人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形知识点总结
人教版初中数学第二十七章相似知识点
第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？ 解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。
初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形
初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形知识点对朋友们的学习非常重要，大家一定要认真掌握，查字典数学网为大家整理了初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形，让我们一起学习，一起进步吧!知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。
九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结
九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。
（3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
初中数学人教九年级下册第二十七章相似-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
A
又∵∠B=∠ACD，
D
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ AC BC 4，∴ A D 2 5 . B
C
AD AC 5
4
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 A D 3 ，求 DE 的长. AB 4
提示：解题时要找准对应边
. 解：∵ AE=1.5，AC=2，
A
∴ AE 3 AD . AC 4 AB
又∵∠EAD=∠CAB，
E B
D C
∴ △ADE ∽△ABC，
∴ DE AD 3，∴ DE 3 BC 9 .
.
∠B=
∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定相似，如下图： A′
A
2
3
4
30°
C
B
C′
6
30°
B′
结论 ：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相 似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
BC AB 4
44
当堂练习
3. 如图 △AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相似 ”) .
B
45
1 E 36 F
A
54
2 30
C
课堂小结
利用两边及夹角判定三角形相似 两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
当堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似
人教版数学九年级下册27用角的关系判定三角形相似课件(56张)
事实上，这两个直角三角形相似.下面我们给出证明. 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C＝90°， ∠C′＝90°， AB AC ,
AB AC
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ .
分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ，可设法证
巩固新知
1 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等
腰三角形呢？证明你的结论.
解：底角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC中，AB＝AC， 在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，且∠B＝∠B′. 求证： △ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 同理∠B′＝∠C′.又∵∠B＝∠B′，∴∠C＝∠C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 顶角相等的两个等腰三角形相似．已知：在 △ABC中，AB＝AC，在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，且∠A＝∠A′.求 证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝ ∠C，同理∠B′＝∠C′.又∵∠B＝ 180－ A ，∠B′＝ 180－ A ， ∠A＝∠A′，∴∠B＝∠B′.又∵∠A＝∠2 A′，∴△ABC∽△2A′B′C′.
解：由题意，得∠D＝∠C＝90°.
①当 A D D P 时，△ADP∽△PCQ， PC CQ 1
等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应
D∠C．′＝∵A9B0°＝，10，AC＝83，k∴由和勾股4定k理(k可是得BC正＝6整. 数)为直角边的直角三角形一定与
直角三角形相似的判定定理：
Rt△ABC相似吗？为什么？ ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
又∵∠B＝∠B′，∴∠C＝∠C′.
数学下册第二十七章相似.2相似三角形.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学课件(新版
A1
A2 A3
B1 a
B2 b B3 c
想一想：
1. 如何理解“对应线段〞？
2.“对应线段〞成比例都有哪些表达形式？
练一练
D
如图，AlC1∥l2B∥D l3，以下A比C 例 式BD中错误的选项是 ( ) A. CE DF B. AE BF
C. C E D F AE BF
D. AE BD BF AC
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
A
D
E
B
C
想一想：
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要
证明什么？
由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？
A
D
E
B
C
由前面的结论可得 A D A E ，需要证明的是
AB AC
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
D
E
A
B
C
B
“A 〞型
C “X 〞型
练一练
1. ：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对3相似
三角形.
相似具有传递性
A
B
2. 假设 △ABC 与 △A′B′C′ 相似， E 一组对应边的长为AB =3 cm， C A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比是_4_︰__3_.
AD AE DE ，而除 DE 外，其他的线段都在 AB AC BC
△ABC 的边上，要想利用前面学
到的结论来证明三角形相似， 需要怎样做呢？
A
D
E
可以将 DE 平移到
BC 边上去
人教版九年级下册数学精品教学课件 第二十七章 相似 第1课时 平行线分线段成比例
A
B l1
C
D l2
E
F
l3
平行线分线段成比例的推论
观察与思考
如图，直线 l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例的 基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成
比例？
A1
B1
a
A2
B2 b
A3
B3 c
m
n
A1( )
练一练
如图，DE∥BC， AE 2，则 AD
AC 5 2 AB
若 FG∥BC，AG 2，则 AF
CG
AB
3.
2 5；
ED
A
F
G
B
C
典例精析
例 如图，在△ABC中，EF∥BC.
(1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE = BE = 7，
FC = 4，那么 AF 的长是多少？
A
A′
B
C B′
C′
合作探究
平行线分线段成比例的基本事实
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2
都相交的平行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两
条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的
长度. (1) 计算 AB 与 DE 的值，它们
BC EF
则 AB DE ， BC EF ，
BC EF AB DE
AB DE ， BC EF ，….
AC DF AC DF
l1 A B
C
l2 D l3
E l4
F l5
练一练
如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( D )
第二十七章相似知识点总结及经验
相似一、相似知识点：1、相似的判定：①相似多边形的判定；②相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′；2、平行线分线段成比例定理3、相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′的5种方式4、相似三角形的周长与面积：①周长（及对应的高）相似比等于K；②面积相似比等于K25、位似：①位似图形的判定②利用位似，将一个图形放大或缩小③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K或－K二、相似图形的特征：1、相似比例的多项式动算（主要是分式）：2、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：一、相似知识点：1、相似的判定，如图：①相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等； ②相似三角形的判定：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果：∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''C A AC ＝k ， （AB ＝k .A ′B ′，BC ＝k .B ′C ′，AC ＝k .A ′C ′） 则： △ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为k1。
2、平行线分线段成比例定理，如图：（ 3l ，4l ，5l 的距离决定k 的大小）①平行线分线段成比例定理：如右图3l ∥4l ∥5l ，则：EFDE BC AB =＝k1，k DF DE AC AB ==2，k DF EF AC BC ==3，②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段的比相等，如右图：k ACAE AB AD ==3、相似三角形的判定：（只要是相似三角形，就可以按对应角的安装在一起)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如图：△ADE ∽△ABC②类似SSS ：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果''B A AB ＝''C B BC ＝''C A AC ＝k ， 那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ； ③类似SAS ：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果''B A AB ＝''C A AC ＝k ，∠A ＝∠A ′， 那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ； ④AA 方式：如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似；在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′；例a ：两个等腰三角形的任一个角相等（无论底角或顶角），那么这两个三角形相似；例b ：Rt △ABC 斜边上的高将三角形分成三个三角形，都相似；例c ：一次函数y=k.x ，（k 为定值），由x ，y ，斜边组成的三角形，无论x 为何值，所有的三角形都相似；⑤类似HL ：斜边的比等于一组直角边的比的直角三角形相似；（不当成定理）。
人教版九年级下册数学精品教学课件 第二十七章 相似 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
三角形相似．
A
2
D
B
2
C
练一练 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，
依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： 是 ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： 是 ； (3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： 是 .
BC = 12 2 .
AD
B
C
5. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：
△ADE∽△EFC.
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
A
∴∠AED =∠C， ∠A =∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
D
E
B
F
C
6. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．
求证：AF EF .
BF FD
O
PA
PC B
PD PB
练一练 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA = 3， PB = 8，PC = 4，则 PD = 6 .
C A
B
P
O
D
判定两个直角三角形相似
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC =
8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D．求
证明： ∵ △ABC 的高 AD、BE 交于点 F，
∴ ∠FEA =∠FDB = 90°，
A
∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴ B
FE
AF EF . BF FD DC
九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳(带答案)
九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳单选题1、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD∴ABBE =ACCD,即1.21.5=14CD,解得CD=17.5m．故答案为A．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．2、如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．ABAD ＝DEBCD．ABAD＝ACAE答案：C分析：△ADE≌△ABC根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；C．若添加ABAD =DEBC，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；D．若添加ABAD =ACAE，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、如图，将ΔABC沿BC边上的中线AD平移到ΔA′B′C′的位置．已知ΔABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．4、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC =12；②SΔDOESΔCOB=12；③ADAB=OEOB；④SΔODESΔADC =13，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：由BE、CD是△ABC的中线，可得DE=12BC,即DEBC=12，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝△BOC中BC上的高的3倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=1 4S△COB,S△ADE=34S△BOC，从而可判断④．解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC,即DEBC=12，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故②错误；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵△DOE∽△COB，∴OEOB =DEBC，∴ADAB =OEOB，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝3△BOC中BC上的高，且△ABC与△BOC同底（BC），∴S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=14S△COB，ADAB=DEBC=12，∴S△DAES△BAC =(ADAB)2=(12)2=14，∴S△ADE=34S△BOC，∴S△ODES△ADE =13，∵E是AC的中点，∴S△ADC=2S△ADE∴SΔODESΔADC =16．故④错误．综上，①③正确．故选B．小提示：本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．6、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．7、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．8、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm的线段实际长为500cm，故选B．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．ABAE =AGADB．DFCF=DGADC．FGAC=EGBDD．AEBE=CFDF答案：D分析：根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．解：∵GE∥BD，∴AEBE =AGDG，△AEG∽△ABD，∴ABAE =ADAG，故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF =DGAG，△DGF∽△DAC，故选项B错误；∵DFCF =DGAG∴AGDG =CFDF∴AEBE =CFDF故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC =DGDA，EGBD=AGAD故选项C错误；故选：D．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．10、如图，在△ABC中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足APAC =AQAB．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．淇淇说：△AQP∽△ABC．对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（）A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确C．两人都正确D．两人都错误答案：B分析：根据APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB可以判定△AQP∽△ABC，APAB与AQAC不一定相等，不能判定PQ//BC．解：∵APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB，∴△AQP∽△ABC，即淇淇的结论正确；∴∠AQP=∠ABC，∠APQ=∠ACB，∵不能得出∠AQP=∠ACB或∠APQ=∠ABC，∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．故选B．小提示：本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．填空题11、已知a2=b3=c5，则a+bc的值为_____．答案：1分析：由比例的性质，设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，然后代入计算，即可得到答案．解：根据题意，设a2=b3=c5=k，∴a=2k，b=3k，c=5k，∴a+bc =2k+3k5k=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．12、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．13、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是_______．答案：6：5分析：作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．作FN∥AD，交AB与N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴AGGF =AEFM=3a52a=65．故答案为6∶5．小提示：本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．14、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB的长为_________．答案：2√3．分析：过O 作OE ⊥AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =2√33，在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =4√33，可证△OAC ∽△DAO ，由相似三角形性质可求AC =√3即可．解：过O 作OE ⊥AB 于C ，∵AB 为弦，∴AC =BC =12AB ，∵直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点， ∴当y =0时，√33x +2√33=0，解得x =-2， ∴OA =2，∴当x =0时，y =2√33， ∴OD =2√33， 在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =√AO 2+OD 2=√22+(2√33)2=4√33， ∵∠ACO =∠AOD =90°，∠CAO =∠OAD ，∴△OAC ∽△DAO ，AC AO =AO AD 即AC =AO 2AD =4√33=√3， ∴AB =2AC =2√3，故答案为2√3．小提示：本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．解答题16、问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =2√3，∠ABD =30°，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF ⊥AB 交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AE DF =_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则△ADE 的面积为______．答案：（1）√32，30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：13√3+√398或13√3−√398 分析：（1）通过证明ΔFBD ∽ΔEBA ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解； （2）通过证明ΔABE ∽ΔDBF ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．解：（1）如图1，∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD=BEBF =ABDB=√32，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF=∠ABE=90°，∴ΔFBD∽ΔEBA，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOB=∠AOF，∴∠DBA=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，所以答案是：√32，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE=∠DBF，又∵BEBF =ABDB=√32，∴ΔABE∽ΔDBF，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOH=∠AOB，∴∠ABD=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB=2√3，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，∠DAB=90°，∴BE=√3，AD=2，DB=4，∵∠EBF=30°，EF⊥BE，∴EF=1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB=∠BEF=90°，∴DE=√BD2−BE2=√16−3=√13，∵∠DEA=30°，∴DG=12DE=√132，由（2）可得：AEDF =BEBF=√32，√13+1=√32，∴AE=√39+√32，∴ΔADE的面积=12×AE×DG=12×√39+√32×√132=13√3+√398；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：ΔADE 的面积=12×AE ×DG =12×√39−√32×√132=13√3−√398； 所以答案是：13√3+√398或13√3−√398． 小提示：本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17、已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO 绕原点O 顺时针旋转90°得△OA 1B 1；(2)以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A 、B 的对应点A 1、B 1，然后顺次连接O 、A 1、B 1即可；（2）先找到A 1、B 1的对应点A 2、B 2，然后顺次连接O 、A 2、B 2即可；．（1）解：如图所示，△OA 1B 1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．18、已知AB是圆O直径，点C为圆上一点，OD⊥BC于D，过C作切线，交OD延长线于E．（1）求证：BE为圆O切线；（2）连接AD并延长交BE于F，若C为弧AB中点，OB=10，求BF．答案：（1）见详解；（2）203分析：（1）连接OC，先证明△COE≌△BOE，可得∠OBE=∠OCE=90°，即可求证；（2）过点D作DH⊥AB于点H，根据AB是圆O直径，OB=10，可得∠ACB=90°，AB=2OB=20，又由C为弧AB中OB=5，再证明△ADH～点，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而△DOB是等腰直角三角形，从而DH=OH=12△AFB，利用相似三角形的性质，即可求解．（1）证明：如图1，连接OC，∵CE是圆O切线，∴∠OCE=90°，∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，∵OE=OE，∴△COE≌△BOE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴BE为圆O切线；（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，∵AB是圆O直径，OB=10，∴∠ACB=90°，AB=2OB=20，∵C为弧AB中点，∴AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵OD⊥BC，∴△DOB是等腰直角三角形，∵DH⊥AB，∴DH=OH=12OB=5，∴AH=AO+OH=15，∵BE⊥AB，∴DH∥BF，∴△ADH～△AFB，∴AHAB =DHBF，即1520=5BF，解得：BF=203．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明△COE≌△BOE，△ADH～△AFB是解题的关键．。
人教版初三数学第27章《相似》总结与习题
初中数学九年级知识点总结：27相似一、知识框架二、知识点、概念总结 1. 相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a （或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。
（对应边成比例，对应角相等）○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；○4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；○4.直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
5. 一定相似的三角形（1）两个全等的三角形一定相似。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形是指具有完全相同形状但大小不同的三角形。
其主要知识点总结如下：
1. 相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2. 相似三角形的判定：若两个三角形的对应边成比例，则它们是相似的。
3. 相似三角形的性质：
- 对应角相等：对应的角度是相等的。
- 对应边成比例：对应边的长度之比是相等的。
- 对应的高线成比例：对应的高线的长度之比是相等的。
- 对应的面积成比例：对应的面积的大小之比是相等的。
4. 相似三角形的性质推理：
- 两个三角形中，如果两边成比例，则其对应的夹角也相等。
- 两个三角形中，如果两角相等，则其对应的边成比例。
- 如果两个三角形中，对应的角度和边成比例，则这两个三
角形是相似的。
5. 相似三角形的应用：
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的边或角度之比。
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的面积之比。
- 利用相似三角形的性质可以进行图形的放大或缩小。
这些是九年级相似三角形的主要知识点总结，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用相似三角形的相关概念和性质。
人教版初中九年级数学下册第二十七章《相似》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．如图，已知点D ，E 是AB 的三等分点，DF ，EG 将ABC 分成三部分，且////DF EG BC ，图中三部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 的值为（ ）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．1:3:5D ．2:3:4 2．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．1.5 3．如图，点D 、E 分别在CA 、BA 中的延长线上，若DE ∥BC ，AD =5，AC =10，DE =6，则BC的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．134．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3D ．4个5．如图，已知////AB CD EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）A ．103B ．203C ．52D ．152 6．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ） ①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:2D ．2:1 8．如图，已知在ABC 中，D 为BC 上一点，//EG BC ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，F ，G ，则下列比例式正确的是（ ）A ．AE EF BE BD = B ．EF AF DC AD = C ．AC FG CG DC = D ．AE FG AB DC= 9．已知a 3b 4=，则下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b = C ．4a=3b D ．43b a = 10．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD AB等于（ ）A ．2B ．22C ．512-D ．211．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．45-4B ．12-45C ．12+45D ．45+4 12．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA =1：9，则S △BDE ：S △CDE 的值是（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：5 13．下列相似图形不是位似图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 15．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折 叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG = 1.5 S △FGH ；④AG+DF=FG ；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）17．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．18．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．19．如图，在Rt ACB 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，N 是斜边AB 上方一点，连接BN ，点D 是BC 的中点，DM 垂直平分BN ，交AB 于点E ，连接DN ，交AB 于点F ，当ANF 为直角三角形时，线段AE 的长为________．20．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AE 为________．21．如图，EF 是ABC 纸片的中位线，将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处，已知AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为______．22．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）23．已知13x y =，则x y y-的值为______ 24．如图，ED 为△ABC 的中位线，点G 是AD 和CE 的交点，过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是________．25．如图，Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，O为BC上一点，⊙O分别与边AB、AC切于E、C，则⊙O半径是________．26．如图，点A在反比例函数kyx=（k≠0）的图像上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴与点C，若12ACBC=，△AOB的面积为12，则k的值为_______．三、解答题27．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；（2）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是；（3）△A2BC2的面积是平方单位．28．已知ABC ，延长BC 到D ，使CD BC =.取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AE AC的值； （2）若18AB =，FB EC =，求AC 的长． 29．如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ：AB ＝3：1，CE 垂直y 轴于点E ．（1）求证：CDE DAO ∽△△；（2）直接写出点B 和点C 的坐标．30．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，12DE CD =，连接BE 与AC ，AD ，FE 分别交于点O ，F ．（1）若DEF ∆的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．（2）求证2·OB OE OF =．。
九年级数学人教版下册第二十七章相似三角形应用举例课件
意一组对应边的长度； (3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括
未知量在内的四个量的比例式，解出未知量； (4)检验并得出答案．
3 【中考·济南】济南大明湖畔的“超然楼”被称为“江
北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行 了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°， 再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学 生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1 m，则该楼的
高度CD约为( B )
A．47 m B．51 m C．53 m D．54 m
A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭 台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共 线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝ 15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看 到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭
的高度AB约为( A )
DE BE
BC
新知小结
测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时， 常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与 影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图所示.
(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的 移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在 同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性．
利用标杆或直尺测量物体的高度也叫目测，在 日常生活中有着广泛的应用，必要时可以用自己的 身高和臂长等作为测量工具．
合作探究
例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和 CD = 12 m，两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计 自己眼睛距地面1. 6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水 平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小 于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
最新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》教材梳理
知识·巧学一、相似三角形1.定义：如果两个三角形对应边成比例，对应角相等，那么这两个三角形相似. 例如：在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，k A C CAC B BC B A AB =''=''='',则△ABC 与△A′B′C′相似. 2.记作△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k. 3.读作△ABC 相似于△A′B′C′.4.这里要把对应顶点写在对应的位置上.对应相等的角的顶点是对应点.以一对对应顶点为端点的边是对应边，也可以说对应角所对的边是对应边. 二、三角形一边的平行线性质1.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似.2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. (1)平行线截得的三角形与原三角形的形状相同.如图27.2-1，DE ∥BC ，直线DE 的位置有三种，总有△ABC ∽△ADE.图27.2-1(2)如图，DE 在AB 、AC(或它们的延长线)上截得的线段成比例, 即∵DE ∥BC,∴ECAEBD AD =. (3)用几何画板演示三角形一边的平行线构成的相似关系，操作步骤如下： ①新建几何画板文件；②选取“画点”工具画三个点；③选中这三个点，由菜单“作图”→“画直线”，可以画出经过这三点的直线，标上标签； ④选取“画点”工具，在直线AB 上作点D ，标上标签；⑤选中点D 和直线AB ，由菜单“作图”→“平行线”，可以画出经过点D 的AB 的平行线，选取平行线与直线AC 的交点，标上标签E ； ⑥隐藏直线AB 、BC 、CA 、DE ；⑦用“画线段”工具，分别作线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE(△ABC 的三边用粗线，AD 、AE 用虚线，DE 用细线表示)；⑧选中线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE ，由菜单“度量”→“长度”，量出△ABC 和△ADE 的边长(还可以计算各内角的度数)；⑨由菜单“度量”→“计算”，分别计算两个三角形对应边的比.拖动点D ，就能看到点D 在AB 上自由的移动，同时DE 也始终保持与BC 平行(内错角相等)，△ADE 各边的长度不断变化，但两个三角形对应边的比值不变(如图27.2-2).三、相似三角形的判定 1.根据定义判定.判定两个多边形相似的条件是对应边成比例，对应角相等，两条缺一不可.但是，三角形是最简单的多边形，有其特殊性，可以适当减少一些条件.2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(如图27.2-3).图27.2-3(1)这个比就是相似比.等边三角形都是相似三角形.(2)把两个三角形的三边先都按从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，最短边与最短边对应，最长边与最长边对应，来计算它们的比值 (作分子的都是同一个三角形的边，同样，作分母的都是另一个三角形的边)；只要三个比值都相等，就可断定这两个三角形相似了. 辨析比较 与全等三角形的判定定理SSS 相仿. 当k=1时，即三组边对应相等时，两三角形全等.4.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.图27.2-4(1)如图27.2-4，在△ABC 和△A′B′C′中，k A C CAB A AB =''=''，∠A=∠A′， 求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于 点E ，则△A′DE ∽△A′B′C′.∴.A C EA CB DE B A D A '''=''=''' ∵A′D=AB ，∴.B A BA B A D A '''=''' ∵k A C CA B A AB =''=''，∴A C CAA C E A ''='''..∴A′E=AC. 又∵∠A=∠A′,∴△A′DE ∽△ABC. ∴△ABC ∽△A′B′C′.(2)等腰直角三角形都是相似形.(3)与全等三角形的判定定理SAS 相仿.一定是夹角相等，非夹角不能判定相似(如图27.2-5).图27.2-55.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (1)这是识别两个三角形相似的最简单方法.(2)只有两个角相等的三角形不一定全等，但一定相似. (3)特殊三角形的相似.①有一个锐角相等的直角三角形相似; ②顶角(或底角)相等的等腰三角形相似. 四、相似三角形的周长与面积1.两个相似三角形的周长的比等于相似比. 相似多边形的周长的比等于相似比.2.相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似多边形的面积比等于相似比的平方.3.相似三角形对应中线的比、对应高之比、对应角平分线的比都等于相似比. 五、跟相似有关的主要结论上述结论可以由圆周角、弦切角等构成相似三角形得到.2.射影定理(见第29.1《问题·探究》)图27.2-10 如图27.2-10，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， 求证：(1)AC 2=AD·AB ；(2)AB 2=BD·AB ；(3)CD 2=AD·BD. 证明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠B=∠ACD.在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠B=∠ACD ，∠ACB=∠ADC=90°， ∴ Rt △ABC ∽Rt △ACD. ∴ADACAC AB ,即AC 2=AD·AB. 类似地，可证Rt △ABC ∽Rt △CBD ，Rt △ACD ∽Rt △CBD. 于是有AB 2=BD·AB ，CD 2=AD·BD.3.角平分线性质：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例.已知△ABC 中，∠BAD=∠DAC ，AD 交BC 于D.求证：ACABDC BD =图27.2-11证明：过C 作DA 的平行线CE 交BA 延长线于E(如图27.2-11). ∵CE ∥DA ，∴AEBADC BD =. 又∵∠E=∠BAD ，∠ACE=∠DAC ，∠BAD=∠DAC ，∴ ∠E=∠ACE.∴AC=AE. 代入上面的比例式，得ACABDC BD =. 六、相似三角形的实际应用利用相似三角形的性质来进行测量、计算那些不能直接测量的物体的高度和距离. 要点提示 太阳光下，同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的. 知识拓展 视点、视线、盲区：眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线，看不到的地方称为盲区. 问题·探究问题1 相似三角形高之比等于相似比吗？导思：如图27.2-12所示，如果△ABC ∽△A′B′C′，AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高，且k B A AB =''，可以猜想k D A AD=''.图27.2-12探究:猜想要经过证明才能作为结论使用. 老师：通过三角形相似证明比例式是常用的一种方法，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，这里AD 、A′D′分别是在Rt △ABD 与Rt △A′B′D′中，只需要证这两个三角形相似即可.要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？丁婷：两个三角形是直角三角形，有一对直角相等，还差一对锐角相等，但从问题的已知条件△ABC ∽△A′B′C′看，知道∠B=∠B′，所以可以先用三角形相似的性质，得到一组角相等，从而为证另一对三角形相似提供了一个条件，证明过程如下： 证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′.又∵AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. ∴△ABD ∽△A′B′D′.∴k D A ADB A AB =''=''. 老师：请大家用语言来总结这个结论.李亮：相似三角形的对应高的比等于相似比.丁聪：我认为还可以总结得更一般些：相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比.老师：首先对这种思考方式表示赞赏，非常不错.但要说明的是，根据一些特殊的结论来进行推广，属于我们合情推理的一部分，但这种推理有些是正确的，而有些会产生错误.能不能再举例子说明你们这个结论的正确性？余童：还有对应角平分线与中线可以用来证明这个结论. 老师：好的，来看一看，如何证明？ (上述结论都可以证明)问题2 平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等图形，它们各自能相似吗？如果不相似，添加几个条件就可以判断它们相似呢？导思：根据相似多边形的定义，需要从边和角两个方面判定.在判断的过程中，可以通过作对角线把四边形问题转化为三角形问题探索. 探究:从特殊图形入手，逐渐减少对应条件. (1)角的条件：①矩形(含正方形)的角都相等；②平行四边形(含菱形)以及等腰梯形只要有一个内角相等，其它的三个角也就对应相等了. (2)边的条件：①两个菱形(含正方形)的边都是对应成比例的； ②平行四边形(含矩形)需要知道两邻边对应成比例； ③等腰梯形需要知道腰、上底、下底三边的比是否相等.结论：(1)有一个角对应相等，并且两邻边的比相等的平行四边形相似； (2)两邻边的比相等的矩形相似； (3)有一个角对应相等的菱形相似； (4)任意正方形相似；(5)有一个角对应相等，并且腰、上底、下底长的比都相等的等腰梯形相似. 典题•热题例1 (2006辽宁大连中考) 如图27.2-13，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 点中的( ) A.F B.G C.H D.O图27.2-13思路解析：在格点中可以知道三角形的边长和大致形状，本题中，△ABC 是等腰直角三角形，和它相似的△DME 也必须是等腰直角三角形，各选项中，只有点G 符合要求. 答案：B变式方法 在格点中给定一组三角形，判定哪些相似.如图27.2-14，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )图27.2-14同一个三角形中把边长按大小顺序排列，分别与△ABC 的三边比较，若它们的比相同，则这两个三角形相似.选B.例 2 (2006浙江嘉兴中考) 如图27.2-15，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________.图27.2-15思路解析：图中Rt △ABC ∽Rt △ADE ，写出已知线段和所求线段的有关比例式. ∵∠CAB=∠DAE ，∴Rt △ABC ∽Rt △ADE.∴AC ∶AE=AB ∶AD. 在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，所以AB=5. 把AC=3，AE=2，AB=5代入比例式，得AD=310. 答案：310 深化升华 用相似性质计算线段长时，一定要注意线段的对应；计算中，只需选定与已知线段和所求线段有关的比例式.例3 如图27.2-16，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置，求球拍击球的高度.图27.2-16图27.2-17思路解析：把三角问题转化为数学问题，结合图形，标上相应的字母；根据题目的意思，图中的两个三角形是相似的，运用相似三角形的边对应成比例就可以求出这个高度了. 解：如图27.2-17所示，分别用BD 表示球网，CE 表示球拍的高度，∵∠A=∠A(公共角)，∠ABD=∠ACE=90°，∴△ABD ∽△ACE(如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似). ∴CE BD AC AB =，即h8.01055=+. 解得h=2.4(米).答:球拍击球的高度为2.4米.误区警示 本题中不要把BC 当作是这两个相似三角形的对应边.常见错误：图27.2-18如图27.2-18，∵ DE ∥BC ，∴BCDEEC AE BD AD ==. 错误原因是把BD 、EC 作为三角形的对应边了.例4 (2006北京中考) 如图27.2-19，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，AB=6，AE=8，ED=4，求CD 的长.图27.2-19思路解析：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 本题中，△ABE ∽△DCE ，列出比例式.解：∵弦AC 与BD 交于E ，所以A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∴∠B=∠C ，∠A=∠D(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等). ∴△ABE ∽△DCE. ∴DE AE AC AB =.∴486=DC .∴CD=3. 深化升华 在圆的问题中，有关比例线段问题都可以用圆周角、弦切角转化为相似三角形问题(见本节“知识·巧学”第五点)例5 (2006湖北武汉中考) 如图27.2-20，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△CFB.其中相似的为( )A.①④B.①②C.②③④D.①②③图27.2-20 图27.2-21思路解析：本题涉及的三角形较多，其中由矩形的性质可以得到有两组全等形，另外较特殊的是直角三角形.①用“同角(或等角)的余角相等”，可以得到几个直角三角形的一个锐角相等，因此图中的所有的直角三角形都相似的. ②由Rt △BEA ∽Rt △AEF ，得到EFAEAE BE =，因为E 为AD 的中点，所以AE=ED ，则EFEDED BE =， 在△FED 与△DEB 中，因为EDBFEF ED =，∠FED=∠DEB ，所以△FED ∽△DEB. ③根据△FED ∽△DEB ，得到∠EDF=∠EBD ，它们的余角相等(∠FDC=∠BGA)，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠FCD=∠BAG ，所以△CFD ∽△ABG . ④△ADF 与△CFB 的形状不同，不能相似. 答案：D深化升华 ①如图27.2-21，若DE 2=EF·EB 时，则△DFE ∽△EBD ； ②比例中项问题通常换成比例式，转化为相似三角形中的对应线段的比.例6 (2006安徽中考) 汪老师要装修自己带阁楼的新居(图27.2-22，右图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m.他量得客厅高AB=2.8 m ，楼梯洞口宽AF=2 m ，阁楼阳台宽EF=3 m.请你帮助汪老师解决下列问题：(1)要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米？ (2)在(1)的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20 cm ，每个台阶宽要大于20 cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？图27.2-22思路解析：根据图中的字母与尺寸，把实际问题数学化.本题的数据集中在△ABC 和△GFA 中，可以看出这两个三角形的相似的，用相似三角形的性质解决问题.台阶宽度之和等于楼梯的总长，高度之和等于楼梯的总高，根据题目中的要求，可以列出不等式组，用不等式组解决问题.解：(1)根据题意，有AF ∥BC ，∴∠ACB=∠GAF. ∵∠ABC=∠AFG=90°，∴△ABC ∽△GFA. ∴FGABAF BC =.得BC=3.2(m)，CD=(2+3)-3.2=1.8(m). (2)设楼梯应建n 个台阶，则⎩⎨⎧<>.2.32.0,8.22.0n n 解得14<n<16.楼梯应建15个台阶.方法归纳 生活中，有很多直角三角形相似问题，而直角三角形相似的条件只要有一组锐角相等即可.找到能解决问题的三角形是关键，尽量把数据集中到少数三角形中.。
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相似三角形基本知识知识点一：相似图形1.__________________的两个图形说成是相似的图形。
注意：（1） 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形______________得到的．（2）全等形是相似图形的一种____________．2.相似多边形：如果两个多边形 _____________,对应角__________，对应边___________________,则这两个多边形是相似多边形。
________________________记为相似比。
3.相似多边形的性质：对应角_________，对应边______________________。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的相似比是_________.练习1、在比例尺为1：8000000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是6.5cm ，则这两市之间的实际距离为 km ；知识点二：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比. 已知l 1∥l 2∥l 3 ,可得_____________,_______________，_________________2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. ∵ DE ∥BC∴_______________________________.3、判定三角形相似定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.即： ∵ DE ∥BC ∴________________.练习1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 练习2、如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DEB. △ADE ∽△ABCC. AC ABAE AD = D. ADE ABC S S ∆∆=3练习3、在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FD BF 的值是（ ）A.21B.31C.41D.518、如图小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为（ ）ACDFEA 、815B 、 1C 、 43D 、85知识点三：相似三角形1、相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应________，三边对应___________，那么这两个三角形叫做相 似三角形。
如△ABC 与△DEF 相似，记作________________________。
相似比：两个相似三角形的__________比，叫做这两个三角形的相似比。
相似比为k 。
2、三角形相似的判定（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）三角形相似的判定定理：判定定理1：三边________________，两三角形相似． ∵____________________ ∴__________________.判定定理2：两边__________且夹角__________，两三角形相似． ∵____________________ ∴__________________.判定定理3：两角对应_______________，两三角形相似．(此定理用的最多) ∵____________________ ∴__________________. 直角三角形相似判定定理:________________________________________两直角三角形相似。
在Rt △ABC 与Rt △A'B'C'中 ∵____________________∴__________________.相似三角形的传递性： 若已知△ABC ∽△A'B'C', △A'B'C'∽A"B"C", 则____________________ 补充一：直角三角形中双垂直：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.补充二：直角三角形中三垂直：练习1、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 练习2、如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足 条件（写一个即可）时，ADE ACB △∽△．B'C'BCD E CDB练习3、如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.练习4、手工制作课上, 小红利用一些花布的边角料, 剪裁后装饰手工画, 下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、 等边三角形、 正方形、 矩形花边,其中, 每个图案花边的宽度都相等, 那么, 每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( ) ．练习5、如图, △AB C 是一张锐角三角形的硬纸片, AD 是边BC 上的高, BC ＝４０cm, AD ＝３０c m, 从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的２倍的矩形EFGH, 使它的一边E F 在B C 上, 顶点G 、 H 分别在AC 、AB 上, AD 与HG 的交点为M ．(１) 求证: (２) 求这个矩形EFGH 的周长．练习6、矩形ABCD 中,E 是DC 上一点,BE ⊥AF,若BE=10cm,AF=4cm, 则S 矩形=______cm 2.练习7、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形. (1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由. (2)求∠1+∠2的度数.练习8、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由。
知识点四：相似三角形的性质①相似三角形对应角___________、对应边②相似三角形__________、_______________、的比都等于__________③相似三角形___________的比等于相似比的平方.练习1、如图，已知△ACP ∽△ABC ，AC ＝4，AP ＝2，则AB 的长为________。
练习2、等腰三角形ABC 和DEF 相似，其面积比为1：4，则它们底边上对应高线的比为（ ） A 、1：4 B 、4：1 C 、1：2 D 、2：1练习3、两个相似三角形面积之比是9:25,较大的三角形的周长是20cm,则较小的三角形的周长是______cm.练习4、如图所示,在长为8cm,宽为6cm 的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是( )（A ）28cm 2 （B ）27cm 2 （C ）21cm 2 （D ）20cm 2练习5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝， 则四边形MABN 的面积是A ．B ．．D ．知识点五:实际应用练习1、如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE 延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED=3m,则A 、B 两点间的距离为___________。
练习2、如图所示,在离某建筑物4m 处有一棵树,在某时刻,1.2m 长的竹竿垂直地面, 影长为2m,此时,树的影子有一部分映在地面上,还有一部分影子映在建筑物的墙上,墙上的影高为2m,那么这棵树高 米练习3、如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．练习4、（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB ，在点D 和点F 处分别竖立高是2米的标杆CD 和EF ，两标杆相隔50米，并且建筑物AB 、标杆CD 和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD 后退2米到点G 处，在G 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4米到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，则建筑物的高是 _____ 米．NMDACB知识点五：位似1、定义：如果两个多边形_____________、_______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做______________，这时的相似比又称为_____________。
2、性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。
③位似图形的对应线段_________________________________________。
3、一般的，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x,y ）对应的位似图形的点的坐标为_____________. 练习1、已知：E （－4，2），F （－1，－1），以O 为位似中心，按比例尺1∶2，把△EOF 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标为（ ）A ．（2，－1）或（－2，1）B ．（8，－4）或（－8，4）C ．（2，－1）D ．（8，－4）练习2、如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记 △AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为（ ） A. (00)，，2 B. (22)，，12C. (22)，，2D. (22)，，3练习3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)。
以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C 。
设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+练习4、如图,已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．(1)以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出B 、C 两点的对应点B ′、C ′的坐标；。