换底公式的推导及特殊换底公式及练习
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2.2.1对数的换底公式及其推论 高一数学课件
补充练习
1、已知log23=a,3b=7, 试用 的式子表示 1256 、已知 试用a,b的式子表示 的式子表示log
1 1 2、已知 a=5b=A,且 a + b = 2 ，则A＝ 、已知3 且 ＝
ab + 3 答案： 答案： a+2
15
。
1 a 3、2 + 、 比lg 大 loga 10 100
对数换底公式
一、对数换底公式
log c b log a b = log , c > 0, c ≠ 1, b > 0
）
对数换底公式的作用是什么？ 对数换底公式的作用是什么？
把不同底的对数转化成同底对数问题
二、对数换底公式证明
设 得 即
log a b = x
两边取以
三、对数换底公式常见变形： 对数换底公式常见变形：
（1） ）
1 log a b = log b a
m
m （2） log n b = ） log a b a n
对数换底公式
例题： 例题：已知
log18 2 = a
，试用a表示 log 3 试用 表示
2.
log18 2 log18 2 2 log18 2 解： log 3 2 = = = 18 log18 3 1 log18 9 log18 2 2
4
。
作 业
p74 4,
p75 11
x
0.625 = 0.933
x
对数换底公式引入 如何由
（１）
x = log0.933 0.625
x
0.625 = 0.933
x
的值？ 求 x 的值？
（２）两边取以10为底的对数： 为底的对数： 两边取以 为底的对数
高一数学对数的换底公式及其推论
2.2.1 对数的换底公式 及应用（3）
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 3
4
2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算
wod19xqy
子的口气，应该是与20年前楚归国的一桩宫廷秘闻有关，我本想继续问下去，但萧公子没说什么，只是让我告诉你，必须保护 好公子。”“初月，我实话告诉你吧，我从萧煜痕那偷到一粒灵芝草配置的解毒丸，让玉瑶带回去了，只怕这会哥哥已经服下 了。”“这灵芝丸虽能解毒不假，但是60你这么做太冒险了。你知道萧煜痕为什么明明知道公子中了壮阳丸的毒，却迟迟不给 我们解药吗？”“难道不是他居心叵测，意图染指我们雪城吗？”“并非，初月之前就说过是有人故意为之栽赃给萧公子的， 您想想，萧公子平日呆在天香楼里，连我们素日都不知道雪城有这么一号人物，为什么在公子中毒后处处有关联。第二，公子 在进天香楼前已经是迷迷糊糊的状态，又是什么人能从天香楼给一个不省人事的人喂进这壮阳丸的呢？其次，我在萧煜痕处翻 了不少古籍资料，这壮阳丸之毒不是一两日就能积累成如此，想必自然是有府里的人在给公子服这种药，以达到不可告人的目 的。”“初月，你是不是已经知道是谁下的毒了？”“60，初月不敢妄加预言，60七窍玲珑心自然想得到是谁，只是若是处置 不当，势必会让雪城处在一个内忧外患的境地。”“初月，没想到我纪雪芙聪明一世，关键时候竟然还不如你想的透彻，我知 道是谁了，待我回雪城府，一定想个法子好好治治他。”第022章 还恩君莫急 “60，这灵芝丸的解药一旦给公子服下，就得 三个月药不能停，这是以毒攻毒的法子，只是60不知其药理仓促给公子服下，那下一丸药60又要如何取？”“什么？萧煜痕竟 如此卑鄙？”“60，这些日子在萧公子身边懂了很多，我们雪城之所以能任人鱼肉完全是因为我们太封闭的活在自己的世界里， 所以奴婢恳求60，让初月去萧公子的暗卫营里历练，强大自己再来保护60。”“初月，你这又是何苦？你我自幼一起长大，你 当我不知你对哥哥的心意吗？如今哥哥正在病中，你舍得就这么放下吗？”“60，初月自小就知道与公子60的身份差距，老太 爷公子和60都对初月极好，今生都无以为报，怎么还能肖想和公子在一起呢？初月的心意已决，还望60成全。”“唉，你当真 想好了？那萧煜痕又可愿意收你？”“60，且不论初月一心为雪城的赤胆忠心，连初月都能看出来萧公子对60的上心程度，若 是60肯去说，萧公子自然是不会拒绝的，只是60，萧公子真的不是您想的那种人，不论他对别人如何，对60怎样60自然是比奴 才清楚，能因为60你还能爱惜60您身边的丫鬟初月我，这种爱屋及乌的深情，60还是要早些明白才是。”“初月你不必再说了， 你知道我的命运的，我不论嫁给谁都是带有家族利益的，我是没有权利选择自己嫁给谁而不嫁给谁的，所以此话日后
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 3
4
2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算
wod19xqy
子的口气，应该是与20年前楚归国的一桩宫廷秘闻有关，我本想继续问下去，但萧公子没说什么，只是让我告诉你，必须保护 好公子。”“初月，我实话告诉你吧，我从萧煜痕那偷到一粒灵芝草配置的解毒丸，让玉瑶带回去了，只怕这会哥哥已经服下 了。”“这灵芝丸虽能解毒不假，但是60你这么做太冒险了。你知道萧煜痕为什么明明知道公子中了壮阳丸的毒，却迟迟不给 我们解药吗？”“难道不是他居心叵测，意图染指我们雪城吗？”“并非，初月之前就说过是有人故意为之栽赃给萧公子的， 您想想，萧公子平日呆在天香楼里，连我们素日都不知道雪城有这么一号人物，为什么在公子中毒后处处有关联。第二，公子 在进天香楼前已经是迷迷糊糊的状态，又是什么人能从天香楼给一个不省人事的人喂进这壮阳丸的呢？其次，我在萧煜痕处翻 了不少古籍资料，这壮阳丸之毒不是一两日就能积累成如此，想必自然是有府里的人在给公子服这种药，以达到不可告人的目 的。”“初月，你是不是已经知道是谁下的毒了？”“60，初月不敢妄加预言，60七窍玲珑心自然想得到是谁，只是若是处置 不当，势必会让雪城处在一个内忧外患的境地。”“初月，没想到我纪雪芙聪明一世，关键时候竟然还不如你想的透彻，我知 道是谁了，待我回雪城府，一定想个法子好好治治他。”第022章 还恩君莫急 “60，这灵芝丸的解药一旦给公子服下，就得 三个月药不能停，这是以毒攻毒的法子，只是60不知其药理仓促给公子服下，那下一丸药60又要如何取？”“什么？萧煜痕竟 如此卑鄙？”“60，这些日子在萧公子身边懂了很多，我们雪城之所以能任人鱼肉完全是因为我们太封闭的活在自己的世界里， 所以奴婢恳求60，让初月去萧公子的暗卫营里历练，强大自己再来保护60。”“初月，你这又是何苦？你我自幼一起长大，你 当我不知你对哥哥的心意吗？如今哥哥正在病中，你舍得就这么放下吗？”“60，初月自小就知道与公子60的身份差距，老太 爷公子和60都对初月极好，今生都无以为报，怎么还能肖想和公子在一起呢？初月的心意已决，还望60成全。”“唉，你当真 想好了？那萧煜痕又可愿意收你？”“60，且不论初月一心为雪城的赤胆忠心，连初月都能看出来萧公子对60的上心程度，若 是60肯去说，萧公子自然是不会拒绝的，只是60，萧公子真的不是您想的那种人，不论他对别人如何，对60怎样60自然是比奴 才清楚，能因为60你还能爱惜60您身边的丫鬟初月我，这种爱屋及乌的深情，60还是要早些明白才是。”“初月你不必再说了， 你知道我的命运的，我不论嫁给谁都是带有家族利益的，我是没有权利选择自己嫁给谁而不嫁给谁的，所以此话日后
第2课时-换底公式
14
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
15
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
[发散思维]
21
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
反思感悟 关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关 数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化 为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
18
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
(2)解：由 3a＝4b＝36， 得 a＝log336，b＝log436， 由换底公式得1a＝log363，1b＝log364， ∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log3636＝1.
19
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
A．1a＋1b＝1
B．2a＋1b＝lg 20
C．1a＋2b＝2
D．1a＋2b＝12
解析：AB a＝log210，b＝log510，1a＋1b＝log1210＋log1510＝lg 2＋lg 5＝1，
故 A 正确；
2a＋1b＝log2210＋log1510＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故 B 正确；1a＋2b＝log1210＋log2510 ＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故 C，D 都不正确．
2．已知 2x＝3，log483＝y，则 x＋2y 的值为( A )
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
对数的换底公式及其推论
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
高一数学必修教学课件第三章换底公式
解决实际问题
增长率问题
在经济学、金融学等领域，经常需要计算增长率。利用换底 公式，可以将连续增长率转化为离散增长率，便于分析和比 较。
音高计算
在音乐领域，音高与频率之间呈对数关系。利用换底公式， 可以将音高转换为以2为底的对数，从而方便计算和分析。
拓展应用领域
工程领域
在工程计算中，经常遇到以不同 底数表示的对数。利用换底公式 ，可以统一底数，简化计算过程
预备知识
01
02
03
对数的定义和性质
学生需要了解对数的定义 、对数的性质和运算法则 ，如对数的乘法、除法、 指数和换底法则等；
指数运算
学生需要掌握指数运算的 基本法则，如指数的乘法 、除法、乘方和开方法等 ；
代数运算
学生需要具备Байду номын сангаас本的代数 运算能力，如代数式的化 简、因式分解、一元二次 方程的解法等。
符号表示的意义
换底公式的符号表示体现了对数运算 的转换关系，通过换底公式可以将不 同底数的对数相互转换，从而简化对 数运算。
03 换底公式应用举 例
简化计算过程
对数运算的化简
利用换底公式，可以将不同底数 的对数转化为相同底数的对数， 从而简化计算过程。
指数运算的化简
通过换底公式，可以将指数运算 转化为对数运算，进一步简化计 算。
。
计算机科学
在计算机科学中，换底公式可用 于算法分析和优化。例如，在排 序算法中，可以利用换底公式将 时间复杂度从O(nlogn)简化为
O(n)。
物理学领域
在物理学中，一些物理量与对数 关系密切相关。利用换底公式， 可以方便地处理这些物理量的计
算和转换。
04 换底公式与对数 运算规则关系
高一数学对数的换底公式及其推论
9 2
4
解：二) log4 3 log2 8 log2 4 log2 4 log 1 log2 2 3 9 3 1 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 3 1 4 2 2 2
作业：课本P74的4（3）、5
1.课本P74，第1,2,3,4,5,7题 1．求值：
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
用a, b 表示
log2 3 a, log3 7 b
l og6 21
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2,求m
3 若l og 8 3 p, l og 3 5 q,
2.各小组数学负责人17:50办公室
用p, q表 示 l g5
语文
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附赠 中高考状元学习方 法
前 言 高考状元是一个特殊的群体，在许
多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
4
解：二) log4 3 log2 8 log2 4 log2 4 log 1 log2 2 3 9 3 1 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 3 1 4 2 2 2
作业：课本P74的4（3）、5
1.课本P74，第1,2,3,4,5,7题 1．求值：
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
用a, b 表示
log2 3 a, log3 7 b
l og6 21
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2,求m
3 若l og 8 3 p, l og 3 5 q,
2.各小组数学负责人17:50办公室
用p, q表 示 l g5
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附赠 中高考状元学习方 法
前 言 高考状元是一个特殊的群体，在许
多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
对数的换底公式课件
换底公式适用于对数里有参数的情况，如log_a(b)， 其中b是参数。
真数必须大于0
换底公式中的真数必须大于0，因为对数定义域的限 制。
换底公式使用时的注意事项
正确选择底数
选择适当的底数可以帮助简化计算， 例如在科学计算中常用以10为底或以
e为底的换底公式。
避免计算错误
换底公式涉及多个对数的运算，容易 出错，需要仔细核对每一步的计算结
推导过程中需要特别注意处理对数的运算次序、底数和指数 的关系，以及不同底数之间的转换关系，以确保推导的正确 性和严谨性。
换底公式证明
换底公式的证明主要基于对数的定义 和性质，通过数学演绎推理的方法进 行证明。证明过程中需要利用已知的 对数运算法则和性质，逐步推导出换 底公式。
证明的关键在于理解对数的基本性质， 掌握对数运算法则的应用，以及能够 灵活运用数学演绎推理的方法。
03
换底公式的应用
利用换底公式进行对数计算
01
换底公式可以将对数计算从一种底数转换为另一种底数，简化 计算过程。
02
利用换底公式可以快速比较不同底数对数值的大小，有助于解
决一些数学问题。
在科学计算中，换底公式可以用于将不同单位或不同来源的数
03
据统一到相同的对数底数下，便于分析和比较。
利用换底公式解决实际问题
与对数的运算律结合
换底公式可以与对数的运算律结合使用，如 log_a(m^n) = n * log_a(m)，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)等。
与指数和对数互化结合
换底公式可以与指数和对数互化的性质结合使 用，如e^(log_a(b)) = b，log_a(e^b) = b等。
05
真数必须大于0
换底公式中的真数必须大于0，因为对数定义域的限 制。
换底公式使用时的注意事项
正确选择底数
选择适当的底数可以帮助简化计算， 例如在科学计算中常用以10为底或以
e为底的换底公式。
避免计算错误
换底公式涉及多个对数的运算，容易 出错，需要仔细核对每一步的计算结
推导过程中需要特别注意处理对数的运算次序、底数和指数 的关系，以及不同底数之间的转换关系，以确保推导的正确 性和严谨性。
换底公式证明
换底公式的证明主要基于对数的定义 和性质，通过数学演绎推理的方法进 行证明。证明过程中需要利用已知的 对数运算法则和性质，逐步推导出换 底公式。
证明的关键在于理解对数的基本性质， 掌握对数运算法则的应用，以及能够 灵活运用数学演绎推理的方法。
03
换底公式的应用
利用换底公式进行对数计算
01
换底公式可以将对数计算从一种底数转换为另一种底数，简化 计算过程。
02
利用换底公式可以快速比较不同底数对数值的大小，有助于解
决一些数学问题。
在科学计算中，换底公式可以用于将不同单位或不同来源的数
03
据统一到相同的对数底数下，便于分析和比较。
利用换底公式解决实际问题
与对数的运算律结合
换底公式可以与对数的运算律结合使用，如 log_a(m^n) = n * log_a(m)，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)等。
与指数和对数互化结合
换底公式可以与指数和对数互化的性质结合使 用，如e^(log_a(b)) = b，log_a(e^b) = b等。
05
4.2 换底公式
六、公式推论
推论1
1 logb a loga b
如何证明
推论2
logam bn
n m loga b
如何证明
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算：（1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
解法二:
(1)
log9
27
log32
33
3 2
log3
3
证 两证明边明取: 设二以x：aN=为l=设o底bgxb.lN的loo,g根g对aa据N数b 对,得数x,定义,有换 换底 成根 写 两2公新x据 成 边对 指 取1式底5数 数 常的 式 用好可定 ， 对神任义 得 数,,得奇意
而 由因则所所l于为ogl以b以xoa≠b=gll1xlooNl=oa,ogg则xggNaalbbNNolNogN==bg,ax所lxbaolxb,og所以≠lgalol0aboo以bg,xglxg解..oaaagb出NbblNox.得globllogoNggaaxabNbx原 真.lloogg底 数aa所xNb加加l以g.2x底底lgl变变lgg11525分分. 母子
98logll5gg133227
lglgll1gg21232523
llgllggg32313235
lg lg
1
3 5
lg 53 lg 2
lg32lg5 lg23lg
23lglg5335llgg1
3 2
19105
法法二二：：lloogg928121lo5g
l3o2 g273
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用 运算法则时，可统一化成同一个底数为底的对数，再根 据运算法则进行化简或求值.
对数的换底公式推导
对数的换底公式推导
对数的换底公式是数学中一个很重要的公式，它可以用来计算不同对数之间的关系，成为科学研究中不可缺少的一部分。
本文将通过证明换底公式来帮助读者理解其中的原理。
首先，我们要明确一下关于对数的概念，以及换底公式的定义。
对数（log）是一个抽象概念，它表示两个数字之间的关系。
换底公式（logab = logcb / logca）指的是两个对数（logab logcb)之间的关系，即logab于logcb以logca商。
接下来，我们来证明换底公式。
设有两个数ab，其中ab0。
由于logab = logcb / logca，我们可以认为：
b = c^(logca logcb )
下一步，我们可以将b两边同时乘以a：
ab = c^(logca logcb ) a
我们知道，ab于cn幂。
我们可以进一步将上式简化为：
ab = c^(logca + logcb )
以上就是换底公式的证明。
换底公式的应用不仅限于简单的计算，它也可以用于更深层次的研究。
比如，由于logar = logbr + logcr，因此可以用换底公式推导出ab 之间的指数表达式。
此外，换底公式还可以用于方程解等数学问题。
比如，在一个简单的方程中，如果已知ab对数，则可以通过换底公式求解方程。
综上所述，换底公式是一个重要的数学公式，它不仅可以用于简
单的计算，还可以用于更深层次的研究，从而为科学研究带来更多可能性。
高一数学对数的换底公式及其推论
2.2.1 对数的换底公式 及应用（3）
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
； https:///brands/4003.html 新加坡妈妈烤包 新加坡妈妈烤包加盟；
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 34 Nhomakorabea2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
； https:///brands/4003.html 新加坡妈妈烤包 新加坡妈妈烤包加盟；
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 34 Nhomakorabea2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
换底公式推导
换底公式推导换底公式是数学中常用的公式之一，它在计算数学中的对数运算时非常有用。
通过换底公式，我们可以将一个对数的底数转换为另一个底数，从而使计算更加方便。
在本文中，我们将推导换底公式的数学推导过程。
首先，我们先来回顾一下对数的定义。
对数是指以某个数（称为底数）为底的指数。
例如，以底数为2的对数，就是求解下面的方程：2^x = y其中，x为对数，y为底数。
根据这个定义，我们可以得到下面的关系：log2 y = x其中，log2表示以底数为2的对数。
接下来，我们介绍换底公式的一般表达式。
设底数为a的对数为x，底数为b的对数为y，底数为c的对数为z，那么根据换底公式，我们可以得到如下的关系：loga c = logb c / logb a这个公式可以帮助我们在不同底数之间转换对数。
接下来，我们将推导这个公式的过程。
首先，我们有两个对数方程：a^x = cb^y = c我们希望找到一个关系将x和y联系起来。
我们可以将第一个方程两边取以底数为b的对数，得到：logb (a^x) = logb c根据对数的性质，我们可以将指数移到对数的前面，得到：x logb a = logb c同样地，我们可以对第二个方程进行同样的操作，得到：y logb b = logb c由于logb b = 1，所以我们可以将上式简化为：y = logb c由于我们的目标是将x和y联系起来，所以我们需要将x表示为y的函数。
为此，我们将x和y进行交换，得到：x = loga c / loga b这就是我们所要推导的换底公式。
通过这个公式，我们可以将底数为a的对数转换为底数为b的对数。
公式右边的分式表示了从底数为a的对数到底数为b的对数的转换系数。
接下来，让我们举个例子来说明换底公式的用法。
假设我们要计算log4 16的值，但是我们知道计算底数为4的对数不容易。
这时，我们可以使用换底公式，将底数为4的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式，我们有：log4 16 = log2 16 / log2 4我们知道log2 16 = 4，log2 4 = 2，代入上式得到：log4 16 = 4 / 2 = 2通过换底公式，我们得到了底数为4的对数log4 16的值为2。
换底公式
解法一：
解法二：
7 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 3 7 7 2 lg 14 lg( ) lg 7 lg 18 lg(2 7) 2 lg 3 3 2 lg 7 lg( 2 3 ) 14 7 lg 7 2 lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) ( ) 18 3 lg 7 (lg 2 2 lg 3) lg 1 0 0
1 2 例2 : 设4 5 100, 求2( )的值. a b a b
a b
解: 4 5 100 2 a log 4 100 log 2 10 log 2 10
b log 5 100 log 5 5 4
2
2
2 log 5 4 2 2 log 5 2 1 1 2 1 2( ) 2 log 10 1 log 2 a b 2 5
log a 解（2）
x2 y
3
z
log a ( x 2 y ) log a z
1 2
1 2
1 3
log a x 2 loga y log a z
1 3
1 1 2 log a x log a y log a z 2 3
讲解范例
7 (1) lg 14 2 lg lg 7 lg 18 例3计算： 3
讲解范例
lg 243 例3计算： ( 2) lg 9
lg 243 lg 35 5 lg 3 5 解： ( 2) 2 2 lg 3 lg 9 lg 3 2
练习 1.求下列各式的值：
对数的运算换底公式
对数运算可以简化大数的乘、除 、乘方和开方等运算，提高计算 效率。
应用于科学计算
在科学计算中，对数运算被广泛 应用于工程、物理、生物和医学 等领域。
金融和投资领域
在金融和投资领域，对数函数被 用来计算复利、折现等价值计算 问题。
换底公式的地位和作用
将不同底数的对数进行转换
01
换底公式可以将不同底数的对数进行转换，使得对数的计算更
推广到其他数学分支中的对数运算
离散数学
将对数运算推广到离散数学中，可以处理在离散数学中的计数、组合等问题 ，例如使用对数方法求解排列组合问题。
概率统计
在概率统计中，对数运算有着广泛的应用，例如使用对数变换将非线性问题 转换为线性问题，方便进行统计分析。
05
换底公式的实际应用
在金融领域中的应用
利率转换
在物理领域中的应用
声速计算
在物理学中，声速c与绝对温度T的关系为 c=331.3+0.6T，其中T是绝对温度的十进对数。使用 换底公式可以方便地计算出不同温度下的声速。
电阻计算
在电路分析中，电阻R的数值可以通过欧姆定律计算 得出，其中电流I的单位是安培（A），电压U的单位 是伏特（V），长度l的单位是米（m），电阻率ρ的单 位是欧·米（Ω·m），截面积S的单位是平方米（m²） 。公式为R=ρl/S，使用换底公式可以将电阻率的单位 转换为欧姆·米（Ω·m）或欧姆²/米（Ω²/m）。
任意精度
通过定义任意精度的对数函数，可以实现任意精度的数学计算，为高精度计算提 供了更大的灵活性。
推广到复数域的对数运算
复数域的对数
将对数运算推广到复数域，可以处理在复 数域中的数学计算问题，例如求解复数方 程等。
VS
应用于科学计算
在科学计算中，对数运算被广泛 应用于工程、物理、生物和医学 等领域。
金融和投资领域
在金融和投资领域，对数函数被 用来计算复利、折现等价值计算 问题。
换底公式的地位和作用
将不同底数的对数进行转换
01
换底公式可以将不同底数的对数进行转换，使得对数的计算更
推广到其他数学分支中的对数运算
离散数学
将对数运算推广到离散数学中，可以处理在离散数学中的计数、组合等问题 ，例如使用对数方法求解排列组合问题。
概率统计
在概率统计中，对数运算有着广泛的应用，例如使用对数变换将非线性问题 转换为线性问题，方便进行统计分析。
05
换底公式的实际应用
在金融领域中的应用
利率转换
在物理领域中的应用
声速计算
在物理学中，声速c与绝对温度T的关系为 c=331.3+0.6T，其中T是绝对温度的十进对数。使用 换底公式可以方便地计算出不同温度下的声速。
电阻计算
在电路分析中，电阻R的数值可以通过欧姆定律计算 得出，其中电流I的单位是安培（A），电压U的单位 是伏特（V），长度l的单位是米（m），电阻率ρ的单 位是欧·米（Ω·m），截面积S的单位是平方米（m²） 。公式为R=ρl/S，使用换底公式可以将电阻率的单位 转换为欧姆·米（Ω·m）或欧姆²/米（Ω²/m）。
任意精度
通过定义任意精度的对数函数，可以实现任意精度的数学计算，为高精度计算提 供了更大的灵活性。
推广到复数域的对数运算
复数域的对数
将对数运算推广到复数域，可以处理在复 数域中的数学计算问题，例如求解复数方 程等。
VS
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式是一种有用的数学公式，可以快速从一种底数（如2）更改为另一种底数，以便解决复杂的数学问题。
对数换底公式可以起到辅助解决这些问题的作用，也可以用于各种复杂的数学演算。
本文将结合实例来加深对换底公式的理解，并讨论推导过程。
对数换底公式的推导首先，给出对数换底公式的通式：logaX = logbX/logbA其中，“logaX”表示以a为底的X的对数，“logbX”表示以b为底的X的对数，“logbA”表示以b为底的A的对数。
这个公式可以用来换算出任意一种底数下的任意一个数的对数。
要推导出这个公式，需要考虑两个步骤：第一步：以a为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = A^(logaX)第二步：以b为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = B^(logbX)结合上面两个步骤，得到：A^(logaX) = B^(logbX)将A和B都取以b为底的对数，得到：logbA^(logaX) = logbB^(logbX)化简得到：logbA * logaX = logbB * logbX从而得到：logaX = logbX/logbA实例验证下面利用实例来加深对换底公式的理解。
假设现在有个数为1024，以2为底的对数是10，问它以8为底的对数（log81024）是多少？解：根据换底公式，log81024=log210/log28=10/3=3.33得出结论：log81024=3.33结论本文介绍了对数换底公式的推导过程，并利用实例加深了读者对该公式的理解。
由于换底公式可以方便地从一种底数（如2）更改为另一种底数（如8），因此在解决各种复杂的数学问题时，可以起到辅助解决这些问题的作用。
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2 x 15
对上式两边同取以10为底的对数可得
log10 2 log10 15，即
x
lg 2 lg15 x lg 2 lg15 lg15 lg15 x ， 即 log 2 15 lg 2 lg 2
x
lg15 x log 2 15 lg 2
3.91.
lg15 抽象推广到一般情况可得重要 由 log 2 15 lg 2
一、从对数的运算性质说起
则有： 1，M 0，N 0， 如果a 0， a
(1) loga (M ) loga (N ) loga (MN ); （加法）
(2) loga (M ) loga (N ) loga (MN ); （减法）
1
(3) nloga M loga M , (n R );
2.1
lg lg 8
0.5 0.9
log5 50 ;
log1.082 2
0.56
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每 经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多 少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个 有效数字）. 分析：对于实际问题的解答，其基本思路为： 1.分析实际问题； 2.建立数学模型； 3.利用数学方法求解； 4.解答. 解：设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y，则 经过1年，剩留量是 y 0.84 经过2年，剩留量是 y 0.842 …… x 经过x年，剩留量是 y 0.84
的对数转换公式：
换底公式
loga N logb N (其中a，b 0，a，b 1，N 0) loga b
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程， 并思考如何将以 b 为底 N 的对数转换为以 a为底的对 数的比值.
证明
设 logb N x ，根据对数的定义，有
b N
x
两边取以 a为底的对数，得
x
loga b loga N .
由于b 0，所以可得 x loga b loga N，
又由于b 1，所以可得 log a N loga N . x ， 即 logb N log a b loga b
例4 若lg2=m， lg3 n，求log512的值.
lg12 lg 4 lg 3 解：log 5 12 10 lg 5 lg 2 lg 4 lg 3
lg10 lg 2
2 lg 2 lg 3 1 lg 2
2m n 1 m
五、
终结
log a N logb N (其中a，b 0，a，b 1.换底公式： 1，N 0) log a b
2.推论： （） 1 logb a
n
1 loga b
n （） 2 logam b loga b m
（） 3 loga b logb c logc d loga d
鸣谢马海红
未经允许转载
n
（数乘）
注意：1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算
不必考虑 M ，N 是否非负；但是从右向左运算时必 须保证 M ，N 非负；2.两端的底数必须相同这就是 说利用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .
二、换底公式
1、利用计算器计算 lg15 和 lg 2 ； 结果：1、 lg15 1.7, 2、 ln15 2.7,
三、推论
令N
推论1
n
1 logb a log a b
log a N 则 logb N a， log a b
就变形为
1 log am b logbn a m m logbn a
1
1 1 m m log a b n n log a b
n 推论2 log am b m log a b
loga d 右边
四、应用
例1 计算：
(1) log9 27
例2
；
(2) log8 9 log 27 32
用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
log2 48 ； log3 10 ;
lg 48 lg 2
17 0.3
56.7
log8 ;
=
lg10 lg 3
1 0.48
(0， ) 在 上是减函数，故可取 x =1，2，3，4，5， 6， .... 直至对应的y 0.5为止，如下表所示：
x y 0.84 方法一：利用指数函数的性质可知
x
y 0.84x
0
1
1
0.84
2
0.71
3
0.59
4
0.50
5
0.42
...
...
由表可知，当时 y 0.5，对应的 x 4 , 即约经过4年该物质的剩留量是原来的一半. 方法二： 由题意可得 0.84 x 0.5， 即x log0.84 0.5 lg 0.5 利用换底公式得 x ， lg 0.84 用科学计算器计算得 x 3.98， 即月经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
n
n log a b m
注：实际上由换底公式直接可得推论2，
请同学们自己推导.
log a b n log b n a log am b log a b m log a a m m
n
Байду номын сангаас
n
直接利用换底公式
推论3
loga b logb c logc d loga d
lg b lg c lg d lg d 证明 左边 lg a lg b lg c lg a
2、利用计算器计算 ln15 ln 2 和 .
lg 2 0.3;
ln 2 0.7.
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10； 第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学 计算器可以直接计算常用对数和自然对数.
问题1 可否利用计算器求出 log2 15 的值呢？ 我们可设log 2 15 x ， 从而有