配分函数的分析与计算

2014届本科毕业论文配分函数的分析与计算姓名：张坤系别：物理与电气信息学院专业：物理学学号：100314025指导教师：王保玉2014年4月12日目录摘要 (I)0 引言 (1)1 配分函数的分析 (1)1.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质 (1)1.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和 (1)1.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度 (2)1.4 配分函数是状态函数 (3)1.5 配分函数属于特性函数 (3)2 配分函数的计算 (4)2.1 统计系综的几率分布与配分函数 (5)2.2 近独立系统的配分函数 (6)2.2.1 近独立系统的经典统计 (6)2.2.2 近独立系统的量子统计 (6)结束语 (9)参考文献 (10)致谢 (10)配分函数的分析与计算摘要配分函数在统计物理中占有非常重要的地位,它是一个非常重要并且也比较难理解的物理量，本文将从配分函数的定义出发，阐述其物理意义，阐释其在统计物理中的重要作用，全面分析配分函数，进而研究了常见的各种系综的配分函数的相关计算，并讨论其应用。

关键词：配分函数；物理意义；作用；系统；系综Analysis and calculation of partition functionAbstractPartition function plays an important role in statistical physics, It is a very important and also difficult to understand the physical quantity. This article will begin with the definition of partition function, expatiate it’s physical meaning and illustrate the important role in statistical physics, then give a comprehensive analysis of the partition function. and then study Calculation of partition function in various common ensemble:Classical statistical and Quantum statistics in Near independent system, finally make a comprehensive study of the partition function.Key word: Partition function The physical significance System Ensemble0 引言热力学的宏观理论和微观理论统称为热现象的基本理论，即热力学和统计物理学。

统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。

由于微观粒子运动的复杂性和多样性的特点，如何将复杂的微观量表示系统宏观性质是一个复杂的问题，完成这一任务的桥梁就是配分函数。

正确的分析配分函数以及理解和掌握其相关的计算方法，对统计物理学起着非常重要的作用。

1 配分函数的分析由麦克斯韦-玻尔兹曼分布i ie e n s i βεαβεαω----==f 或得Z e e e e n N i iiαβεαβεαωω-----====∑∑∑或 ∑∑---===sssZ e e e fN s αβεα得配分函数为：∑∑--==sis i e Z e Z βεβεω或i 为能级数，s 为量子态数，ω为第i 个能级的简并度。

1.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质由上 得：ωβεi e Z N n i -=，s e ZNf s βε-=， 又得： Z e N n i i ωβε-=，Ne Nf s s βε-= 对于系统中的某个粒子来说，粒子在各个能级上的分配情况就是粒子出现在该能级上的概率。

由上式可以得到，左边式子Nn i即为粒子出现在能级i ε上的概率，式子右边是关于物理量Z 的关系式。

系统中N 个粒子中出现在能级i ε上的粒子数越多，即粒子出现在该能级上的概率就越大，相应的物理量Z 直接受到影响。

同理，Nf s为粒子出现量子态s ε中的概率。

系统中的N 个粒子分配到量子态s ε中的粒子数就越多，即相应的粒子出现在量子态s ε中概率越大。

同样的物理量Z 也受到影响。

与此同时，物理量Z 的变化也同样影响着粒子在能级上或者量子态上的概率，即粒子在能级或者量子态上的分布。

因此配分函数是粒子出现在各个可能能级或者是可能的状态上的相应的决定量，正因为如此，Z 选为配分函数。

1.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和由于 Ze N n i i ωβε-=得 ωβεi e ZNn i-=式子Nn i 为粒子出现在能级i ε上的概率，式子右边i e βε-为玻尔兹曼因子。

由式子可以看出出现在某能级上或者量子态的粒子概率正比于玻尔兹曼因子ieβε-，因此玻尔兹曼因子也是一个与粒子在某能级或者量子态上的概率有关的物理量，可以作为相对概率,ie βεω-就可以表示能级i ε 上各个单个粒子量子态相对概率之和。

配分函数∑-=ii ie Z βεε可知道，Z 表示的是所有的可能量子态相对的概率之和，因此配分函数也是统计之和[]1。

1.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度配分函数 ∑∑--==si sie Z e Z βεβεω或，其中玻尔兹曼因子为ieβε-。

玻尔兹曼因子随着能级数的增加以负指数的规律减小，可知Z 为收敛级数，并且配分函数Z 是一个无量纲的数，因此Z 为有限的无量纲数。

从另一方面看，简并自身就是一个无量纲的数，配分函数Z 为无量纲数也是无可争议的。

进而也可得到配分函数就为一个确定的数，在能级及简并度和温度都已经明确确定，级数的收敛度将会决定该数的大小。

假定系统中各个能级是等间距的，能级是非简并的()1=ω，能量的基准为基态的能量（取00=ε） 并令x kTii =-+εε1则()01021101212......1......11x x x kT kT kT kTkTZ e e e e ee e L e εεεεεεεεε--+-----=+++=+++=+++=-由上式可知，能级间距和温度都是x 的决定量，同样也是配分函数Z 的决定量。

随着能级的间距增大，相应的x 就会越大，收敛级数Z 就会收敛越快，同样的温度越低，x 也会越大，收敛级数Z 也会收敛的越快。

对于能级来说，能级越低，能级间间距越大，收敛级数Z 就会越接近于1，所以配分函数在低能级上起到的作用就越大。

配分函数Z 为收敛级数，如能级间的间距足够大或者温度足够低，在这种极限的条件下，x 会趋近于无穷大，进而01≈-+kTii eεε，所以收敛函数Z 几乎近似等于1，此时相应的系统中，粒子几乎全都集中在能级低的基态上，能级相对高的激发态上的粒子的数量近似等于0。

对于相反的情况，随着能级间距的减小，温度的降低，相应的x 就会越小，kTii eεε-+1就会增大，级数Z 就会收敛的越慢，配分函数在低能级上起到的作用就越小，高能级上的作用会越大，因此粒子在高能级上数量就会增多。

可以见得，级数Z 收敛越慢，配分函数的数值越大，粒子不会全部集中在基态上，粒子在高能级上适当分布，粒子在各个能级间的分布相对比较均匀，相反级数Z 收敛越快，然而配分函数的数值越小，粒子比较在低能级上集中。

所以说，配分函数大小是表示粒子离开基态的程度大小的量度。

在能级是简并的情况下，玻尔兹曼因子仍然会随着能级的变化而变化，对于能级非简并状态不影响，但是配分函数除与玻尔兹曼因子有关外，还受到简并度ω的影响，配分函数的数值可以增大，但是经过一个最大点之后，然后又会均匀的减小。

这就意味着体系在平衡时所分配最多粒子数的能级上并不一定是最低的能级[]4[]3。

因此，在对配分函数的分析过程中，粒子状态的‘配分’是最为重要的，配分函数的物理意义也就体现于此，也就是粒子在各个不同的能级上或者量子态上的分布状况，配分函数就是那个充分描述这样分布特性的物理量。

对于统计物理学来说，最关键的问题就是热力学系统中的微观粒子分布情况。

1.4 配分函数是状态函数配分函数的表达式 ∑-=iie Z βεω其表达式是一个收敛级数，所以配分函数是系统中所有的可能的微观状态的求和。

每一个微观状态都影响着配分函数的值，相应的配分函数Z 也反映了系统中的各个微观状态。

在系统的宏观状态确定的情况下，影响配分函数的微观状态趋于稳定，可得配分函数的数值也是唯一的，所以配分函数Z 是状态函数。

由各个子系统组成的近独立系统，无论其子系统如何变化，子系统可以是系统中的各个部分；两相平衡系统中的各个相；也可以是系统的多组元中的任何一组元；系统组成的各个粒子或者粒子的任一自由度等，该系统的配分函数就是各个子系统配分函数相乘共同作用的结果。

比如：对于双原子分子来说，它有三个自由度：平动、转动、振动，那么它所组成的系统中，子系统就可以是它的这三个自由度。

根据以上我们可知，在双原子分子组成的系统中，其配分函数就应该是振转平Z Z ZZ ∙∙=；对于理想所组成的系统，子系统可以认为是任何的一个单分子，那么理想气体系的统配分函数为NC Z Z =；对于两相平衡系统，无论是固体和平衡气体或者液体和平衡气体，其系统的配分函数也是子系统相乘结果。

固体和平衡气体所组成的系统的配分函数为 固气Ξ∙Ξ=Ξ，气体部分配分函数气Ξ,固体部分配分函数固Ξ。

由此可见，配分函数Z 是反映了系统中的各个微观状态。

在系统的宏观状态确定的情况下，影响配分函数的微观状态趋于稳定，可得配分函数的数值也是唯一的，所以配分函数Z 是状态函数。

[]51.5 配分函数属于特性函数配分函数与系统的状态有着直接的联系，对于一个系统，一旦其状态确定了，系统所对应的配分函数就是唯一确定的，相反，通过系统求得其配分函数，然后对系统的配分函数的对数求偏微商，可得到系统的全部基本的热力学函数，从而确定平衡态时系统的全部热力学性质。

若已知配分函数就可得到：内能 nZ NU l β∂∂-= 压强 Z VN P ln ∂∂=β 熵⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=Z Z NK S ln ln ββ......综上所述可以知道，求得配分函数Z 就可以知道基本热力学函数内能、物态方程和熵，从而确定系统的全部平衡性质。

因此ln Z 是以β、y （对于简单系统即T 、V ）为变量的特性函数。