1圆的有关概念
初中数学圆的知识点总结3篇
初中数学圆的知识点总结3篇初中数学圆的知识点总结11.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;同圆或等圆的半径相等。
2.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
3.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4.圆是定点的距离等于定长的点的汇编。
5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的汇编;圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的汇编。
6.不在同一直线上的三点确定一个圆。
7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
8.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那它们所对应的其余各组量都相等。
9.定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
10.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
11.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
12.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
13.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
15.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角。
16.如果两个圆相切，那切点一定在连心线上。
17.①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交d>R-r)④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含d=r)18.定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
19.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
1 圆
等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
三、点和圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种:点在圆外,点在圆上,点在圆内.设☉O的半径为r,
点P到圆心的距离OP=d,则
(1)点P在圆外⇔d >
r;
(2)点P在圆上⇔d = r;
(3)点P在圆内⇔d <
r.
探究点一:圆的有关概念
【例1】 下列说法正确吗?若不正确,请说明理由. (1)圆是指圆面; (2)直径是弦; (3)弦是直径; (4)半圆是弧,但弧不一定点 的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆.定 点是 圆心 ,定长是半径.以点O为圆心的圆记作☉O,读作“圆O”. 二、圆的有关概念 1.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径.
2.圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧.
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 3.等圆:能够 重合 的两个圆叫做等圆.
(2)若要让点A和点C有且只有一个点在圆B内,则圆B的半径应满足什么条件? 【导学探究】 2.点C在圆B内,则r >3 ,点A在圆B外,则r <5 .
解:(2)设圆B的半径为r, 当3<r<5时,点A和点C有且只有一个点在圆B内.
判断点与圆的位置关系的方法: (1)先确定点与圆心的距离; (2)再判断它与半径的大小关系.
1.等于 2 圆周的弧叫做( C ) 3
(A)劣弧 (B)半圆 (C)优弧 (D)圆 2.(2019武侯区模拟)在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,5为半径作圆,若 点P的坐标是(3,4),则点P与☉O的位置关系是( C ) (A)点P在☉O外 (B)点P在☉O内 (C)点P在☉O上 (D)点P在☉O上或在☉O外
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。 推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD， 则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边 中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三 角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的 优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质 中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
1圆的有关概念
圆的面积公式：S=πr²，其中r为圆的半径 面积计算方法：利用圆的半径计算出圆的面积 面积与周长的关系：圆的面积与圆的半径的平方成正比，而圆的周长与圆的半径成正比 面积的几何意义：表示圆所占平面的大小
定义：圆上任意两点间的弧线长度 计算公式：L = θ/360° × 2πr，其中θ为圆心角，r为半径 应用：用于计算圆的周长、弧长等 与圆周长的关系：当θ=360°时，弧长等于圆的周长
应用：在几何、代数、三角函 数等领域有广泛应用
举例：将一个圆沿水平方向向 右平移5个单位长度，得到一 个新的圆
定义：将圆绕其圆心旋转一定的角度 性质：旋转前后的圆是全等的 旋转矩阵：表示圆心和旋转角度的矩阵 应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛应用
定义：将图形 按照一定的比 例放大或缩小， 形状不变，大
分类：根据两个圆的公共点的个数，可以分为一般的相交和特殊的相交（即切线与圆 的交点）
定义：两个圆心距 离大于两圆半径之 和，两圆为外离
性质：两圆没有 公共点
判定：d>R+r
圆的标准方程 为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
其中，D、E、 F为常数，
D^2 + E^2 4F > 0
当F=0时，方程变为x^2 + y^2 + Dx + Ey = 0，此时圆心坐标为(-D/2,0)，半径为 sqrt(D^2/4 - D^2)
参数方程的定义 参数方程的表示方法 参数方程的应用场景 参数方程与直角坐标系的关系
定义：将图形沿某一方向等距 离移动一定的距离
性质：图形的大小和形状不变， 只改变位置
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01.
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。
（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆的概念和性质
圆的概念和性质知识目标模块一圆的有关概念易错总结判断下列说法的正误，并说明理由．（1）直径是弦，弦是直径．（2）过圆心的线段是直径．（3）直径只有一条．（4）过圆内一点只能作一条直径．（5）半圆是弧，弧是半圆．（6）圆中的弧分为优弧和劣弧．（7）长度相等的弧是等弧．例1（1）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，︒∠的度数为．BOC，AD∥OC，则A O D∠110=B （2）如图，在ABC∠70C，则BOD=∠的度数为．=∆中，AB为⊙O的直径，︒∠60B，︒（3）如图，正方形ABCD 与BEFG 彼此相邻且内接于半圆O ，若正方形BEFG 的面积为16，则半圆O 的半径为 .【练习】（1）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若DE AB 2=，︒=∠18E ，则AOC ∠的度数为．AE（2）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设a BC =，b EF =，c NH =，则c b a 、、的大小关系为 ．HFCGO【拓展】（1）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．（2）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．模块二 圆的有关性质垂径定理“知二求三”：BO 、BC 、BA 、CO 、CA 五条线段，知道其中任意两条的长，可以求出其余三条线段的长.【例2】（1）如图，P 是⊙O 的弦上的点，6=PA ，2=PB ，⊙O 的半径为5，则=OP ．（2）如图，在Rt△ABO中，∠O=90°，AO=2，BO=1，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，则PB= .A【练习】如图，在⊙O中，AB为直线，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN= .A【例3】（1）如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：BDAC ．（2）如图，AB是⊙O的直径，P是AB上一点，且PB平分∠CPD，求证：PC=PD.【练习】如图，圆O 的弦AB 、CD 交于点P ，AB=CD ，求证：OP 平分∠BPO.P【例4】（1）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是⌒AC 的中点，AB MN ⊥于N ，试判断MN 与AC 的数量关系并证明．N AO（2）如图，P 是⊙O 外一点，过点P 作两条割线PAB 和PCD ，点M 、N 分别是⌒AB 、⌒CD 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，求证：PEF ∆为等腰三角形．M题型二圆周角定理二、圆周角定理四、圆周角导角思路： 1.利用同弧或等弧转化角2.利用直径构造直角三角形转化角3.利用圆的内接四边形转化角4.利用特殊数量关系构造特殊角转化角. 【例5】（1）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠OAC 的度数为 ．（2）如图，已知C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两个点，⌒BC =⌒BD ，∠CAB ＝24°，则∠ABD 的度数为 ．（3）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠CDA ＝25°，则∠AOB 的度数为 ．（4）如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且⌒CE =⌒BE ，∠A ＝20°，则∠C ＝ ．【例6】（1）如图，AB是半圆O的直径，D为弧AC的中点，∠B＝40°，则∠C的度数为．（2）如图，△ABC内接于⊙O，CH AB于H，连OC，若∠HCB＝15°，则∠ACO＝．（3）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，直径AB交CD于点E，已知∠C＝57°，∠D＝45°，则∠CEB＝．A（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交AC于E，若∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠AEB ＝．【例7】（1）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为．（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为．（3）如图，⊙O的半径为1，弦AB ACB＝．（4）如图，⊙O的半径为1，弦ABAC，则∠BOC＝．圆的概念和性质A基础巩固1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝87°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为2．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BOD ＝90°，则∠BCD 的度数为3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足是E ，连接OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE 的值为4．如图，CD 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于E ，8=DE ，2=CE ，则=AB．C5.如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为径，弦CD ⊥AB ，垂足是E，连接OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE ，则⊙O 1的半径为6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，∠BOC＝70°，则∠A的大小为7．如图，点O是优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D的大小为8．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为CB 综合训练9．如图，AB 、CD 分别是⊙O 上的两条弦，圆心O 到它们的距离分别是OM 、ON ．如果AB=CD ，求证：OM =ON ．A B10.如图，AB 是圆O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于E 、F ，且AE=BF ，求证：OE=OF11.已知：如图，在△ANBC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连接EB 交OD 于点F.（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若DE=5，AB=5，求AE 的长.BAC数学故事蝴蝶定理蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
初三《圆》章节知识点汇总
《圆》章节知识点汇总一、圆的概念 集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；A图2图4图5图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
高二必修一数学圆的知识点
高二必修一数学圆的知识点圆是我们学习数学中的一个重要几何图形，也是高二必修一数学课程中的一个重点内容。
本文将围绕圆的基本概念、圆的性质以及常见的圆相关问题展开讲述。
1. 圆的基本概念圆是平面上一组与给定点距离相等的点的集合。
其中，给定点称为圆心，距离称为半径。
用字母O表示圆心，r表示半径。
圆上的任意一点到圆心的距离都等于半径，即OA=OB=OC=r。
2. 圆的性质（1）圆的直径圆的直径是通过圆心且两个端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。
记作d=2r。
（2）圆的弦圆的弦是连接圆上两点的线段。
圆的直径也是一种特殊的弦，长度等于圆的直径。
（3）圆的弧圆上的弧是由两个端点和圆上的一段弧线组成的，弧上的点到圆心的距离与半径相等。
（4）圆的周长圆的周长是圆上边长的总和，也可以理解为圆的一周。
圆的周长公式为C=2πr，其中π是一个无理常数，约等于3.14159。
（5）圆的面积圆的面积是指圆内部的平面区域。
圆的面积公式为A=πr²，也就是圆的半径平方乘以π。
3. 圆的相关问题（1）判定两条线段是否相交于圆上如果两条线段的其中一条的两个端点都在圆上，那么这两条线段相交于圆上。
（2）求圆内接四边形的面积在一个圆内，有且只有一个内接四边形，它的四个顶点都在圆上。
求解内接四边形的面积可以使用海伦公式。
（3）求解圆与直线的交点当给定一个圆和一条直线时，可以通过联立圆的方程和直线的方程来求解交点的坐标。
（4）判断一个点是否在圆内如果一个点到圆心的距离小于半径，那么这个点在圆内；如果一个点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上；如果一个点到圆心的距离大于半径，那么这个点在圆外。
（5）求解切线与圆的交点切线是与圆只有一个交点的直线，而半径是与圆有两个交点的直线。
求解切线与圆的交点可以通过计算切线的斜率和圆心到切点的距离。
综上所述，圆是数学中的一个基础图形，具有许多特点和性质。
通过对圆的基本概念、性质和相关问题的学习，我们能够在实际问题中更好地应用圆的知识，解决各种与圆相关的数学问题。
圆的概念及性质(一)讲义
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角
a形，根 据 垂径定理与勾股定理有：r2?d2?()2，根据此公式，在a，r，d2
三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． ③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相
（一）圆的相关概念及性质
一 知识梳理
1. 圆的有关概念和性质
（1）圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣
弧．
③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（2）圆的有关性质：
①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． ②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1：a .平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
c .平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角
所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
a：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
b：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆
心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
c：பைடு நூலகம்角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形
圆的定义
圆的定义【知识要点】1.圆的定义：（1）圆的第一定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P随之旋转所形成的图形叫做圆(固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径)。
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
（2）圆的第二定义：在平面内，到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆.定点叫做圆心，定长叫做半径从圆的定义可知，它有如下两条性质。
(1)纯粹性：圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)；(2)完备性：到定点的距离等于定长的点都在圆上，所以圆也可定义为：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的有关概念(1) 连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右下图BC．经过圆心的弦是直径，如图AB。
直径等于半径的2倍．（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做BC；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的BAC．(3) 半径相等的两个圆能够完全重合，因此我们把半径相等的两个圆叫做等圆．圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。
3.确定圆的条件①已知圆心和半径，圆心三角形圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆．4.点与圆的位置关系一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d<r⇔P在圆内；d=r⇔P在圆上；d>r⇔P在圆外．【经典例题】例1. 如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b, NH=C，则下列各式中正确的是( )A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a例2.如图，AB是半圆O的直径，AC=AD,OC=2, ∠CAB=300，则点O到CD的距离OE= .例3 如图，点P 的坐标为（4,0), ⊙P 的半径为5，且OP 与x 轴交于点A,B ，与y 轴交于点 C,D, 试求出点A ,B,C,D 的坐标．例4 四边形ABCD 中,︒=∠=∠90D B .求证：A 、B 、C 、D 四个点在同一圆上.例5. 在Rt △ABC 中，∠C=900, CD ⊥AB, AC=2, BC=3，若以C 为圆心，以2为半径作⊙C ，则点A 、B 、D 与⊙C 的位置关系。
数学圆的相关概念
数学圆的相关概念数学圆是几何学中的重要概念，广泛应用于几何模型、代数方程和物理问题等领域。
在本节课中，我们将深入探讨数学圆的相关概念，包括圆的定义、圆心、半径、直径、弦、弧和扇形等内容。
通过本节课的学习，将使学生对数学圆的性质和应用有更深入的理解。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个给定点（圆心）的距离相等的所有点组成的集合。
数学上，我们用符号“○”表示一个圆，圆上的点距离圆心的距离为半径，记作r。
二、圆心和半径圆心是圆的中心点，在数学表示中通常使用大写字母O表示。
半径是指圆心到圆上的任意一点的距离，用小写字母r表示。
半径是圆的重要属性之一，决定了圆的大小。
三、直径直径是指通过圆心的一条线段，且两端点在圆上。
直径的长度是圆的两倍，即d = 2r。
可以使用字母d来表示直径。
四、弦弦是圆上连接两个点的线段。
弦不一定通过圆心，可以是任何两个圆上的点之间的线段。
五、弧弧是圆上的一段弯曲的部分，由两个端点和连接它们的弧线组成。
弧也可以通过圆心，称为弧长。
我们用字母l来表示弧长。
六、扇形扇形是由一条弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积等于扇形对应弧的弧长与半径乘积的一半。
七、相交关系圆与圆之间可以有三种相交关系：内切、外切和相交。
当两个圆的半径之和等于两圆心之间的距离时，这两个圆内切。
当两个圆的半径之差等于两圆心之间的距离时，这两个圆外切。
如果圆之间的距离小于两圆半径之和，但不满足内切或外切的条件，这两个圆相交。
以上就是本节课将要讲解的数学圆的相关概念。
通过对圆的定义、圆心、半径、直径、弦、弧和扇形等概念的理解，我们可以更好地应用数学圆的知识解决实际问题，深入理解几何学的相关内容。
希望同学们通过本次课程的学习，对数学圆的相关概念有更清晰的认识和理解，并能够熟练运用。
接下来，我们将展开具体内容的学习和探索。
1圆的定义
P E F O H C
B
G
A
.
K
Q
OA、OB、OC 1.如图,半径有:______________
A
若∠AOB=60°,则△AOB是 等边 _____三角形. B AB、BC、 AC 2.如图,弦有:______________ 直径是圆中最长的弦.
O
●
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的
⌒ ）叫做劣弧； AC
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中 的 ABC ）叫做优弧.
⌒
B O
·
C
A
⌒ BC ⌒ ⌒ 1.如图,弧有: AB ABC
A B
O
●
⌒ BCA BAC ⌒ ⌒ ACB
⌒ ACB BCA它们一样吗？ ⌒ ⌒ ABC
⌒ ⌒ 2.劣弧有: AB BC ⌒ BAC ACB ⌒ 优弧有:
23÷2÷20=0.575cm 答: 这棵红衫树的半径每年增 加0.575cm
练一练
如图,一根5m 长的绳子,一 端栓在柱子上, 另一端栓着一 只羊,请画出 羊的活动区域.
5
5m
4m
o
5m
4m
o
正确答案
想一想
一判断下列说法的正误：
)
)
(1)弦是直径；( (2)半圆是弧；
(
(3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径；( (5)半圆是最长的弧；(
A、2； B、3；
B O A C E
人教版初中数学九(下)第24章圆第1节圆
人教版初中数学九(下)第24章圆第一节、圆（一）圆的有关概念：(1)圆的定义：①在一个平面内，线段OA绕其固定的端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。
固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。
【圆心定位置，半径定大小】以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作”圆O”. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；等圆：能够重合的两个圆。
②在平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
练习：有两个同心圆，小圆的半径为2cm，大圆的半径为3cm，大圆上一点P与小圆上一点Q的距离PQ的取值范围是 .(2)圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定．．一个圆。
【两点定线，三点定圆】(3)概念：①弦：连结圆上任意两点的线段。
其中，过圆心的弦叫直径。
如图中的弦AB、AC、BC.其中，弦AB经过了圆心O，为直径。
②弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，用“”表示。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC和BAC；小于半圆的弧叫劣弧，如图中的AC和BC。
*同圆或等圆（半径相等的圆）中，能够互相重合．．的弧叫等弧。
《弧的相等要区别于线段的相等；在同圆或等圆中，弧与弧之间才能加减。
》③弦心距：圆心到弦的距离，如图中的OM。
④圆心角：顶点在圆心的角，如图中的∠AOC,∠BOC等。
《圆心角的度数和它所对的弧的度数相等》⑤圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，如图∠ABC,∠BAC,∠ACB. （二）圆的有关性质：（1）对称性：★圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。
★圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
（2）在一个圆中，①如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等；②如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等；③如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，圆心角．．．所对的弧相等《或者等弦所对的优弧和劣弧分别相等》。
圆的特点和性质
圆的特点和性质1 概念：圆是一种有向的平面图案，它是由焦点轴组成的，它主要由半径组成，半径决定了圆的大小，而圆上所有点到圆心的距离是相等的。
2 性质：1. 圆周角定理：任何一个三角形的内部角加起来等于180度；2. 圆心角定理：围绕一个圆心的圆上任意两点之间的圆心角一定相等；3. 同切圆定理：两个圆之间及任意一点到另一圆上任意一点的距离相等；4. 内切圆定理：以一个圆的外接正多边形的逆时针方向的内角的一条边所经过的点，这条边的经过的所有点的距离都是和圆心的距离一致的；5. 外共线圆定理：两个外共线圆的外接正多边形一定是相等的；6. 四等腰圆定理：四等腰圆的四个角夹角的个数就是其他圆的个数；7. 最大圆定理：在一个给定的空间中，其半径最大的圆必定和该空间的边界有关。
3 特点：1. 圆是任何多边形中节点数最少的图形，圆的不变性将被多边形结构的几何形式约束；2. 圆是所有空间与表面形状中最平滑、最美的图形，它的精美的外观让它常用于装饰元素；3. 圆有两个明显的性质：选定一个圆心点后，圆上任意一点到圆心的距离都一致；每个夹角都是相等的，而且角度都是180度；4. 这两个特点使得圆具有平等性与和谐性，它代表着统一、完善、无缝连接；5. 圆形几乎没有任何空隙，几乎是自身位置确定，虽然它没有多余的条纹和特殊的物体，但却具有恒久不变的美；6. 圆也极大的实用性，它是最鼓舞人心的形状，几乎所有的设计布局都采用了圆形，无论是圆柱、圆锥等，圆都深受 ' 音乐、舞蹈、行事历等各类图形的喜爱。
4 应用：圆的特点使它可以用于各种尺寸的雕塑、绘画、金属雕刻、建筑、设计布局等，极大的丰富了设计空间。
由于圆周率等数学知识的发现，可以使得圆更精确，因而在机械精密制造方面它也有很强的实际功能。
它在既实用又美观的设计方面发挥着重要作用，具有重要意义。
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算复习目标1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。
2.掌握圆的基本性质。
3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。
考点梳理一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.【答案】解：①半径OD经过弦AB的中点C，①半径OD①AB．(1)①AB＝3AC＝BC3①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD ＝1.(2)①OD①AB ，OA ＝OB ， ①①AOD ＝①BOD ．①①AOB ＝120°，①①AOC ＝60°． ①OC ＝OA·cos①AOC ＝OA·cos60°＝12R ， ①1122CD OD OC R R R =-=-=．二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：在图中(1)直径CD ，(2)CD①AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．①圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，①O与AB相切于点D，求证：AC与①O相切．【答案】证明：连接OD，作OE①AC，垂足为E，连结OA．①AB与①O相切于点D，①OD①AB．①AB＝AC，OB＝OC，①①1＝①2，①OE＝OD．①OD为①O半径，①AC与①O相切．三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．①过两点A、B的圆有无数个，如图所示．①经过在同一直线上的三点不能作圆．①不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．①圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是①O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过①O上的一点A；①OA①l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．3.三角形外心、内心有关知识比较4.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．①同心圆是内含的特殊情况．①圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．①“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360 n °．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形． 正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n°的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．1．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（ ）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】C【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】连接OA，①CD为O的直径，弦AB CD⊥，AB=3，①AE=12设OA=OC=x，则OE=x-1，①()222x x-+=，解得：x=5，13①O的半径为5．故选C．2．（2022·河南九年级期末）如图，AD为①O的直径，6cmAD=，DAC ABC∠=∠，则AC的长度为（）A．2B．22C．32D．33【答案】C【分析】连接CD，由圆周角定理可知90∠=∠可知AC CD=，由∠=︒，再根据DAC ABCACD勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：连接CD，AD是O的直径，∴∠=︒，ACD90∠=∠，DAC ABC∠=∠，ABC ADC∴∠=∠，DAC ADC∴CD AC=，∴=，AC CD又222AC CD AD+=，22∴=，2AC ADAD=，6∴=AC故选：C．3．（2022·全国九年级课时练习）O的半径为10cm，弦//AB CD．若==，则AB和CD的距离为（）AB CD12cm,16cmA．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 【答案】C【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．【详解】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，①AB①CD，①OF①CD，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=10cm，①在Rt①AOE中，由勾股定理可得；8EO cm，在Rt①COF中，由勾股定理可得：6OF===cm，①EF=OF+OE=8+6=14cm．当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，①AB①CD，①OE①AB，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=5cm，在Rt①AOE中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，1068EO OA AE在Rt①COF中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，OF OC CF1086①EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；故选C．4．（2022·全国九年级课时练习）如图，在ABC中，10,8,6===，经过AB AC BC点C且与边AB相切的动圆与,CB CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8【答案】D【分析】设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD①AB，由勾股定理逆定理知，ABC是直角三角形，OC+OD=EF，而OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．【详解】解：设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，①10,8,6===，AB AC BC①AC2+BC2=AB2，①ABC 是直角三角形，①ACB =90°， ①EF 是①O 的直径， ①OC +OD =EF ， ①①O 与边AB 相切， ①OD ①AB ， ①OC +OD ≥CD ，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上时，OC +OD =EF 有最小值， 此时最小值为CD 的长， ①CD =864.810AC BC AB ⋅⨯==， ①EF 的最小值为4.8． 故选D ．5．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；①等弧所对的弦相等；①圆中90°的角所对的弦是直径；①相等的圆心角对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦；①任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对①①进行判断；根据圆周角定理对①进行判断；根据垂径定理对①进行判断；根据三角形外接圆的定义对①进行判断． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；①能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故①正确，符合题意； ①圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故①错误，不符合题意；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故①错误，不符合题意； ①平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故①错误，不符合题意； ①任意三角形一定有一个外接圆；故①正确，符合题意； 其中正确的有①①①， 故选：B ．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）四边形ABCD 中，ACD △是边长为6的等边三角形，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，则对角线BD 的长的取值范围是（ ） A ．33BD <≤+B ．36BD << C ．63BD <≤+D ．3BD <≤【答案】C 【分析】由①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形可知点B 在以AC 为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD 长度的取值范围． 【详解】①①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形， ①点B 在以AC 为直径的圆上，如图中①O ，连接OD 并延长，交①O 于点E 和点B ，①等边①ACD的边长为6，①AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD①AC，①①COD=90°，①OD=2222CD OC-=-=，6333①BD=OD+OB=333+，△是边长为6的等边三角形，ACD当B与,A C重合时，BD最小6=①对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤333+．故选：C．7．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC∠=︒，30Rt△中，90ACB∠=︒，3ABCAB=，将ABCRt△绕直角顶点C顺时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边上时，停止转动，则点B经过的路径长为__．3【分析】首先根据勾股定理计算出BC 长，再根据等边三角形的判定和性质计算出60ACA ∠'=，进而可得60BCB ∠'=，然后再根据弧长公式可得答案．【详解】解：30B ∠=，3AB =，①ACB=90° ①1322AC AB ==，60A ∠=，①22332BC AB AC =-=AC A C ='，AA C ∴'是等边三角形， 60ACA ∴∠'=，60BCB ∴∠'=，∴弧长3360321802l ππ⋅⋅==， 故答案为：32π． 8．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，以AC 为直径做半圆交AB 于点D ，若1BC =，则图中阴影部分的面积为__．3π+【分析】连接OD ，CD ，根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，解直角三角形求得AC =CD OC OD =，32AD =，60COD ∠=︒，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OD ，CD ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒， ①9030A B ∠=︒-∠=︒， 又①1BC =， ①22BA BC ==，①AC =AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，12OA AC =，又①30A ∠=︒，12CD AC ∴==①32AD ， ①30A ∠=︒，260COD A ︒∴∠=∠=，∴阴影部分的面积()()ABC AOD AOD COD COD S S S S S S ∆∆=++--+△半圆扇形扇形 122ABC ACD COD S S S S ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭△△半圆扇形22601111321222360222ππ⎛⋅ =⨯⋅-+⨯⨯⎪⎝⎭38π+=， 故答案为：38π+．9．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，AB BC =，以AB 为直径的①O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作//CE AB ，且CAD CAE ∠=∠． （1）求证：AE 是①O 的切线； （2）若5AB =，4=AD ，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明AEC △和ADC 全等即可得到结论；（2）由勾股定理求出2CD =，根据全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：AB BC =，BAC BCA ∴∠=∠，//CE AB ，BAC ACE ∴∠=∠，ACB ACE ∴∠=∠，在AEC △和ADC 中，CAD CAE AC ACACB ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADC AEC ASA ∴≅△△，ADC E ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，90E ∴∠=︒，//AB CE ，180BAE E ∴∠+∠=︒，90BAE ∴∠=︒，AE ∴是O 的切线；（2）解：90ADB ∠=︒，5AB =，4=AD ，3BD ∴==，532CD BC BD ∴=-=-=，①ADC AEC ≅△△，2CE CD ∴==．10．（2022·安庆市第四中学九年级）如图，①O 是①ABC 的外接圆，FH 是①O 的切线，切点为F ，FH ①BC ，连结AF 交BC 于E ，①ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）求证：AF平分①BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）AD =214．【分析】（1）连结OF，由FH是①O的切线，可得OF①FH，由FH∥BC，可得OF垂直平分BC，根据垂径定理可得BF FC=，根据圆周角性质可得①1=①2即可；（2）根据①ABC的平分线BD，可得①4=①3，可证①FDB=①FBD，可得BF=FD，再证①BFE①①AFB，根据性质可得BF AFFE BF=，再求BF=DF= 7，可求494FA=，即可求AD．【详解】（1）证明：连结OF，①FH是①O的切线，①OF①FH，①FH∥BC，①OF垂直平分BC，①BF FC=，①①1=①2，①AF平分①BAC，（2）解①①ABC 的平分线BD 交AF 于D ， ①①4=①3，①1=①2，①①1+①4=①2+①3，①①5=①2，①①1+①4=①5+①3 ，①①FDB =①FBD ，①BF =FD ，在①BFE 和①AFB 中，①①5=①2=①1，①AFB =①EFB ， ①①BFE ①①AFB ， ①BF AF FE BF=， ①2BF FE FA =⋅， ①2BF FA FE= ， ①BF =DF =EF +DE =7，①274944FA ==， ①AD=AF -DF =4974-=214．。
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1．阅读材料 引入新知
我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了．大约 在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮 子——圆的木轮．很早之前，人们将圆的木轮固定在木 架上，这样就成了最初的车子． 2 000 多年前，墨子给 出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心， 圆心到圆周的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧几 里得给圆下的定义要早很多年．
• 学习重点： 圆的有关概念．
1．阅读材料 引入新知
古代人最早是从太阳，阴历十五的月亮得到圆的概 念的．那么是什么人做出第一个圆的呢？18 000 年前的 山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从 另一面钻，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径， 这样以同一个半径和圆心一圈圈地转，就可以钻出一个 圆的孔．到了陶器时代，许多陶器都是圆的，圆的陶器 是将泥土放在一个转盘上制成的．
2．合作交流，学习新知
2．合作交流，学习新知
圆的概念 如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端 点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
固定的端点 O 叫做圆心；
A
线段 OA 叫做半径；
r
以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作“圆O”．
· O
2．合作交流，学习新知
确定一个圆的两个要素: 一是圆心， 二是半径．
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
A O●
B
若∠AOB=60°， 则△AOB是_____三角形.
C 1.如图,半径有:______________
2.如图,弦有:______________
3．与圆有关的概念
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
24.1 圆的有关性质（第1课时）
课件说明
• 圆是继三角形、四边形等基本图形后的又一个重要内 容，圆的有关概念为今后学习圆的知识奠定了基础．
课件说明
• 学习目标： 1．通过观察实验操作，感受圆的定义，结合图形认 识弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧，优弧，劣 弧等有关概念； 2．在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获 得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法．
C
A
o
B
D
2.如图，AC、BD是⊙O的两条互相垂直的直径。 ⑴ 试判断四边形ABCD是什么特殊的四边形？为什么？ ⑵ 若⊙O的半径r=2㎝，求四边形ABCD的面积。
D
A
C O
B
3.如图，点A,D,G,M在半圆O上，四边形ABOC， DEOF，HMNO都是矩形，设BC = a，EF = b， NH = c，则下列各式正解的是( )
O A
C
B
E
D
下列命题是否正确？为什么？ ①直角三角形的三个顶点在同一个圆上； ②矩形的四个顶点在同一个圆上； ③平行四边形的四个顶点在同一个圆上； ④菱形四条边的中点在同一个圆上。
5. 若⊙O所在的平面内有一点A，这一点A到⊙O上的 点的最大距离为m，最小距离为n，则此圆的半径.
O·
A．a>b>c
B．a=b=c
C．c >a>b
D． b>c> a
G
E
D
M
H
B
A
N
O FC
如图，CD是⊙O的直径，A是DC延长线 上一点，E在⊙O上， ∠EOD=78°，AE 交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数。
E
B
D
O
C
A
变式练习 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB、 CD的延长线交于点E。已知 AB = 2DE， ∠E = 18°，求∠AOC的度数．
√
（3）过圆心的线段是直径；
×
（4）半圆是最长的弧；
×
（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；×
（6）半径相等的两个半圆是等弧． √
4．应用拓展，培养能力
2．写出图中的弧、弦． A
O
B
C
4．应用拓展，培养能力
求证：直径是最大的弦
4．应用拓展，培养能力
1.如图，AB、CD 为⊙O的直径，请判断 AD、BC的关系，并说明理由。
O
同心圆 圆心相同，半径不同
等圆 半径相同，圆心不同
2．合作交流，学习新知
动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
A r · O
静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到 定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
3．与圆有关的概念
D
F
O
A
B
I
E
C
3．与圆有关的概念
等弧 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．
B O A
B’
O1 A’
3．与圆有关的概念
等弧
B O A
O’
B’ A’
3．与圆有关的概念
等弧 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．
B O A
B’
O1 A’
4．应用拓展，培养能力
1．判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
×
（2）半圆是弧；
B
O A
3．与圆有关的概念
弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做半圆．
B
O
ห้องสมุดไป่ตู้
A
C
3．与圆有关的概念
劣弧与优弧 小于半圆的弧（如图中的 AC）叫做劣弧． 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC） 叫做优弧．
B
O
A
C
如图，用正确的方式表示出以点A为端点的优 弧及劣弧.