
1．教师准备好多媒体课件． 2．学生收集曾经学过的公理和定理．
师：（集体讲评）通过这个证明我们得到定理：对顶角相等． 师：上节课我布置了去收集学过的定理，不知大家收集了多少？ 生1：（纷纷举手抢答）同角（等角）的补角相等． 生2：同角（等角）的余角相等． 生3：三角形的任意两边之和大于第三边． …………………………… 师：看来大家课下做足了功课，我希望同学们课下，尝试用我们公理、定理把你们收集的定理证一遍
北师大版数学八年级（上）优秀教案
徐利华
师：好，除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.在等式或不等式中，一个 量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c，那么，a=c，这一性质也看做公理，称为“等量代换” ．
师：好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史． 生：阅读课本阅读材料． 【设计意图】：让学生感受到在已有的知识基础上证实一个命题是真命题有难度，激起学生的求知欲
例 已知：如图7-5，直线AB与直线CD相较于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角． 求证：∠AOC=∠BOD．
生：（先独立思考，组内互说推理过程，然后一生黑板板演）． 证明： ∵直线AB与直线CD相较于点O， ∴∠AOB与∠COD都是平角（平角定义）． ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角定义）． ∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）．
。同时通过对《原本》知识的了解，扩大了学生的知识面，激发学生的学习兴趣，使他们体会到数 学就在身边，体会到数学的作用。这样的设计更能促使学生自主去研究、探讨，更容易体现学生自 主学习的能力．
三、知识拓展，提升能力
师：刚才了解“公理”是不必经过证明的真命题，它是几何理论体系的基础，是作为判断其他命题真 假的原始依据．定理要经过证明，定理的作用不仅在于它提示了客观事物的本质属性，而且可以 作为进一步确认其他命题真假的根据．下面我们来试一试．（展示例题）
． 【设计意图】：本环节的设计主要是向学生展示证明的一般过程，并向学生强调因为和所以的几何写 法。便于学生学习和模仿，要求学生注意证明步骤之间的逻辑性。
北师大版数学八年级（上）优秀教案
徐利华
课 题：第七章 第二节 定义与命题 第2课时
授 课 人：市中区 枣庄市四十二中学 徐利华
课 型：新授课
授课时间：2013年12月20日，星期五，第 3 节课
教学目标：
1．了解公理与定理的含义． 2．经历实际情景，初步体会公理化思想和方法，知道基本的公里和定理． 3．初步了解几何证明的过程逻辑性．
1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 8.三边对应相等的两个三角形全等． 师：同学们来朗读一次．
的求知欲望，使学生在已有的基础上主动去探索新知，使知识的产生变得自然，并培养学生的思维习
惯.
二、探究交流，获取新知
师：大家思考后，来分组讨论． 生甲：用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法． 生乙：这些方法往往并不可靠． 生丙：能不能根据已经知道的真命题证实呢？ 生丁：那已经知道的真命题又是如何证实的？ 生戊：哦……那可怎么办呢？
北师大版数学八年级（上）优秀教案
徐利华
生甲：第三个、第四个、第五个命题是正确的，第一个、第二个命题是不正确的．
生乙：我们讨论的结果是与甲同学的一样，如图∠
1=∠
2,从图形中可知∠
1与∠
2不是对顶角.所以第一个命题：如果来自个角相等，那么它们是对顶角是错误的．
生丙：第二个命题中的a取6，b取3，c取2，这样可知：a与c是不相等的.所以第二个命题是不正确的．