专题3.6+带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(1)-届高考物理一轮复习之热点题型+Word版含解析.doc
2025高考物理 带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题
2025高考物理 带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题一、多选题1．如图所示，直角三角形ABC 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AC 边长为l ，∠B ＝o 30，一群比荷为q m的带正电粒子以相同速度在CD 范围内垂直AC 边射入，从D 点射入的粒子恰好不从AB 边射出。
已知从BC 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，粒子在磁场中运动的最长时间为53t ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则（ ）A ．磁感应强度大小为m qtπ BC D ．粒子在磁场中扫过的面积为()2349l π2．如图所示，长方形abcd 长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B =0.25T 。
一群不计重力、质量m =3×10－7kg 、电荷量q =+2×10－3C 的带电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域（ ）A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在be 边D ．从aO 边射入的粒子，出射点分布在ab 边和be 边3．如图所示，竖直平面内两条虚线是匀强磁场的上下边界，宽度0.2m d =，磁场的磁感应强度0.1T B =，在磁场下边界P 点有粒子源，可以向磁场各个方向发射速度30 1.010m /sv =⨯带正电的粒子，粒子比荷42.510C /kg q m=⨯，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）A ．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为0.4mB ．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为0.5mC ．粒子在磁场中运动的最长时间是4810s 3π-⨯ D ．粒子在磁场中运动的最长时间是4110s 3π-⨯二、单选题4．如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN ，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为53θ=︒，ab 间的距离为10cm d =。
高考物理复习微专题3带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖P
情况按反方向偏转再分析一下即可。
在详细问题中,这五个参量普通都是已知两个,剩下其它参量不
确定(但知道改变范围)或待定,按已知参量可将问题分为以下10
类 (C52 ) ,并可归并为6大类型。
2/52
-3-
类型
类型一
类型二
类型三
类型四
类型五
感应强度为B。一质量为m、带电荷量为q带正电粒子从O点以沿y
轴负方向速度v运动。
(1)粒子离开O点后,求第三次经过磁场边界时位置坐标;
(2)求粒子在磁场中运动总时间。
答案:(1)
3
,
2 6
8π
(2) 3
10/52
-11-
解析:(1)粒子在磁场中做圆周运动,粒子运动轨迹如图所示,由
类型六
已知参量
①⑩
②⑧
③
⑦
⑤⑨
④⑥
入射点、入射方向;出射点、出射方向
入射点、速度大小;出射点、速度大小
入射点、出射点
入射方向、出射方向
入射方向、速度大小;出射方向、速度大小
入射点、出射方向;出射点,入射方向
3/52
-4-
全部这些问题,其通用解法是:第一步,找准轨迹圆圆心可能位置;
第二步,按一定次序尽可能多地作不一样圆心对应轨迹圆(普通最
<v<
5
4
6/52
-7-
分析:粒子初速度方向已知,故不一样速度大小粒子轨迹圆圆心
均在垂直初速度直线上(如图甲),在该直线上取不一样点为圆心,半
径由小取到大,作出一系列圆(如图乙),其中轨迹圆①和②为临界轨
迹圆。轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②粒子,均可射出磁场
专题3.6+带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(2)-届高考物理一轮复习之热点题型+Word版含解析.doc
专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（2）高考+模拟综合提升训练1.(2018江苏高考15)如图所示,真空中四个相同的矩形匀强磁场区域,高为4d,宽为d,中间两个磁场区域间隔为2d,中轴线与磁场区域两侧相交于O 、O'点,各区域磁感应强度大小相等。
某粒子质量为m 、电荷量为+q,从O 沿轴线射入磁场。
当入射速度为v 0时,粒子从O 上方2d处射出磁场。
取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。
(1)求磁感应强度大小B 。
(2)入射速度为5v 0时,求粒子从O 运动到O'的时间t 。
(3)入射速度仍为5v 0,通过沿轴线OO'平移中间两个磁场(磁场不重叠),可使粒子从O 运动到O'的时间增加Δt,求Δt 的最大值。
【答案】:(1)04mv qd(2)0(53π+72)180d v (3)05dv【解析】(1)粒子圆周运动的半径00mv r qB=由题意知r 0=4d ,解得04mv B qd =(2)设粒子在矩形磁场中的偏转角为α,半径为r, 由r=mvqB 得r=5r 0=54d 由d=rsin α,得sin α=45,即α=53° 在一个矩形磁场中的运动时间12π360mt qBα=⨯︒,解得t 1=053π720d v直线运动的时间t 2=2d v,解得t 2=025d v则120(53π+72)4180d t t t v =+=(3)将中间两磁场分别向中央移动距离x, 粒子向上的偏移量y=2r(1-cos α)+xtan α 由y≤2d,解得x≤34d 则当x m =34d 时,Δt 有最大值2.（2017新课标Ⅱ 18）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为1v ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为2v ，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则21:v v 为2D.3【答案】C【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远，则当粒子射入的速度为1v ，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为11cos602r R R ==；同理，若粒子射入的速度为2v ，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为23cos30r R ==；根据mv r v qB=∝，则2121:=:v v r r ，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。
高中三维设计一轮复习物理通用版：第九单元 提能增分练(二) 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题
第九单元 提能增分练（二） 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题[A 级——夺高分]1．(2016·四川高考)如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场。
一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入磁场区域，当速度大小为v b 时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b ，当速度大小为v c 时，从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c ，不计粒子重力。
则( )A ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1B ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2C ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1D ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2解析：选A 如图所示，设正六边形的边长为l ，当带电粒子的速度大小为v b 时，其圆心在a 点，轨道半径r 1＝l ，转过的圆心角θ1＝23π，当带电粒子的速度大小为v c 时，其圆心在O 点(即fa 、cb 延长线的交点)，故轨道半径r 2＝2l ，转过的圆心角θ2＝π3，根据q v B ＝m v 2r ，得v ＝qBr m ，故v b v c＝r 1r 2＝12。
由于T ＝2πr v 得T ＝2πm qB ，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t ＝θ2πT ，所以t b t c ＝θ1θ2＝21。
故选项A 正确，选项B 、C 、D 错误。
2.如图所示，在x >0、y >0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B ，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由x 轴上的P 点以不同的初速度平行于y 轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则( )A ．初速度最大的粒子是沿①方向射出的粒子B ．初速度最大的粒子是沿②方向射出的粒子C ．在磁场中运动时间最长的是沿③方向射出的粒子D ．在磁场中运动时间最短的是沿④方向射出的粒子解析：选A 由R ＝m v qB 可知，速度越大半径越大，选项A 正确，B 错误；由于粒子质量、电荷量相同，由周期公式T ＝2πm qB 可知，粒子周期相同，运动时间取决于圆弧对应的圆心角，所以在磁场中运动时间最长的是沿④方向射出的粒子，选项C 、D 错误。
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题(解析版)
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．1．临界条件的挖掘(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。
(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。
2．不同边界磁场中临界条件的分析(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。
(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。
粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。
3. 审题技巧许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．【典例1】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。
一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场 【答案】 AC 【解析】 如图所示，【典例2】放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积． 【答案】 (1)mv Bq (2)⎝⎛⎭⎫π2＋1m 2v 2q 2B2【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R ，即R ＝mvBq【跟踪短训】1. 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图8－2－24所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．A ．若r <2mv qB ，则0°<θ<90° B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qBD ．若r ＝2mv qB ，则t ＝πmqB【答案】 AD【解析】 带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB .当r ≥2mvqB 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r <2mvqB 时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ>90°，所以过x 轴时0°<θ<90°，A 对、B 错；同理，若t ＝πmqB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t 等于πm qB，C 错、D 对． 2. 如图所示，磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。
高考物理一轮复习 第8章 磁场 能力课时10 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值课件
【例 1】 如图 1 所示，边界 OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里 的匀强磁场，边界 OA 上有一粒子源 S。某一时刻，从 S 平行于 纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力 及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段 时间有大量粒子从边界 OC 射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边 界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T6(T 为粒子在磁 场中运动的周期)，则从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最 长时间为( )
答案 B
【拓展延伸】
在【例 1】中，若粒子的比荷为mq ，OS＝L，粒子的速率为 v，
试分析没有粒子从边界 OC 射出磁场的磁感应强度 B 应满足的
条件。
解析 粒子刚好不从 OC 边界射出的最大直径为 S 到 OC 的垂线 SD，由几何关系得 Rmax＝12Lsin 60°＝ 43L，由 qvB＝mRv2得 Bmin
＝qRmmvax＝4 33qmL v，故没有粒子从边界 OC 射出磁场的磁感应强度
B
应满足的条件为
B≥4
3mv 3qL
答案
B≥4
3mv 3qL
【变式训练】 1.[临界问题](多选)(2015·四川理综，7)如图2所示，S处有一电子
源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸 面内的长度L＝9.1 cm，中点O与S间的距离d＝4.55 cm，MN与 SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂 直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4 T.电子质 量m＝9.1×10－31 kg，电量e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力。 电子源发射速度v＝1.6×106 m/s的一个电子，该电子打在板上 可能位置的区域的长度为l，则( )
人教版高二物理选修3-1 3.6带电粒子在匀强磁场中的运动--带电粒子在有界磁场中的临界极值问题 (共21张PPT)
正方形边界 创新设计
【典例 3】(多选)如图示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内,O 点是 cd 边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力作用下,从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 后刚好从 c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30°角的 方向,以大小不同的速率射入正方形内,下列说法中正确的是( ) A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5t0/3,则它一定从 cd 边射出磁场 B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 2t0/3,则它一定从 ad 边射出磁场 C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5t0/4,则它一定从 bc 边射出磁场 D 若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0,则它一定从 ab 边射出磁场
v
O1
+q
v
粒子擦着上板从左边穿出时，圆
O2
心在O1点，有
r1
L 4
v2
r2
v
r2
qvBm r
O1
v1
qB1 m
rqBLv 4m
qBL 4m
+q
v
粒子擦着上板从右边穿出时，圆心在O2点，有
r22L2(rL 2)2
5L r2 4
v2
qB2r5qBL m 4m
5qBL v 4m
粒子不打在极板上可能从左端穿出，也可能从右端穿出，必须全面分析问题．
8-3 带电粒子在有界磁场中的临界极值问题 多 维 探 究
例1．在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为
ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直
射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从
磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：
2023届高考物理一轮复习讲义：带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
磁场复习资料之7（共10个）七、带电粒子在磁场中运动的临界极值问题由于边界条件的限制，使带电粒子的运动出现临界问题。
如图中轨迹①是粒子能否从ab 边射出的临界条件；轨迹②是粒子能否从ab 边或cd 边射出的临界条件。
关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点。
例1.如图所示，太极图由“阴鱼”和“阳鱼”构成，其边界是以O 为圆心R 为半径的圆，内部由以O 1和O 2为圆心等半径的两个半圆分割成上下两部分，其中上部分为“阳鱼”，下部分为“阴鱼”，“阳鱼”中有垂直纸面向外的匀强磁场。
Q 为太极图边缘上一点，且O 1、O 2、O 、Q 四点共线。
一电量为＋q ，质量为m 的带电粒子，在Q 点以大小v 的速度指向圆心O 射入“阳鱼”区域，若带电粒子在“太极图”运动过程中没有进入“阴鱼”区域，带电粒子重力不计。
则磁感应强度的最小值为( )A.m v RqB.m v 2RqC.m v 3RqD.m v 4Rq例2.(多选)如图所示，直角三角形边界ABC 内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，AC 长为2L ，AB 长为L 。
从AC 的中点D 连续发射不同速率的相同粒子，方向与AC 垂直，粒子带正电，电荷量为q ，质量为m ，不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列判断正确的是( )A ．以不同速率入射的粒子在磁场中运动的时间一定不等B ．BC 边上有粒子出射的区域长度不超过33L C ．AB 边上有粒子出射的区域长度为(3－1)LD ．从AB 边出射的粒子在磁场中的运动时间最短为πm 6qB例题参考答案： ①粒子刚好穿出磁场边界的条件是运动轨迹与边界相切。
②当速度v 一定时，弧长越长、圆心角越大，粒子在有界磁场中运动的时间越长。
③当速度变化时，圆心角越大，对应的运动时间越长。
④解题方法：动态思维，找临界轨迹，确定临界点。
（如例1）例1.选B解析：由缩放圆知，若使带电粒子没进入“阴鱼”区域，则带电粒子在磁场中运动轨迹如图，轨迹与圆O 1相切时粒子达到最大半径，此时磁感应强度最小，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r ，由几何关系可得解得r ＝2R ，由牛顿第二定律可得qvB ＝m v 2r ，联立解得B ＝mv 2Rq ，故选B 。
高考物理一轮复习课件：第九单元 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题
[例 3] 如图，A、C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上，∠OCA＝30°，OA 的长度为 L。在△OCA 区域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方 向从 OA 边射入磁场。已知粒子从某点入射时，恰好垂直于 OC 边 射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。
运动，所以速度将增加，而负粒子在匀强磁场中做匀速圆周
运动，速度大小不变，且两种粒子的比荷虽然相等，但质量
大小情况不明，所以两种粒子离开矩形区域时动能不相等，
所以选项 D 错误。
[答案] C
[名师指津] 本题的难点和关键是理清带电粒子分别在匀强电场和匀 强磁场中运动的特点，选择相应的运动规律进行解题。
此时有∠OO′D＝∠BO′A＝30°
⑦
r0cos∠OO′D＋cos ∠rB0 O′A＝L
⑧
设粒子此次入射速度的大小为 v0，由圆周运动规律 v0＝2πTr0 ⑨
联立①⑦⑧⑨式得 v0＝ 73tπ0L。
⑩
[答案]
πm (1)2qt0
(2)2t0
3πL (3) 7t0
[名师指津] 第(2)问是本题的难点，关键是正确画出粒子两次不同的 轨迹且找出二者轨迹对应的圆心角的关系。
[跟进训练]
3．[多选] 如图所示，成 30°角的直线 OA、OB
间(含 OA、OB 线上)有一垂直纸面向里的匀强
磁场，OA 边界上的 S 点有一电子源，在纸面
内向各个方向均匀发射速率相同的电子，电子
在磁场中运动的半径为 r、周期为 T。已知从
OB 边界射出的电子在磁场中运动的最短时间
2019届一轮复习人教版 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 课件(27张)
课堂互动
3．四个结论 (1) 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运 动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电 粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题 时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹 的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆 心角等。 (4) 在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域 圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个 端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直 径最长)。
题组剖析
【典例】 （2016· 全国卷Ⅲ，18）平面OM 和平面 ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示， 平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B， 方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电 荷量为q（q>0）。粒子沿纸面以大小为v的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。 已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交 点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子 离开磁场的出射点到两平 面交线 ） mv O的距离为（ 3mv 2mv 4mv
题组剖析
v 2πa A. Ba 3v
v 2πa B. 2Ba 3v v 4πa D. Ba 3v
v 4πa C. 2Ba 3v
转到解析
题组剖析
4、如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在 两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁 场，磁感应强度为B。圆心O处有一放射源，放出
粒子的质量为m、带电荷量为q，假设粒子速度方向
转到解析
带电粒子在匀强磁场中的运动
题组剖析
＝
拓展 2 (2015· 全国卷 Ⅰ ， 14) 两相邻匀强磁场区域的 磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感 应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场 区域进入到较弱磁场区域后，粒子的( ) A．轨道半径减小，角速度增大 B．轨道半径减小，角速度减小 解析由于速度方向与磁场方向垂直，粒子受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，即qvB C．轨道半径增大，角速度增大 2 D ．轨道半径增大，角速度减小 mv mv
2025版高考物理全程一轮复习第十一章专题强化九带电粒子在磁场中运动的临界极值及多解问题课件
两种方法
从关键词
找突破口
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一
般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊
解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条
件求出临界值
物理 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)
方法 利用矢量图求极值
数学 (1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；
利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置(EAST)，发现并证
明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行
具有重要意义．其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个
区域内．如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，被束缚的带电
粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v.
答案：BC
例 5 如图所示的等腰梯形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未
画出)，磁感应强度大小为B，等腰梯形中∠P＝45°，PQ＝2MN＝4L，
一带电粒子束由M点沿垂直PM方向射入匀强磁场，带电粒子刚好不
从PQ边界射出磁场，已知粒子的比荷为k，粒子的重力忽略不计．则
下列说法正确的是(
)
A．粒子的轨道半径可能为(2＋ 2)L
＝2L，bc＝de＝L，一束 42He粒子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，
这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．已知粒子的质量
为m、电荷量为q.则粒子在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率
为(
)
3qBL
5qBl
A．
B．
4m
5qBL
C．
8m
答案：B
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专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（1）该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。
1. 从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。
2. 常用方法①对称法：如果磁场边界是直线，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。
②旋转平移法：当带电粒子进入磁场时的速率相同而方向不同时，粒子运动轨迹的圆周半径是相同的，所以可将圆周以入射点为转轴进行旋转或平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转平移法”。
③放缩法：粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速率的变化而变化，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。
【典例1】(2016·全国卷Ⅲ) 平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。
粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )A.mv2qBB.3mv qBC.2mv qBD.4mv qB【答案】 D【解析】 如图所示，粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ＝mv qB。
设入射点为A ，出射点为B ，圆弧与ON 的交点为P 。
由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB ＝R 。
由几何图形知，AP ＝3R ，则AO ＝3AP ＝3R ，所以OB ＝4R ＝4mvqB。
故选项D 正确。
【典例2】如图所示，成30°角的直线OA 、OB 间(含OA 、OB 线上)有一垂直纸面向里的匀强磁场，OA 边界上的S 点有一电子源，在纸面内向各个方向均匀发射速率相同的电子，电子在磁场中运动的半径为r 、周期为T 。
已知从OB 边界射出的电子在磁场中运动的最短时间为T6，则下列说法正确的是( )A ．沿某一方向发射的电子，可能从O 点射出B ．沿某一方向发射的电子，可能沿垂直于OB 的方向射出C ．从OA 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T 3D ．从OB 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T4【答案】BC【解析】当出射点D 与S 点的连线垂直于OB 时，弦SD 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，t ＝θ360°T ＝T6，则θ＝60°，如图1所示：【典例3】如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m ＝5.0×10－8kg 、电量为q ＝1.0×10－6C 的带电粒子，从静止开始经U 0＝10 V 的电压加速后，从P 点沿图示方向进入磁场，已知OP ＝30 cm ，(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：(1)带电粒子到达P 点时速度v 的大小；(2)若磁感应强度B ＝2.0 T ，粒子从x 轴上的Q 点离开磁场，求OQ 的距离； (3)若粒子不能进入x 轴上方，求磁感应强度B ′满足的条件。
【答案】 (1)20 m/s (2)0.90 m (3)B ′>5.33 T(取“≥”也可) 【解析】 (1)对带电粒子的加速过程， 由动能定理qU 0＝12mv 2代入数据得：v ＝20 m/s 。
(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有：qvB ＝mv 2R 得R ＝mv qB代入数据得：R ＝0.50 m 而OPcos 53°＝0.50 m 故粒子的轨迹圆心一定在x 轴上，粒子到达Q 点时速度方向垂直于x 轴，轨迹如图甲所示。
由几何关系可知：OQ ＝R ＋R sin 53°故OQ ＝0.90 m 。
(3)带电粒子不从x 轴射出(如图乙)，由几何关系得：OP >R ′＋R ′cos 53° R ′＝mv qB ′由以上两式并代入数据得：B ′>163T≈5.33 T(取“≥”也可)。
【典例4】(2018福州模拟)如图所示，有一矩形区域abcd ，水平边长为s ＝ 3 m ，竖直边长为h ＝1 m ，当该区域只存在大小为E ＝10 N/C 、方向竖直向下的匀强电场时，一比荷为q m＝0.1 C/kg 的正粒子由a 点沿ab 方向以速率v 0进入该区域，粒子运动轨迹恰好通过该区域的几何中心。
当该区域只存在匀强磁场时，另一个比荷也为q m＝0.1 C/kg 的负粒子由c 点沿cd 方向以同样的速率v 0进入该区域，粒子运动轨迹也恰好通过该区域的几何中心。
不计粒子的重力，则( )A ．正、负粒子离开矩形区域时的速率均为32m/s B ．磁感应强度大小为32T ，方向垂直纸面向外 C ．正、负粒子各自通过矩形区域所用时间之比为6πD ．正、负粒子各自离开矩形区域时的动能相等 【答案】C边射出时：h ＝12×Eq m ×t ′2，代入数据得t ′＝ 2 s ，由上述分析，负粒子在磁场中偏转90°后从ab 边射出，时间t ″＝14T ＝14×2πm Bq ＝π3 s ，所以两者的时间之比t ′t ″＝6π，所以选项C 正确；由于正粒子在电场中是做匀加速曲线运动，所以速度将增加，而负粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速度大小不变，且两种粒子的比荷虽然相等，但质量大小情况不明，所以两种粒子离开矩形区域时动能不相等，所以选项D 错误。
【典例5】(2016·全国卷Ⅱ)一圆筒处于磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。
图中直径MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。
在该截面内，一带电粒子从小孔M 射入筒内，射入时的运动方向与MN 成30°角。
当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N 飞出圆筒。
不计重力。
若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )A.ω3B B.ω2B C.ωBD.2ωB【答案】 A【解析】 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧MP 所对应的圆心角由几何知识知为30°，则π2ω＝2πm qB ·30°360°，即qm ＝ω3B，选项A 正确。
【跟踪训练】1.如图所示，在x >0、y >0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B ，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由x 轴上的P 点以不同的初速度平行于y 轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则( )A ．初速度最大的粒子是沿①方向射出的粒子B ．初速度最大的粒子是沿②方向射出的粒子C ．在磁场中运动时间最长的是沿③方向射出的粒子D．在磁场中运动时间最短的是沿④方向射出的粒子【答案】A2．如图所示，在一挡板的上方，有磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。
为上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为、质量为、带电量为的粒子，假设不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收。
则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知粒子在磁场中的运动半径，所有粒子在磁场中半径相同，由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动。
如图所示，由几何图形可知，带电粒子可能经过的区域的面积为：，故选C.3. 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。
一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场【答案】AC 【解析】如图所示，4. 如图所示，在平面直角坐标系中有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场(未画出)，其边界过原点O 和y 轴上的点a (0，L )。
一质量为m 、电荷量为e 的电子从a 点以初速度v 0平行于x 轴正方向射入磁场，并从x 轴上的b 点射出磁场，此时速度的方向与x 轴正方向的夹角为60°，下列说法正确的是( )A ．电子在磁场中运动的时间为πLv 0B ．电子在磁场中运动的时间为2πL3v 0C ．磁场区域的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32L ，L 2D ．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－2L ) 【答案】BC【解析】 设电子的轨迹半径为R ，电子运动轨迹如图所示，由几何知识，R cos 60°＝R －L ，得R ＝2L ，电子在磁场中运动时间t ＝T 6，而T ＝2πR v 0，得：t ＝2πL3v 0，A 错误，B 正确；设磁场区域的圆心坐标为(x ，y )，其中x ＝12R sin 60°＝32L ，y ＝L2，所以磁场圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32L ，L 2，故C 正确；由R ＝2L ，且入射点坐标为(0，L )，所以电子的圆周运动的圆心坐标为(0，－L )，故D 错误。
5．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60°。
一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场。
已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求：(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹；(2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨迹半径R 1和R 2的比值； (3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)。