相似三角形解题方法、步骤教师

相似三角形解题方法、步骤（教师版）

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9上（ 5）相似三角形解题方法、技巧、步骤

相似三角形解题方法、技巧、步骤「

一、 相似、全等的关系

全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等 形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广•因而 学习相似形要随时与全等形作比较、

明确它们之间的联系与区别;

相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.

二、 相似三角形

（1）三角形相似的条件： ①；②；③.

三、 两个三角形相似的六种图形：

^1过上的高

求证

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔 加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1 ）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件 最简单；

2） 再而先找一对内角对应相等， 且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应

成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似

a ）已知｛

找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找第三边也对应成比例三边对_

知

两边

成比例，两三角形相似

上』边对应成比例，两个直角三角形相似

「找另一角两角对应相等，两三角形相似

c ） P 己知］

找两边对应成比例判定定—或判定定理 戋

顶角对应相等判定定_

找底角对应相等判定定_ 找底和腰对应成比例判定定_3

△ sA 2，3,则 dsA 3

）

g

似形的传

有

若

五、“三点定形法”

定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代 表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横 定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线 段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明 这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”

。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而 去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并 不好， 例1、 求证： ,即由有关线段的三个不同的端点来确

应当运用基本规律去解决问题。

已知：如图，△ ABC 中 ,CE 丄AB,BF 丄

AC.

AE AC AF " BA

（判断“横定”还是“竖定”？）

例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，/ BAC 的 平分线分别交

BC 、CD 于点E 、F ，AC - AE=AF - AB 吗？ 说明理由。

分析方法:

1 ）先将积式

2） ______

（“横定”还是“竖定”？）

例1、 已知：如图，△ ABC 中，/

ACB=9（0,AB 的垂直平分线交AB 于D,

交BC 延长线于F 。

CD=DE ・ DF

O

分析方法：

1 ）先将积式 2） ______

（“横定”还是“竖定”？）

六、过渡法（或叫代换法）

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活 地运用 过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明. 1、等量过渡法（等线段代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式 中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角 形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不 相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等 的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的 辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换 得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换 的线段再代换回来。

例1 :如图3，△ABC 中，AD 平分/ BAC ， AD 的垂直平 分线FE 交BC

的延长线于 E .求证：DE 2

= BE-CE .

分析：

2、等比过渡法（等比代换法）

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换 时，可以考虑用等比代换法即考虑利用第三组线段的 比为比例式搭桥，也就是i 分析，找到与求证的结论 换，然后再用三点定形 过对已知条件或图形的深入 某

个比相目等的比，并进行代 形。

例2:如图4，在

BAC=9C ° , AD 丄 BC ，E 是 AC 的中

点,

ED 交AB 的延长线于点F .

求证：

=AB

AC

3、等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例3:如图5，在AABC中，/ ACB=90，CD是斜边AB 上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE丄AG,垂足为E，交CD于点F.

求证：CD2= DF-DG .

V

（1题图）（2题图）

2 .如图，△ ABC中，点DE在边BC上，且△ ADE是等边三角形, / BAC=120

求证：（1 ）△ ADB^A CEA;

2、DE>=BD- CE;

（3）AB • AC=AD BC.

3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，/

/ ECA.

求证：AD- EC=AC- EB .

（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）

6 .如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F 作FM// BE交DE于M.

求证：FM=CF.

（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。）

7D如图，△ ABC中，AB=AC点D为BC边中点，CE// AB,BE分另U交AD AC 于点F、G,连接FC.

小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例: 不相似，

不用急：等线等比来代替。” 同类练习：

横找竖找定相似;

1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ 求证：（1 ）△ ADE^A ACB; (2)AD ADE=/ C

• AB=AE- AC.

5 .如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点

G,交BD于点F,

求证：FC2=FG- EF.

（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。）

卜

的平分D=

件，等

4 .如图，AD 为^ ABC中/ BAC

线，EF是AD的垂直平分线。

求证：FD2=FC- FBo

（此题四点共线，应积极寻找条线替

代，转化为证三角形相似。）