压杆稳定临界应力和提高稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施
松木
28.7
0.19
通过对压杆稳定性及其校核的理解，我们可以知道，压杆的稳 E a b 定性与临界应力 cr有关。由欧拉公式 和经验公式 cr 我们不难发现临界应力 cr 始终与柔度 有关。临界应力与柔度的 关系，即应力总图,如下图所示。
2 cr 2
cr
表1
Q235钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝
直线公式的系数a和b
a（ MPa ）
304 461 578 9807 332.2 373
材料强度指标（MPa）
b（ MPa ）
1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15
b ≥372； s ＝235 b ≥471； s ＝306 b ≥510； s ＝353
当受拉杆的应力达到屈服极限或 强度极限时，将引起塑性变形或断裂。 长度较小的受压短柱也有类似现象， 例如：低碳钢短柱被压扁，铸铁短柱 被压碎（因强度不足而失效）。然而 细长杆件受压时，却表现出与强度失 效全然不同的性质。例如，细长的竹 片受压时，开始轴线为直线，接着必 然是被压弯，最后折断。这便是杆件 因失稳而失效。此时并非其强度不够， 而是稳定性不够。 所以，在工程设计中提高压杆的稳定性就 显得尤为重要。
cr s
cr a b
B C
cr
s A p
2E 2
D
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
O
2
1
我们知道临界应力越大，压杆也就越稳定，由上图可知：当 其它条件一定，柔度越小的压杆，其临界应力越大，因而越稳定。 所以，对于小柔度杆一般只考虑其压缩强度。 对于中柔度杆一般考虑材料的影响，因而一般通过选材提高 压杆的稳定性。 大柔度杆则着重从欧拉公式进行考虑（也是我们的重点考察 对象，一般，需要提高稳定性的都是大柔度杆）。 下面我们将从欧拉公式入手着重讨论如何提高大柔度杆的 稳定性。
建筑力学第9章压杆稳定
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
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• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
工程力学-细长压杆稳定性分析
E为材料的弹性模量，常用单位GPa
I
为横截面的轴惯性矩，常用单位 m 4或m m4
l
为压杆长度，常用单位m或mm
μ为压杆的长度因数，反映压杆两端支承对临界力的影响。
由欧拉公式
cr
得到
Fcr 2 EI A (l ) 2 A
令
2 i I/A 令
2E cr ( l / i) 2
10 22 3 Iz 8873.3mm 4 12
I y I z 压杆截面必绕y轴转动而失稳，因此将Iy代入公式，计算
截面对y轴的惯性半径。
iy
Iy A
1833.3 2.89mm 22 10
0.5 800 138.4 2.89
得到矩形截面柔度为
y
l
iy
y 138.4 101 采用欧拉公式计算临界应力
cr s
s
几种材料的相应数值。
例一矩形截面压杆，两端固定，已知b=10mm，h=22mm，l=800mm，
材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa，试计算此压杆的临界力和临界
应力。
22
10
解：1）计算压杆的柔度
压杆两端固定，μ =0.5，截面对y轴和z轴的惯性矩为：
22 10 3 Iy 1833.3mm 4 12
d0=50mm ，最大起重量 F = 90kN ，材料为 Q235 钢，规定稳定安全因 数 nw 4 ，试校核该螺旋杆稳定性。
解： 1 ）螺旋杆可以简化为下端固定，上端自由的杆，长度因数
μ =2。
2）计算柔度
i
I d 0 50 12.5mm A 4 4
第十三章压杆的稳定性
(a)
(b)
7
§ 13-2
细长压杆的临界力
w A sin kx B cos kx (c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
由于B=0，故上式中的A不可能等于零，则
sin kl 0
w
解得：kl 0，π, 2π，
φ28 800 C
P=30kN
1
μ1l1 0.5 900 75 i1 6 s 1 P
解： 1.根据已知条件求 s ,P cr1 304 1.12 75 220MPa
a - s 304 - 240 s 57.1 b 1.12
3
§ 13-1
压杆稳定性的概念
2. 理想中心杆件 1. 压杆轴线是理想直线即无初弯曲， 2. 压力作用线与轴线完全重合， 3. 材料是绝对均匀的。
二、失稳（屈曲）
压杆丧失其直线平衡而过渡到曲线平衡，
称为丧失稳定性，简称失稳或屈曲。
4
§ 13-1
压杆稳定性的概念
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
Fcr：临界压力
F 30 103 2 48.72MPa A2 p 282 4
24
§ 13-4
压杆的稳定性计算
作业：P1076； P10916 思考：P11017； P11018
25
§ 13-4
压杆的稳定性计算
答疑通知
地点：工科二号楼A424（力学系）
时间：17周的周二下午两点；
26
§ 13-4
P=30kN
n2
材料力学
压杆的稳定条件(安全系数法)
F
F cr
n st
[Fst ]
n st ——稳定安全因数
F ——工作压力
[ Fst ] ——稳定许用压力
— [ st ]
材料力学
cr
n st
[st ]
——稳定许用应力
F A
工作应力
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
压杆的稳定条件
n nst
— n Fcr cr
工作安全因数
F
2、由杆AC的强度条件确定 Fmax 。
1
FN1 A1
s ns
FN 2
A
F s A1 26.7KN
2ns
3、由杆AB的稳定条件确定 Fmax 。
材料力学
n
Fcr FN 2
nst
柔度: l2 1 0.6 80 i2 d2 / 4
0 < p 可用直线公式.
因此
FcrcrA2 (ab)A2 (30 1.4 1 2 8)0 160 4d22
（中柔度杆）
(p s)
粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(< 0)
（小柔度杆，按强度问题处理cr＝ s (b)）
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
中长杆临界应力的经验公式
1） 直线公式
crab
a、b是与材料有关的常数。
直线公式的适用范围： 0 < p
ps
0
as
b
临界应力总图——临界应力随柔度变化的曲线
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
三、中、小柔度杆的临界应力
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
1、问题的提出
压杆稳定
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施
图11-9
工程力学
图11-7
提高压杆稳定性的措施
3. 增加支撑的刚性
对于大柔度的细长杆，一端铰支另一端固定压杆的临界荷载 比两端铰支的大一倍。因此，杆端越不易转动，杆端的刚性越大， 长度系数就越小，图11-8所示压杆，若增大杆右端止推轴承的长 度a，就加强了约束的刚性。
图11-8
提高压杆稳定性的措施
4. 合理选用材料
提高压杆稳定性的措施
对于型钢截面（工字钢、槽钢、角钢等），由于它们的两个 形心主轴惯性矩相差较大，为了提高这类型钢截面压杆的承载能 力，工程实际中常用几个型钢，通过缀板组成一个组合截面，如 图11-7(c)、(d)所示。并选用合适的距离a，使IY=IZ，这样可大 大地提高压杆的承载能力。但设计这种组合截面杆时，应注意控 制两缀板之间的长度，以保证单个型钢的局部稳定性。
工程力学
提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的关键问题在 于提高压杆的临界力或临界应力， 因此要提高压杆的稳定性可以从以 下几方面采取措施。
提高压杆稳定性的措施
减小压杆的长度
减小压杆的长度，可使λ降低，从而提高了压 杆的临界荷载。工程中，为了减少柱子的长度，通 常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他 构件连接在一起后，对柱子形成支点，限制了柱子 的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆， 若在柱子中设置一个支点，则长度减小一半，而承 载能力可增加到原来的4倍。
材料力学 第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施压杆是在机械工程和结构工程中经常使用的一种构件，用于支撑、固定或调整结构的位置和形状。
在一些特定的应用中，压杆可能面临着稳定性的问题，因此需要采取一些措施来提高其稳定性。
下面将介绍一些可以提高压杆稳定性的措施。
1.增加固定点的刚度：在压杆两端的固定点，可以通过改变支撑构造或增加支撑的数量来提高固定点的刚度。
增加固定点的刚度可以有效地减小压杆的位移或变形，在很大程度上提高了压杆的稳定性。
2.增加压杆的截面积：压杆的截面积越大，其在承受压力时的变形和变位越小。
因此，增大压杆的截面积可以提高其抗压能力，从而提高压杆的稳定性。
这可以通过增加压杆的直径或者采用更厚的材料来实现。
3.增加材料的强度：材料的强度是压杆稳定性的重要因素之一、因此，可以通过选择强度更高的材料来提高压杆的稳定性。
例如，工程师可以使用高强度钢材来制造压杆，以提高其承载能力和稳定性。
4.增加压杆的长度：增加压杆的长度可以有效地提高其稳定性。
根据欧拉公式，压杆的临界压力与长度成反比。
因此，通过增加压杆的长度，可以降低压杆的临界压力，提高其稳定性。
同时，增加压杆的长度还可以增大其受力面积，分散受力，从而减小应力集中。
5.增加压杆的支撑方式：压杆的支撑方式是影响其稳定性的重要因素之一、传统的支撑方式是在两端固定点进行支撑，可以通过改变支撑点的位置或增加支撑点的数量来提高压杆的稳定性。
此外，还可以采用斜支撑或环形支撑等新型支撑方式，以进一步增加压杆的稳定性。
6.加入支撑构件：在压杆的受力部位加入支撑构件是提高其稳定性的有效手段之一、支撑构件可以通过增加结构的稳定性，使压杆受力更加均匀，减小结构的变形。
根据具体情况，可以选择不同形式和位置的支撑构件，以提高压杆的稳定性。
总之，提高压杆的稳定性是设计和工程实践中重要的问题之一、通过采取上述措施，可以有效地提高压杆的稳定性，保证结构的安全性和可靠性。
当然，在实际应用中，还需要根据具体情况进行综合考虑和工程计算，以确保采取的措施能够产生预期的效果。
材料力学第八章压杆的稳定性
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
压杆稳定的临界应力
压杆稳定的临界应力压杆稳定是指在外力作用下，压杆保持不发生失稳的状态。
而临界应力是指使得压杆发生失稳的最小应力。
了解了这两个概念，我们就可以探究压杆稳定的临界应力是如何产生的。
我们需要明确压杆的定义。
压杆是一种长条形结构，在两端固定，并且受到一个或多个外力的作用。
这个外力可以是压力、重力或其他形式的载荷。
当压杆受到压力时，会发生弯曲、屈曲或失稳等现象。
我们关注的是当压杆处于临界应力下时的失稳情况。
在研究压杆稳定的临界应力时，我们需要考虑两个重要因素：材料的强度和杆的几何形状。
材料的强度是指杆材料能够承受的最大应力，它与杆的强度和刚度有关。
而杆的几何形状则会影响杆的屈曲和失稳情况。
当外力作用于压杆上时，压杆会产生内应力。
内应力的大小与杆的形状、材料的强度和外力的大小有关。
当外力超过了压杆的临界应力时，压杆就会发生失稳。
这是因为在临界应力下，压杆内部的应力超过了材料的强度极限，导致杆发生弯曲或屈曲。
压杆稳定的临界应力与压杆的长度、截面形状和材料强度有关。
对于同一材料和截面形状，当压杆的长度增加时，临界应力也会增加。
这是因为较长的压杆容易发生弯曲或屈曲。
而对于相同长度的压杆，当截面形状越大，临界应力也越大。
这是因为更大的截面形状能够提供更高的强度和刚度，使得压杆更加稳定。
材料的强度也会影响压杆的临界应力。
强度较高的材料能够承受更大的应力，因此具有较高的临界应力。
在工程设计中，我们通常会选择适当的材料和截面形状，以确保压杆在所受外力下能够保持稳定。
了解压杆稳定的临界应力对于工程设计和结构分析至关重要。
在实际应用中，我们需要根据杆的长度、截面形状和所受外力的大小来计算临界应力，以确保压杆的稳定性。
通过合理选择材料和截面形状，我们可以提高压杆的临界应力，使其更加稳定。
压杆稳定的临界应力是指压杆在外力作用下保持稳定的最小应力。
压杆的稳定性与材料的强度、杆的几何形状和外力的大小有关。
通过研究和计算压杆的临界应力，我们可以确保结构的稳定性和安全性。
材料力学 第10章 压杆稳定
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-压杆稳定(圣才出品)
支 承
两端铰接 情 况 失 稳 时 挠 曲 线 的 形 状 欧 拉 公 式
表 9-2
一端固定一段 铰接
两端固定
一 端 固 定 一 端 两端固定但可沿
自由
横截面相对移动
3 / 44
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（2）柔度或长细比 临界应力可表示为
4 / 44
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式中，λ 为柔度或长细比，
，集中反应了压杆的长度、约束条件、截面尺寸
和形状等因素对临界应力 σcr 的影响。λ 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳。 注意：若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时
杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩；杆端
在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力，I 为
其相应中性轴的惯性矩。
三、欧拉公式的适用范围及临界应力总图 1．相关概念 （1）临界应力：与临界压力 Fcr 对应的应力，用 σcr 表示，即
2．提高压杆稳定性的措施
影响压杆稳定的因素包括压杆的截面形状、长度和约束条件、材料的性质等。因而，提
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高压杆稳定性的措施主要包括以下三个方面： （1）选择合理的截面形状 截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径 i 越大，稳定性越好。 ①在截面积相等的情况下，尽可能将材料放在离截面形心较远处，使 I 或 i 较大，如图
应力
达到限值
小于限值
提高压杆稳定性的措施
大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避免造成浪
费。
对于中、小柔度压杆，从计算临界应力的抛物线公式可以看出， 采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施 2．减小压杆的柔度
从压杆的临界应力总图得知，压杆的柔度= l 越小，其临界
i
应力越大，压杆的稳定性越好。为了减小柔度,可以采取如下措施。 （1）加强杆端约束
建筑力学
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性就是增大压杆的临界力或临界应力。可以从 影响临界力或临界应力的诸种因素出发,采取下列一些措施。
1.合理地选择材料
对于大柔度压杆，临界应力cr=
π 2E 2
，故采用E值较大的材料
能够增大其临界应力，也就能提高其稳定性。由于各种钢材的E值
使y = z 。
(a)
(b)
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施 应当注意，对于组合截面压杆要用缀板将其牢固地连成一个整
体，否则压杆将变成为几个单独分散的压杆，严重地降低稳定性。 对于组合截面压杆还要考虑其局部失稳的问题，应对其局部的稳定 性进行计算，包括局部稳定性的校核和由局部稳定条件确定缀板的 间距等，详见有关书籍，这里不再细述。
压杆的杆端约束两端固定，那末由欧拉公式可知其 临界力将变为原来的四倍。
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施
（2）减小杆的长度
杆长l越小，则柔度 越小。在工
程中，通常用增设中间支撑的方法来达 到减小杆长。例如两端铰支的细长压杆， 在杆中点处增设一个铰支座(如图)，则 其相当长度μl为原来的一半，而由欧拉 公式算得的临界应力或临界力却是原来 的四倍。当然增设支座也相应地增加了 工程造价，故设计时应综合加以考虑。
建筑力学 第11章 压杆稳定
第11章压杆稳定[内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。
本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。
11.1 压杆稳定的概念工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。
前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。
但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。
杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。
我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。
所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。
为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。
图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。
当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。
因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。
P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值crP时，杆件虽位置上保持平衡。
但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P=cr然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。
因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。
P=cr(a) (b) (c)图11-1 图11-2继续增大压力P ，当轴向压力P 略大于cr P 时，由于外界不可避免地给予压杆侧向的干扰作用（例如轻微的振动，初偏心存在，材料的不均匀性，杆件制作的误差等），该杆件将立即发生弯曲，甚至折断，从而杆件失去承载能力。
工程力学(高教版)教案：第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定第一节 压杆稳定的概念对于一般的构件，其满足强度及刚度条件时，就能确保其安全工作。
但对于细长压杆，不仅要满足强度及刚度条件，而且还必须满足稳定条件，才能安全工作。
例如，取两根截面（宽300mm ，厚5mm ）相同；其抗压强度极限40=c σMpa 的松木杆；长度分别为30mm 和1000mm ，进行轴向压缩试验。
试验结果，长为30mm 的短杆，承受的轴向压力可高达6kN （A c σ），属于强度问题；长为1000mm 的细长杆，在承受不足30N 的轴向压力时起就突然发生弯曲，如继续加大压力就会发生折断，而丧失承载能力，属于压杆稳定性问题。
如图9-1(a)所示，下端固定，上端自由的理想细长直杆，在上端施加一轴向压力P 。
试验发现当压力P 小于某一数值cr P 时，若在横向作用一个不大的干扰力，如图9-1b 所示，杆将产生横向弯曲变形。
但是，若横向干扰力消失，其横向弯曲变形也随之消失，如图9-1c 所示，杆仍然保持原直线平衡状态，这种平衡形式称为稳定平衡。
当压力cr P P =时，杆仍然保持直线平衡，但此时再在横向作用一个不大的干扰力，其立刻转为微弯平衡，但此时在，如图9-1d 所示，并且当干扰力消失后，其不能再回到原来的直线平衡状态，这种平衡形式称为不稳定平衡。
压杆由原直线平衡状态转为曲线平衡状态，称为丧失稳定性，简称失稳。
使压杆原直线的平衡由稳定转变为不稳定的轴向压力值cr P ，称为压杆的临界载荷。
在临界载荷作用下，压杆既能在直线状态下保持平衡，也能在微弯状态保持平衡。
所以，当轴向压力达到或超过压杆的临界载荷时，压杆将产生失稳现象。
图9-1在工程实际中，考虑细长压杆的稳定性问题非常重要。
因为这类构件的失稳常发生在其强度破坏之前，而且是瞬间发生的，以至于人们猝不及防，所以更具危险性。
例如：1907年，加拿大魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为548m 的钢桥，在施工过程中，由于两根受压杆件失稳，而导致全桥突然坍塌的严重事故；1912年，德国汉堡一座煤气库由于其一根受压槽钢压杆失稳，而致致使其破坏。
压杆稳定
压杆稳定一、压杆稳定的概念压杆的稳定性，是指受压杆件保持其原有平衡状态的能力。
压杆不能保持原有平衡状态的现象，称为丧失稳定，简称失稳。
压杆处于稳定平衡和不稳定平衡之间的临界状态时，其轴向压力称为临界力或临界荷载，用表示。
临界力是判别压杆是否会失稳的重要指标。
二、两端铰支细长压杆的临界力两端为铰支的细长压杆，如图所示。
取图示坐标系，并假设压杆在临界荷载作用下，在xy平面内处于微弯平衡状态。
两端铰支细长压杆的临界荷载为称为欧拉公式。
在两端支承各方向相同时，杆的弯曲必然发生在抗弯能力最小的平面内，所以，式(1)中的惯性矩I应为压杆横截面的最小惯性矩；对于杆端各方向支承情况不同时，应分别计算，然后取其最小者作为压杆的临界荷载。
三、各种支承情况下压杆临界力计算公式可以写成统一形式的欧拉公式式中：μ反映了杆端支承对临界力的影响，称为长度系数，μL称为相当长度。
一端自由，一端固定m＝2.0；两端固定 m＝0.5一端铰支，一端固定 m＝0.7；两端铰支m＝1.0四、压杆的临界应力（一）、临界应力与柔度将临界荷载除以压杆的横截面面积A，即可求得压杆的临界应力，即将截面对中性轴的惯性半径代入,--临界应力欧拉公式---柔度或长细比。
它是一个无量纲量。
λ值愈大，压杆就愈容易失稳。
（二）、欧拉公式的适用范围于是欧拉公式的适用范围可用柔度表示为是与压杆材料性质有关的量。
对于，钢制成的压杆，E=200GPa，，=100的压杆称为大柔度杆或细长杆，其临界力或临界应力可用欧拉公式来计算。
（三）、超出比例极限时压杆的临界应力1、经验公式式中：a、b是与材料的力学性能有关的两个常数，可以通过试验加以测定，使用时可从有关手册上查取。
2、临界应力总图&如果将临界应力与柔度之间的函数关系绘在～λ直角坐标系内，将得到临界应力随柔度变化的曲线图形，称为临界应力总图。
临界应力均随柔度λ的增大而呈逐渐衰减的变化规律。
也就是说压杆越细越长，就越容易失去稳定。
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定学习目标：1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。
对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。
本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。
第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。
实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。
细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。
这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。
一、问题的提出工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。
例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。
1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。
这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。
因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
二、平衡状态的稳定性压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。
压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。
如图110-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。
当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)-所示)。
压杆的稳定计算
③ 确定该支架的许可荷载。
根据外力 F 与 BD 杆所承受压力之间的关系，只要考虑 AC 杆的平衡即可。
由 求得
M A 0,
FBD
l 2
F
3l 2
0
1 F 3 FBD
于是该支架能承受的最大荷载为
Fmax
1 3
FBDmax
1 47.0 103 3
15.7 103
N
最后确定该支架的许可荷载 [F] =15.7 kN。
3. 进行截面设计
已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F，按照稳定条件计 算压杆所需的截面尺寸。由于在稳定条件式 (7-12) 中，折减系数 φ 是根据压杆的 柔度 λ 查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的柔度 λ 不能确定， 所以也就不能确定折减系数 φ。因此，这类问题一般采用试算法。
为了计算方便，将临界应力的许用应力写成如下形式
cr
cr kst
(7-10)
式中：[σ] 为强度计算时的许用应力；φ 为折减系数，其值小于1。
由式(7-10) 可知，φ 值为
cr
kst
(7-11)
由式(7-11) 可知， 当[σ] 一定时，φ 取决于σcr 与kst。由于临界应力σcr值随 压杆的柔度而改变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以
【例7-2】如图7-5a 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢， 直径 d = 20 mm，材料的许用应力 [σ] = 170 MPa，已知 h = 0.4 m，作用力 F = 15 kN。 试校核两杆的稳定。
图7-5a 解：① 计算各杆承受的压力。 取结点 A 为研究对象，画受力分析图，如图7-5b 所示，根据平衡条件列方程
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两端固定 μ 2 = 0.5
1
1l
i1
1 l 80 / 12
2
2 l
i2
0.5 l 40 / 12
1 2
压杆稳定
压杆横向打小孔时，对强度有影响，对稳定性影响不大
压杆稳定
措施四 选择适当材料
细长压杆 E 越大越好
木材
混凝土
9-12GPa 15-36GPa
各种钢材 E 相差不大
只适用于临界应力小于比例极限时
临界柔度：
2E p p
压杆分类
λ ≥λ p
λ s＜λ ＜λ p
大柔度杆（细长杆）
中柔度杆（中长杆）
λ ≤λ s
小柔度杆（短粗杆）
压杆稳定
临界应力和临界力计算步骤
确定长度系数 ，求出最小惯性半径 imin
计算柔度
l
i
边长min imin 矩形： 12 拉公式求
cr
E 2
2
λs＜λ＜λp
经验公式求 cr
λ≤λs
强度计算
Fcr cr A
Fcr cr A
FN [ ] A
压杆稳定
例题：压杆长300mm，截面2mm×10mm，两端铰支， E=2.0×105MPa，λ p=100，求压杆临界应力和临界力。
Q235钢 Q345钢
16Mn钢
200-210GPa 200-220GPa 200-220GPa
压杆稳定
压杆失稳的主要场合和对策
钢桁架结构
主要对策：增加杆件支承预防失稳。
脚手架、模板支撑
主要对策：加强现场施工安全管理。
压杆稳定
扣件式钢管脚手架、模板支撑注意事项
钢管无裂纹、弯曲、压扁、锈蚀；
压杆稳定
压杆的稳定条件
F [ ] A
折减系数Φ 由压杆柔度 λ 和材料查表
压杆稳定
压杆稳定
影响压杆稳定的因素
E L
材料 长度
I μ
截面 支座
压杆稳定
措施一 减小压杆长度 （影响显著）
增加支承等同于减小杆长
F F
1
A 2 3 (a)
4 B A
1 2 3
4 B
(b)
压杆稳定
宁波保国寺
压杆稳定
压杆稳定的应用——组合柱
压杆稳定
回 顾 计算临界力的欧拉公式：
压杆稳定
压杆稳定
临界应力和欧拉公式
临界应力：在临界力作用下，压杆横截面上的平均压应力。 惯性半径 柔度 矩形：
（无单位）
圆形：
临界应力的欧拉公式
cr
Fcr
压杆易失稳
压杆稳定
欧拉公式的适用范围
荷载不能超过规定值；
立杆底部设垫板、不悬空，支撑牢固； 设置扫地杆，横杆间距不能太大； 立杆间距不能过大； 设置连墙杆、抛撑、剪刀撑、连接牢固。
压杆稳定
小结
柔度？压杆的分类？
临界应力欧拉公式？ 提高压杆稳定性的措施？
作业
P.166 习题8-1
国外某桁架桥
压杆增加支承
压杆稳定
嘉兴体育场剖面
压杆增加支承
压杆稳定
高中园区图书馆 立柱增加支承
压杆稳定
措施二 改善支承条件
增强约束刚性
压杆稳定
措施三 选择合理截面
材料远离中性轴的空心截面（I 和 i 大）
(a)
√
(b)
√
(c)
√
(d)
√
压杆稳定
压杆在不同的方向上柔度应大致相等
两端铰支 μ1 = 1