数学方法论第一章

有了方法才获得了“钥匙”，数学的发展绝不仅仅是材料，事实，知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有创新，才会有发现和发明。因此，从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力，也就是说，对于数学发展规律的研究及明确的认识，显然可以帮助我们去努力创造有利于数学发展的良好环境。
从数学的教学工作而言，数学方法论事实上是对我们的数学教师提出了更高的要求，即我们不仅应当注意具体的数学知识的传授，而且也应注意数学方法论方面的训练和培养。
在数学教学中，只有提出问题，让学生明了产生问题的情景，并留给学生必要的时间，才能引起学生有目的的思考。
在数学教学中，若能使学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使学生的思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击其头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构，最后引起自身行为的改变——数学学习。
当代学校教育能为学生今后的生活和工作所做的准备主要有两个方面，一是科学知识，一是科学方法，这两者的有机结合便形成能力，与一般知识相比，科学方法具有更广泛的迁移作用，其有效性更长些，因此在当代的学校教育中，科学方法的作用被提到更重要的地位上来。
对于“问题解决”，各国研究工作的注意点是：
1）给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境；
数学在自然科学、社会科学、行为科学等方面的广泛应用，使得现代科学的任何部分几乎都已带上了抹不掉的数学印记。
数学文化作为当代文化的重要组成部分，其思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观念和文化，数学的精神和态度，它使人思维敏捷、表达清楚、工作有条理；使人善于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍；使人得到文化方面的修养，从而更好地理解、领略和创造现代社会的文明；数学的思想方法对提高人的整体素质和文化修养有着重要意义。
第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。
1922年，希尔伯特也提出了他的证明论（或称元数学），试图找到一种方法绝对的证明数学理论的无矛盾性，这一想法被人们称为希尔伯特规划。这一规划的内容包括：（1）把数学理论公理化，把所得的公理化理论和所用的逻辑彻底地形式化，从而组成形式系统；
（2）用有穷方法证明这一系统的无矛盾性
希尔伯特曾经满怀信心地认为：那种用自然语言来表述的具有内容的数学知识在内容上的推理可以为由数学和逻辑的符号所组成的形式系统的规划所代替。历史的发展告诉我们，笛卡儿的万能方法和希尔伯特规划都被证明是行不同的。但它们仍不失为一个伟大的设想，因为不论是笛卡儿的万能方法还是希尔伯特规划，都确实存在深刻的道理。
人们意识到，研究数学方法的任务，不是去发现那种一劳永逸地解决一切数学问题的万能方法，而是通过活生生的解决数学问题的经验，使人们正确地认识数学，有效地运用数学，并且创造性地发展数学
当人们从发明万能方法的梦幻中醒悟之后，又是怎样对待数学方法的研究呢？郑毓信分析到：“就现代而言，人们在这一方面的研究工作，却又受到逻辑实证主义这一20世纪上半叶在西方学术占据主导地位的哲学思想的极大影响。”“逻辑实证主义者明确地提出了发现与检验（证明）的区分，并认为科学哲学与科学方法论的研究应当局限于检验的范围，而发现问题则完全从属于心理学的研究范围——对此不需要，也不可能作出逻辑的分析，从而，也就不存在任何意义的发现方法。”
（３）具有一般意义的数学解题的方法；
（４）特殊的数学解题方法。
徐利治教授在《数学方法论选讲》中提出了关于“宏观的数学方法论”与“微观的数学方法论”的区别：关于数学发展规律的研究（如果撇开数学内在因素不提）属于宏观的数学方法论，关于数学思想方法以及对数学中的发现、发明与创新等法则的研究则属于微观的数学方法论。
对数学方法的不同理解反映了数学这一科学门类应用广泛的特征。数学方法体系同数学科学本身一样是极为多样的，与此相应的是大量不同的关于的分类。
在人们的实际活动的各个层次上都需要用到数学方法，和这种层次相对应，数学方法也可以分为四个层次：
（１）数学发展和创新的方法；
（２）运用数学理论研究和表述事物的内在联系和运动规律的方法；
伟大的数学家希尔伯特说过：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”
数学问题一般具有几个特性：
§1.2研究数学方法论的意义和目的
希尔伯特说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”通过一些数学史料的学习，使我们明了数学上的发现、发明主要是方法上的创新。
有了方法才获得了“钥匙”，数学的发展绝不仅仅是材料，事实，知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有创新，才会有发现和发明。因此，从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力，也就是说，对于数学发展规律的研究及明确的认识，显然可以帮助我们去努力创造有利于数学发展的良好环境。
（1）它包含着有关数学的疑问因素和未知方面；
（2）问题的出现表明主体的思维水平和当时的状况之间失去了平衡和协调，主体的数学思维产生了隙缝和空缺；
（3）主体为填补一定的数学问题带来的隙缝和空缺，就引起紧张，激发思维活动的进行。
在数学教学中，问题解决是一切活动的核心。不同的是，在教学中所要解决的问题并不是那些尚未解决的数学科学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。
由于生产实践、社会实践和数学发展本身的需要，人们提出了许多数学问题，这些数学问题或是一个个地被解决，或是因无裨益而被弃置并代之以新的问题。在解决这些层出不穷的数学问题的过程中，绚丽多彩的数学方法就诞生了。
考察数学问题的源泉，在每个数学分支中，那些最初、最老的问题肯定是起源于经验，是由外部世界所提出的。
于是，“人们事实上就从一个极端走向了另一个极端，即由对万能方法的追求而转向对数学方法论的实际否定。”
20世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著——《怎样解题》（1944）、《数学与猜想》（1954）、《数学的发现》（1961）的出版为契机，一股重视数学方法和数学解题的潮流又悄然兴起。人们以波利亚的以下论述作为指南：“合理的探索法不能以万灵规律为目标，但它可以努力研究在解题中典型有用的做法。这种做法是每一个对他的问题很感兴趣的正常人所经验过的。
在数学教育中，对数学建模方法的研究，以及在大学、高中、初中怎样开设好数学建模课程也成为当今数学教育改革的重要方向。我们可以说，对数学建模的重视的确是数学方法和解题研究的复兴中的一个举世瞩目的现象。
§1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生
数学方法起源于实践活动，它是伴随数学问题的解决而产生的。人类解决数学问题的实践主要有两方面：一是生产实践和社会实践；二是科学研究，特别是数学研究的实践。
公元前3000年的埃及尼罗河流域，美索不达米亚的底格里斯河等流域，以及稍晚一些的中国黄河流域、印度恒河流域，原始阶段都已结束，在这些大河流域文明中，整数运算法则在人们的生产实践和彼此的交往中都已经被发现。
当原始的经济逐渐被农业所代替，由于修建灌溉系统，排水设施以及管理的需要，测量耕地，计算收获物，征收赋税及营造建筑物的需要，观测天体，确定季节的需要，一些几何问题、比例问题、分数问题等就被提了出来。
解题毕竟是一种复杂的智力劳动，但它是具有创造性特征的。对于解决数学问题，特别是解决中学数学问题来说，依靠经验性的知识积累的状况是难以令人满意的，我们认为重要的是掌握数学思想方法。
1、什么是数学方法
实际既有区别又有密切联系的涵义来运用“数学方法”这个词。
2、什么是数学问题
数学是研究客观世界和空间形式的科学。当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了数学问题。
以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题
数学发展史就是一部数学问题解决的历史，而数学方法的产生和发展也是和数学问题的解决紧紧相伴的。
1980年，美国全国数学教师协会（NCTM）在第四届国际数学教育大会（ICME-4）上提出：“问题解决是80年代学校数学教育的核心。”这一口号提出至今，一直被人们广泛接受，直到现在，“问题解决”依然是数学教育的中心课题，这说明在数学教育中重视数学方法和解题研究乃是符合时代潮流的历史必然。
“问题解决”是在科学技术迅猛发展、知识量急剧增长的时代，以提高能力为教学的主要目标的背景下提出来的。
数学建模是实际问题数学化的产物，它是一种解决问题的强有力的数学方法。数学建模的迅速发展使得数学不再被局限于作为一门基础科学的范围之内，在计算机的辅助下，数学已成为解决问题的一种技术。美国爱克逊研究和发展部总裁戴维（E.E.David）曾说过:“很少有人认识到被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术。”
有关数学方法的研究，特别是早期研究中，存在一个明显的特点是，企图找到这样一种“万能的方法”，以便一劳永逸地解决一切数学问题，或者使科学的发明创造可以循规蹈矩地进行。笛卡儿在它未完成的著作《思维的法则》里，设计了一种能解各种问题的万能方法，即
首先，把任何问题化为数学问题；
其次，把任何数学问题化为一个代数问题；
只有注意数学思想方法的分析，我们才能把数学课讲活，讲懂，讲深。
所谓“讲活”就是让学生看到活生生的数学研究工作，而不是死的数学知识。
所谓“讲懂”，就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背。
所谓“讲深”，则是指使学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能领会内在的思想方法。
总之，学习和研究数学方法论将对提高数学教学质量、提高教师的数学教学学术水平起到积极的作用。
从更为基本的意义上说，数学学习不仅仅是指具体的数学知识的学习，而且也是指数学方法的学习。应充分肯定对数学方法论的研究对数学学习者的重要意义。
数学的思想方法是处理数学问题或实际问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。学习和研究数学方法论，能帮助人们真正认识数学科学的价值。