二项式期权定价课件
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二项式期权定价
• 根据30△=20△+6， 得△=6／10=0.6。
• 第三步：投资组合的价值 到期时价值：30×0.6=20×0.6+6=18美元 当前价值：18×exp(-0.1×0.25)=17.56美 元
• 第四步：卖权的价值 根据p+25 △ =17.56 得p=17.56-25×0.6=2.56美元
二项式期权定价
• 上述投资组合既然是无风险的，在不存在套利 机会的情况下，其回报率一定等于无风险利率。
二项式期权定价
假定无风险利率为10％， 投资组合的期初价值为： 8美元×exp(-0.1×0.25)=8美元×0.975=7.8
美元 而投资组合的期初价值又等于25△-c 所以，25△-c=7.8美元 从而： C=25△-7.8美元=25×0.4-7.8美元=2.2美元 这个买权的价值或价格应该为2.2美元
尽管3个月时期权不能执行，但可以出售， 而其价格或价值根据一期的二项树模型可以从6个 月买权价值推出。 • 注意，我们仍以T代表一期即3个月的时间，因而 期权的到期时间为2T。
二项式期权定价
• f0=exp(-rT)[pfu+(1-p)fd] • =exp(-2rT)[p2fuu+2 p(1-p)fud+(1-p)2fdd]
• 假定卖出一个买权同 时买进△股股票的组 合，消除了风险，那 么此时构造了一个无 风险的组合。
投资 期初
到期
组合
ST=30ST=20
买进 -25△ 30 △ 20 △ 股票
卖出 C
-4
0
买权
总计 C - 30 △-4 20 △ 25△
二项式期权定价
在期权到期时，不管股票的价格为30美元还是 20美元，投资组合的价值应该是确定的。从而也 是相同的， 即有：30△-4=20△， • 因此，△=4／10=0.4 这样，无风险的投资组合应为： 买进0.4股股票同时卖出一个买权。 • 投资组合的到期价值为： 30×0.4-4=20×0.4=8美元。
二项式期权定价
• 已知一个欧式股票卖权，X=26美元；T=3 个月=0.25年；S=25美元；上升因子u=1.2， 下降因子d=0.8；无风险利率r=10％。
• 第一步：根据已知条件，做出股价二项树 图。
• 第二步：卖入一个卖权同时卖入△股票组 成无风险投资组合，求出△ 其中股票多头可以消除卖权多头的风险。
二项式期权定价
• 一、无红利股票美式期权 考虑到提前执行的选择，美式期权在任
二项式期权定价
• 借助于这一模型，就可以计算得出只有一 期股票价格变动的期权价格。
具体步骤为： 第一步，计算p 第二步，计算期Leabharlann Baidu到期的期望现金流量
pfu+(1-p)fd； 第三步，按无风险利率折现上述现金流量，
得出期权的(理论)价格。
二项式期权定价
• 在上例中，u=1.2，d=0.8；r=0.1；T=0.25； fu(买权)=4，fd(买权)=0；fu(卖权)=0，fd(卖 权)= 6。
求期权的价格？
二项式期权定价
• 下面尝试构造一个投资组合消除这种风险： 组合中包括股票多头和买权空头 如果能按合适的比例买进股票，同时卖
出买权，使得在股票上的盈余(亏损)正好被 买权上的亏损(盈余)所抵消，那么组合的风 险将被消除。
这时投资组合的价值在目前和将来的某 一时刻是确定的。
二项式期权定价
= exp(-0.1×0.25)×2.620=2.56美元。
二项式期权定价
• 两期二项树模型 假定欧式买权约定价格为56美元，到期时间
为6个月，标的股票当前价格为60，每3个月上升 或下降20％，无风险利率为10％。 • 如何根据上述股票价格的变化情况得出期初的买 权价格呢?
如果知道节点c u和c d时期权的价值，期初的 买权价格根据一期的二项树模型即可计算得出。 但现在，c u和c d不能从3个月时的股票价格直接 得出，因为此时期权不能执行。
二项式期权定价
• 一期二项树模型
以S代表股票的价格，f代表期权(买权或 卖权)的价格， △代表购进股票股数，T代 表一期的时间。
• Su△-fu=Sd△-fd
△=(fu- fd)/(Su-Sd)
• 若要构造无风险的组合，须购买的股票股 数等于期末期权价值的变动幅度与股票价 格的变动幅度之比，
• 或说同一期末两节点之间期权价值的差值 与股票价格的差值之比。
二项式期权定价
二项式模型与期权定价
二项式期权定价模型是由Cox，Ross和 Rubinstein等人提出的，研究者的最初动机 是以该模型为基础，为推导Black-Scholes 模型提供一种比较简单和直观的方法。但 是，随着研究的不断深入，二项式模型不 再仅仅是作为解决Black-Scholes模型的一 种辅助工具，它已经成为建立复杂期权(如 美式期权和非标准的变异期权)定价模型的 基本手段。
pfu(买权)+(1-p)fd(买 权)=0.563×4+0.437×0=2.253；
pfu(卖权)+(1-p)fd(卖权) =0.563×0+0.437×6=2.620；
c=exp(-rT)[pfu(买权)+(1-p)fd(买权)]
=exp(-0.1×0.25)×2.253=2.20美元；
p=exp(-rT[pfu(卖权)+(1-p)fd(卖权)]
二项式期权定价
• 投资组合到期价值的期初值或现值为S△一f 根据套利原理，应有： S△-f=(Su△-fu)exp(-rT) =(Sd△—fd)exp(-rT) 带入上面的△，整理得： • f =exp(-rT) [pfu+(1-p)fd] 其中， p= [exp(rT)-d]/(u-d) 注意，这里要求：0<p<l，即d<exp(-rT) <u。
第七章 二项树模型与期权估价
二项式期权定价
• 衍生金融产品定价问题是现代金融和财务 理论研究的难点和热点问题。
• 本章将以欧式股票期权为标准展开分析， 然后将有关理论应用到美式期权。
• 下面我们来介绍欧式项式期权定价。
二项式期权定价
估算实例
一个欧式股票买权，约定价格为26美元，到 期时间为3个月。标的股票当前价格为25美元， 假设到期时，股价将有两种可能：或上升到30 美元或下降到20美元.假定无风险利率为10％.
• 根据30△=20△+6， 得△=6／10=0.6。
• 第三步：投资组合的价值 到期时价值：30×0.6=20×0.6+6=18美元 当前价值：18×exp(-0.1×0.25)=17.56美 元
• 第四步：卖权的价值 根据p+25 △ =17.56 得p=17.56-25×0.6=2.56美元
二项式期权定价
• 上述投资组合既然是无风险的，在不存在套利 机会的情况下，其回报率一定等于无风险利率。
二项式期权定价
假定无风险利率为10％， 投资组合的期初价值为： 8美元×exp(-0.1×0.25)=8美元×0.975=7.8
美元 而投资组合的期初价值又等于25△-c 所以，25△-c=7.8美元 从而： C=25△-7.8美元=25×0.4-7.8美元=2.2美元 这个买权的价值或价格应该为2.2美元
尽管3个月时期权不能执行，但可以出售， 而其价格或价值根据一期的二项树模型可以从6个 月买权价值推出。 • 注意，我们仍以T代表一期即3个月的时间，因而 期权的到期时间为2T。
二项式期权定价
• f0=exp(-rT)[pfu+(1-p)fd] • =exp(-2rT)[p2fuu+2 p(1-p)fud+(1-p)2fdd]
• 假定卖出一个买权同 时买进△股股票的组 合，消除了风险，那 么此时构造了一个无 风险的组合。
投资 期初
到期
组合
ST=30ST=20
买进 -25△ 30 △ 20 △ 股票
卖出 C
-4
0
买权
总计 C - 30 △-4 20 △ 25△
二项式期权定价
在期权到期时，不管股票的价格为30美元还是 20美元，投资组合的价值应该是确定的。从而也 是相同的， 即有：30△-4=20△， • 因此，△=4／10=0.4 这样，无风险的投资组合应为： 买进0.4股股票同时卖出一个买权。 • 投资组合的到期价值为： 30×0.4-4=20×0.4=8美元。
二项式期权定价
• 已知一个欧式股票卖权，X=26美元；T=3 个月=0.25年；S=25美元；上升因子u=1.2， 下降因子d=0.8；无风险利率r=10％。
• 第一步：根据已知条件，做出股价二项树 图。
• 第二步：卖入一个卖权同时卖入△股票组 成无风险投资组合，求出△ 其中股票多头可以消除卖权多头的风险。
二项式期权定价
• 一、无红利股票美式期权 考虑到提前执行的选择，美式期权在任
二项式期权定价
• 借助于这一模型，就可以计算得出只有一 期股票价格变动的期权价格。
具体步骤为： 第一步，计算p 第二步，计算期Leabharlann Baidu到期的期望现金流量
pfu+(1-p)fd； 第三步，按无风险利率折现上述现金流量，
得出期权的(理论)价格。
二项式期权定价
• 在上例中，u=1.2，d=0.8；r=0.1；T=0.25； fu(买权)=4，fd(买权)=0；fu(卖权)=0，fd(卖 权)= 6。
求期权的价格？
二项式期权定价
• 下面尝试构造一个投资组合消除这种风险： 组合中包括股票多头和买权空头 如果能按合适的比例买进股票，同时卖
出买权，使得在股票上的盈余(亏损)正好被 买权上的亏损(盈余)所抵消，那么组合的风 险将被消除。
这时投资组合的价值在目前和将来的某 一时刻是确定的。
二项式期权定价
= exp(-0.1×0.25)×2.620=2.56美元。
二项式期权定价
• 两期二项树模型 假定欧式买权约定价格为56美元，到期时间
为6个月，标的股票当前价格为60，每3个月上升 或下降20％，无风险利率为10％。 • 如何根据上述股票价格的变化情况得出期初的买 权价格呢?
如果知道节点c u和c d时期权的价值，期初的 买权价格根据一期的二项树模型即可计算得出。 但现在，c u和c d不能从3个月时的股票价格直接 得出，因为此时期权不能执行。
二项式期权定价
• 一期二项树模型
以S代表股票的价格，f代表期权(买权或 卖权)的价格， △代表购进股票股数，T代 表一期的时间。
• Su△-fu=Sd△-fd
△=(fu- fd)/(Su-Sd)
• 若要构造无风险的组合，须购买的股票股 数等于期末期权价值的变动幅度与股票价 格的变动幅度之比，
• 或说同一期末两节点之间期权价值的差值 与股票价格的差值之比。
二项式期权定价
二项式模型与期权定价
二项式期权定价模型是由Cox，Ross和 Rubinstein等人提出的，研究者的最初动机 是以该模型为基础，为推导Black-Scholes 模型提供一种比较简单和直观的方法。但 是，随着研究的不断深入，二项式模型不 再仅仅是作为解决Black-Scholes模型的一 种辅助工具，它已经成为建立复杂期权(如 美式期权和非标准的变异期权)定价模型的 基本手段。
pfu(买权)+(1-p)fd(买 权)=0.563×4+0.437×0=2.253；
pfu(卖权)+(1-p)fd(卖权) =0.563×0+0.437×6=2.620；
c=exp(-rT)[pfu(买权)+(1-p)fd(买权)]
=exp(-0.1×0.25)×2.253=2.20美元；
p=exp(-rT[pfu(卖权)+(1-p)fd(卖权)]
二项式期权定价
• 投资组合到期价值的期初值或现值为S△一f 根据套利原理，应有： S△-f=(Su△-fu)exp(-rT) =(Sd△—fd)exp(-rT) 带入上面的△，整理得： • f =exp(-rT) [pfu+(1-p)fd] 其中， p= [exp(rT)-d]/(u-d) 注意，这里要求：0<p<l，即d<exp(-rT) <u。
第七章 二项树模型与期权估价
二项式期权定价
• 衍生金融产品定价问题是现代金融和财务 理论研究的难点和热点问题。
• 本章将以欧式股票期权为标准展开分析， 然后将有关理论应用到美式期权。
• 下面我们来介绍欧式项式期权定价。
二项式期权定价
估算实例
一个欧式股票买权，约定价格为26美元，到 期时间为3个月。标的股票当前价格为25美元， 假设到期时，股价将有两种可能：或上升到30 美元或下降到20美元.假定无风险利率为10％.