八年级数学上学期人教版优质课件-12.3 第2课时 角平分线的判定

周长
2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O
到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的
度数为( A ) A．110° B．120°
C．130°
解D析．：14由0°已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所∠B以C有O＝∠C∠BAOC＝O＝∠AB∠12 OAC＝B，∠12 ABC， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
P
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. O
E
B
∴点P 在∠AOB的平分线上.
典例精析
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路 和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这 个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
B
∴PD=PE.同理PE=PF.
C E
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
的三条角平分线有什么关系？
A
点P在∠A的平分线上.
D
N
F
P
M
B
C
E
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且
这点到三边的距离相等.
变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90
D
A
在°R，t△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），O PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
讲授新课
一 角平分线的判定 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能
得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
A
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D
几何语言：
C
∵ OC平分∠AOB，
O
且PD⊥OA， PE⊥OB
P
E
B
∴ PD= PE 猜想:
思考：这个结 论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分
∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． B E
(
A
34 P
12 DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取 OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于 N.求证：CM＝CN. 证明：∵OD平分线∠POQ， ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中， ∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD， ∴△AOD≌△BOD. ∴∠ADO=∠BDO. ∵CM⊥AD，CN⊥BD， ∴CM=CN.
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离
C 角平分线上的点
P
O
E
B P到OB的距离
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相 等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平 分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证明结论
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，
PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
A
ND
F
P
M
点P在BM上，
∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
方法总结
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是 内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的 度数．
归纳总结
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
结论
wk.baidu.com
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
解：连接OC
SABC SAOC SBOC SAOB
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
1 OM ( AB BC OM ) 2
1 4 32 64
A
2
B
O
P
DM
C
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 s 1 ch
∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作 OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
B
12
O
P
A
DM
C
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分 ∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作 OM⊥AC,若OM＝4. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
八年级数学上（RJ）
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解角平分线判定定理.(难点） 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. （重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
导入新课
复习回顾
1.叙述角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P E
B
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
知识总结
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
A
定理的作用：判断点是否在角平分线上. D
C
应用格式：