3.3 静定平面刚架
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第三章静定平面刚架讲解
A C
x
L
B 斜梁的反力与相应简支 梁的反力相同。
（2）内力 求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC：
a
相应简支梁C点的内力为：
FP1 A
FYA
x
MC FNC C
FQC
MC0
=
FY
0 A
x
FP1 (x
a)
FQ0C = FY A FP1 FN0C = 0
Fp1 M0
C
斜梁C点的内力为：
MC = FYA x FP1 (x a) = MC0
F0 YA
F0 QC
FQC = (FYA FP1)Cos = FQ0CCos
FNC = (FYA FP1)Sin = FQ0CSin
结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同， 剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁 切口及轴线上的投影。
例：求图示斜梁的内力图。
q
A
L
解：a、求反力
B
XA =0
FNDC=8k0N
A
MDC=24kN.m（下拉）
FQDB=8kN D FNDB=6kN
MDB=16kN.m（右拉）
8kN
B
6kN C 6kN
2m
8kN
B24kN.m
6kN
4m
6kN
－6kN 8kN
∑Fx = 8－8 = 0 ∑Fy = －6－（－6） = 0
16kN.m 6kN
∑M = 24－8 － 16 = 0
Fx = 0 : FNCE = 0 .45 kN
校核 Fy= (3.13+0.45)sin +(1.793.58)cos
= 3.58 1.79×2 = 0
结构力学§3-3 静定平面刚架
6m
20kN
2m
[例3] 作“三铰式刚架”的内力 图 解：1）求竖向支反力
20kN/m C
3）作弯矩图
20kN/m 40 40
4）求作剪力图
取斜杆DC段为隔离体：
20kN/m
120
120
20kN
120 D
C FQCD
80kN
弯矩图 kN∙m
80kN
20kN
FQDC
M
M
C
0
0
FQDC
FQCD
b.分段叠加法求作M图(受拉侧)。
3）求作FQ图: 4）求作FN图: 5）校核 a.核M 取任意结点有∑M=0 取任意部分有∑X=0、 ∑Y=0 b.核FQ 、 FN 以截面的一边为分离体求FQ 、 FN， 图可画在任一侧，必须标＋、－。
由于结构是对称的，因此：
D
α
E
20 8 FYA FYB 80kN () 2
120 20 4 2 62.6kN 16 4
E
62.6
＋
M
FQCE
0
- 20
20
20kN
20kN
120 20 4 2 8.9kN 16 4
80kN
剪力图 kN
80kN
5）求作轴力图 取D结点为隔离体：
2 4
FNDC
D FQDA
20kN
α
FQDC
2）求水平支反力
20kN
A 8m
B
80kN
80kN
竖向荷载会引起水平反力是“三铰式刚架”的重要特点! 必须取C铰左(或右)边为隔离体才能求出。 取AC部分为隔离体：
FXB FXA 20kN ()
§3-3 静定平面刚架
qa ∑ M A = 0，FyB = (↑) 2 qa ∑ Fy = 0，FyA = − (↓) 2
qa
q
A
qa 2
qa 2
Step2：求控制截面的内力。设弯矩内侧受拉为正。
FNAC
M AC
M AC = 0 FQAC = qa FNAC qa = 2
M CB
FNCB
C
B qa
FQCB
2
qa
F A QAC
FNBA
M BA
M BC = −6.23KN .m FQBA M = −6.23KN .m BA FQBC = 3.86 KN FNBC = −2.74 KN FQBA = −1.348 KN FNBA = −4.5 KN
1.384 KN 4.5 KN
A
1KN / m
FNCB
FQCB
M CB
C B A 1.384 KN 4.5 KN
§3-3 静定平面刚架
平面刚架：由直杆组成的具有刚结点的结构，且各杆轴线和外力作用 线都处于同一平面内。
一、刚架的特征
变形特征：刚结点处，各杆端不能产生 变形特征 相对移动和转动，变形前后各杆所夹角 度不变。
受力特征：刚结点能够承 受力特征 受和传递弯矩 使 结构中内力分布相对比较 均匀、合理，减小弯矩的 峰值，节省材料
3、组合刚架：先进行几何组成分析，分清附属部分和基本部分，先计 算附属部分的支座反力，再计算基本部分的支座反力
例1：三铰刚架支座反力的求解
思路：尽量每列一个方程就能求解一个未知力 FAy=30KN(↑),FBy=10KN(↑) FBx=6.67KN(←) ,FAx=6.67KN(→)
例2：组合刚架支座反力的求解
qa
q
A
qa 2
qa 2
Step2：求控制截面的内力。设弯矩内侧受拉为正。
FNAC
M AC
M AC = 0 FQAC = qa FNAC qa = 2
M CB
FNCB
C
B qa
FQCB
2
qa
F A QAC
FNBA
M BA
M BC = −6.23KN .m FQBA M = −6.23KN .m BA FQBC = 3.86 KN FNBC = −2.74 KN FQBA = −1.348 KN FNBA = −4.5 KN
1.384 KN 4.5 KN
A
1KN / m
FNCB
FQCB
M CB
C B A 1.384 KN 4.5 KN
§3-3 静定平面刚架
平面刚架：由直杆组成的具有刚结点的结构，且各杆轴线和外力作用 线都处于同一平面内。
一、刚架的特征
变形特征：刚结点处，各杆端不能产生 变形特征 相对移动和转动，变形前后各杆所夹角 度不变。
受力特征：刚结点能够承 受力特征 受和传递弯矩 使 结构中内力分布相对比较 均匀、合理，减小弯矩的 峰值，节省材料
3、组合刚架：先进行几何组成分析，分清附属部分和基本部分，先计 算附属部分的支座反力，再计算基本部分的支座反力
例1：三铰刚架支座反力的求解
思路：尽量每列一个方程就能求解一个未知力 FAy=30KN(↑),FBy=10KN(↑) FBx=6.67KN(←) ,FAx=6.67KN(→)
例2：组合刚架支座反力的求解
第三章3静定结构受力分析(平面刚架)
MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1)
2） 对中间铰C建立矩平衡方程 qa
MB=0.5qa2+2aXB -aYB=0 (2) 解方程(1)和(2)可得
a
XB=0.5qa YB=1.5qa 3） 再由整体平衡 X=0 解得 XA=-0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa
qa/X2 A YA
1/2qa2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
1/2qa2
A
a
a
qa2 q
B XqBa/2 YB
2 绘制弯矩图
注意：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！！
画三铰刚架弯矩图
CM
O M
M/2
M/2
a
C
A
B
a
a
Mo=m－2a×XB=0, 得 XB=M/2a
注意：
A
RA
B
XB
YB
1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，
§3-3 静定平面刚架
一. 刚架的受力特点
梁
1 8
ql2
l
1 ql2 8
刚架
桁架
弯矩分布均匀 可利用空间大
§3-3 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算
静定刚架的分类:
三铰刚架 (三铰结构)
简支刚架 悬臂刚架
单体刚架 (联合结构)
复合刚架 (主从结构)
1.单体刚架(联合结构)的支座反力(约束力)计算
三. 刚架指定截面内力计算
四.刚架的内力分析及内力图的绘制
①分段：根据荷载不连续点、结点分段。 ②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 ③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。
第3章静定梁和静定平面刚架
1、悬臂刚架 2、简支刚架 、
3、三铰刚架 、
4、复合桁架（主从刚架） 、复合桁架（主从刚架）
三、绘制刚架内力图的步骤 ①求刚架的支座反力 将刚架拆成若干根杆件， ②将刚架拆成若干根杆件，求各杆件的杆端内 力 由杆端内力作各杆内力图， ③由杆端内力作各杆内力图，将各杆内力图组 合在一起就是刚架内力图 校核（选结点或结构的某部分） ④校核（选结点或结构的某部分）
4kN·m
4kN
8kN·m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
（1）集中荷载作用下 ）
（1）悬臂段分布荷载作用下 ）
4kN·m 2kN·m
6kN·m
（2）集中力偶作用下 ）
4kN·m 2kN·m
（2）跨中集中力偶作用下 ）
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图 ）
4kN·m
（3）叠加得弯矩图 ）
6kN·m 4kN·m
FCy
FAy
FBy
3) 绘制内力图。 绘制内力图。 各段梁的约束反力求出后，可以根据图(c)计 各段梁的约束反力求出后，可以根据图 计 算各控制截面上的内力， 并逐段绘制内力图(此 算各控制截面上的内力 ， 并逐段绘制内力图 此 处将计算过程略去)。 处将计算过程略去 。 最后将各段梁的内力图连 接在一起就是所求的多跨静定梁的内力图［ 接在一起就是所求的多跨静定梁的内力图［图 (d， ， e)］。 ］
步骤： 选定外力的不连续点（集中力作用点、 步骤：①选定外力的不连续点（集中力作用点、
集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控 集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点） 制截面，首先计算控制截面的弯矩值； 制截面，首先计算控制截面的弯矩值； 分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时， ②分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩 图为连接控制截面弯矩值的直线； 图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间 存在荷载时， 存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的 直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩 值。
3、三铰刚架 、
4、复合桁架（主从刚架） 、复合桁架（主从刚架）
三、绘制刚架内力图的步骤 ①求刚架的支座反力 将刚架拆成若干根杆件， ②将刚架拆成若干根杆件，求各杆件的杆端内 力 由杆端内力作各杆内力图， ③由杆端内力作各杆内力图，将各杆内力图组 合在一起就是刚架内力图 校核（选结点或结构的某部分） ④校核（选结点或结构的某部分）
4kN·m
4kN
8kN·m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
（1）集中荷载作用下 ）
（1）悬臂段分布荷载作用下 ）
4kN·m 2kN·m
6kN·m
（2）集中力偶作用下 ）
4kN·m 2kN·m
（2）跨中集中力偶作用下 ）
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图 ）
4kN·m
（3）叠加得弯矩图 ）
6kN·m 4kN·m
FCy
FAy
FBy
3) 绘制内力图。 绘制内力图。 各段梁的约束反力求出后，可以根据图(c)计 各段梁的约束反力求出后，可以根据图 计 算各控制截面上的内力， 并逐段绘制内力图(此 算各控制截面上的内力 ， 并逐段绘制内力图 此 处将计算过程略去)。 处将计算过程略去 。 最后将各段梁的内力图连 接在一起就是所求的多跨静定梁的内力图［ 接在一起就是所求的多跨静定梁的内力图［图 (d， ， e)］。 ］
步骤： 选定外力的不连续点（集中力作用点、 步骤：①选定外力的不连续点（集中力作用点、
集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控 集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点） 制截面，首先计算控制截面的弯矩值； 制截面，首先计算控制截面的弯矩值； 分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时， ②分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩 图为连接控制截面弯矩值的直线； 图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间 存在荷载时， 存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的 直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩 值。
3-3静定平面刚架
然后先由A.B支座开始 作弯矩图.
32
15:58
P
2P
2P h
2Ph
Ph Ph
Ph
2Ph 2Ph Ph
a
a
a
2a
33
五、对称性的利用：对称结构在对称荷载作用下， 反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷载作 用下，反力和内力都呈反对称分布。
m m m
15:58
q ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
E
q=20kN/m
仅绘M图,并不需要 求出全部反力. 先由AD ∑Y=0 得 YA=80kN 再由整体 ∑X=0 得 XB=20kN
120 C 120 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 60
60 180
MEA=80×6-½×20 ×6²=120 20kN
2m
62.5
3m
20kN 4m 2m
B 5m
M图 kM.m
15:58
3）三铰型
两个铰支座和一个顶铰。四个支座反力。三 个整体平衡条件加顶铰的平衡方程。 a）
10
M
C
0 b） FQC 0 c） FNC 0
4）复合型刚架 由简单刚架组合而成，具有基本部分和附 属部分，计算应先附属后基本。
15:58
11
例
M
P D E O F G
3a 6a
A
18
5）校核
C qa 2 2 qa 2 qa 2 + 4 8 A qa 2 2 B
15:58
C
C
B qa 2
B
qa 2
M图
qa
A
FQ图
C qa 2
2 2
A
结构力学课件 第三节平面刚架
FP FP FP
G
H
I
a FP a FP a FP a a B a/2 M图 C FP a a/2 FP a D a/2 FP a FP a FP a a/2 F
A
E
【例3-16】试求作图3-33a所示多跨刚架的弯矩图。
20kN/m C F 10kN/m E A B H G D 20kN/m K I 4m 4m
例
作下图所示刚架的弯矩图。
【例3-14】试绘出图3-31a所示静定结构在荷载 作用下的弯矩图轮廓。
6 7
8
9
10
11 12
13
14 15
16 17 18
1
2
3
4
5
7 6
8
9 10 11 12 3 13
14
15
16 17 18
1
2
4
5
【例3-15】试求作图3-32所示刚架的弯矩图(不求支反力)。
cosa = 0.894 sina = 0.447
FAx=11.43kN
FBx=11.43kN
A
2m
FBy=17.14kN B A
9 1.0 M图(kN· m) 5 C ND F
4m
FAy=62.86kN
4m
FQCD m 4.47
.0 51
9
F NDC
解：DC(1) 求支反力 FQ
FQCD .47m
3) 取图3-32h所示隔离体，由∑Fx = 0，可得
FNCE×0.894+10.22×0.447+11.43 = 0 F NCD
FNCE = -17.90 kN .43
20
x
FN
2.58
G
H
I
a FP a FP a FP a a B a/2 M图 C FP a a/2 FP a D a/2 FP a FP a FP a a/2 F
A
E
【例3-16】试求作图3-33a所示多跨刚架的弯矩图。
20kN/m C F 10kN/m E A B H G D 20kN/m K I 4m 4m
例
作下图所示刚架的弯矩图。
【例3-14】试绘出图3-31a所示静定结构在荷载 作用下的弯矩图轮廓。
6 7
8
9
10
11 12
13
14 15
16 17 18
1
2
3
4
5
7 6
8
9 10 11 12 3 13
14
15
16 17 18
1
2
4
5
【例3-15】试求作图3-32所示刚架的弯矩图(不求支反力)。
cosa = 0.894 sina = 0.447
FAx=11.43kN
FBx=11.43kN
A
2m
FBy=17.14kN B A
9 1.0 M图(kN· m) 5 C ND F
4m
FAy=62.86kN
4m
FQCD m 4.47
.0 51
9
F NDC
解：DC(1) 求支反力 FQ
FQCD .47m
3) 取图3-32h所示隔离体，由∑Fx = 0，可得
FNCE×0.894+10.22×0.447+11.43 = 0 F NCD
FNCE = -17.90 kN .43
20
x
FN
2.58
《结构力学》_龙驭球_第3章_静定结构的受力分析(2)
一、求支座反力
40 kN
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立 独立方程。
B
D
C
20 kN/m
4m
MA 0 FY 0
FDY 4 40 2 (20 4) 2 0 FDY 60kN () FAY 40 60 0 FAY 20kN ()
FX 0 FAX 80kN ()
二、绘制内力图
⑴ 分段：根据荷载不连续点、结点；
解，本题剪力很容易用投影方程求得。
4kN/m
1kN
C
MDE D
E
8
14kN
4m
1kN B 4m
2kN
28 24
4
4D
8
E
F
A
B
M 图（kN·m）
14
D
E
2
2
16
1
F
A
B
FQ 图（kN）
③ 作FN 图 各杆轴力可以用投影方程求
解。也可根据剪力图， 取各结点 为隔离体，用投影方程求轴力。
④ 校核
16
14
40
载和B端外力偶作用的简支梁(图C)。
画M图时，将 B 端弯矩竖标画在受拉 80 A
侧，连以虚直线，再叠加上横向荷载产生
20
的简支梁的弯矩图，如图(d)示。
(b)
A
A
(c)
(d)
B 160
D
160
120
20 60
120
20
A M图 (kN·m）
80 F Q 图（kN)
F N 图（kN)
练习3-3.1：试计算图示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、F Q 和 F N 图。
Fx 0, FBx 2 11kN()
3.3 静定刚架
§3-3 静定平面刚架
一刚、结平点面与刚铰架结结点构比特较点：：
刚架:由梁和柱组成的含有刚结点的杆件结构
优（点1）:将变梁形柱角形度成:一刚个结刚点性处整各体杆，不使能结相构对具转有动较大；的刚度 （2内）力受分力布角比度较：均刚匀结合点理可，以内部承空受间和大传。递弯矩。
q
1 ql 2 8
q
梁
1 ql 2 8
27.5KN
52.5KN
FNDE
M DE
D
FQDE
E
5 kN
52.5kN
MD 0
5kN 4m MDE 0
M DE 20kN m右侧受拉
Fx 0 , FQDE 5kN
Fy 0 , FNDE 52.5kN
16kN / m
2m 5KN C
B
2m
A
DF
E
5KN
4m
1m
⑤ DF杆
F端悬臂，所以：MFD 0
D
C
E
q
l
A
FAx
l /2
FAy
B
FBx
l /2
FBy
例5, 作图示三铰刚架内力图。
D
C
E
q
l
1、求支座反力
MB 0
l FAy l ql 2 0
ql FAy 2
Fy 0
FAy FBy 0
FAx
A
l /2
FAy FCx C
B l /2
FBy
FBx
ql FBy 2
Fx 0 FAx ql FBx 0
D
C
E
② DC杆
取AD隔离体
q
l
3ql
l
一刚、结平点面与刚铰架结结点构比特较点：：
刚架:由梁和柱组成的含有刚结点的杆件结构
优（点1）:将变梁形柱角形度成:一刚个结刚点性处整各体杆，不使能结相构对具转有动较大；的刚度 （2内）力受分力布角比度较：均刚匀结合点理可，以内部承空受间和大传。递弯矩。
q
1 ql 2 8
q
梁
1 ql 2 8
27.5KN
52.5KN
FNDE
M DE
D
FQDE
E
5 kN
52.5kN
MD 0
5kN 4m MDE 0
M DE 20kN m右侧受拉
Fx 0 , FQDE 5kN
Fy 0 , FNDE 52.5kN
16kN / m
2m 5KN C
B
2m
A
DF
E
5KN
4m
1m
⑤ DF杆
F端悬臂，所以：MFD 0
D
C
E
q
l
A
FAx
l /2
FAy
B
FBx
l /2
FBy
例5, 作图示三铰刚架内力图。
D
C
E
q
l
1、求支座反力
MB 0
l FAy l ql 2 0
ql FAy 2
Fy 0
FAy FBy 0
FAx
A
l /2
FAy FCx C
B l /2
FBy
FBx
ql FBy 2
Fx 0 FAx ql FBx 0
D
C
E
② DC杆
取AD隔离体
q
l
3ql
l
结构力学之静定刚架
复杂程度和难度。
8
4、主从刚架（有附属部分） q P
D
FXD (a) C 整体隔离 X
Q
=0
MB = 0
FXA
Y =0
FYA
FYB
B FYB
A FYA
FXA
q
P
D FXD
9
C
FYC
FXC 局部隔离
MC = 0
FXD
四
刚架的杆端内力分析及内力图的绘制
1、刚架杆件的截面内力有弯矩、剪力、轴向力，以弯矩为主。 2、杆端内力表示，用杆件近、远端的标志作为下标以示区别。 3、内力杆端，用截面法，选取合理的隔离体，用平衡条件计算。 4、杆件内力与载荷的关系与梁相同，所以，计算杆端内力后， 可画出内力图。 5、刚架的内力的正负号规定同梁。各内力图均以杆轴为基线， 垂直杆轴画出。弯矩不规定正负，但规定弯矩竖标画在受拉侧； 在同一杆上的轴力或剪力图，若异号则分画在杆轴两侧，若同 号则在杆轴任一侧，但须在图中注明正负号。
A
M
B
l
ql
QBA = 0, QAB = ql
l ql 2 / 2
ql
QAB = ql
QBA = 0
P/2
ql
Q
ql
ql
34
六.由做出的剪力图作轴力图
Pa / 2
Pa / 2 A Pa
P B
P/2
P
Pa / 2
P/4
M
2a
P/4
P/4
Q
P/4
a
a
a
A
P/2 P/2 B P/4 P/4 P/2
P/4
M CB = q 4 2 = 80 kN m
结构力学作业
一、判断1.(5分)图（a）对称结构可简化为图（b）结构来计算。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析2.(5分)图示对称刚架，在反对称荷载作用下，半边结构图（c）所示。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案错误解析3.(5分)图示简支斜梁，在荷载P作用下，若改变B支座链杆方向，则梁的内力将是M、N不变，Q改变。
（）••纠错得分：5知识点：3.2 多跨静定梁的内力分析展开解析答案错误解析4.(5分)计算图示桁架中指定杆件内力，各杆EA=常数，N2=−P/2。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析5.(5分)图（a）所示桁架结构可选用图（b）所示的体系作为力法基本体系。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析6.(5分)图示对称结构，EI=常数;较简便的力法基本结构如图所示。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析7.(5分)图示结构中杆AC由于加热伸长了Δ，则杆AB的变形是0。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学,3.3 静定平面刚架的内力分析展开解析答案正确解析8.(5分)图示结构EI=常数，求K点的竖向位移时，由图乘法得:ΔK=（1/EI）×y1ω1。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案错误解析9.(5分)图示体系的几何组成为几何不变，无多余联系。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析10.(5分)图示为一刚架的力法基本体系，E=常数。
其δ12为EI/8。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案错误解析11.(5分)图示刚架，EI=常数，B点的竖向位移（↓）为Pl3/（6EI）。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学,3.3 静定平面刚架的内力分析展开解析答案错误解析12.(5分)下图能用力矩分配法计算。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案错误解析13.(5分)图示结构EI=常数，在给定荷载作用下，固定端的反力矩为，逆时针旋转。
3 静定梁和刚架
（2）内力计算 D截面内力计算
， ，
隔离体受力分析 根据选择的隔离体，由相应的静力平衡方程，可得
L FQD 0
R FQD 2qa
， ， ，
M D 2qa2
同理，可得其余各控制截面的剪力和弯矩为
FQA 2qa
FQC 0
M C 2qa2
FQB 2qa
MB 0
MA 0
L FQC FQD 10kN
R FQD 30kN
FQH FQE 10kN
FQ 图（kN）
§3.3
静定平面刚架的内力分析
3.3.1 静定平面刚架的特点
刚架是由梁和柱等直杆组成的具有刚性结点的结构。若各杆轴 线和荷载均在同一平面内，称为平面刚架；不在同一平面内，则称 为空间刚架。 平面刚架的基本几何组成形式有悬臂刚架、简支刚架和三铰刚架。
件不能发生相对转动，故汇交于联结处的各杆端之间的夹角始终 保持不变。 如图所示。
从受力角度来说，由于刚结点对杆件相对转动的约束作用， 使其可以承受和传递全部内力（包括弯矩、剪力和轴力），并使 刚架中弯矩的分布更加均匀，有利于材料性质的发挥。
3.3.2 静定平面刚架内力图的绘制及校核
静定刚架结构内力图的绘制，一般是先用截面法计算出各杆
目录
上页
3 静定梁和静定 平面刚架的内力分析
下页
内容提要
本章主要内容为单跨静定梁的内力计算及内力图的绘制；
多跨静定梁的组成特点及层次图，多跨静定梁的内力分析和内
目录
力图；静定平面刚架的内力计算、内力图的绘制及校核。本章 教学内容的重点是：静定梁和静定平面刚架的内力图的绘制 。
上页
能力要求
通过本章的学习，学生应熟练掌握截面法计算任一指定
静定平面刚架
§3-3 静定平面刚架一、刚架的特点由直杆组成，具有刚结点的结构。
桁架刚架1、刚架的内部空间大，空间分隔灵活，便于使用。
2、刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。
3、刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
刚结点的变形特点？ql 2/8二、静定平面刚架的型式1、悬臂刚架2、简支刚架3、三铰刚架4、复合刚架（主从刚架）单体刚架两刚片规则组成三刚片规则组成附属部分基本部分基本部分附属部分有基本部分和附属部分三、工程应用举例钢筋混凝土框架结构钢筋混凝土框架结构广泛用于住宅、学校、办公楼；钢框架结构钢框架结构常用于大跨度的公共建筑、多层工业厂房和一些特殊用途的建筑物中，如剧场、商场、体育馆、火车站、展览厅、造船厂、飞机库、停车场、轻工业车间等。
全木框架结构四层全木榫铆结构的框架，瑞士媒体公司tamedia 的新总部，瑞士最大的木材框架结构建筑，约2000m3云杉完成。
门式刚构桥云南的“红河大桥”世界最高(建成时)的连续刚构桥，桥面距江面高度163米.58+182+265+194+70米V形刚构桥连续刚构桥斜腿刚构桥例3: 求约束力。
解:1)取AB 为隔离体,0 Cy y F F )(,0 ql F FAy y)(,0 ql F M By A2)取AC 为隔离体3)取AB 为隔离体)(2/,0 ql F MAx C)(2/,0 ql F F Cx x)(2/,0 ql F F F Ax Bx xAlClBlql2qCyF CxF CAxF AyF AA ql2BAyF AxF ByF Bx F例4: 求反力和约束力。
解: 1) 取BCE 为隔离体,0 Axx FF 2) 取整体为隔离体)(3,03,0 F F l F l F M ByBy A 0,0 Bx xF F )(2,0,0 F F F F FF Ay By Ayy3) 取BCE 为隔离体)(4 ,0,0 F F l F l F l F MNEF NEF By C)(6,0 F F FNCD ylBxF llEFA CDBAyF AxF By F FlNCDF NEFF ECBBxF ByF F3.主从刚架(复合刚架)方法: 先算附属部分,后算基本部分,计算顺序与几何组成顺序相反.解:1) 取附属部分2)取基本部分)(4/ F F Dy )(4/F F Cy )( F F Dx )(4/ F F By )( F F Ay )( F F Ax 若附属部分上无外力,附属部分上的约束力是否为零?FAC2/l 4/l BAy F AxF By F DCyF 4/l llDxF DyF FCDCyF ABAyF Ax F ByF DyF DxF思考题图示体系支反力和约束力的计算途径是怎样的?FFFF思考题图示体系支反力和约束力的计算途径是怎样的?F FlFFFl F思考题图示体系支反力和约束力的计算途径是怎样的?FFFF注意：①正确地选取隔离体。
第3章 静定刚架
∥
13
例 作图示三铰刚架内力图。 1kN/m C D E 2m 4.5m B 6m FxB 1.385kN
FxA A 1.385kN 6m FyA 4.5kN
FyB 1. 5kN
14
D
E
M
B
0
FyA (1 6 9) /12 4.5kN ()
FxA A 6m FyA
B 6m
FyB
§3-3 静定平面刚架
一、刚架的特点
几何可变体系
桁架
刚架
1、刚架的内部空间大，便于使用。 2、刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 3、刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8 ql2/8
1
常见的静定刚架类型： 1、悬臂刚架
2、简支刚架
4kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
D
E
H
刚架的杆端力注意的几点：
①注意内力正负规定。②正确地选取分离体。 ③结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字 母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。 ④注意结点的平衡条件！！ NDC QDC
8kN
QDA MDA NDA MDC A 8kN =－6kN QDC 6kN
1m 2m
QDA=8kN NDB MDB NDA=0 QDB D MDC=8kN.m（左拉）
NDC=0 C MDC=24kN.m（下拉）
D
6kN QDB=8kN NDB=6kNB 8kN MDB=16kN.m（右拉）
8kN 6kN
B
6kN
4m
8
QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉） QDC=－6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉） QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉） ∑X = 8－8 = 0
3.3 静定平面刚架
支 反 力：可不求支反力； 计算顺序: 从悬臂端向支座端； 从外围向中间。
解题方法：悬臂梁法；
悬臂梁与简支梁法
q
B C A 1.5a
P
a D (a)
D
C E √ F G J
l P
a
a
(b)
P l
(c)
D
(d) pl
F G
2pl pl
E
B
B
l l
FBV FAH
l
pl C FBV FAH
l
pl
P
l l l
根据已知 V，利用投影方程，求杆件轴力值。
3) 关于N 图的绘制：对于比较复杂的情况，可取结点为隔离体，
【说明2】绘图规定:
1、M图约定绘在刚架的杆件受拉一侧，不标注正负号； 2、Q图和N图可绘在杆件的任一侧，但必须标注正负 号，一般杆左或杆上为正，杆右或杆下为负； 其符号正负规定与梁相同。
【说明3】关于简单刚结点的概念，节点平衡
20kN· m
2m C E A
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
8kN· m
4kN
2m
B 4m
FBx=4kN MDC(求) 24kN· m D 2m
16kN· m
FAy=17kN
FBy=45k N
⑤ 杆CD：利用结点C和D隔离体(图3-24b、c)的力矩平衡条件， 可求出杆CD两端二控制截面的弯矩为: MCD = 20+8 = 28 kN·m (“箭尾”侧即上侧受拉) MDC = 24+16 = 40 kN·m (“箭尾”侧即上侧受拉)
E 3a
a
MDC=MCE=2qa2(左侧受拉)；
解题方法：悬臂梁法；
悬臂梁与简支梁法
q
B C A 1.5a
P
a D (a)
D
C E √ F G J
l P
a
a
(b)
P l
(c)
D
(d) pl
F G
2pl pl
E
B
B
l l
FBV FAH
l
pl C FBV FAH
l
pl
P
l l l
根据已知 V，利用投影方程，求杆件轴力值。
3) 关于N 图的绘制：对于比较复杂的情况，可取结点为隔离体，
【说明2】绘图规定:
1、M图约定绘在刚架的杆件受拉一侧，不标注正负号； 2、Q图和N图可绘在杆件的任一侧，但必须标注正负 号，一般杆左或杆上为正，杆右或杆下为负； 其符号正负规定与梁相同。
【说明3】关于简单刚结点的概念，节点平衡
20kN· m
2m C E A
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
8kN· m
4kN
2m
B 4m
FBx=4kN MDC(求) 24kN· m D 2m
16kN· m
FAy=17kN
FBy=45k N
⑤ 杆CD：利用结点C和D隔离体(图3-24b、c)的力矩平衡条件， 可求出杆CD两端二控制截面的弯矩为: MCD = 20+8 = 28 kN·m (“箭尾”侧即上侧受拉) MDC = 24+16 = 40 kN·m (“箭尾”侧即上侧受拉)
E 3a
a
MDC=MCE=2qa2(左侧受拉)；
结构力学教学多媒体第三章 静定结构3-3静定刚架
E
取整体 ∑FX=0, 得 FBX=5kN(←)
5kN 杆AE：只受轴向外力，M≡0 AE：只受轴向外力，
20 20 75 45 0
40 30
杆CE：MCE=5×4=20kN m（外） =5×4=20kN·m CE： 杆BD：MB=0，MDB=5×6=30kN·m（外） ： ， × （ =20kN·m 杆CD：MCD=MCE=20kN m（外） ： =10+5× kN·m MDC=10+ ×6=40kN m（外） kN
两个杆端弯矩求出后， 两个杆端弯矩求出后，用简支梁 叠加法画出M 叠加法画出M图。
例3 作刚架的弯矩图。
Fa Fa 0 Fa
Fa Fa
Fa
解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本”的 顺序计算悬臂部分，M图直接绘制。
。
例4 三铰刚架：P58例3-5
M图绘制手法：少求或不求反力绘制弯矩图
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。 基本技巧：
（c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。
例1 作图示刚架的内力图
42kN↑ ←48kN 22kN↓
由∑X=0 可得： MCD= F FAx=48kN←， By=42kN↑ HA=6×8=48kN← （左） 由∑M144 可得： FAy=22kN↓ 48 A=0 MEB=MEC=42×3 ↑ ）逐杆绘M图 R=126kN·m（下） （2）逐杆绘 图 126 B= 192 M CD杆： DC=0 MCB=42×6-20×3 由∑Y=0 可得： MCD=48kN·m（左） =192kN·m（下） VA=42-20=22kN↓
（a）
FQ(FN)图：
可取刚架任何一部分为隔离体，检查 ∑Fx=0和∑Fy=0是否满足。
取整体 ∑FX=0, 得 FBX=5kN(←)
5kN 杆AE：只受轴向外力，M≡0 AE：只受轴向外力，
20 20 75 45 0
40 30
杆CE：MCE=5×4=20kN m（外） =5×4=20kN·m CE： 杆BD：MB=0，MDB=5×6=30kN·m（外） ： ， × （ =20kN·m 杆CD：MCD=MCE=20kN m（外） ： =10+5× kN·m MDC=10+ ×6=40kN m（外） kN
两个杆端弯矩求出后， 两个杆端弯矩求出后，用简支梁 叠加法画出M 叠加法画出M图。
例3 作刚架的弯矩图。
Fa Fa 0 Fa
Fa Fa
Fa
解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本”的 顺序计算悬臂部分，M图直接绘制。
。
例4 三铰刚架：P58例3-5
M图绘制手法：少求或不求反力绘制弯矩图
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。 基本技巧：
（c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。
例1 作图示刚架的内力图
42kN↑ ←48kN 22kN↓
由∑X=0 可得： MCD= F FAx=48kN←， By=42kN↑ HA=6×8=48kN← （左） 由∑M144 可得： FAy=22kN↓ 48 A=0 MEB=MEC=42×3 ↑ ）逐杆绘M图 R=126kN·m（下） （2）逐杆绘 图 126 B= 192 M CD杆： DC=0 MCB=42×6-20×3 由∑Y=0 可得： MCD=48kN·m（左） =192kN·m（下） VA=42-20=22kN↓
（a）
FQ(FN)图：
可取刚架任何一部分为隔离体，检查 ∑Fx=0和∑Fy=0是否满足。
结构力学§3-3静定平面刚架
截面法与轴力图
截面法
截面法是结构力学中一种常用的求内 力的方法。通过在需要求内力的截面 上施加一个假想的单位力，然后根据 平衡条件求出该截面上的内力。
轴力图
轴力图是一种表示杆件轴向力的图形 ，可以直观地展示杆件在不同位置的 轴向力大小和方向。通过轴力图可以 方便地分析杆件的受力情况。
弯矩与剪力分析
刚架的稳定性分析
01
02
03
04
稳定性分析是静定刚架设计中 非常重要的一环，主要关注的 是刚架在载荷作用下是否会发 生屈曲或失稳。
稳定性分析是静定刚架设计中 非常重要的一环，主要关注的 是刚架在载荷作用下是否会发 生屈曲或失稳。
稳定性分析是静定刚架设计中 非常重要的一环，主要关注的 是刚架在载荷作用下是否会发 生屈曲或失稳。
稳定性分析是静定刚架设计中 非常重要的一环，主要关注的 是刚架在载荷作用下是否会发 生屈曲或失稳。
刚架的优化设计
优化设计是静定刚架设计中非常重要的一环，主 要目的是在满足各种限制条件的前提下，使刚架 的结构更加合理、经济和高效。
优化设计需要考虑各种可能的载荷组合和边界条 件，同时还需要考虑材料、制造和安装等方面的 因素。
02
静定平面刚架的内力分析
内力的概念与计算
内力的概念
内力是指物体在受力过程中，各部分之间相互作用力。在结 构力学中，内力是描述结构内部各部分之间相互作用的力。
内力的计算
内力的计算方法主要有截面法和偏心距法。截面法是通过在 需要求内力的截面上施加一个假想的单位力，然后根据平衡 条件求出该截面上的内力。偏心距法则是利用杆件轴线上的 偏心距来计算内力。
结构力学§3-3静定平面刚架
目
CONTENCT
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FQDC
51.08 9 51.
3 0.4 10. 22
由∑MD = 0，得
FQ CD 68.58 20 4 2 2 4.447 20.43 kN
2
11.43
11.43
V 图(kN)
F NCD
4 20.
3
(4)求作N 图
.09 1 5 F NDC a
11.43kN
注意：斜杆的弯矩和剪力求法
F
10. 22
三铰刚架小结：
支 反 力： 一般先要求出各支杆的支反力 （中间铰处的力矩为零 作为附加条件） 解题顺序：从外围向中间。
解题方法：悬臂梁法，某段杆的一端内力(或荷载)已知时； 简支梁法，某段杆的两端弯矩均已知时。
【例3-14】试绘出图示静定结构在荷载作用下的弯矩图轮廓。
m 4.47
FQCD
20kN/m
D
4/c
os a
a
C
=4.
(40)
474
m 2m
68.58
C D E
45.72
E
4m
B A
2m 4m 4m
17.14kN
11.43kN
A
B
11.43kN
62.86kN
cosa = 0.894 sina = 0.447
FQCD
M图 (kN· m) 09
.09F N 1 5 F NDC
于是有 FAx
ql 16
(2)求作M、FQ 、 FN图
q
D E C ql2/16 (ql2/32) D l/4 C E ql2/16
ql FAx 16
FAy=3ql/8 3ql/8
l
A
B
l/2
C D
l/2 FBy=ql/8
E ql/8 ql2/16
ql FBx 16
q
D C
A
B
51 .
DC
.47m 解： (1)4求支反力√ FQCD FQDC
(2)求作M 图 √
4.47
m
FQDC
(3)求作 V 图 √
20kN/m
取杆DC为隔离体 由∑MC = 0，得
C 68.58kN· m D
4.47
m
FQCD
FQ DC 68.58 20 42 2 4.447 51.09 kN
（3）求作FQ图 （4）求作FN图
20kN· m
2m
10kN/m
2kN
28 8
40 (20) 24
(5)
16
4kN
2m 4kN
4m
17kN
2m
45kN
M图(kN· m)
17 4
22 4 23
2
4
17
45
FQ图(kN)
FN图(kN)
简支刚架小结：
支 反 力：一般先要求出3支杆的支反力； 解题顺序：从外围向中间。 解题方法：
3) 取图示隔离体，由∑Fx = 0，可得 NCD F FNCE×0.894+10.22×0.447+11.43 = 0
FNCE =
43 . 0 2 kN -17.90
2.58
C x
FN
10. 22
a
E 11.43kN
CE
3 38.
4
D
17.
E
90
17.14 17.14kN
62.86 B
A
N 图(kN)
A
l
A
l l
J
FJV
FJV
FAV
FAV M图
【例3-11】试根据图示静定结构给出的弯矩图，标出相应的荷载。
C 2 6m 6 B 10 6m 12 6 E B
6 10 6 D
A
4m
4m
M图(kN· m)
0.5kN
C
2 6m B
6 10 6
C
3.5kN
6
B 10 6m
6
E
D
2kN· m
B E
D
12 3kN A 4m 4m A
只有两杆相交组成的刚结点，称为简单刚结点。 当无外力偶作用时，汇交于该处两杆的杆端弯矩坐标 应绘在结点的同一侧(同在内侧或同在外侧)，且数值
相 等。作M图时，可充分利用这一特性。
【说明4】脱离体法是求内力的最基本方法，不要忘记。
【例3-8】试求作图示刚架的内力图。
FP
A
B l/2
FP
FP 4
l
l/2 C D
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
8kN· m
4kN
2m
24kN· m
① 杆AE：MAE = MEA = 0
FAy=17kN
16kN· m
② 杆EC：MEC = 0，MCE = 4×2 = 8kN· m (左侧受拉) ③ 杆BD：MBD = 0，MDB = 4×4 = 16 kN· m (右侧受拉) ④ 杆DF：MFD = 0，MDF = (2×2)+(×10×22)=24 kN· m(上 侧受拉)
l
FP 4
FP
A
B l/2 FP
A B
FP l 4
FP 4
C
l l
D
l/2
C
FP 4
FP l 4
D
M图
FP l 4
B
MCB(求)
解： (1) 求支反力 (2)求作M图
C
FP l 4
MBC(求)
A FP/4
B FP C FP/4 FQ 图 D
A
B FP/4 FP
FN图
C
D B FP
FP/4
FNAB(求)
3.3 静定平面刚架
一、刚架的特点
1、构造特点：
一般由若干梁、柱等直杆组成且具有刚结点的结构，称为刚架
杆轴及荷载均在同一平面内且无多余约束的几何不变刚架， 称为静定平面刚架；
不在同一平面内无多余约束的几何不变刚架，称为静定空 间刚架。
2、力学特性：刚结点处夹角不可改变，且能承受和传递全 部内力（M、FQ、FN）。
A
【例3-16】试求作图示多跨刚架的弯矩图。
20kN/m C F 10kN/m E A 8m B H G D 20kN/m K I 4m 4m
4m
4m
此刚架为三跨静定刚架，由基本部分ACBD和附属KIH组成。 将刚架在铰G和K处拆开，分别画出附属部分和基本部分 隔离体受力图，如下图所示。
3、刚架优点：
1）内部空间较大， 2）杆件跨中弯矩峰值较小，弯矩分布均匀(经济 ) ， 3）制造比较方便。 因此，刚架在土木工程中得到广泛应用。
二、静定平面刚架的组成形式
a) 悬臂刚架
b) 简支刚
架
c) 三铰刚架
d) 多跨刚架
e) 多层刚架
三、静定平面刚架内力图的绘制
1、静定平面刚架的内力图有三种：弯矩图、剪力图和轴力图
根据已知 V，利用投影方程，求杆件轴力值。
3) 关于N 图的绘制：对于比较复杂的情况，可取结点为隔离体，
【说明2】绘图规定:
1、M图约定绘在刚架的杆件受拉一侧，不标注正负号； 2、Q图和N图可绘在杆件的任一侧，但必须标注正负 号，一般杆左或杆上为正，杆右或杆下为负； 其符号正负规定与梁相同。
【说明3】关于简单刚结点的概念，节点平衡
C
I
E
ql FAx 16
l I
A B
I
B
∑Fx =0，
FBx l
FAx FBx
l/2 l/2 ql 3ql F By FAy 8 8
ql FBx 16
FBx
FBy
ql 8
ql 16
2) 取刚架右半部分CEB为隔离体，补充∑MC = 0，
ql l ql 0 由此得 FBx 8 2 16
20kN· m
2m C E A
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
8kN· m
4kN
2m
B 4m
FBx=4kN MDC(求) 24kN· m D 2m
16kN· m
FAy=17kN
FBy=45k N
⑤ 杆CD：利用结点C和D隔离体(图3-24b、c)的力矩平衡条件， 可求出杆CD两端二控制截面的弯矩为: MCD = 20+8 = 28 kN·m (“箭尾”侧即上侧受拉) MDC = 24+16 = 40 kN·m (“箭尾”侧即上侧受拉)
悬臂梁法，某段杆的一端内力（或荷载）已知时； 简支梁法，某段杆的两端弯矩已知时。
【例3-10】试求作图3-25所示悬臂刚架的内力图。
q 2qa2 6qa
a
D F B E 3a
C
2q
A
4a
8qa
14qa2
2a 2a
10qa
4a
解：
(1) 求支反力 (2)求作M图 1) CD段
D
C
q
2qa
2
6qa
F B
2) 二引直线相连 3) 三叠简支弯矩
20kN· m
2m
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
C
E A 4m
28 8 C
E
(20)
40 24
D
(5)
16 F
8kN· m
4kN
2m
B
FBx=4kN MDC(求) 24kN· m D 2m