数学方法论必做作业

数学方法论第二章作业
姓名：学号：
设x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，且x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0,求证：n是4的倍数。

证明：
∵x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0 ①
由于x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，根据正负抵消规律，n 必为偶数。

设n=2k,k∈N+，方程①可变形为：
∵x1x2+x2x3+…x n-1x n+x n x1=
（1+1+…+1）（k个）+（-1-1-…-1）（k个）=0 ②
∴（x1x2）（x2x3）……（x n-1x n）（x n x1）=1k（-1)k
=(x1x2……x n)2=1
从而k必为偶数，设k=2m,m∈N+，易得n=4m，m属于N+得证n是4的倍数。

数学方法论第五章作业
姓名：学号：
5.何谓计算证明法，有哪些具体的计算证明方法，它们又各是如何进行应用的，并应注意什么问题？
答：把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法,该方法一般思路单纯(即使算式紧杂但难度降低),较易著手,且能对免添加过多的辅助线。

1、代数法
代数法一一用代数知识来研究或证明几何问题的方法,该方法常用于涉及度关系的几何问题,主要用代数上的恒等变形方程知识。

教材上对于该方法的两个例题中,例5.1较简单。

2、三角法
三角法一用三角加识来研究或证明几何或代数间题的方法,该方法主要用三角函数、三角换元法、三角恒等变换,解三角方程、证明三角不等式等方面的知识。

3、坐标法
坐标法一一通过建立坐标系,用解析几何的知识证明几何问题的方法。

此法使用时注意选取坐标轴和原点尽量为已知元素(减少辅助线),尽量减少参数(可取单位1),以便点坐标或曲线方程表达简单、运算方便。

4、复数法
复数法一一用复数知识解答其他数学问题的方法。

5、向量法
向量法一一将几何问题转化为向量计算问题的方法,该方法对于几何中的平行、垂直、线共点、点共线等问题往往更有效。

《数学方法论》期末考核作业
学号： 姓名：
题目：构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明。

对几种数学方法的简单探究
在数学的学习和研究中，我们往往有一些特殊的、通用的研究手段和解题方法，我们称之为数学思想方法。

数学思想方法是一种重要的数学观念，是解题思维的导航器。

我参加工作已经两年半了，在日常教学中，也经常会给学生渗透数学这门学科独特的思想方法。

接下来，就最常用的几种数学思想方法进行简单探究。

一、数形结合思想
数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。

数形结合思想就是充分利用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

数形结合在解决中学数学问题中占有极其重要的地位，在历年的高考中也十分注重对数形结合思想的考查。

数形结合主要体现在两个方面：
一是以形助数，即借助形的直观性来阐明数之间的联系。

常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助解析几何。

二是以数助形，即借助数的精确性来阐明形的某些属性。

常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化需要转化的意识，因此，数形结合的思想往往偏重于由“数”到“形”的转化。

例题1. 解不等式331≥-+-x x .
解：这是一个含绝对值的不等式，求解的时候需要去掉绝对值符号，但是，
去掉绝对值符号时往往需要复杂的讨论，略显繁琐。

我们可以将本题理解为“求数轴上到1和3两点距离之和大于或等于3的点的集合”。

这样，就可以将不等式用数轴形象直观的表示出来，便于理解和计算。

易得此不等式的解集为
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2721, 。

例题 2. 若集合()()⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<<===πθθθ0sin 3cos 3,y x y x M ，集合(){}b x y y x N +==,且∅≠N M ，则b 的取值范围是什么？
解：若点()y x ,满足集合
()()⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<<===πθθθ0sin 3cos 3,y x y x M ，则赋予几何意义后可知，点()y x ,在半圆
()10922≤<=+y y x 上移动，问题转化为：
直线b x y +=与半圆()10922≤<=+y y x 有
公共点。

以3为半径的圆在x 轴上方的部分，如图，而集合N 则表示一条直线，其斜率1=k ，纵截距为b ，由图形可知，欲使∅≠N M ，即直线b x y +=与半圆有公共点，b 的最小逼近值为3-，最大值为23，即233≤<-b 。

本题利用几何知识解决代数问题，是数形结合思想的一个重要方面。

二、划归与转化思想
数学中的转化比比皆是，如未知向量已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向量平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

例题. 设不等式()1122->-x m x 对满足2≤m 的一切实数m 都成立，求实数x 的取值范围。

解：令()()[]2,2,1212-∈-+--=m x m x m f ，则愿不等式等价于()0>m f ，[]2,2-∈m 恒成立。

由于()m f 是关于m 的一次函数或常数函数，故有
()()⎩⎨⎧>-+-->-+-0
12120121222x x x x ，解得2
13217+<<-x ，从而实数的取值范围是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217x x 。

本题通过变更主元转化为关于m 的一次函数。

有些含参变量的方程或不等式，参变量不易分离，或者分离出来以后求解比较困难，这时我们可以重新审视问题，将主元与参变量进行换位思考，从而简化问题的解法。

三、分类讨论思想
在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在若干个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般划为特殊的解决问题的方法，像这样的“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法。

分类讨论是一个难点，主要考察学生的逻辑思维能力，其体现在许多知识点里，如：求解函数，求解数列，解不等式，解方程，排列组合等。

例题 1. 设R k ∈，函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-=1
,11,11x x x x x f ，()()R x kx x f x F ∈-+,，试讨
论函数()x F 的单调性。

解：因为()()⎪⎩⎪⎨⎧≥---<--=-=1
,11,11x kx x x kx x kx x f x F
所以()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥---<--='1,1211,112
x k x x k x x F . 对于()()111<--=x kx x
x F ，当0≤k 时，函数()x F 在()1,∞-上是增函数；当0>k 时，函数()x F 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-k 11,上是减函数，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,11k 上是增函数。

对于()()11
21≥---=x k x x F ，当0≥k 时，函数()x F 在[)+∞,1上是减函数；当0<k 时，函数()x F 在⎪⎭⎫⎢⎣
⎡+2411,1k 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,4112k 上是增函数。

例题2. 数列{}n a 的前n 项和()+∈-=N n n n S n 210，又n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T 。

解：当1=n 时，911==S a ；
当2≥n 时，()()n n n n n S S a n n n 2111110102
21-=-+---=-=-. 所以+∈-=N n n a n ,211.
故当5≤n 时，210n n T n -=；当5>n 时，50102+-=n n T n .
数学思想方法很多，本文中提到的数形结合思想、划归与转化思想、分类讨论思想是中学阶段最常见的、最基础的几种思想方法，这些思想方法渗透到了各个知识点和题型中。

对于教师来说，要主动地通过概念以及例题来引导学生体会这些数学思想方法，并辅助以适当的练习，最终形成自己的数学思维。