随机变量的方差及其性质
概率论中的随机变量的期望与方差
概率论是数学中的一门重要学科，用于研究随机现象的规律及其概率性质。
其中，随机变量是概率论的一个核心概念，描述了在某个随机实验中可能的取值及其相应的概率分布。
而随机变量的期望与方差则是对随机变量的两个基本性质进行度量的重要指标。
首先，我们来谈谈随机变量的期望。
随机变量的期望是指随机变量所有可能取值的平均值，也可以理解为随机变量的中心位置。
对于离散型随机变量，其期望的计算方法为每个取值与其概率乘积的和。
例如，设X为一个服从二项分布的随机变量，取值为0和1，概率分别为p和1-p，则X的期望为E(X)=0p+1(1-p)=1-p。
而对于连续型随机变量，其期望的计算方法为对变量的概率密度函数进行积分求和。
例如，设X为一个服从均匀分布的随机变量，取值范围为[a,b]，则X的概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，X的期望为E(X)=∫[a,b]xf(x)dx=(b^2-a^2)/(2(b-a))=(a+b)/2。
期望具有良好的加性和线性性质。
加性指的是对于两个随机变量X和Y，E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
线性性是指对于一个随机变量X和常数a，E(aX)=aE(X)。
这些性质使得期望成为了许多概率论推导及应用的基本工具。
接下来，我们讨论随机变量的方差。
方差是对随机变量的离散程度进行度量的指标。
方差越大，表示随机变量取值的波动程度越大，反之亦然。
方差的计算方法为每个取值与其概率乘积与随机变量期望差的平方的和。
对于离散型随机变量，其方差的计算公式为Var(X)=Σ(x-E(X))^2P(x)，其中Σ表示对所有可能取值求和。
对于连续型随机变量，方差的计算方法为Var(X)=∫(x-E(X))^2f(x)dx。
方差也具有一些重要的性质。
首先，方差非负，即Var(X)≥0。
其次，根据加和线性性质，方差的计算可以简化为Var(aX+b)=a^2Var(X)，其中a和b为常数。
这个性质为方差的应用提供了便利。
最后，方差的平方根被定义为随机变量的标准差，它也是一个重要的度量指标。
随机变量方差的概念及性质
= ( n 2 n) p 2 + np.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2
= np(1 p ) ).
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k } =
λk
k!
e λ , k = 0,1,2,
π π 2 = 3π + 24 2 4 16
4 2
2
= 20 2π 2 .
2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 2
1 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 12 12
解
D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)
= 4 D( X )
= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
推广 若 X 1 , X 2 ,
D( X1 ± X 2 ±
, X n 相互独立 , 则有 + D( X n ).
± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +
= C E {[ X E ( X )] }
2 2
= C 2 D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ).
证明
D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )]2 } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2
方差的性质
一般地， 一般地，
若 i ~ N(µi ,σi2 ), i =1 2,L , 且 互 立 则 X , n 相 独 ，
C1X1 +C2 X2 +L+Cn Xn +C ~ N∑Ciµi +C, i=1
n
∑C σ . i=1
n 2 2 i i
这 ， 1,C2,L Cn是 全 0 常 。 里 C , 不 为的 数
i=1 i =1 i =1 j≠i n n n n
2
性质4: 若随机变量 性质 若随机变量X1, X2, …, Xn相互独立， 相互独立， 则
Var( X1 + L+ X n ) = Var( X1 ) + L+ Var( X n )
n＝2时由于 ＝ 时由于 Var(X±Y)= Var(X) +Var(Y) ±2E(X-EX)(Y-EY) ± 独立， 若X, Y 独立，则 Var(X±Y)= Var(X) +Var(Y) ±
23
例9. 设 ( X ,Y ) ~ N ( µ1, σ12,µ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解: cov( X,Y) = ∫−∞ ∫−∞(x − µ1)( y − µ2) f (x, y)dxdy
x−µ1 令 =s
+∞ +∞
σ1 y−µ2 =t σ2
+∞ +∞ σ1σ2 = ∫−∞ ∫−∞ ste 2π 1− ρ2
E | X | = ∫ | x | f (x)dx≥ ∫ | x | f (x)dx+ ∫ | x |α f (x)dx
−∞ −ε −∞
α
α
α
ε
≥ ∫ ε f (x)dx+ ∫ ε f (x)dx
随机变量方差的定义及性质
02
CATALOGUE
方差的性质
方差的非负性
总结词
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，其方差Var(X)总是非负的。
详细描述
方差的独立性
要点一
总结词
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
要点二
详细描述
这是方差的一个重要性质，表明如果两个随机变量相互独 立，那么它们的和的方差等于它们各自方差的和。这个性 质在概率论和统计学中非常重要，因为它允许我们通过独 立随机变量的方差来计算复合随机变量的方差。
度。
方差主要关注数据点的离散程度 ，而峰态则关注数据点的集中趋
势。
如果数据分布更加尖锐，即数据 点更加集中在平均值附近，则方 差可能会减小，因为数据点之间
的差异较小。
THANKS
感谢观看
方差还可以表示为
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。这个公式可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值 ，E(X)表示随机变量X的期望值。
方差与期望值的关系
方差的大小与期望值有关。如果一个随机变量的期望值越大，其方差也越大；如果一个随机变量的期望值越小，其方差也越 小。
03
CATALOGUE
方差的应用
方差在统计学中的应用
描述数据分散程度
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，用于描述数 据的离散程度。
检验假设
在统计学中，方差分析（ANOVA）等方法用于检验 多个总体均值是否相等，从而判断假设是否成立。
方差
EX kC p (1 p)
n
k 1
n
np
k k 2 E ( X 2 ) k 2Cn p (1 p) n k n n 1 p np k 1
DX n(n 1) p np n p np(1 p) npq
2 2 2
EX np
2 ( x EX ) pk , k DX k 1 ( x EX ) 2 p ( x)dx,
5
注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。
计算方差的简便公式：
DX E ( X ) ( EX )
2
2
展开
证明
DX E ( X EX )
k 1
k 1
k 1
k
15
5．均匀分布：
X ~ U (a, b) 参数为 a, b . 1 ,a xb 密度函数: p( x) b a 0 , other 2 b ab b x x dx EX xp( x)dx a 2(b a ) a ba 2 2 b x 2 2 E ( X ) x p( x)dx a b a dx x3 b a 2 ab b 2 2 2 DX E ( X ) ( EX ) 3(b a ) a 3
1 如第i次试验成功 Xi 0 如第i次试验失败
n i 1
i 1, 2,3,
, n.
X Xi
是n 次试验中“成功” 的次数
EX i P( X i 1) p
故
E( X i2 ) p
DX i E ( X i 2 ) ( EX i ) 2 p p 2 p(1 p)
连续型随机变量的数学期望与方差
(1)D( )
E[
E( )]2
[x
E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
例2 随机变量的概率密度函数
6x(1 x)，当0 x 1
p(x)
0
当x 0或x 1时
求随机变量的方差。
12
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
E( ) xp(x)dx
15
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY
(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
16
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
13
下页
三、练习
• 课本第90页 第6题
14
四、小结 （一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
1、连续型随机变量的数学期望的定义 p(x) 设连续型随机变量 的密度函数为
若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：
x0 x1 x2 L xn
xi xi1 xi
b i
【xi
,
xi
）
+1
y p(x)
o
x0b0 x1 xi bi xi1
xn x
6
连续型随机变量ξ的概率分布
ξ 【x0 , x1）【x1, x2）
3.2随机变量的方差
一样的，还必须考虑这两个班级学生的两极分
化情况.为了反映随机变量的这种离散程度，我
们引入方差概念.
一、方差的概念
1．定义1 定义3.2.1 设 是一个随机变量，数学期望 E
2 为随机 存在，则称 E ( E ) E ( E ) 存在，如果
2
变量的方差,并记为. D 或Var
这个结论的充分性是显然的，下面证明必要性：
1 1 D 0 P( E 0) P( E ) P( E ) 0 n n 1 n n 1 1 2 n 1 ( ) n
由此知
P( E ) 0
更一般地，若 1 , 2
, n 两两独立，则
D1 n D1 D n
性质4 对任意的常数 C E ，则有 D E( C) 2 事实上 E ( C )2 E ( E E C ) 2
E ( E ) 2 2( E C ) E ( E ) ( E C ) 2 D ( E C ) 2 .
E 2
a
2 2 x a ab b x 2 p ( x)dx 4(b a ) a 3 2 2 2
(b a ) D E ( E ) . 12
7) 指数分布 设 ~ E( ) ，已知 E , 因为
E x p( x)dx x e dx x 2d (e x )
契贝晓夫不等式也可以表示成
P( a ) 1 D
2
由切比雪夫不等式看出， D 越小，事件 发生的概率越小， 越是集中在 的附近取值.由
此可见，方差刻划了随机变量取值的离散程度.
随机变量的方差、协方差与相关系数
目 录
• 随机变量的方差 • 随机变量的方差 • 随机变量的协方差 • 相关系数 • 方差、协方差与相关系数的关系 • 实例分析
01
CATALOGUE
随机变量的方差
协方差的定义
协方差是衡量两个随机变量同时偏离其各自期望值程度的量，表示两个随机变量 之间的线性相关程度。
03
当两个随机变量的尺度相差很大时，直接计算协方差可能 得出不准确的结果，此时归一化的相关系数更为适用。
方差、协方差与相关系数的应用场景
方差在统计学中广泛应用于衡量数据的离散程度，例如在计算平均值、中位数等统计量时需要考虑数 据的离散程度。
协方差在回归分析、时间序列分析等领域中有着广泛的应用，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
3
当只考虑一个随机变量时，方差即为该随机变量 与自身期望值之差的平方的期望值，因此方差是 协方差的一种特例。
协方差与相关系数的关系
01
相关系数是协方差的一种归一化形式，用于消除两个随机变量 尺度上的差异，计算公式为 $r = frac{Cov(X,Y)}{sigma_X sigma_Y}$。
02
相关系数的取值范围是 [-1,1]，其中 1 表示完全正相关，1 表示完全负相关，0 表示不相关。
详细描述
对称性是指如果随机变量X和Y的相关系数是r，那么随机变量Y和X的相关系数也是r。有界性是指相关 系数的绝对值不超过1，即|r|≤1。非负性是指相关系数的值总是非负的，即r≥0。
相关系数的计算
总结词
相关系数的计算方法有多种，包括皮尔 逊相关系数、斯皮尔曼秩相关系数等。
VS
详细描述
皮尔逊相关系数是最常用的一种，其计算 公式为r=∑[(xi-x̄)(yi-ȳ)]/[(n-1)sxy]，其 中xi和yi分别是随机变量X和Y的第i个观测 值，x̄和ȳ分别是X和Y的均值，sxy是X和 Y的协方差。斯皮尔曼秩相关系数适用于 有序分类变量，其计算方法是根据变量的 秩次进行计算。
随机变量的方差
随机变量的方差
1
4.2 方差
一. 定义与性质 方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。
如何定义？
2
1.(p121)定义 若E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2 为随机变量 X的方差，记为D(X),或Var(X).
称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
可见
2 [ x E ( X )] P{ X xk }, 离散型情形 k D( X ) k 1 2 [ x E ( X )] f ( x )dx, 连续型情形
3
2.推论
D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
例1：设随机变量X的概率密度为 1 x 1 x 0 f ( x) 1 x 0 x 1 0 其它
5. 正态分布N(, 2)：
D X 2
6
1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续 型随机变量Y，使它们的期望都是2， 方差都是1。
2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，
且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+…+Xn ，求E（Y2）
7
三.切比雪夫不等式 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意 D( X ) 0，有 P{| X E( X ) | } ; 2 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：
i 1 i 1 n n5Βιβλιοθήκη 二.几个常用随机变量的方差
1. 二项分布B(n, p)： 2. 泊松分布p()：
D X np(1 p) D X
1 2 D X b a 12 1 D X 2
072随机变量的均值与方差
§16.1 随机变量的均值与方差1.所示，则称n n 2211为离散型随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)=n n p x p x p x +++ 2211，其中i x 是随机变量X 的可能取值，i p 是概率，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p性质：①E(C)=C ；②E(aX)=aE(X)；③E(aX+b)=aE(X)+b ；④超几何分布X ～H(n,M,N)的数学期望为NnM X E =)(，二项分布X ～B(n ，p)的数学期望为np X E =)(。
2.X 的概率分布如表所示，则称n n p x p x p x 22211)()()(μ-++-+- 为离散型随机变量X 的方差，记为V(X)或2σ，即V(X)= n n p x p x p x 2222121)()()(μμμ-++-+- （其中)(X E =μ，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p ），方差也可用公式212)(μ-=∑=i ni i p x X V ，即22)()()(X E X E X V -=，V(X)的算术平方根称为X 的标准差，即)(X V =σ。
性质：①0)(=C V ；②)()(2X V a b aX V =+；③超几何分布X ～H(n,M,N)的方差为)1())(()(2---=N N n N M N nM X V ，二项分布X ～B(n ，p)的方差为)1()(p np X V -=。
注：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度。
方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小。
三、典型例题例1：有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随即地抽取3张卡片，设3 张卡片上的数字之和为随机变量ξ，求E(ξ)、V(ξ)例2：假定某射手每次射击命中目标的概率为32，且只有3发子弹。
随机变量的方差
E( X 2 ) E2( X ).
4. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) 0. 证明 D(C ) E(C 2 ) [E(C )]2 C 2 C 2 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
D(CX ) C 2D( X ). 证明 D(CX ) E{[CX E(CX )]2}
C 2E{[X E( X )]2} C 2D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
证明 D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2} E{[X E( X )] [Y E(Y )]}2 E[ X E( X )]2 E[Y E(Y )]2 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2,, n),
k
则有
0 p 1.
EX
n
k0
k
n k
p
k
(1
p)nk
np
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
E[X ( X 1)] E( X )
np
n(n 1) p2[ p (1 p)]n2 np
(n2 n) p2 np.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
(n2 n) p2 np X ~ P(), 且分布律为
称 D( X ) 为 标 准 差 或 均 方 差, 记 为σ( X ).
2. 方差的意义
连续型随机变量的方差计算公式
连续型随机变量的方差计算公式1. 前言在概率论和统计学中，方差是用来衡量一个随机变量在其平均值附近的离散程度的一个重要指标。
连续型随机变量的方差计算方法与离散型随机变量略有不同，本文将详细介绍连续型随机变量的方差的计算方法。
2. 连续型随机变量的方差的定义连续型随机变量X的方差定义为：$$ Var(X)=E\left((X-E(X))^2\right) $$其中E表示期望，即：$$ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)dx $$其中f(x)是X的概率密度函数。
方差实际上是随机变量和其期望的差的平方的期望。
3. 连续型随机变量方差计算的步骤计算连续型随机变量方差的一般步骤如下：3.1 计算期望首先需要计算随机变量的期望E(X)，即：$$ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)dx $$3.2 常规计算然后计算(X-E(X))^2，即将X的每个值减去期望，然后平方：$$(X-E(X))^2$$3.3 期望计算再把(X-E(X))^2乘以概率密度函数f(x)，然后对x从负无穷到正无穷进行积分，即可得到方差，即：$$ Var(X)=E\left((X-E(X))^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^2 f(x)dx $$4. 连续型随机变量方差相关公式4.1 方差的性质连续型随机变量的方差具有以下性质：- 对于任意常数c，有Var(cX)=c^2Var(X)。
- 对于任意随机变量X和Y，Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)为X和Y的协方差。
4.2 使用方差的性质计算方差可以利用方差的性质来简化计算：- 如果X是一个连续型随机变量，那么Var(aX+b)=a^2Var(X)，其中a和b都是常数。
- 如果X和Y是正交的随机变量（即Cov(X,Y)=0），那么Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
随机变量的方差和标准差
P|
x
EX
|
f
|xEX |
( x)dx
1
2
(x
EX
)2
f
(x)dx
DX
2
例4.11 设随机变量X的数学期望为μ，方差为 ，2 则由切
贝绍夫不等式，有
P 3 X 3 P X 3 1 1 0.89 9 然而，假如 X ~ N(, 2 ) 则利用附表1，可得
P
3
X
3
P|
X
|
3
一、随机变量的方差和标准差的 概念和性质
1、方差和标准差的定义 X－EX表示随机变量 X 对数学期 望 EX 的离差；为避免离差符号的影响，人们常使用X 对数 学期望 EX 的平方离差 (X EX )2 它显然也是随机变量；称 (X EX )2 的数学期望
DX E(X EX )2 EX 2 (EX )2
二、切贝绍夫不等式
设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对于任意ε>0， 事件{|X－EX|≥ε}的概率有如下估计式——切贝绍夫不等式：
P
X
EX
DX
2
或
P X EX
1
DX
2
证明 (1) 设X是非负离散型随机变量，其一切可能值为{Xi}，
则对于任意ε>0，有
P X EX PX xi
xi EX
1
2 xi EX
( X EX )2 P
X xi
1
2
xi
(X
EX )2 PX
xi
DX
2
,
其中前两个和式∑表示对于满足| xi －EX|≥ε的X 的一切可能 值xi求和，后一个和式∑表示对于X 的一切可能值xi求和．
离散型随机变量期望和方差
1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差.D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.1．（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B． 2 C．D． 32．（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A． 100 B． 200 C． 300 D． 4003．（2007•四川）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（）A．150.2克B．149.8克C．149.4克D．147.8克4．（2014•浙江二模）李先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值Eξ是（）A．B． 1 C．6×（）6D． 6×（）6 5．从装有颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）=3，则D（X）=（）A．B．C．D．6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于（）A．B．C．D． 17．某射手射击击中目标的概率为0.8，从开始射击到击中目标所需的射击次数为ξ，则Eξ等于（）A．B．C．D．58．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ_________（结果用最简分数表示）．9．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4．P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3，4），又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b= _________．10．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则Eξ=_________．11．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是_________．12．（2014•温州一模）现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望Eξ为_________．13．从1，2，3，…，n﹣1，n这n个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为Eξ，则Eξ=_________．14．（2013•闸北区二模）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=_________．15．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=_________．16．（2013•嘉兴一模）一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中．此时盒中黑球个数X的均值E（X）=_________．17．（2013•虹口区二模）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=_________．18．（2012•台州一模）把2对孪生兄弟共4人随机排成一排，记随机变量ξ为这一排中孪生兄弟相邻的对数，则随机变量ξ的期望Eξ=_________．19．（2012•杭州二模）（理）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2，则ξ的数学期望Eξ=_________．20．（2011•温州二模）甲、乙两个同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机从中拿回两本，记甲同学拿到自己书的本数为ξ，则Eξ=_________．21．一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=_________．22．设口袋中有黑球、白球共9个球，从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为_________．23．（2011•嘉定区三模）某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差Dξ=_________．24．（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．25．（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．26．（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．27．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．28．甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．29．一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线．试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．30．（2014•淄博三模）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分剐为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．。
随机变量的数字特征-方差
方差的性质
非负性
方差总是非负的，即Var(X) ≥ 0。
确定性
当随机变量取常数值时，方差为0。
线性性质
如果随机变量X的方差为Var(X)，则aX+b的方差 为a²Var(X)。
方差的意义
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，方差越大，随机变量的取值越分 散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差在统计学中有着广泛的应用，如计算数据的离散程度、评估预测模型 的精度等。
方差分析是统计学的分支之一，用于比较不同总体或样本的方差是否具有 显著差异。
02
方差的计算
离差平方和的分解
实际值与期望值之差的平方的平 均值。
所有这些平方差的加总。
每个随机变量与数学期望的差的 平方。
01
03 02
方差的计算公式
方差计算公式为：$D(X) = E[(X EX)^2]$
其中，$E$表示数学期望，$X$表示随 机变量，$EX$表示随机变量的数学期 望。
03
标准差与方差的关系表明，标 准差越小，随机变量的取值越 集中；标准差越大，随机变量 的取值越离散。
方差与偏态系数的关系
偏态系数是描述随机变量取值分布形态的数字特征，表示随机变量取值的对称性。
如果偏态系数大于0，表示随机变量取值右偏分布；如果偏态系数小于0，表示随机变量取值左偏分布。
方差与偏态系数之间存在一定的关系。对于具有相同方差的两个随机变量，偏态系数越大，表示随机变 量的取值越离散；偏态系数越小，表示随机变量的取值越集中。
随机变量的数字特征-方差
目录
• 引言 • 方差的计算 • 方差与其他数字特征的关系 • 方差的应用场景 • 案例分析
01
引言
4.2随机变量的方差
例3 设X1, X2, …, Xn相互独立，有共同的期
望 和方差 2 ， 则: 证明:
n 1 n 1 1 n E ( X i ) E ( X i ) E ( X i ) , n i 1 n i 1 n i 1 n 1 n 1 1 n 1 2 D( X i ) 2 D( X i ) 2 D( X i ) . n i 1 n n i 1 n i 1
D(X)=D(X1+X2+…+Xn) =D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)= npq.
设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都 存在, 且D(X ) 0, 则称
X
X E( X ) D( X )
为 X 的标准化随机变量. 显然，
E ( X ) 0, D( X ) 1
1 n E( X i ) , n i 1
1 n 1 2 D( X i ) . n i 1 n
例4 已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且 每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+…+Xn .求 E(Y2). 解：由已知，则有
E (Y ) E (Y1 ) E (Y2 ) E (Yn ) 0 D(Y ) D(Y1 ) D(Y2 ) D(Yn ) n
若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大.
1) D(X)0，即方差是一个非负实数. 2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差 为D(X). 3) 方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个 特征.
(1)若 X 为离散型，概率分布为
P X xk pk , k 1, 2,
随机变量的方差以及性质
三．几个常用的随机变量的期望与方差：
（1）二点分布：
随机变量 的分布为
１ ０
则
。
.
证明：
如：
（3） ．
【例7】
证明：
(8)正态分布： ，则
证明：
也能够用下面方法来证明：
与Ｐ．８５―― 习题九－４类似， ），
【例8】若连续型随机变量的概率密度是
四．习题：
P．93 --------- 1，
例8若连续型随机变量的概率密度是资料内容仅供您学习参考如有不当或者侵权请联系改正或者删除
§2随机变量的方差及其性质
一．随机变量的方差：
１．
（１）
【例１】
【例２】
解：
ＤＸ＝
＝
【例３】
解：
２．
二． ：
n个相互独立随机变量算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1／n倍.
．
Байду номын сангаас解：
【例4】
解：
【例5】
【例6】
， 得
2（习题九的1，3，5）
随机变量函数的方差
随机变量函数的方差
随机变量函数的方差是指将某个随机变量通过一个函数转换后
所得到的新随机变量的方差。
具体来说，设$X$是一个随机变量，$g(x)$是一个函数，那么$Y=g(X)$就是一个随机变量。
随机变量$Y$的方差可以通过以下公式计算：
$Var(Y)=E[(Y-E(Y))^2]=E[(g(X)-E[g(X)])^2]$
其中，$E(Y)$表示随机变量$Y$的期望，$E[g(X)]$表示函数
$g(x)$在随机变量$X$上的期望。
这个公式可以理解为将随机变量$X$的每个取值通过函数$g(x)$转换后得到的新随机变量$Y$的方差。
需要注意的是，如果函数$g(x)$是单调函数或者仿射函数，那么随机变量$Y$的方差和随机变量$X$的方差之间存在简单的关系。
如果函数$g(x)$是单调函数，那么有：
$Var(Y)=Var(X)times[g'(E[X])]^2$
如果函数$g(x)$是仿射函数，那么有：
$Var(Y)=Var(X)times[g'(E[X])]^2$
其中，$g'(x)$表示函数$g(x)$的导数。
这个结论可以方便地应用于一些常见的随机变量变换，如正态分布变换等。
- 1 -。