(整理)积分基本公式.
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
基本积分公式
tan x cot x C
微积分 五②
12/12
3 2 )dx . 例7 求积分 ( 2 2 1 x 1 x 3 2 1 1 解 ( )dx 3 dx 2 dx 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
dx x x C
C ( x ) x x .
微积分 五②
Back
微减同一个代数式，然后分项
x dx 例3. 求 1 x2 1 x2 1 1 解：原积分= dx dx dx 2 2 1 x 1 x x arctan x C dx 例4. 求 2 2
2
x (1 x ) 2 2 1 x x 1 dx dx 2 dx 解：原积分= 2 2 2 x (1 x ) x 1 x 1 arctan x C x
dx x 3 x 3 dx d ( )
(4) a x dx a x / ln a C
2 x dx x 2 dx e 2 x dx
dx 2 x du u 2 dx 2 x
微积分 五②
7/12
2.2、具体分项法 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分.
2/12
一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
微积分 五②
3/12
1.1、积分法
x x 1
1
x 1 x dx C . ( 1) 1
积分知识点总结公式
积分知识点总结公式一、基本概念1. 定积分定积分是对函数f(x)在区间[a, b]上积分的概念，表示为∫f(x)dx。
它的几何意义是函数f(x)与x轴所围成的面积。
定积分的概念可以表示成：∫f(x)dx = lim[n→∞]∑[i=1]ⁿ f(xᵢ)Δx其中，Δx = (b - a)/n，xᵢ = a + iΔx。
求解定积分通常使用牛顿-莱布尼茨公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的不定积分。
2. 不定积分不定积分是对函数f(x)的积分的概念，表示为∫f(x)dx。
它的几何意义是求解函数f(x)的原函数F(x)。
求解不定积分的常用方法包括换元法、分部积分法、特殊积分法等。
3. 曲线的长、面积、体积通过积分的方法可以求解曲线的长度、曲线围成的面积以及体积。
曲线的长度可以表示成：L = ∫[a, b]√(1 + (dy/dx)²)dx曲线围成的面积可以表示成：S = ∫[a, b]f(x)dx体积可以表示成：V = ∫[a, b]A(x)dx其中A(x)是截面积。
二、常见积分公式1. 基本积分公式基本积分公式包括：∫xⁿdx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n≠-1∫eˣdx = eˣ + C∫aˣdx = (1/lna)aˣ + C，其中a>0，a≠1∫sinxdx = -cosx + C∫cosxdx = sinx + C∫sec²xdx = tanx + C∫csc²xdx = -cotx + C∫secxtanxdx = secx + C∫cscxcotxdx = -cscx + C∫1/(1+x²)dx = arctanx + C∫1/√(1-x²)dx = arcsinx + C∫1/(x²+a²)dx = (1/a)arctan(x/a) + C2. 分部积分公式分部积分公式是对两个函数的积分的概念，表示为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
定积分基本公式大全
定积分基本公式大全
定积分基本公式如下：
1、∫0dx=c
2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c
3、∫1/xdx=ln|x|+c
4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5、∫e^xdx=e^x+c
6、∫sinxdx=-cosx+c
7、∫cosxdx=sinx+c
8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有
一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
24个基本积分公式推导过程
24个基本积分公式推导过程以24个基本积分公式推导过程为标题，写一篇文章积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
为了求解各种函数的积分，人们总结出了24个基本积分公式，通过这些公式可以简化复杂的积分计算。
本文将以这24个基本积分公式为线索，逐一推导其推导过程。
1. 常数函数的积分：对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，其积分结果为Cx，其中C为常数。
2. 幂函数的积分：对于幂函数f(x)=x^n，其中n不等于-1，其积分结果为∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
3. 指数函数的积分：对于指数函数f(x)=e^x，其积分结果为∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
4. 对数函数的积分：对于自然对数函数f(x)=ln(x)，x大于0，其积分结果为∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为常数。
5. 正弦函数的积分：对于正弦函数f(x)=sin(x)，其积分结果为∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
6. 余弦函数的积分：对于余弦函数f(x)=cos(x)，其积分结果为∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为常数。
8. 余切函数的积分：对于余切函数f(x)=cot(x)，其积分结果为∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C，其中C为常数。
9. 正割函数的积分：对于正割函数f(x)=sec(x)，其积分结果为∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C，其中C为常数。
10. 余割函数的积分：对于余割函数f(x)=csc(x)，其积分结果为∫csc(x) dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C，其中C为常数。
11. 反正弦函数的积分：对于反正弦函数f(x)=arcsin(x)，其积分结果为∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C，其中C为常数。
积分常用公式(最新整理)
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个一、定积分的定义。
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分。
在数学上，定积分可以表示为∫abf(x)dx，其中a和b是积分的区间，f(x)是被积函数。
下面我们将介绍一些常见的定积分公式。
二、基本定积分公式。
1. 基本积分公式。
∫xndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数。
2. 基本三角函数积分公式。
∫sinxdx = -cosx + C。
∫cosxdx = sinx + C。
∫sec^2xdx = tanx + C。
∫csc^2xdx = -cotx + C。
3. 基本指数函数积分公式。
∫e^xdx = e^x + C。
∫a^xdx = a^x/lna + C，其中a>0且a≠1。
4. 基本对数函数积分公式。
∫(1/x)dx = lnx + C。
5. 基本反三角函数积分公式。
∫(1/√(1-x^2))dx = arcsinx + C。
∫(1/√(1+x^2))dx = arctanx + C。
6. 基本双曲函数积分公式。
∫coshxdx = sinhx + C。
∫sinhxdx = coshx + C。
∫sech^2xdx = -tanhx + C。
∫csch^2xdx = -cothx + C。
三、定积分的性质。
1. 定积分的线性性质。
∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
2. 定积分的区间可加性。
若f(x)在区间[a, b]上可积，则∫abf(x)dx = ∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx。
3. 定积分的保号性。
若f(x)在区间[a, b]上连续且f(x)≥0，则∫abf(x)dx ≥ 0。
四、定积分的常用公式。
1. 定积分的换元积分法。
若∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫g(x)dx，则∫f(u)du = ∫g(x)dx，其中u=φ(x)。
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高数积分公式大全在高等数学中，积分是一个重要的概念和工具。
积分公式是进行积分运算时的基本工具，掌握这些公式对于解题和推导都至关重要。
下面是一些常见的高数积分公式大全，希望对学习者有所帮助。
一、基本积分公式1. ∫xn dx = (1/n+1) xn+1 + C (n≠-1)2. ∫(1/x) dx = ln|x| + C3. ∫e^x dx = e^x + C4. ∫a^x dx = (1/ln(a)) a^x + C (a>0, a≠1)5. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C6) ∫cos(x) dx = sin(x) + C7. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C8. ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C9. ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C10. ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C11. ∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C12. ∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C13. ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C14. ∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C15. ∫cot^2(x) dx = -cot(x) - x + C二、一些特殊函数的积分公式1. ∫e^ax sin(bx) dx = (1/(a^2 + b^2))e^ax (a sin(bx)- b cos(bx)) + C2. ∫e^ax cos(bx) dx = (1/(a^2 + b^2))e^ax (a cos(bx) + b sin(bx)) + C3. ∫si n^2(x) dx = (1/2)(x - sin(x)cos(x)) + C4. ∫cos^2(x) dx = (1/2)(x + sin(x)cos(x)) + C5. ∫sin^3(x) dx = -(1/3)cos^3(x) + (1/3)cos(x) + C6. ∫cos^3(x) dx = (1/3)sin^3(x) + (1/3)sin(x) + C三、三角替换公式1. ∫√(a^2 - x^2) dx = (1/2)(x√(a^2 - x^2) +a^2arcsin(x/a)) + C2. ∫√(x^2 + a^2) dx = (1/2)(x√(x^2 + a^2) + a^2ln|x + √(x^2 + a^2)|) + C3. ∫√(x^2 - a^2) dx = (1/2)(x√(x^2 - a^2) - a^2ln|x + √(x^2 - a^2)|) + C四、分部积分公式1. ∫u dv = uv - ∫v du，其中u和v是可微的函数。
基本积分公式表
2
1 (
cos
2x
cos 2
2x
)
dx
42
4
(1 cos 2x 1 1 cos4x ) dx 424 2
( 3 cos 2x cos 4x ) dx
82
8
3 dx 8
1 2
cos
2
xdx
1 8
cos
4 xdx
3 8
x
1 4
cos 2xd(2x)
类似可求 cos4 xdx
1 cos 2x dx
2
(1 2
cos 2x ) 2
dx
1 2 x 2
dx
cos 2 2
x
1 2
cos2
x
dx dx
x 2
1 4
cos 2xd(2x)
x sin2x C 24
例14 cos4 xdx
(1 cos 2x )2 dx
(13)
a
xdx
ax ln a
C
第二节 换元积分法（一）
一、第一换元积分法
问题
e2xdx ?
被积函数e 2 x 不是积分公式表上的函数,
用直接积分法，求不出它的积分。
怎么办？
e2xdx
1 e2x 2 d(2x)
1
e2x d(2x)
2
u 2x
1 2
e u du
2
积分的基本公式
积分的基本公式
积分的基本公式是数学中常用的工具，用于描述变量之间的关系，它可以表示为：
积分= ∫ f(x) dx
在上述公式中，f(x) 是被积函数，x 是自变量，∫ 表示积分运算符，dx 表示积分
变量。
1. 线性性质：对于任意常数 a 和 b，有∫ (af(x) + bg(x)) dx = a∫ f(x) dx + b∫ g(x) dx。
2. 可加性：若函数 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则有∫ f(x) dx = F(x) + C，其中 C 是常数，称为积分常数。
3. 定积分：当积分的下限 a 和上限 b 均为常数时，可以定义定积分∫[a, b] f(x) dx，表示在区间 [a, b] 上的面积或曲线下的总变化量。
积分的基本公式在数学中被广泛应用于微积分、物理学、统计学等领域。
通过对问题的积分建模，可以得到有关变量之间的定量关系，进而解决实际问题。
基本积分公式表
=
1 x arctan + 2
1
2
dx
( a > 0)
dx =
1 a
= ∫ = =
x x2 a (1 − 2 ) 1− 2 a a 1 1 x a d( ) ∫ a a x 2 1− ( ) a x 1 x d ( ) = arcsin + C ∫ a x 2 a 1− ( ) a
F (u) = F [ϕ ( x )] 若u = ϕ ( x )可导 d F [ϕ ( x )] = F ' ( u)ϕ ' ( x ) ∴ dx = f (u) ϕ ' ( x ) = f [ϕ ( x )] ϕ ' ( x ) ∴ F [ϕ ( x )] 是 f [ϕ ( x )]ϕ ' ( x ) 的原函数 ∴ ∫ f [ϕ ( x )]ϕ ' ( x )dx = F [ϕ ( x )] + C = F (u) + C = ∫ f ( u )du 这样 , 我们就得到下面的定理 :
2
1
x x x 2 x sin 2 sin sin x 2 sin 2 2 2 tan = 2 = = x x x 2 cos 2 sin cos sin x 2 2 2
1 cos x − = = = csc x − cot x sin x sin x sin x ∴ csc xdx = ln | tan x | + C ∫ 2
(7)
∫ sin xdx =
− cos x + C
( 8) ( 9)
∫ sec ∫ csc
2
xdx = tan x + C xdx = − cot x + C
2
8个基本积分公式
8个基本积分公式基本积分公式是数学中重要的工具，用于解决各种函数的积分问题。
这些公式具有广泛的应用领域，从物理学到经济学，从工程学到统计学，都离不开积分。
下面介绍八个基本积分公式，帮助读者了解它们的作用和用法。
1. 常数函数积分公式常数函数的积分是最简单的，它是积分的起点。
对于任意常数C，我们有∫Cdx = Cx + k，其中k是常数。
2. 幂函数积分公式幂函数是求积分中最常见的函数之一，可以用多项式的形式来表示。
对于幂函数x^n，当n不等于-1时，我们有∫x^n dx =(x^(n+1))/(n+1) + k，其中k是常数。
3. 正弦函数积分公式正弦函数的积分也是常见的，它在动力学、信号处理等领域有广泛的应用。
∫sin(x)dx = -cos(x) + k，其中k是常数。
4. 余弦函数积分公式余弦函数和正弦函数类似，也有其对应的积分公式。
∫cos(x)dx = sin(x) + k，其中k是常数。
5. 指数函数积分公式指数函数在概率论、统计学等领域经常出现，其积分有特殊的形式。
对于指数函数e^x，我们有∫e^xdx = e^x + k，其中k是常数。
6. 对数函数积分公式对数函数在经济学、生物学等领域有重要的应用，其积分也有一定的特性。
∫1/x dx = ln|x| + k，其中k是常数。
7. 正切函数积分公式正切函数的积分也是名副其实的基本积分公式之一。
∫tan(x)dx = -ln|cos(x)|+ k，其中k是常数。
8. 余切函数积分公式余切函数和正切函数类似，其积分也有特定形式。
∫cot(x)dx = ln|sin(x)|+ k，其中k是常数。
这八个基本积分公式覆盖了常见的函数类型，掌握它们可以帮助我们解决很多积分问题。
当然，实际应用中还存在更多复杂的函数和积分方法，需要深入学习和实践。
通过不断锻炼和积累，我们能够更加熟练地运用这些公式，解决更加复杂的实际问题。
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2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=ϕ(x)分别在点y0=ϕ(x0)与x0可导，则复合函数z=f[ϕ(x)]在x0可导，且或(f oϕ)' (x0)=f '(y0)⋅ϕ'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量∆x，有中间变量y在y0=ϕ(x0)处的改变量∆y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量∆z，（注意∆y可能为0）．现∆z=f'(y0)∆⋅y+v，∆y='ϕ(x0)∆x+u，且令，则v=∆αy，（注意，当∆y=0时，v=∆αy仍成立）．y在x0可导又蕴含y在x0连续，即∆y=0．于是=f '(y0)⋅ϕ '(x0)+0⋅ϕ'(x0)=f'(y0)⋅ϕ'(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x→−y →−z复合函数求导的过程：z→−y →−x：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．解．令u=5x，则y=sin u．于是y' ==cos u⋅5=5cos5x．例2.3.16求y=lncos x的导数．解．令u=cos x，则y=ln u．于是．y'=例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．y' ==e u⋅m⋅m是正整数n时，即例2.3.2．(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x→−y→−z→−u…v→−w复合函数的求导：w→−v…u→−z→−y→−x：各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．例2.3.18求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：d f(ϕ(x))=f'(ϕ(x))dϕ(x)例2.3.19求函数y=的微分解．d y =dsin2x=⋅2sin x dsin x=⋅2sin x cos x d x=⋅sin2x d x．思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．公式(4)，(v≠0)．点击此处看公式(1)－(4)的证明．例2.3.11求y=tan x的导数解．(tan x)' ===sec2x．同理可得(cot x)' =-csc2x．例2.3.12求y=sec x的导数．解．(sec x)' ==sec x tan x．同理可得(csc x)' =-csc x cot x．例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2⋅2x-3⋅3x2)=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3解二．因y =2x2+5x3-12x4，故y' =2⋅2x+5⋅3x2-12⋅4x3=4x+15x2-48x3．例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x=ln x⋅(d x+cos x d x)+d x=d x．2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称∆x=x-x00(∆读作delta)为自变量的改变量，∆y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作．因∆x=x-x0，x=x0+∆x，故还有．此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是．注意.∆x可正可负，依x大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量x0+∆x处的函数值f(x0+∆x)；(2)计算函数的改变量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)；(3)写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例2.3.1求常数函数y=c的导数．解．因∆y=y(x+∆x)-y(x)=c-c=0，差商=0，故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．解．因y(x+∆x)=(x+∆x)n=x n+，∆y=y(x+∆x)-y(x)=，故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3⋅22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12⋅(x-2) ⇔ 12x-y-16=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，x∈X ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号∆，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把∆x看成∆与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(∆x)2来表示∆x的平方而不写∆x2 ．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．例2.3.5 y=log a x(0<a≠1)的导数是(log a x)' =．特别，(ln x)' =1/x．例2.3.6指数函数y=a x(0<a≠1)的导数是(a x)' =a x ln a ．特别，(e x)' =e x．8. 导数的导数--二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x)，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为y(n)=(y(n-1))' ，n=2，3，…统称为函数y的高阶导数．例2.3.22求y=sin x的n阶导数．解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．例2.3.24求y =arc tan x的二阶导数y'' ．解．y' =，y'' =-(1+x2)-2(1+x2)' =．思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1) c' =0(2) ( x m)' =mx m-1(3) (a x)' =a x ln a(e x )' =e x d c=0d x m=mx m-1d x，m∈R d a x=a x ln a d x，0 <a≠1 de x=e x d x(4) (loga x )' =(ln x )' =(5) (sin x )' =cosx (6) (cos x )' =-sin x (7) (tan x )' =sec2x (8) (cotx )' =-csc 2x (9) (sec x )' =sec x tanx(10) (cscx )' = -csc x cot x (11) (arc sinx )' =(12) (arccosx )' =-(13) (arctanx )' =(14) (arccot x )' =-d log a x =，0<a ≠1dln x=dsin x=cos x d x dcos x=-sin x d xdtan x=sec 2x d xdcot x=-csc 2x d x dsec x=sec x tan x d x dcsc x=-cscx cot x d x darc sinx=darc cosx=darc tan x=darccot x=例2.3.20 求y=arcsin 的微分．解．．例2.3.21求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分(选学）设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理，z关于变量y的偏导数是=．我们也记．若z=f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，则自变量x与y的改变量∆x与∆y 的线性表达式f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于∆x，∆y的全微分，记作d z=f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=∆x，d y=∆y，于是二元函数的微分公式是d z=．例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求．解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．=x-6y2(把x看作常数，对y求导数)．例2.3.31求z=e x sin y的全微分．解．d z=sin y d e x+e x dsin y=sin y e x d x+e x cos y d y=e x(sin y d x+cos y d y)．例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)，求．解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得d x+2d y+2d z-2d右端的微分是0，于是解得d z =，由此得，．13.分段函数的导数(选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0，由此f(x0+∆x)-f(x0)=[u(∆x)+f’(x0)]∆x，于是[f(x0+∆x)-f(x0)]=[u(∆x)+f’(x0)]∆x=0 ，即f(x0+∆x) = f(x0)．如果记x=x0+∆x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在x0连续．因此有定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数在点x=0的连续性与可导性．解．因,,故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x代替 x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点x0的左导数是f-'(x0)=.只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0)．即有定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．则f '( x0)存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例2.3.34讨论函数在x=0的可导性．解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因，，f(0)=0，故f(x)在x=0连续．其次，因，，故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上, 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．1. 曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线．为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而Q→P即x→x0．设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为k=tanα．现在割线PQ的斜率为：．而切线PT的斜率为：(PQ的斜率)=,由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)．。