相似三角形解题方法、步骤教师
初中数学相似三角形的教学方法探究
初中数学相似三角形的教学方法探究
相似三角形是数学中的一个重要概念，它在几何中有重要的应用，如在三角形面积的计算、物体的放缩、投影变换等方面均有广泛的应用。
因此，在初中数学教学中应该注重相似三角形的教学，提高学生对此概念的掌握程度。
以下是针对初中数学相似三角形的教学方法探究。
一、概念的讲解
在教学中应该先明确相似三角形的概念，并通过图形讲解其内涵。
相似三角形即两个或多个三角形的形状相同而大小不同的三角形。
讲解时应该重点突出两个三角形形状相同这一概念，即两个三角形的对应角度大小相同，对应边长成比例。
二、相似三角形的判定方法
教师应该详细讲解判定相似三角形的方法，如SSS、SAS和AA三种方法，通过具体的例子讲解，让学生理解三种方法的原理和应用。
1.SSS方法：若两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
三、相似三角形的性质与应用
在教学中应该重点讲解相似三角形所具有的性质和应用，如对应角相等，对应边成比例等。
并通过具体的例题讲解相似三角形的应用，如利用相似三角形计算高度、长度、面积等。
还可以通过实际应用，如建筑、地图等，让学生掌握相似三角形的应用技巧。
四、创设情境，激发学生兴趣
总之，教师在相似三角形的教学中应该注重基础概念的讲解，判定方法的详解，性质和应用的讲解。
还要注重实际应用的演示，激发学生学习兴趣，提高学生的学习效果。
相似三角形教案
相似三角形教案I. 教学目标通过本教案的学习，学生将能够：1. 掌握相似三角形的定义；2. 理解相似三角形的性质和判定方法；3. 运用相似三角形的性质解决实际问题。
II. 教学准备1. 教师准备：投影仪、幻灯片、黑板、粉笔等教学工具；2. 学生准备：教材、笔、纸等学习用具。
III. 教学过程Step 1: 导入新知1. 教师引导学生回顾已经学过的一些基础概念，如平行线、角等。
2. 引入相似三角形的概念，让学生尝试给出相似三角形的定义。
Step 2: 相似三角形的定义与性质1. 教师通过幻灯片展示相似三角形的定义，并与学生一起讨论其特点。
2. 学生借助教材，归纳相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
Step 3: 判断相似三角形的方法1. 教师介绍判定相似三角形的方法，包括AAA（角-角-角）相似判定法、AA（角-角）相似判定法和SAS（边-角-边）相似判定法。
2. 通过幻灯片展示实例，让学生运用这些方法判断相似三角形。
Step 4: 案例分析与讨论1. 教师提供一些实际问题，要求学生分析并运用相似三角形的性质解决。
2. 学生在小组中合作讨论，找出解决问题的方法，并向全班展示他们的解决思路。
Step 5: 练习与巩固1. 教师布置一些练习题，要求学生运用相似三角形的性质进行求解。
2. 学生独立完成练习，并检查答案。
Step 6: 拓展与应用1. 教师推荐一些与相似三角形相关的拓展阅读资料，鼓励学生深入了解这一概念的应用和意义。
2. 学生可以选择阅读其中的一篇文章，并做一份读后感。
IV. 教学反思通过本教案的设计，学生在活动中能够借助幻灯片、小组合作讨论以及个人练习等方式全面了解相似三角形的定义、性质和判定方法。
此外，通过解决实际问题的过程，学生能够培养思维能力和解决问题的策略意识。
教学过程中要注意调动学生积极性，激发他们的学习兴趣，让他们充分参与到教学活动中。
相似三角形的存在性问题解题策略公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
P1
(2,
5 2
)
第13页
第三步 计算——详细问题详细分析
三部曲： 先找分类原则； 再画示意图； 后计算．
A(2,1), B(3,3),C(3, 3) 2
AB 5, BC 3 2
②当 BA AP BC AB
AP AB2 10 BC 3
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小结 夹角相等，两边相应成百分 比
第三步 计算——详细问题详细分析 ①假如DE为等腰△DEF腰
那么DE为△ABC中位线，DE=2.5
三部曲： 先找分类原则； 再画示意图； 后计算．
FC 3k, EC 5k 1.5 k 0.3, FC 3k 0.9 BF 5 0.9 4.1
BF ' DE 2.5
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第三步 计算——详细问题详细分析 ②假如DE为等腰△DEF底边 那么四边形DECF为平行四边形
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第一步 寻找分类原则
△ABC与△ACD 保持直角三角形性质不变
三部曲： 先找分类原则； 再画示意图； 后计算．
分两种情况：
① AB CA AC CD
② AB CD AC CA
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第二步 不必画图——罗列线段长
三部曲： 先找分类原则； 再画示意图； 后计算．
A
B C
D
yB
yA
8 m
几何法三部曲： 先分类； 再画图； 后计算．
代数法三部曲： 先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检查．
几何法与代数法相结合
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几何法
代数法
拟定目的
准拟定位
几何法与代数法相结合——又好又快
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08上海25
初中数学相似三角形应用解析教案
初中数学相似三角形应用解析教案【数学相似三角形应用解析教案】导语：相似三角形是中学数学中的重要内容之一，掌握它的应用解析方法对学生的数学能力培养具有重要意义。
本文将结合具体例题，介绍初中数学中相似三角形应用解析的教学方法。
一、知识点概述相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
要解决具体问题，我们可以使用解析几何的方法来进行计算和验证。
二、相似三角形的应用解析教学1. 课前铺垫在开始教学之前，可以通过展示一些实际生活中的相似三角形例子，如塔楼影子问题等，引发学生对相似三角形的兴趣。
同时，回顾相似三角形的定义，并复习相似三角形的判定方法。
2. 教学内容分析相似三角形的应用解析主要包括以下几个方面的内容：(1) 求解线段的比值：通过对应的边的长度比值，可以求解线段的比值。
例如，已知一个三角形ABC中，点D是边AB上的一点，且满足AD:DB = 2:3，已知BC = 10cm，求AC的长度。
(2) 求解面积比值：通过对应边长的比值，可以求解三角形面积的比值。
例如，已知相似三角形ABC和DEF，已知AB:DE = 3:5，BC:EF = 2:4，求解△ABC和△DEF的面积比值。
(3) 利用相似三角形求解高度：通过相似三角形的特性可以求解高度的值。
例如，已知一个三角形ABC，已知AB = 5cm，BC = 8cm，∠B = 60°，求解三角形ABC中的高度。
3. 教学方法分析(1) 讲解概念法：首先通过图示和示例讲解相似三角形的定义、判定和性质。
引导学生掌握判定相似三角形的要点，例如对应角相等、对应边成比例。
通过反复训练，巩固学生对概念的理解。
(2) 解析计算法：通过具体的例题，引导学生灵活运用相似三角形的解析计算方法。
教师可以提供实际应用题，让学生通过解析计算的方法求解问题。
鼓励学生思考，并引导他们按照步骤进行计算和推导。
4. 教学步骤(1) 引入新课：通过回顾相似三角形的定义和判定方法，激发学生对相似三角形应用解析的兴趣。
相似三角形教学方法
相似三角形教学方法(经典版)编制人： __________________审核人： __________________审批人： __________________编制学校： __________________编制时间： ____年____月____ 日叙言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希翼大家下载后，能够匡助大家解决实际问题。
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三角形相似(含方法步骤)
.相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似 定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值 方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致 【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''A B C A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么A B C ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与A B C ∆的相似比为__________________3. A B C ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆A B C ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（ ） ① 相似三角形的对应角相等，对应边相等. ② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. A B C ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（ ）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（ ）2.74A cm 2.76B c m 2.78C c m 2.80D c m9.下列说法错误的是（ ）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（ ）.A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则A C D ∆与A B C ∆的相似比是________. ②在R t A B C ∆中，D 是A C 的中点，D E 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为A B C ∆的重心，作//D G A C 交B C 于,D 作//E G A B 交B C 于,E 则G D E ∆的面积与A C B ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在A B C ∆中，//,DE BC 且分A B C ∆为面积相等的两个部分，则:D E B C =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则A B C ∆与222A B C ∆的相似比是（ ） 5.6A 6.5B 5.6C 或658.15D例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求A B 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BC D ABC ABC D E BC S S ∆∆=求C E 的长.例5.如图，在A B C ∆中，,AB AC =B D 为腰A C 上的高.求证：212C D C A B C ⋅=例 6.①如图，梯形A B C D 中，0//,90,A B D C B E ∠=为B C 上一点，且,A E E D ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求A B 的长.②已知如图，在梯形A B C D 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段A B 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出A P 的长度.例7.如图所示，在A B C ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8B C =厘米，斜边10A B =厘米，点P 从点B 出发，沿B C 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿C A 向点A以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与A B C ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，A B B C=___________.2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,D C =______.3、如图A D 是A B C ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则A B =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则A B C ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2A B D E=则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在A B C ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果AD E ∆与A B C ∆能够相似，且4A D cm =时，则A E =______________cm .8、E 是平行四边形A B C D 的B C 边上一点，A E 交B D 于,F 且:4:5,BE EC =求B F F D和A F F E的值.9、在锐角A B C ∆中，F 是A C 上一点，且1,2A F G F C=是B F 中点，连结A G 并延长，交B C与.E （1）求B E E C的值。
相似三角形的数学技巧与方法
相似三角形的数学技巧与方法相似三角形是数学中的重要概念，它们在几何学、代数学以及实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的定义、性质，以及解决相似三角形问题的技巧和方法。
1. 相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边长之比也相等。
根据这个定义，我们可以得出一些重要的性质：1.1 AA相似定理（角-角-相似定理）：如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。
1.2 SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的两个边分别成比例，并且夹角也相等，则这两个三角形相似。
1.3 SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
通过这些相似三角形的定理，我们可以快速判断两个三角形是否相似，为后续的计算和解题提供便利。
2. 相似三角形的解题技巧与方法在解决相似三角形的问题时，我们可以运用一些常用的技巧和方法，下面将介绍其中的几种。
2.1 比例关系的运用在相似三角形中，对应边长之比相等是一个关键。
因此，我们常常可以通过设置未知数和建立等式来解题。
比如，已知两个三角形相似，可以设对应边的长度分别为x和y，则可以列出等式：x/y = a/b （a和b为已知边长）利用这个等式，我们可以求解未知数x和y的值，进而得到相似三角形中其他未知量的值。
2.2 辅助线的引入在一些相似三角形问题中，我们可以通过引入辅助线来简化问题或构造比例关系。
常见的辅助线有中线、高线、角平分线等。
例如，当我们需要证明两个三角形相似时，可以从某个角出发引入角平分线，将大三角形分割成多个小三角形，从而利用相似三角形的性质推导出结论。
2.3 海伦公式的应用当已知三角形的边长关系但角度未知时，可以考虑使用海伦公式来求解。
海伦公式是求解三角形面积的常用公式，它可以通过三角形的边长计算出面积。
在相似三角形中，由于边长之比相等，可以将已知三角形与未知三角形的边长带入海伦公式，从而解出未知三角形的面积或其他参数。
两个三角形相似的判定(教师版)
第21课 两个三角形相似的判定学习目标1.掌握三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.掌握三角形相似的3个判定定理3.会运用上述定理判定两个三角形相似.知识点01 相似三角形的判定1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.三角形相似的判定定理:（1）有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似.（2）三边对应成比例的两个三角形相似.（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.考点01 相似三角形的判定【典例1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E ．（1）求证：△BDE ∽△CAD ；（2）若AB ＝26，BC ＝20，求线段DE 的长．【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，∠DEB ＝∠ADC ＝90°，即可解决问题；能力拓展（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD；（2）解：∵AB＝AC＝26，CB＝20，∴AD⊥BC，BD＝BC＝10，∴AD＝＝24，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．【即学即练1】如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；【思路点拨】（1）利用三角形外角可得∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，进而证得△AMF∽△BGM；（2）在（1）的基础上，再由∠A＝∠B＝45°，可得出△ABC是等腰直角三角形，根据M为线段AB的中点，可得AM＝BM＝AB＝×4＝2，运用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；【解析】（1）证明∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF ∽△BGM ；（2）解：∵∠DME ＝∠A ＝∠B ＝45°，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵M 为线段AB 的中点，∴AM ＝BM ＝AB ＝×4＝2，∵△AMF ∽△BGM ，∴＝，∴BG ＝＝＝，又∵AC ＝BC ＝4，∴CG ＝BC ﹣BG ＝4﹣＝，CF ＝AC ﹣AF ＝4﹣3＝1，在Rt △FCG 中，由勾股定理得：FG ＝＝＝；【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG 、FG 的长度以及根据面积法求出MH 的长度．题组A 基础过关练1.如图，△ABC 中，∠A ＝76°，AB ＝8，AC ＝6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，分层提分故本选项不符合题意；B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2.如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解析】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝1，AC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：5：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；B、三边之比：：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；C、三边之比为：2：＝1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，符合题意；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（ ）A．3B．4C．D．2【思路点拨】由∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADB，则＝，其中AD＝2，AC＝6，即可求得AB＝2．【解析】解：∵∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴＝，∴AB2＝AD•AC，∵AD＝2，AC＝6，∴AB2＝2×6＝12，∴AB＝2，∴AB的长为2，故选：D．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△ABC∽△ADB是解题的关键．4. 如图所示，添加一个条件 ∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或） ，使△ADB∽△ABC．【思路点拨】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．【解析】解：在△ADB和△ABC中，∵∠A＝∠A，∴只要满足∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或），△ADB∽△ABC．故答案为：∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或）．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．5.如图，在△ABC和△ADE中，，∠CAE＝40°，则∠BAD的度数为 40° ．【思路点拨】由在△ABC和△ADE中，＝＝，可证得△ABC∽△ADE，然后由相似三角形的对应角相等，求得答案．【解析】解：∵＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∠CAE＝40°，∴∠BAD＝40°．故答案为：40°．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．能够正确证得△ABC∽△ADE是解题的关键．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于点D，AD＝3，BD＝5，则边AC的长为 2 ．【思路点拨】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解析】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝3×8＝24，解得：AC＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠B＝∠ACD，且∠A＝90°．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求CD的长．【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质求出AC，在Rt△ADC中，根据勾股定理即可求出CD．【解析】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝＝，∴AC2＝AD•AB＝2×6＝12，∴AC＝2，在Rt△ADC中，CD＝＝＝4．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．8.如图，AB为⊙O的直径，D为弧BC中点，DE⊥AB于点E，BC交DE于点F，交AD于点G．（1）求证：GF＝DF；（2）求证：BE•AB＝AD•DG．【思路点拨】（1））由圆周角定理得出∠DAB＝∠CBD，∠ADB＝90°，得出∠CBD+∠DGF＝90°，由DE⊥AB，得出∠DAB+∠GDF＝90°，进而得出∠DGF＝∠GDF，即可证明GF＝DF；（2）证明△ADB∽△DEB，得出，得出BD2＝BE•AB，证明△GDB∽△BDA，得出，得出BD2＝AD•GD，即可证明BE•AB＝AD•DG．【解析】证明：（1）∵D为弧BC中点，∴，∴∠DAB＝∠CBD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CBD+∠DGF＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠GDF＝90°，∴∠DGF＝∠GDF，∴GF＝DF；（2）∵∠ADB＝90°，DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADB＝90°，∵∠DBE＝∠ABD，∴△ADB∽△DEB，∴，∴BD2＝BE•AB，∵∠DAB＝∠CBD，∠GDB＝∠BDA，∴△GDB∽△BDA，∴，∴BD2＝AD•GD，∴BE•AB＝AD•DG．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判断与性质是解决问题的关键题组B 能力提升练9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．【解析】解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10.如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）A．①③B．①④C．②④D．①③④【思路点拨】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．【解析】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ）①AD2＝BD•CD ②AB•CD＝AC•AD ③AC2＝BC•CD ④AB2＝AC•BDA．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC＝∠ABD，则可证出结论；②能证明△ABC与△ADC相似，得出不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC ＝∠BAC＝90°，可得出③符合题意；根据AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．【解析】解：①∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∴△ADC∽△BDA，∴∠DAC＝∠ABD，∴∠ABD+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，故①符合题意；②∵AB•CD＝AC•AD，∴，∵∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD∽△CAD，∴∠ABD＝∠CAD，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠BAC＝90°，故②符合题意；③∵AC2＝BC•CD，∴，∵∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴∠ADC＝∠BAC＝90°，故③符合题意；④由AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，故④不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，则AF的长为（ ）A．3.5B．4C．4.5D．5【思路点拨】由AE和CE的长可求出AC的长，因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝AC，若要求AF 的长，可求出BF的长即可．而通过证明△DBF∽△DCE即可求出BF的长，可求出答案．【解析】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠FDB，∠EDC＝180°﹣∠FDE﹣∠FDB，又∵∠FDE＝∠B，∴∠BFD＝∠EDC，∴△DBF∽△DCE，∴BD：CE＝BF：CD，∵BD＝2，CD＝3，CE＝4，∴2：4＝BF：3，∴BF＝1.5，∵AC＝AE+CE＝+4＝5.5，∴AB＝5.5，∴AF＝AB﹣BF＝5.5﹣1.5＝4，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，解题的关键是求AF的长，转化为求BF的长13.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有 3 对．【思路点拨】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，利用三角形内角和得到∠3＝∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，所以∠3＝∠5，于是可判断△ABD∽△AEC．【解析】解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，∴∠3＝∠4，∴△AFE∽△DFC；∴AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC；∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，∴∠3＝∠5，∴△ABD∽△AEC．∴图中不全等的相似三角形共有3对，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．14.如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为 1或3或8． ．【思路点拨】分两种情形构建方程求解即可．【解析】解：设AP＝x．∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，①当时，，解得x＝3．②当时，，解得x＝1或8，∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，故答案为1或3或8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15.如图，半圆O以AB为直径，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，DC＝BC＝4，AD＝14，求AB的长 16 ．【思路点拨】连接AC，由DC＝BC，得出∠EAC＝∠BAC，根据圆周角定理得出∠ACE＝∠ACB＝90°，再利用ASA证明△ACE≌△ACB，得出BC＝EC，利用两个角相等证明△ECD∽△EAB，根据相似三角形的性质计算即可求解．【解析】解：连接AC，∵DC＝BC，∴，∴∠EAC＝∠BAC，∵AB是直径，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，在△ACE与△ACB中，，∴△ACE≌△ACB（ASA），∴BC＝EC，AB＝AE，∵四边形ABCD内接于半圆O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠CDE，∴△ECD∽△EAB，∴，设AB＝x，则AB＝AE＝x，∵DC＝BC＝4，AD＝14，∴BC＝CD＝CE＝4，即BE＝8，DE＝x﹣14，∴，整理得：x2﹣14x﹣32＝0，解得：x＝16或﹣2（不符合题意，舍去），∴AB的长为16，故答案为：16．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16.如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【思路点拨】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解析】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键17.如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．（1）求证：∠AGD＝∠FGC；（2）求证：△CAG∽△FAC；（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）根据垂径定理得到EC＝ED，根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠ADC，推出∠1＝∠ADC，等量代换即可得到结论；（2）连接AC，BC，推出∠FCG＝∠DAG，得到∠ADG＝∠F，推出∠ACG＝∠F，由于∠CAG＝∠CAF，于是得到结论，（3）根据相似三角形的性质得到＝，得到AC2＝AG•AF＝48，求得AC＝4，根据勾股定理得到AE＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接AC，BC，∵AB⊥CD，∴EC＝ED，∴AC＝AD，∴∠3＝∠ADC，∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，∴∠1＝∠ADC，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；（2）解：∵∠FCG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠DAG＝180°，∴∠FCG＝∠DAG，∵∠1＝∠2，∴∠ADG＝∠F，∵∠ADG＝∠ACG，∴∠ACG＝∠F，∵∠CAG＝∠CAF，∴△CAG∽△FAC，（3）解：∵△CAG∽△FAC，∴＝，∴AC2＝AG•AF＝48，∴AC＝4，在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC＝4，CE＝2，∴AE＝＝6，易知△ACE∽△ABC，∴AC2＝AE•AB，∴AB＝8，∴⊙O的半径为4．【点睛】此题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．题组C 培优拔尖练18.如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（ ）A．B．C．D．∠BAC＝∠BDC【思路点拨】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案．【解析】解：A、若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意；B、若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意；C、若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法．19.如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD＝4，连AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB＝AD，则四边形ABCD的面积是（ ）A．6B．8C．9D．18【思路点拨】先证△AOB是等边三角形，可得AB＝BO＝AO，AF＝FO＝2，由相似三角形的性质可得AF＝CH＝2，由面积关系可求解．【解析】解：如图，连接AO，交BD于F，连接BO，DO过点C作CH⊥BD，交BD的延长线于H，∵AB＝AD，OB＝OD，∴AO垂直平分BD，∴BF＝DF＝2，∴∠AOB＝60°，∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝BO＝AO，∵BF⊥AO，∴AF＝FO＝2，∵E 为AC 的中点，∴AE ＝EC ，∵AF ⊥BD ，CH ⊥BD ，∴AF ∥CH ，∴△AFE ∽△CHE ，∴＝1，∴AF ＝CH ＝2，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD +S △BDC ＝×BD ×AF +×BD ×CH ＝4×2＝8，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，垂径定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．20.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，BC ＝12，D ，E 分别是BC ，AB 上的动点（点D 与B ，C 不重合），且2∠ADE +∠BAC ＝180°，若BE ＝4，则CD 的长为 6 ．【思路点拨】依据∠C ＝∠ADE ，∠BDE ＝∠CAD ，即可判定△BDE ∽△CAD ；再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到＝，即＝，进而得出CD 的长．【解析】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ，∴∠C +∠B +∠BAC ＝2∠C +∠BAC ＝180°，又∵2∠ADE +∠BAC ＝180°，∴∠C ＝∠ADE ，又∵∠BDE +∠ADC ＝180°﹣∠ADE ，∠CAD +∠ADC ＝180°﹣∠C ，∴∠BDE ＝∠CAD ，∴△BDE ∽△CAD ，∴＝，即＝，解得CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．21.如图，DA⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过点E作EF⊥AC交AC于F，且BC＝2，AD＝3，则EF的长为 ．【思路点拨】由于AD⊥AC，BC⊥AC，EF⊥AC，故AD∥EF∥BC，即可求得相似三角形，然后可知，．两式相加即可证得，进而解答．【解析】解：∵AD⊥AC，BC⊥AC，EF⊥AC，∴AD∥EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，△CEF∽△CDA，△BCE∽△ADE．∴，．∴，∴，∵BC＝2，AD＝3，∴，∴EF＝，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，解题关键是两式相加去掉AF与CF．22.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝4，点E在BC边上，若AE⊥AD，且∠AEB＝∠DEA，则BE的长为 ．【思路点拨】过D点作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则四边形BCDF为矩形，进而可证明△FAD∽△BEA，列比例式可得，再证明△ABE∽△DAE列比例式可求解BE的长．【解析】解：过D点作DF⊥AB交BA的延长线于点F，∴∠F＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝90°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCDF为矩形，∴DF＝BC＝4，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠FAD+∠BAE＝90°，∴∠FAD＝∠BAE，∵∠F＝∠ABC＝90°，∴△FAD∽△BEA，∴，∵∠B＝∠AED＝90°，∠AEB＝∠DEA，∴△ABE∽△DAE，∴，即，∴，解得BE＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明△FAD∽△BEA，△ABE∽△DAE是解题的关键．23.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ﹣1 ；（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ．【思路点拨】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE 的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC，△EGC∽△GFC，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵＝λ＝1，∴点E为BC的中点，∵AB＝2，∠B＝90°，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠GCF＝180°﹣90°＝90°，在△ADG和△FCG中，，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，CF＝DA，设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴＝，∵GC＝a，CF＝2a，∴＝，∴＝，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24.如图，△ABC内接于半径为的半圆O中，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝135°且D为BM的中点，则DM的长为 2 ；BC的长为 ．【思路点拨】连接AM，可得等腰直角三角形ADM，设AM＝DM＝BD＝x，在Rt△ABM中，根据勾股定理列出方程，求出x值，进一步求得结果；在Rt△AEM中求得EM，进而求得BE，在Rt△ABE中，BC ＝3CE，BE＝3，根据勾股定理列出方程，求得结果．【解析】解：如图，连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠M＝∠C＝90°，∵∠ADB＝135°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴∠MAD＝90°﹣∠ADM＝45°，∴AM＝MD，∵点D是BM的中点，∴MD＝BD，设AM＝x，则BM＝2x，∵AM2+BM2＝AB2，∴x2+（2x）2＝（2）2，∴x＝2，∴AM＝DM＝2，∵点M是的中点，∴＝∴∠CBM＝∠ABM，∴＝，∴＝，∵＝，∴∠MAC＝∠CBM，∴，∴EM＝AM＝1，∴BE＝BM﹣EM＝4﹣1＝3，∵CE2+BC2＝BE2，∴CE2+（2CE）2＝32，∴CE＝，∴BC＝2CE＝，故答案是：2，．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找可解的直角三角形．25.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．（1）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其定义域；（2）若三角形ADE恰为等腰三角形，求AE的长．【思路点拨】（1）先由∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，求得BC＝＝2，∠C＝∠B＝45°，再证明△CDE∽△BAD，得＝，所以＝，整理成用含x的代数式表示y的形式并写出定义域即可；（2）分三种情况讨论，一是当DE＝AD时，则＝＝＝1，所以DC＝AB＝2，CE＝BD＝2﹣2，则AE＝4﹣2；二是DE＝AE时，则∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，此时AD＝CD，且DE⊥AC，所以AE＝CE＝1；三是AD＝AE，此时点D与点B重合，不符合题意．【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴BC＝＝＝2，∠C＝∠B＝45°，∴∠ADE＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∴∠CDE＝∠BAD，∴△CDE∽△BAD，∴＝，∴＝，整理得y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．（2）当DE＝AD时，如图1，∵＝＝＝1，∴DC＝AB＝2，∴CE＝BD＝2﹣2，∴AE＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；当DE＝AE时，如图2，∵∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，∴AD＝CD，∠AED＝90°，∴DE⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝1；若AD＝AE，则∠AED＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°＝∠BAE，∴AD与AB重合，点D与点B重合，不符合题意，综上所述，AE的长为4﹣2或1．【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，证明△CDE∽△BAD是解题的关键．26.从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【思路点拨】（1）根据完美分割线的定义，先证明△ABC不是等腰三角形，再证明△ACD为等腰三角形，最后证明△BCD∽△BAC；（2）根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①如图3所示，当AD＝CD时，②如图4所示，当AD＝AC，③如图5所示，当AC＝CD，然后结合美分割线的定义可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数；（3）根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．【解析】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∴∠DCB＝∠A＝40°，∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）解：①如图3所示，当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．②如图4所示，当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．③如图5所示，当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°．∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴这与∠ADC＞∠BCD矛盾，所以图5的情况不符合题意．综上所述，∠ACB的度数为96°或114°；（3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，∴AC＝AD，∵AC＝3，∴AD＝3，∵CD是△ABC的完美分割线，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BA•BD，设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x，∴（）2＝x（x+3），∴x＝，∵x＞0，∴x＝，∴BD＝，∵△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴CD＝．【点睛】本题是相似形综合题，考查了新定义、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用方程思想解决问题是解本题的关键．。
相似三角形的解题技巧与策略
相似三角形的解题技巧与策略相似三角形作为几何学中的重要概念，广泛应用于各类数学问题中。
解题过程中，正确掌握相似三角形的性质和解题技巧是至关重要的。
本文将介绍相似三角形的定义、性质，并提供几种常用的解题策略。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
具体定义如下：定义1：若两个三角形的对应角相等且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
根据这个定义，相似三角形的性质如下：性质1：对应角相等。
相似三角形的对应角相等，即两个相似三角形的所有内角相等。
性质2：对应边成比例。
相似三角形的对应边成比例，即两个相似三角形的三条对应边的比值相等。
性质3：比例常数。
相似三角形的对应边之比等于一个常数。
这个常数被称为相似比例。
二、1. 判断相似三角形判断两个三角形是否相似的常用方法是比较它们的对应角和对应边是否成比例。
当给定两个三角形的所有对应角相等时，可以使用如下方法判断它们是否相似：方法1：对应角相等且有一个对应边成比例，则两个三角形相似。
方法2：对应角相等且两个对应边成比例，则两个三角形相似。
当给定两个三角形的某些对应角相等时，可以使用如下方法判断它们是否相似：方法3：如果两个三角形的两组对应角之比相等，则两个三角形相似。
2. 求解相似比例在解题过程中，一个常见的问题是求解相似三角形的相似比例。
以下介绍几种常见的求解方法：方法1：已知相似比例和一个对应边的长度，可以求解另一个对应边的长度。
方法2：已知相似比例和一个对应边的长度，可以求解相似三角形的周长。
方法3：已知两个相似三角形的面积比例和一个对应边的长度，可以求解另一个对应边的长度。
3. 求解未知边长当一个三角形是另一个大三角形的相似三角形时，可以使用以下方法求解未知边长：方法1：已知大三角形的一条边与相似三角形的对应边之比，可以求解相似三角形的对应边长。
方法2：已知大三角形的所有边长，可以求解相似三角形的所有边长。
三、示例与应用以下列举几个相似三角形的解题示例：1. 已知两个相似三角形的一个对应边长和相似比例，求解另一个对应边长。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧
初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧一、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
二、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成一个类似于原三角形的三角形。
三、三角形相似的判定1、三角形相似的判定方法①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似2、直角三角形相似的判定方法①、以上各种判定方法均适用②、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③、垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
相似常见类型二、相似常见结论1若DE//AB，则DG/AF=GE/BF2若AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/CD3若四边形ABCD是平行四边形，则AE⊃2;=EF·FG4若∠DAC=∠DBC，则△ADE~△BCE ,可推导出△AEB~△DEC即上下相似可得左右相似同理，左右相似可得上下相似相似三角形常见解题技巧1、三角形叉叉图这类题目经常考察寻找线段的比例或长度。
图中四对线段比AE/ED、AF/BF、CD/BD、CE/EF，知二求二。
常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例2、三角形的可解性一个三角形，必然有三角形、三边、三高、周长、面积等十一个量。
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧。
一、了解相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边的比值相等。
这意味着如果已知一个三角形的一组对应角相等，则可以通过确定比值来确定另一个三角形的对应边长。
二、确定相似三角形的条件在解决实际问题时，我们需要根据已知条件确定相似三角形的条件。
一般来说，常见的相似三角形条件有以下几种：1. AA相似条件：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似条件：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似条件：两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
三、应用相似三角形解决实际问题的步骤解决实际问题时，我们可以按照以下步骤使用相似三角形：1. 了解问题：仔细阅读问题，理解给出的条件和要求。
2. 绘制图形：根据问题中给出的信息，绘制出问题所描述的图形。
确保图形准确无误。
3. 确定相似三角形：根据给出的条件和已知信息，确定哪些三角形是相似的。
4. 建立比例关系：根据相似三角形的性质，建立相应的比例关系。
可以利用两个三角形中对应边的长度比值来建立等式。
5. 求解未知量：利用已知条件和建立的比例关系，求解问题中的未知量。
可以通过代入已知量和已知比例求解。
四、注意事项和技巧在应用相似三角形解决实际问题时，需要注意以下几点：1. 注意单位：在求解时，要根据问题中给出的单位进行计算，并给出相应的单位答案。
2. 注意精度：在计算中，要注意四舍五入和保留有效数字的规则，确保结果的精度符合要求。
3. 检查答案：在求解完毕后，要对结果进行检查，确保符合问题的要求和已知条件。
4. 灵活运用：在实际问题中，可以灵活运用相似三角形解决问题。
有时候需要通过构造相似三角形来求解难题。
综上所述，相似三角形是解决实际问题的有力工具。
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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证明相似三角形的方法
证明相似三角形的方法相似三角形是指两个或多个三角形，在形状上相似但尺寸不同的情况下，它们的对应角度相等，对应边的比值相等。
在几何学中，证明两个三角形相似是十分重要的一项技巧，下面将介绍三种常见的证明相似三角形的方法。
方法一：AA法（角-角相似定理）AA法是指通过两个三角形之间的两个对应角相等来证明它们相似。
具体步骤如下：1. 首先，观察两个三角形，找出它们之间的对应角;2. 接着，通过角的对应关系写出等式；3. 最后，用图形中已有的信息利用等式求解，判断对应边是否成比例。
方法二：SAS法（边-角-边相似定理）SAS法是指通过两个三角形之间的两个对应边成比例且夹角相等来证明它们相似。
具体步骤如下：1. 首先，观察两个三角形，找出它们之间的对应边和夹角;2. 接着，通过对应边比例和夹角相等写出等式；3. 最后，用图形中已有的信息利用等式求解，判断剩余两边是否成比例。
方法三：SSS法（边-边-边相似定理）SSS法是指通过两个三角形之间的三个对应边成比例来证明它们相似。
具体步骤如下：1. 首先，观察两个三角形，找出它们之间的对应边;2. 接着，通过对应边成比例写出等式；3. 最后，用图形中已有的信息利用等式求解，判断对应角是否相等。
在使用这些方法证明相似三角形时，需要注意以下几点：1. 证明时要清晰地写出各个步骤，并在图形上标注对应关系；2. 为了证明相似的正确性，应该尽量用已有的已知条件进行判断，而不是基于猜测或推测；3. 在证明过程中，遵循严密的逻辑推理，确保每一步合理且准确。
需要强调的是，证明相似三角形并非仅限于上述三种方法，根据具体问题的要求，还可以结合角平分线定理、中位线定理等进行推导。
总结起来，证明相似三角形的方法主要有AA法、SAS法和SSS法。
通过运用这些方法，我们可以有效地判定两个三角形是否相似，并进一步推导出各项相似比。
通过这些证明方法的应用，我们可以更深入地理解三角形的相似性质，并在实际问题解决中灵活运用。
(完整版)相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形的判定数学教学教案(优秀6篇)
相似三角形的判定数学教学教案（优秀6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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相似三角形解题方法、步骤（教师版）作者: 日期: 2-4 -9上（ 5）相似三角形解题方法、技巧、步骤相似三角形解题方法、技巧、步骤「一、 相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等 形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广•因而 学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.二、 相似三角形（1）三角形相似的条件： ①；②；③.三、 两个三角形相似的六种图形：^1过上的高求证只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔 加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1 ）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件 最简单；2） 再而先找一对内角对应相等， 且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似a ）已知｛找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对_知两边成比例，两三角形相似上』边对应成比例，两个直角三角形相似「找另一角两角对应相等，两三角形相似c ） P 己知］找两边对应成比例判定定—或判定定理 戋顶角对应相等判定定_找底角对应相等判定定_ 找底和腰对应成比例判定定_3△ sA 2，3,则 dsA 3）g似形的传有若五、“三点定形法”定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代 表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横 定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线 段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明 这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而 去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并 不好， 例1、 求证： ,即由有关线段的三个不同的端点来确应当运用基本规律去解决问题。
已知：如图，△ ABC 中 ,CE 丄AB,BF 丄AC.AE AC AF " BA（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，/ BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC - AE=AF - AB 吗？ 说明理由。
分析方法:1 ）先将积式2） ______（“横定”还是“竖定”？）例1、 已知：如图，△ ABC 中，/ACB=9（0,AB 的垂直平分线交AB 于D,交BC 延长线于F 。
CD=DE ・ DFO分析方法：1 ）先将积式 2） ______（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活 地运用 过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明. 1、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式 中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角 形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不 相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等 的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的 辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换 得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换 的线段再代换回来。
例1 :如图3，△ABC 中，AD 平分/ BAC ， AD 的垂直平 分线FE 交BC的延长线于 E .求证：DE 2= BE-CE .分析：2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换 时，可以考虑用等比代换法即考虑利用第三组线段的 比为比例式搭桥，也就是i 分析，找到与求证的结论 换，然后再用三点定形 过对已知条件或图形的深入 某个比相目等的比，并进行代 形。
例2:如图4，在BAC=9C ° , AD 丄 BC ，E 是 AC 的中点,ED 交AB 的延长线于点F .求证：=ABAC3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3:如图5，在AABC中，/ ACB=90，CD是斜边AB 上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE丄AG,垂足为E，交CD于点F.求证：CD2= DF-DG .V（1题图）（2题图）2 .如图，△ ABC中，点DE在边BC上，且△ ADE是等边三角形, / BAC=120求证：（1 ）△ ADB^A CEA;2、DE>=BD- CE;（3）AB • AC=AD BC.3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，// ECA.求证：AD- EC=AC- EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）6 .如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F 作FM// BE交DE于M.求证：FM=CF.（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。
此题用等比替代可以解决。
）7D如图，△ ABC中，AB=AC点D为BC边中点，CE// AB,BE分另U交AD AC 于点F、G,连接FC.小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例: 不相似，不用急：等线等比来代替。
” 同类练习：横找竖找定相似;1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ 求证：（1 ）△ ADE^A ACB; (2)AD ADE=/ C• AB=AE- AC.5 .如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC2=FG- EF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。
）卜的平分D=件，等4 .如图，AD 为^ ABC中/ BAC线，EF是AD的垂直平分线。
求证：FD2=FC- FBo（此题四点共线，应积极寻找条线替代，转化为证三角形相似。
）七、证比例式和等积式的方法： 对线段比例式或等积式的证明：常用三点定形法”等线段替换法、中间比过渡法、面积法等•若比例式或等积式所涉及的线段 在同一直线上时，应将线段比 转移”必要时需添辅助线），使其分 别构成两个相似三角形来证明. 可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影 和园幂.9 .如图，ABCD 为直角梯形，AB// CD,AB 丄BC,AC 丄BD AD=BD 过 E 作 EF// AB 交 AD 于 F.是说明：(1) AF=BE;(2)AF2=AE- EC.如图5在AABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上DF 丄AB 于F ,交AC 的延长线于 H ，交BE 于G ，（1）FG / FA = FB / FH （2）FD 是 FG 与 FH 的比例1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.找 相似三角形用三点定形法（在比例式中，或横着找三点，或竖着找 三点），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式 代换，或直接找等比代换例2 如图6，mBCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于 点 F ，已知 BE :EC = 3： 1，S ^^BE = 18，求：（1）BF : FD11.已知，CE 是 RTAABC 斜边AB 上的高，在EC 延长线上任取一 点P,连接AP,作BG 丄AP,垂足为G ，交CE 于点D. 试证：CE?=ED- EP.（注：此题要用到等积替代，将 CE?用射影定理替代，再化成比例2说明：线段BF 、FD 三点共线应用平截比定理•由平行四 边形得出两线段平行且相等，再由 平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面 积比等于相似比的平方，求出三角形的面积.例3 如图7在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线， M 是AD 的中点，CM 的延长线交 AB 于N .求：AN : AB 的值；求证：(1) BF=CF.(2)BF 2=FG- FE.(式。
）例1 的高, 求证: 中项.c%10.A ABC 中,/ BAC=90 ,AD 丄 BC,E 为 AC 中点。
求证：AB:AC=DF:AF(2)S Z FDA8 .如图，/ ABC=90 ,AD=DB,DE1 AB,3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用三点定形法”确定要证明的两个三角形相似•、两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然P所在的位置.本题有多个位置，应注意计算，严5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例11.中线，CF/ BA，BF交AD 于P点，交AC于E点。
求证：BP2=PE - PFo例4 如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F，过F作FG // AB交AE于G.求证：AG 2 =AF 汗C7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系•然后再确定顶点P所在的位置•本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.例DAB = 7得以形相似C CD中，AD // BC，Z A= 90°，在边AB上确定点P的位置，使2在梯形P B GD—「试;丁三角形与以P、B、C为顶点的三角例6如图10 a △ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM // FC交AB 于点M . (1)若S/AEF：S 四边形MDEF =2 : 3,求AE：ED ；(2)求证：AEXFB= 2AF >€D6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比.注意平截比定理的应用.例7 己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，MDP 与△QCP相似？11分析：因为BP、PE、所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为点，由等腰三角形的牲质D是BC连结PC,由线段垂直平分线的质知E 的中点, ED交A M勺延长线于求证：ZC AFoPCF,问题就能三条线段共线，找不到两个三角形，AB=AC，D 是BC 中的垂直平分线，如果我们PB=PC,只需证明厶PEC•如图，知：BC 中, / BAC=900，AD 丄BC，F o12分析：比例式左边AB，AC在^ ABC中，右边DF、AF在^ ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。