函数的最佳逼近

它具有某种共同特征的函数来逼近 f(x) ，并求出其相 应的最佳逼近。
2019/5/21
第三章 函数的最佳逼近
2
3.最佳逼近问题 给定函数空间X 中的一个子集合 Φ ， 对于某一已知函
数f(x) ∈ X ，在Φ 中寻求一个函数p(x)作为函数f(x)关于某 个度量标准下的最佳逼近函数, 称之为最佳逼近问题。
（1） ‖f‖2 ≥0 , ‖f‖2 =0 , 当且仅当 f =0 ；
（2） ‖c f‖2=|c| ‖ f‖2 ;
a (a1, a2 ), a a12 a22
（3） ‖ f + g‖2≤‖ f‖2+‖ g‖2 ;
给出了函数的范数，便给出了函数的一个度量标准， 在此度量标准之下，就可以找出 f(x) 在不同函数类中的 最佳逼近。下面就来考虑这一最佳逼近问题的解决。
a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22
( f , g) f g
2
2
b
f ( x)g( x)dx
b f 2( x)dx
b g2( x)dx
a
a
a
b
2
f ( x)g( x)dx
b f 2 ( x)dx
b g2 ( x)dx
(4). (f , f ) ≥0, 当且仅当 f =0 时 (f , f )=0
这时，称 (f, g) 为 f(x) 与 g(x)的内积。
2019/5/21
第三章 函数的最佳逼近
4
并称
f f , f b f 2( x)dx
2
a
（3.1）
为函数 f(x) 的平方（欧氏）范数，且满足以下性质：
x xi x j xi

y
j
Rn ( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!

n1
(
x
),
(a, b)
同为n 次多项式，哪一个逼近效果更好呢？这时可
以建立一个度量标准来进行度量。在所建立的度量标准
之下，就可以给出最佳的n 次逼近多项式。
注：除了用多项式来逼近一个函数 f(x) ,也可以用其
a
a
a
柯西—施瓦 茨不等式
2019/5/21
第三章 函数的最佳逼近
6
§2 函数的最佳平方逼近
一、公式的推导
基函 数
有限 维
对于连续函数空间 C[a,b] 中的元素 f(x) 及其子空间
span{0( x), 1( x), , n ( x)}
所谓 f(x) 在Φ 中的最佳平方逼近，就是存在 X
2019/5/21
第三章 函数的最佳逼近
7
不等式
f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
说明所求的 pn ( x) c00 c11 cnn
满足等式：
f
(x)
pn* ( x)
2

m百度文库n
pn
f ( x) pn ( x) 2
f (x) f (x) p(x)
pn ( x) c00 c11 cn n p(x)
使得对于一切
广义多

项式
pn ( x) c00 c11 cnn
都有：
f ( x) pn* ( x) 2 f ( x) pn ( x) 2
(3.2)
其中 pn ( x) c00 c11 cnn
由于pn*(x)是由其系数c0* , c1*, … ,cn* 唯一确定的，因此，只 要我们求出了满足(3.2)的 c0* , c1*, … ,cn* ，就可以求出f(x)最
佳平方逼近：
投影
pn ( x) c00 c11 cnn
2019/5/21
第三章 函数的最佳逼近
8
根据 pn ( x) c00 c11 cnn构造多元函数
I(c0 , c1,, cn )
f
(x)

pn ( x)
2 2

b
[ f (x)
a
n
cii ( x)]2 dx
(3.3)
f max f ( x) axb
无穷范数
2019/5/21
第三章 函数的最佳逼近
5
a (a1, a2 ), b (b1, b2 )
a b a b cos a b
a b (a,b) a1b1 a2b2
a a12 a22 b b12 b22
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
(n) ( x0 n!
)
(
x

x0
)n
误差为
Rn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x

x0
)n1
2019/5/21
第三章 函数的最佳逼近
1
2. 插值多项式
例如，
Ln( x)
n n
j0 i0 i j
上的一个度量标准，下面先通过内积给出平方范数。
2019/5/21
第三章 函数的最佳逼近
3
二、连续函数的平方范数
已知所有连续函数构成的集合C[a,b]是一个线性空间，
对于C[a,b]中的任意函数 f(x)、g(x) ，定义实数
b
( f , g) a f ( x)g( x)dx
可以证明此实数满足性质：
(1). (f , g)= (g , f ); (2). (αf , g)=α( f , g ), α∈R; (3). (f + g , h)=( f ,h)+( g,h );
a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) (a, b ) a1b1 a2b2 a b a1b1 a2b2
p(x)从总体上更能反映f(x)的特性或总体上其偏差按某种度量达到最小
本章我们主要考虑连续函数空间
X=C[a,b]上的最佳逼近问题，这时的
子集合Φ可以取为由具有某种共同特
X f (x)
征的函数组成，例如多项式函数、三 角函数、指数函数、分式有理函数等。
同时，还需要给出连续函数空间
p( x)

§1 最佳逼近问题
一、函数的逼近方法
关于函数的n次多项式逼近方法，已知有下面的几种：
1. Taylor展式
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
(n) ( x0 n!
)
(
x

x0
)n
如果

f ( (n1) )
(n 1)!
(
x

x0
)n1
f (x)