第六章-3菲涅尔衍射和波带片

图 6-22 菲涅耳衍射实验装置示意图
图 6-23 菲涅耳衍射图样
2. 半波带法 公式(6-1)要求对波前作无限分割， 积分后得到观察点的光强。 半波带法是一种近似的计 算方法，将积分运算变成非常简洁的求和公式。 这一方法首先将衍射屏划分成若干个同心圆环，如图 6-24 所示，相邻同心圆环的光程 相差半个波长，这样划分的同心圆环称为半波带。
图 6-24 半波带法
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第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
通过每个半波带的子光束在P0点产生的复振幅为
% ( P ) = A ( P )eiϕ1 ΔU 1 0 1 0 % ( P ) = A ( P )ei (ϕ1 +π ) ΔU
2 0 2 0
% ( P ) = A ( P )ei (ϕ1 + 2π ) ΔU 3 0 3 0 ....................................
1 A( P0 ) = [ A1 ( P0 ) + (−1) n +1 An ( P0 )] 2
(6-25)
将式(6-25)绘制成矢量图， 如图 6-26 所示， 当 n 为奇数时， A( P0 ) = 当 n 为偶数时， A( P0 ) =
1 [ A1 ( P0 ) + An ( P0 )] ， 2
1 [ A1 ( P0 ) − An ( P0 )] 。 2
图 6-26 半波带法中的矢量图
菲涅耳衍射现象分析 1)、自由传播 最后一个半波带上f (θn)=0，因此An=0，于是
A( P0 ) =
看到的是亮点。 2)、圆孔衍射 当圆孔中包含奇数个半波带时，中心是亮点；当圆孔中包含偶数个半波带时，中心是暗 点。 3)、圆屏衍射 设圆屏遮挡住前 k 个半波带，那么有
(6-16)
如图 6-25 所示， Ak(P0)是角度θ的函数，与半波带的面积ΔΣ成正比，与半波带到观 察点P0的距离成反比，因此，可以写成一个与Ak(P0)成正比的函数f(θk) 与
ΔΣ 乘积的形式 r
(6-17)
Ak ( P0 ) ∝ f (θ k )
ΔΣ k rk
图 6-25 半波带法中的几何关系
Rb k λ = k ρ1 R+b Rbλ R+b
(6-26)
) − [b + R(1 − cos α )]2
cos α =
= =
k 2λ 2 4
可以得到 1 − co按式(6-26)和(6-27)制 作的波带片如图 6-27 所 示，图 6-27(a)是偶数半波 带涂黑的波带片，图 6-27(b)是奇数半波带涂黑 的波带片。 将式(6-26)改写成
ρ k2 = r 2 − [b + R (1 − cos α )]2 kλ 2
=(b +
2 = bk λ − R 2 (1 − cos α ) 2 − 2bR (1 − cos α )
R 2 + ( R + b) 2 − r 2 2 R ( R + b) 2 R 2 + 2 Rb + b 2 − b 2 − bk λ − 2 R ( R + b) 2 R 2 + 2 Rb − bk λ 2 R ( R + b) bk λ 2 R ( R + b)
说明在λ<<r0 的条件下，
ΔΣ k 与k无关，Ak(P0)仅与倾斜因子f(θk)有关。 rk
由于衍射屏上的孔径与光源到衍射屏的距离、 与衍射屏到观察屏的距离相比都很小， 所 以f (θk)随θk 的增加而缓慢单调递减变化，可以作为线性变化的参数来处理，除了首项和 尾项之外，中间各项写为 Ak =
Ak −1 Ak +1 + 的形式，则式(6-16)简化为 2 2
球冠面积为
Σ = 2π R 2 (1 − cos α )
R 2 + ( R + b) 2 − r 2 cos α = 2 R ( R + b)
对式(6-18)和(6-19)分别取微分
(6-18) (6-19)
d Σ = 2π R 2 sin α dα sin a dα =
将式(6-21)代入式(6-20)中
(6-20) (6-21)
rdr R ( R + b)
d Σ 2π Rdr = r R+b
取 dr ≈λ/2, 则
(6-22)
ΔΣ k π Rλ = rk R+b
(6-23)
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第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
代入式(6-17)
Ak ( P0 ) ∝ f (θ k )
ΔΣ k rk
(6-24)
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1 A1 ( P0 ) 2
第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
A( P0 ) = Ak +1 ( P0 ) − Ak +2 ( P0 ) + ... + (−1) n +1 An ( P0 ) = 1 Ak +1 ( P0 ) 2
无论 k 是奇数还是偶数，中心总是亮的。 3.菲涅耳波带片 从半波带法出发，将奇数半波带或偶数半波带涂黑，剩余部分透光，就构成了菲涅耳波 带片。 在图(6-25) 中，令r=b+kλ/2，ρ= ρk，则根据余弦定理可以导出
A' =
光强比等于振幅比的平方
A1 2
I 波带片 I自由传播
=(
A 2 ) = 400 A'
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(6-27)
1 1 kλ + = R b ρ k2
令
(a)偶数半波带涂黑的波带片
(b)奇数半波带涂黑的波带片
图 6-27 波带片
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第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
f = ρ k2 / k λ = ρ12 / λ
则有
(6-28)
1 1 1 + = R b f
(6-29)
这一公式与高斯成像公式(2-8)的形式相同，说明波带片的成像作用与透镜相似。 从式(6-28)可以看出，波带片的焦距与波长成反比，如果用白光照明，会出现色差。 我们可以把波带片看作一个特殊的光栅， 对于入射的平行光， 这一光栅的零级衍射光位 于式(6-29)确定的焦点上，光栅还有其它级次的衍射，所以波带片有多个实焦点，分别位于 、-f /7，…。这些次焦点的 f，f /3，f /5，f /7，…；还有多个虚焦点，分别位于-f，-f /3，-f /， 光强比主焦点的光强弱很多。 与光学透镜相比，不论加工成本，还是加工周期，波带片都有优势，所以在一些特殊光 学系统中，可以用波带片取代传统的光学透镜。 例题 一块波带片的孔径内有 20 个半波带，奇数露出，偶数挡住，轴上场点的强度比自由传 播时大多少倍？ 解：波带片在轴上场点产生的振幅为 A=A1+A3+A5+…+A19≈10A1 自由传播时的振幅为
第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
§6.3 菲涅耳衍射和波带片 本节从实验现象出发， 首先介绍菲涅耳衍射的实验装置和实验结果， 然后用半波带法导 出计算公式，最后用菲涅耳衍射理论计算波带片的参数。 1. 实验装置 菲涅耳衍射实验装置如图 6-22 所示，光源S与衍射屏的距离R为米的数量级，衍射屏与 观察屏之间的距离b为 3~5 米，衍射屏为一圆孔，圆孔半径ρ为毫米数量级，衍射屏与观察 屏平行，光源S、衍射屏上圆孔的圆心、观察屏中心P0共线。 实验现象 衍射图样是以点P0为中心的一组亮暗相间的同心圆环，中心点可能是亮的，也可能是暗 的；当ρ变化时，衍射图样中心亮暗交替变化；沿轴向移动观察屏时，衍射图样中心亮暗交 替变化；把衍射屏上的圆孔换成圆屏(圆盘)，则衍射图样中心总是亮点。衍射图样如图 6-23 所示。
P0点的合成复振幅为 (6-15)
% ( P ) = [ A ( P ) − A ( P ) + A ( P ) − ... + (−1) n +1 A ( P )]eiϕ1 U 0 1 0 2 0 3 0 0 n
复振幅的绝对值为
% ( P ) = A ( P ) − A ( P ) + A ( P ) − ... + (−1) n +1 A ( P ) A( P0 ) = U 0 1 0 2 0 3 0 n 0