傅里叶变换性质

1
j
π
(
)
说明：教材中的其它例题请自学
X
f (t)ej0 t d t F 0
X
3．说明
F ( )
F ( 0 )
第 15 页
F ( 0 )
O
O
0
0 O
时域f (t)乘ej0t ,频域频谱搬移 右移0
时域f (t)乘e j0t ,频域频谱搬移 左移0
可以导出
4．应用
f
(
t
)cos0t
1 F
2
0
F
0
f
(
t
)sin0t
j F
2
2
f t 2
E
o
t
2π o 2π
2E 2F 2
π π
o
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
X
第
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
11 页
f 2t
E
1 F
2 2
E
2
o
t
44
4π
o
4π
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
第 17
页
f (t) F()，则f (t) jF()
一般情况下 f (n) t j n F( )
若已知F
f
n(t) ，则F
F f n(t)
j n
F
f
(t)
jF ( )
:
幅度乘
相位增加,
j
90
注意
X
第
注意
18
页
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶 变换，余下部分再用微分性质。
X
五．时移特性
第 13
页
若f (t) F( ),
则f (t t0 ) F( )e jt0 ;
则 f (t t0 ) F ()ej t0
若F ( ) F ( ) ej ( ) 则f (t t0 ) F( ) ej( ) t0
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
相
移t0
右 左
时移加尺度变换
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
页
d
推广 或
或 jtf (t) d F
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
t n f (t) jn F n
例如
u(t)
1
j
t
j
1
j
1
t j
X
八．时域积分性质
第 20
页
若f t F ，则
t
f
d
πF 0
F
j
F 0
0时，t
f
d
F
j
也可以记作：
F
(
)
§3.7 傅里叶变换的基本性质
青岛大学电子学系 2006.3
主要内容
第 2
页
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质
线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
X
意义
第 3
页
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
ut F 直流 1 π
2
余下部分
f2(t)
u(t )
1 2
1 2
sgn( t ),
ut
π
1
j
f
2
t
微
分f
2
t
t 1,
f2(t)
1
j
ut
f1t
dut f1t
1
1 2
dt
1
o
t
o
t
o
t
X
2．频域微分性质
第 19
若f (t) F( ), 则tf (t) j d F
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则
要以展开频带为代价。
X
第 12 页
(3) a 1 f t f t, F F F* 当f t为实函数时, F F* 共轭 R 为偶函数, X 为奇函数
F( ) R( ) j X ( ) R( ) j X ( ) F *( )
幅度差2π。
X
二．线性性质
第 5
页
1．性质
若f1(t) F1( ) , f2(t) F2( )
则c1 f1(t) c2 f2(t) c1F1( ) c2F2( ) c1, c2为常数
2．例3-7-3
ut 1 1 sgnt F π 1
22
j
X
三．奇偶虚实性
第 6
页
在§3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。
t0 t0
若f (t) F( )
则f
at
t0
1 a
F
Hale Waihona Puke Baidu
a
e
j
t0 a
则f
t0
at
1 a
F
a
e
j
t0 a
X
六．频移特性
第 14
页
1．性质
若 f (t) F( )
则
f (t )ej0t F 0 f (t )ej0t F 0
2．证明
0为常数，注意 号
F f (t)ej0t f (t)ej0t ej tdt
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
虚部
实部
虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇 函数，但实部R(ω)为奇函数，虚部 X(ω)为偶函 数。
X
第
任意 f(t)，都具有如下性质
8
页
F f (t) F
F f (t) F
F f (t) F
若f (t) F()，则f (t) F()
证明： 由定义
F f (t) f (t)ej t d t F( )
可以得到
F f (t) f (t)ej t d t f (u)ej u d u F( )
X
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
X
一．对称性质
第 4
页
1．性质
若f (t) F() 则Ft 2π f
若f t为偶函数 则Ft 2π f
2． 意义
若F(t)形状与F()相同， t
则F ( t )的频谱函数形状与 f t 形状相同，t ,