中考找规律专题复习
中考数学复习专题——找规律(含答案)
中考数学试复习专题——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有个小圆圈．（1） （2） （3）2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形．3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．1 2 3n … … 第1个图 第2个图 第3个图 …6、如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子枚（用含有n的代数式表示，并写成最简形式）.○○○○○○○○○○○○○●●○○●●●○○●○○●●○○●●●○○○○○○○○○●●●○○○○○○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需根火柴棒。
8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．9、如图２，用n表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n的关系是10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是（）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。
11、下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为．12、观察下列各式：3211=332123+=33221236++=33332123410+++=……猜想：333312310++++=．第一个第二个第三个……第n个第一排第二排第三排第四排6┅┅10 9 8 73 2154答案解析：1解析：1时，5．n再每增加一个数时，m就增加3个数．解答：根据所给的具体数据，发现：8=5+3，11=5+3×2，14=5+3×3，…．以此类推，第n个圈中，5+3（1）=32．2解析：分析可得：第1幅图中有1×2-1=1个，第2幅图中有2×2-1=3个，第3幅图中有3×2-1=5个，…，故第n幅图中共有21个3解析：在4的基础上，依次多3个，得到第n个图中共有的棋子数．观察图形，发现：在4的基础上，依次多3个．即第n个图中有4+3（1）=31．当6时，即原式=19．故第6个图形需棋子19枚4解析：此题只要找出截取表一的那部分，并找出其规律即可解．解答：解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以15+3=18．表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1，所24+25-20+1=30．表四中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍，则c应是4的7倍，即28．故选D．认真观察表格，熟知各个数字之间的关系：第一列是1，2，3，…；第二列是对应第一列的2倍；等三列是对应第一列的3倍5解析：据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，每四个小正方形组成一个完整的圆，从而可得这样的圆是大正方形边长减1的平方，从而可得若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有102+（10-1）2=181个．解答：解：分析可得完整的圆是大正方形的边长减1的平方，从而可知铺成一个10×10的正方形图案中，完整的圆共有102+（10-1）2=181个．点评：本题难度中等，考查探究图形的规律．本题也只可以直接根据给出的四个图形中计数出的圆的个数，找出数字之间的规律得出答案．6解析：解：第1个正方形图案有棋子共32=9枚，其中黑色棋子有12=1枚，白色棋子有（32-12）枚；第2个正方形图案有棋子共42=16枚，其中黑色棋子有22=4枚，白色棋子有（42-22）枚；…由此可推出想第n个图案的白色棋子数为（2）22=4（1）．故第n个图案的白色棋子数为（2）22=4（1）．点评：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题．解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论7解析：根据题意分析可得：搭第1个图形需12根火柴；搭第2个图形需12+6×1=18根；搭第3个图形需12+6×2=24根；…搭第n个图形需12+6（1）=66根．解答：解：搭第334个图形需6×334+6=2010根火柴棒8解析：寻找规律，然后解答．每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．解答：解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．实数15=1+2+3+4+5，则17在第6排，第5个位置，即其坐标为（6，5）．故答案填：（6，5）．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．9解析：根据题意分析可得：第n行有n个小圆圈．故f（n）和n的关系是ƒ（n）= （n2）．10解析：根据题意可得：第n行有n个数；且第n行第一个数的绝对值为+1，最后一个数的绝对值为；奇数为正，偶数为负；故第50行的最后一个数是1275．解答：解：第n行第一个数的绝对值为+1，最后一个数的绝对值为，奇数为正，偶数为负，第50行的最后一个数是1275第一个图中白色正方形的个数为3×3-1；第二个图中白色正方形的个数为3×5-2第三个图中白色正方形的个数为3×7-3；…当其为第n个时，白色正方形的个数为3（21）5312解析：根据所给的等式，可以发现右边的底数是前边的底数的和，指数是平方，则最后的底数是1+2+310=5×11=55，则原式=552．解答：解：根据分析最后的底数是1+2+310=5×11=55，则原式=552．故答案552。
(完整版)中考找规律专题复习
例 2 （1）观察下列运算并填空1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝5222×3×4×5＋1＝120＋1＝121＝11223×4×5×6＋1＝360＋1＝1922)根据( 1)猜想( n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=( )并用你所学的知识说明你的猜想。
分析： 第（1）题是具体数据的计算，第（ 2）题在计算的基础上仔细观察。
已知四个数乘积加上 1 的和与结果中完全平方数的数的关系是猜想的正确性的解释，只要用完全平方数四个数的首尾两 数乘积与 1 的和正好是完全平方数的底数，由此探索其存在的规律，解决猜想公式逆用就可解决 1)4×5×6×7＋1＝840＋1＝841＝29227 ×8× 9× 10＋1＝5040＋1＝5041＝7122＝[(n+1)(n+4)+1] 2＝( n 2+5n+1)2 31 3,32 9,33 27,34 81,35 243,36 729,37 2187,38 6561,用你所发现的规律写出 32004的末位数字是 _________例 4. 观察下列式子：1 42 6 2 3；2 5 2 123 4； 3 6 2 204 5； 4 7 2 305 6⋯请你将猜想得到的式子用含正整数 n 的式子表示出来 _________ 。
代数中的规律小结：1 、找到题目中的不变量4×5×6×7＋1＝ ＋1＝ 7×8×9×10＋1＝＋1＝解： 2） n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1例 3. 观察下列算式：2 、找到题目中的改变量，并认真观察改变量的变化规律3 、观察与猜想结合找到变量与不变量之间的关系二、平面图形中的规律图形变化也是经常出现的，它的变化规律以代数规律为基础。
2022年中考数学专题复习 找规律题(含解析)
2022年中考数学专题复习：找规律1.以下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．假设圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，那么这9个数的和为【】．A．32 B．126 C．135 D．144【答案】D。
【考点】分类归纳〔数字的变化类〕，一元二次方程的应用。
【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，那么最小数为x－16。
∴x〔x－16〕=192，解得x=24或x=－8〔负数舍去〕。
∴最大数为24，最小数为8。
∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。
和为144。
应选D。
2.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式〔每两队之间都赛一场〕，方案安排10场比赛，那么参加比赛的球队应有【】A．7队B．6队C．5队D．4队【答案】C。
【考点】分类归纳〔数字的变化类〕，一元二次方程的应用。
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打〔x－1〕场球，第二个球队和其他球队打〔x－2〕场，以此类推可以知道共打〔1+2+3+…+x－1〕= x(x1)2-场球，根据方案安排10场比赛即可列出方程：x(x1)102-=，∴x2－x－20=0，解得x=5或x=-4〔不合题意，舍去〕。
应选C。
3.观察以下一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ． 【答案】2k2k+1。
【考点】分类归纳〔数字的变化类〕。
【分析】根据得出数字分母与分子的变化规律：分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，∴第k 个数分子是2k ，分母是2k +1。
∴这一组数的第k 个数是2k2k+1。
4. 填在以下各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是 ▲ ．【答案】900。
中考数学专题复习探索规律问题
专题探索规律问题解读考点考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较,从而发现题中蕴涵的数量关系,通过猜想,再通过计算解决问题．例1一列数：0,-1,3,-6,10,-15,21,……,按此规律第n个数为归纳 2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．例2有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= 用含字母x和n的代数式表示．归纳 3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式描述其中的规律,要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点,要注意数形结合．例3如图,是由一些点组成的图形,按此规律,在第n个图形中,点的个数为．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数或式的对应关系,数形结合总结出图形的变化规律,进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形,发现图形的变化方式,用好数形结合思想解决问题．例4如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+；……,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止．则AP2014= ．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律,解答此类问题时,要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有发生变化,从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律,明确发生变化的与没有发生变化的量,从而逐步发现规律．例5如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,……,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1,P2,P3,P4,……Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,……,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,……,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,……,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,……,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．2年中考2015年题组1．2015绵阳将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=A．14 B．15 C．16 D．17考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．2015十堰如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍,并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形的个数是A．222 B．280 C．286 D．2923．2015荆州把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,…,现有等式Am=i,j表示正奇数m 是第i组第j个数从左往右数,如A7=2,3,则A2015=A．31,50 B．32,47 C．33,46 D．34,424．2015包头观察下列各数：1,43,97,1615,…,按你发现的规律计算这列数的第6个数为A．2531 B．3635 C．47 D．6263考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．2015重庆市下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为A．21 B．24 C．27 D．306．2015泰安下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为A．135 B．170 C．209 D．252考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．2015重庆市下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图①中有2个黑色正方形,图②中有5个黑色正方形,图③中有8个黑色正方形,图④中有11个黑色正方形,…,依次规律,图⑩中黑色正方形的个数是A．32 B．29 C．28 D．26考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．2015崇左下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有A．160 B．161 C．162 D．1639．2015贺州观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是A．0 B．3 C．4 D．8考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．2015宜宾如图,以点O为圆心的20个同心圆,它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆,第3个圆和第4个圆,…,第19个圆和第20个圆形成的所有圆环,则阴影部分的面积为A ．231π B．210π C．190π D．171π11．2015鄂州在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y 轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是A ．201421）（B ．201521）（C ．201533）（D ．201433）（答案D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．2015庆阳在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1n 是正整数的顶点A2n+1的坐标是A ．4n ﹣3．2n ﹣3．3 D ．313．2015宁德如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x 轴上,点B1,B2,B3…都在直线y x 上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是A ．20142,20142B ．20152,20152C ．20142,20152D ．20152,20142考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．2015河南省如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2π个单位长度,则第2015秒时,点P 的坐标是A ．2014,0B ．2015,﹣1C ．2015,1D ．2016,0考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．2015张家界任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和,如：5323+=,119733++=,1917151343+++=,…按此规律,若3m 分裂后其中有一个奇数是2015,则m 的值是A ．46B ．45C ．44D ．4316．2015邵阳如图,在矩形ABCD 中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是A ．2015π B．π C ．3018π D．3024π17．2015威海如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．2015日照观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是A ．36B ．45C ．55D ．66考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．2015宁波如图,将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后,再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠,使点A 落在DE 边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015,到BC 的距离记为h2015．若h1=1,则h2015的值为A ．201521B ．201421C ．2015211- D ．2014212-考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换折叠问题；4．规律型；5．综合题．20．2015常州数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个着名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式,你发现的规律是 请用文字语言表达．21．2015淮安将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行,第b 列,则a+b= ．22．2015雅安若1m ,2m ,…,2015m 是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若122015...m m m +++=1525,222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=,则1m ,2m ,…,2015m 中为2的个数是 ．23．2015桂林如图是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,…,按此规律,第n 行有 个点．24．2015梧州如图是由等圆组成的一组图,第①个图由1个圆组成,第②个图由5个圆组成,第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去,则第⑥个图由 个圆组成．25．2015百色观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 用含n 的式子表示26．2015北海如图,直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点,将线段OA 分成n等份,分点分别为P1,P2,P3,…,Pn﹣1,过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1,T2,T3,…,Tn ﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn ﹣1分别表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积,则当n=2015时,S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．2015南宁如图,在数轴上,点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An,如果点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是 ．28．2015常德取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1,即：,如果自然数m 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m 的值为 ．29．2015株洲“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为12b S a =+-,孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积,a 和b 中有一个表示多边形边上含顶点的整点个数,另一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特殊的多边形如图1进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ,并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 ．30．2015内江填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．2猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= 其中n 为正整数,且2n ≥．3利用2猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 31．2015南平定义：底与腰的比是51-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图,已知△ABC 中,AB=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC 交AC 于A1．AB=AA1A C；122探究：△ABC是否为黄金等腰三角形请说明理由；提示：此处不妨设AC=13应用：已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1,B1A2平分∠A1B1C交AC于A2,作A2B2∥AB 交B2,B2A3平分∠A2B2C交AC于A3,作A3B3∥AB交BC于B3,…,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An．n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．33．2015重庆市如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再加22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”．1请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除并说明理由；2已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字x1≤x≤4,x为自然数,十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．2014年题组1．2014年南平中考如图,将1,若规定a,b表示第a排第b列的数,则8,2与2014,2014表示的两个数的积是A．B．C． D．12．2014年株洲中考在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位；当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是A．66,34 B．67,33 C．100,33 D．99,343．2014年宜宾中考如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,……An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是A．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．2014年崇左中考如图,在平面直角坐标系中,A1,1,B﹣1,1,C﹣1,﹣2,D1,﹣2．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是A．﹣1,0 B．1,﹣2 C．1,1 D．﹣1,﹣15．2014年百色中考观察以下等式：32﹣12=8,52﹣12=24,72﹣12=48,92﹣12=80,……由以上规律可以得出第n个等式为．6．2014年衡阳中考 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点0M 的坐标为()10，,将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点1M ,使得100M M OM ⊥,得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点2M ,使得211M M OM ⊥,得到线段2OM ；如此下去,得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律,请直接写出线段2014OM 的长度为 ．答案2014．7．2014年抚顺中考如图,已知CO1是△ABC 的中线,过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2,连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3,……,如此继续,可以依次得到点O4,O5,……,On 和点E4,E5,……,En ．则OnEn= AC ．用含n 的代数式表示考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．2014年资阳中考如图,以O0,0、A2,0为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3,……,如此继续下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是9．2014年宜宾中考在平面直角坐标系中,若点Px,y 的坐标x 、y 均为整数,则称点P 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4．1求出图中格点四边形DEFG 对应的S,N,L 的值．2已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b,其中a,b为常数,若某格点多边形对应的N=82,L=38,求S的值．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．2014年凉山中考实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n,可以发现．2×1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n+n+n﹣1+n﹣2+……3+2+1把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于nn+1,于是得到1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=12nn+1这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是12nn+1下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有12nn+1整理这个方程,得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24,n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：1三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．2如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．1年模拟1．2015届山东省济南市平阴县中考二模在平面直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P-y+1,x+1叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…．例如：点A1的坐标为3,1,则点A2的坐标为0,4,…；若点A1的坐标为a,b,则点A2015的坐标为A．-b+1,a+1 B．-a,-b+2 C．b-1,-a+1 D．a,b2．2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模如图,下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,照此规律,图A6比图 A2多出“树枝”A．32 B．56 C．60 D．643．2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnCnDn面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．2015届广东省深圳市龙华新区中考二模如图,已知直线y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A．过线段AB的中点A1做A1B1⊥x轴于点B1,过线段A1B的中点A2作A2B2⊥x轴于点B2,过线段A2B的中点A3作A3B3⊥x轴于点B3…,以此类推,则△AnBnBn-1的面积为A ．112n -B ．12nC ．114n -D ．14n5．2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO 在y 轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=33x 上,则A2015的坐标是 ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．6．2015届北京市平谷区中考二模在平面直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为()1,0,()0,1,()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．…照此规律重复下去．则点P3的坐标为 ；点Pn 在y 轴上,则点Pn 的坐标为 ．7．2015届北京市门头沟区中考二模在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 如图放置,动点P 从0,3出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第2次碰到矩形的边时,点P 的坐标为 ；当点P 第6次碰到矩形的边时,点P 的坐标为 ；当点P 第2015次碰到矩形的边时,点P 的坐标为____________．答案7,4, 0,3 ,1,4．8．2015届安徽省安庆市中考二模一组按规律排列的式子：,,,,…则第n 个式子是 n为正整数．9．2015届山东省威海市乳山市中考一模在直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P′y+1,-x+1叫做点P的影子点．已知点A1的影子点为A2,点A2的影子点为A3,点A3的影子点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…若点A1的坐标为a,b,对于任意的正整数n,点An均在y轴的右侧,则a,b应满足的条件是．10．2015届山东省日照市中考模拟如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知A1,3,A12,3,A24,3,A38,3,B2,0,B14,0,B28,0,B316,0．1观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是．2若按1题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推出Bn的坐标是．11．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8,则第n个菱形的周长为．12．2015届湖北省黄石市6月中考模拟如图,点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,…,Bn﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．13．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试若a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数．如：2的差倒数是112-=-1,-1的差倒数是111(1)2=--．已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推．1分别求出a2,a3,a4的值；2求a1+a2+a3+…+a2160的值．。
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
初中数学中考复习专题：找规律专项练习及答案解析(50道)
初中数学中考复习专题：找规律专项练习及答案解析(50道) 初中数学中考复习专题：找规律专项练习及答案解析（50道）一、选择题1、连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．观察上述图形并阅读相关文字，思考回答问题：显然四边形对角线有2条；五边形的对角线有5条；对于六边形的对角线条数，光靠“数”数，也能数出来，但已感到较麻烦！需寻找规律！从一个顶点A出发，显然有3条，同理从B出发也3条，每个顶点出发都是3条，但从C顶点出发，就有重复线段！用此方法算出六边形的对角线条数为a；且能归纳出n边形的对角线条数的计算方法；若一个n边形有35条对角线，则a和n的值分别为（）A．12，20 B．12，15C．9，10 D．9，122、寻找规律计算1 - 2+3 - 4+5 - 6+…+2021 - 2021等于 ( ) A．0 B．- 1 C．- 1008 D．10083、观察下列各式并找规律，再猜想填空：，则______ ．4、观察一列数：是（），，，，，……根据规律，请你写出第10个数A．C．B． D．共 20 页，第 1 页二、填空题5、观察一下几组勾股数，并寻找规律：① 3， 4， 5；② 5，12，13；③ 7，24，25；④ 9，40，41；……请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：6、找规律填空：……7、已知察上面的计算过程，寻找规律并计算：= ．…，观8、观察分析下列数据，寻找规律：0，据应是_________.，，3，2，……那么第10个数9、找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起。
① 2张桌子拼在一起可坐______人；（1分） 3张桌子拼在一起可坐______人；（1分） n张桌子拼在一起可坐______人。
（3分）②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐______人。
（3分）共 20 页，第 2 页10、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：_________________．11、找规律填上合适的数：-2，4，-8，16，，64，……………12、用火柴棒按以下方式搭“小鱼”．…………搭1条“小鱼”需用8根火柴棒，搭2条“小鱼”需用14根火柴棒，搭3条“小鱼”需用20根火柴棒……观察并找规律，搭10条“小鱼”需用火柴棒的根数为．13、观察分析下列数据，寻找规律：0，么第10个数据应是．，，3，2，，3，……，那14、填空找规律(结果保留四位有效数字)． (1)利用计算器分别求：＝________；(2)由(1)的结果，我们发现所得的结果与被开方数间的规律是________； (3)运用(2)中的规律，直接写出结果：＝________，＝________．＝________，＝________，＝________，15、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a+b+c的值为．共 20 页，第 3 页16、找规律填上合适的数：﹣2，4，﹣8，16，，64，…17、观察下列数据：0，，，，，……,寻找规律，第9个数据应是 .18、观察烟花燃放图形，找规律:依此规律，第9个图形中共有_________个★.19、观察并分析下列数据,寻找规律: 0，,-,3,-2,,-3,……那么第10个数据是___________ ；第n个数据是_______________ .20、观察一下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:______________________.21、寻找规律，根据规律填空：，，，，，，…，第n个数是 .22、找规律,并按规律填上第五个数:.23、阅读下文，寻找规律．计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x，（1﹣x）（1+x+x）=1﹣x，（1﹣x）（1+x+x+x）=1﹣x…．（1）观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x+…+x）= ．（2）根据你的猜想，计算：1+3+3+3…+3= ．（其中n是正整数）23n2n42323共 20 页，第 4 页24、找规律，如图有大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中有个。
中考专题复习-坐标找规律
初中数学找规律（5）--坐标类一、选择题1、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A、（13，13）B、（﹣13，﹣13）C、（14，14）D、（﹣14，﹣14）第2题第1题2、一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，且每秒移动一个单位，那么第2008秒时质点所在位置的坐标是（）【列举找规律】A、（16，16）B、（44，44）C、（44，16）D、（16，44）第n圈0 1 2 3 ……n每圈移动次数 1 3 5 7 2n+1中点所在轴y X Y X总的运动次数为S=1+3+5+7+……+2n+1=（n+1）2，452=2025，n+1=45，n=44，终点落在y 轴上，后退17到2008步。
3、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：（1）、f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；（2）、g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；（3）、h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如：h（1，3）=（﹣1，﹣3）．按照以上变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（）A、（﹣5，﹣3）B、（5，3）C、（5，﹣3）D、（﹣5，3）4、在直角坐标系中，一只电子青蛙每次向上或向下或向左或向右跳动一格，现知这只青蛙位于（2，﹣3），则经两次跳动后，它不可能跳到的位置是（）A、（3，﹣2）B、（4，﹣3）C、（4，﹣2）D、（1，﹣2）5、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为 （14,8） ．6、如图，已知A l （1，0），A 2（1，1），A 3（﹣1，1），A 4（﹣1，﹣1），A 5（2，﹣1），…．则点A 2007的坐标为 ．【除A1外，四步一循环，一定要和圈数建立函数关系列举A 4n (-n,-n)A 4n-1(-n,n) A 4n-2(n,n),A 4n-3(n,-n+1)】7、已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系内，现有一动点P 第1次从原点O 出发按甲方式运动到点P 1，第2次从点P 1出发按乙方式运动到点P 2，第3次从点P 2出发再按甲方式运动到点P 3，第4次从点P 3出发再按乙方式运动到点P 4，…．依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P 所在位置P 11的坐标是 ．第100次运动后P 100点的坐标是 第2013点的坐标P 2013【提示：两次合起来结果如何 (x,y) →（x+2,y+1）→(x+2-3,y+1-2) →(x-1,y-1)】8、一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 （5，0） ． 9、如图，在平面直角坐标系上有个点P （1，0），点P 第1次向上跳动1个单位至点P 1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P 2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点P 100的坐标是 ．点P 第2009次跳动至点P 2009的坐标是 （503,1003） ． 【跳动四次一变化】P0(1,0) P1(1,1) P2(-1,1) P3(-1,2) P4(2,2) P5(2,3) P6(-2,3) P7(-2,4) P8(3,4) P9(3,5) P10(-3,5) P11(-3,6) P12(4,6) …… ………………P4n-3(n,2n-3)P4n-2(-n,2n-10P4n-1（-n ，2n ） P4n(n+1,2n)第8题 第5题第6题10、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，0）→（1，0）→（1，1）→（2，2）→（2，1）→（2，0）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标是___(13,8)______．11、如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…，则点A2010的坐标是(503,-503) ．【易错】第11题第12题12、电子跳蚤游戏盘为△ABC（如图），AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0=4，第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规定跳下去，第2008次落点为P2008，则点P2008与A点之间的距离为4．13、以0为原点，正东，正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，一个机器人从原点O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2，再向正西方向走9米到达A3，再向正南方向走12米到达A4，再向正东方向走15米到达A5，按此规律走下去，当机器人走到A6时，A6的坐标是．A1(3,0) A2 (3,6) A3 (-6, 6) A4 (-6,-6) A5 (9,-6)A6 (9,12) A7 (-12,12) A8 (-12,-12) A9 (15,-12)……………………A4n-2 （6n-3,6n）A4n-1 (-6n,6n) A4n (-6n,-6n) A4n+1(6n+3,-6n) 14、观察下列有规律的点的坐标：依此规律，A11的坐标为，A12的坐标为．【析：观察图中数据，分下标为奇数和偶数两种情况分析解答．解答：解：观察点的坐标可以得到以下规律：点的横坐标的值就等于对应的点下标的数值；纵坐标，当下标是奇数时是正数，后一偶数项的纵坐标依次比前一偶数项的纵坐标多3，故A11的坐标为（11，16），当下标是偶数时纵坐标是负数，后一偶数项的纵坐标依次为前一偶数项的纵坐标的、、…，故A12的坐标为（12，﹣）．故答案分别为：（11，16）、（12，﹣）．】15、设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方案共有种．【注意列举】16、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．第16题第17题17．（2013•湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是_________，A92的坐标是_________．18在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断移动，每次移动一个单位长度，得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),……那么点A(4n﹢1）（n 为自然数）的坐标为什么？19、（2012•泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为第18题【解：根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，】练习1（综合题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），若点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点第19题C有若干个．（1）请在坐标系中把所有这样的点C都找出来，画上实心点，这些点用C1，C2，…表示；（2）写出这些点C1，C2，…对应的坐标．【问题解决的大致步骤已经知道，只是想问一下，根据A、B两点的坐标特点，直线AB∥x 轴，则到直线AB的距离为4的点在平行于直线AB的直线上且距离为4，有两条直线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以AB的中点为圆心，半径5画弧与两直线的交点即为直角三角形的第三个顶点，这样的作法的理论依据是什么。
2024中考数学复习专题 规律探索题 (含答案)
2024中考数学复习专题规律探索题类型一数式规律1. (2023鄂州)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是()A. 8B. 6C. 4D. 22. (2023泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是________．3. (2022怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是________．4. (2023张家界)有一组数据：a1＝31×2×3，a2＝52×3×4，a3＝73×4×5，…，a n＝2n＋1n（n＋1）（n＋2）.记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，则S12＝________．5. (2023达州)人们把5－12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝5－12，b＝5＋12，记S1＝11＋a＋11＋b，S2＝21＋a2＋2 1＋b2，…，S100＝1001＋a100＋1001＋b100，则S1＋S2＋…＋S100＝________．6. (2023安徽)观察以下等式：第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．类型二图形规律考向1累加型7. (2023重庆B卷)把菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第①个图案中有3个菱形，第①个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中菱形的个数为()第7题图A. 15B. 13C. 11D. 98. (2023济宁)如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点…按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是()第8题图A. 297B. 301C. 303D. 4009. (2023青海省卷)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料________根．第9题图源自人教七上P70第10题10. (2022常德)如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为________．(用含n的代数式表示)第10题图11. (2023遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．第11题图12. (2023德阳)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：第12题图其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…图①的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，……由此类推，图①中第五个正六边形数是________．考向2成倍递变型13. (2023威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，①AOB ＝①BOC ＝①COD ＝…＝①LOM ＝30°.若S ①AOB ＝1，则图中与①AOB 位似的三角形的面积为( )第13题图A. (43 )3B. (43 )7C. (43 )6D. (34)6 14. (2023荆州)如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n C n D n 的面积是( )A. ab 2nB. ab 2n －1C. ab 2n ＋1 D. ab22n第14题图15. (2023烟台)如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( ) A. (22 )5 B. (22 )6 C. (2 )5 D. (2 )6第15题图16. (2023广安)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 1的圆心为A ，半径为AD ；弧A 1B 1的圆心为B ，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2023D2023的长是________(结果保留π).第16题图17. (2023绥化)如图，①AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1①OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2①OA交射线OB 于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2；…；按照此规律，线段P2023K2023的长为________.第17题图考向3周期变化型18. (2023玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2023秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()A. 4B. 23C. 2D. 0第18题图19. (2023河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O 重合，AB①x轴，交y轴于点P.将①OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为()A. (3，－1)B. (－1，－3)C. (－3，－1)D. (1，3)第19题图20. (2023毕节)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1，1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(－1，3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(－4，0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0，－4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为________．第20题图类型三与函数图象结合21. (2023龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝3x交于点B1，B2，B3，B4…记①OA1B1，①OA2B2，①OA3B3，①OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2023＝________．第21题图22. (2022菏泽)如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象交于点A ，过点A 作AB ①OA ，交x 轴于点B ；作BA 1①OA ，交反比例函数图象于点A 1；过点A 1作A 1B 1①A 1B 交x 轴于点B 1；再作B 1A 2①BA 1，交反比例函数图象于点A 2，依次进行下去…，则点A 2022的横坐标为________．第22题图23. (2023盐城)《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l 1：y ＝12x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交直线l 2：y ＝x 于点O 1，过点O 1作y 轴的平行线交直线l 1于点A 1，以此类推，令OA ＝a 1，O 1A 1＝a 2，…，O n －1A n －1＝a n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ≤S 对任意大于1的整数n 恒成立，则S 的最小值为________．第23题图类型四 与实际问题结合24. (2022安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图①)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图①)；以此类推．第24题图【规律总结】(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______(用含n的代数式表示)；【问题解决】(3)现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？参考答案与解析1. C 【解析】21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，则2的1，2，3，4次方的个位上的数分别为2，4，8，6，每4个一次循环，而22022中2022÷4＝550……2，∴个位上的数为4.2. (10，18) 【解析】按照规律可得每一行的最后一个数为行数的平方，第n 行有(2n －1)个数．∵92＝81，102＝100，∴99是第10行，第18个数，∴表示99的有序数对是(10，18).3. m 2－m4.201182 【解析】∵a n ＝2n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n n （n ＋1）（n ＋2） ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝1（n ＋1）（n ＋2） ＋1n （n ＋2） ＝1n ＋1 －1n ＋2 ＋12 (1n －1n ＋2)，∴S 12＝12 －13 ＋13 －14 ＋…＋113 －114 ＋12 ×(1－13 ＋12 －14 ＋…＋112 －114 )＝12 －114 ＋12 ×(1＋12 －113 －114 )＝12 ＋12 ＋14 －126 －114 －128 ＝201182. 5. 5050 【解析】∵a ＝5－12 ，b ＝5＋12 ，∴ab ＝1，∵S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 2＋a ＋b ＝1，S 2＝21＋a 2 ＋21＋b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）2＋a 2＋b 2＝2，…，S 100＝1001＋a 100 ＋1001＋b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）1＋a 100＋b 100＋a 100b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）2＋a 100＋b 100＝100，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝1＋2＋…＋100＝100×（100＋1）2＝5050. 6. 解：(1)(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；(2)(2n ＋1)2＝[2n (n ＋1)＋1]2－[2n (n ＋1)]2.证明：等式左边＝4n 2＋4n ＋1，等式右边＝4n 2(n ＋1)2＋1＋4n (n ＋1)－4n 2(n ＋1)2＝4n (n ＋1)＋1＝4n 2＋4n ＋1，∴左边＝右边，∴等式成立．7. C 【解析】经分析可得，第个图案的菱形个数为2n －1，∴第⑥个图案中菱形个数为2×6－1＝11(个).8. B 【解析】第一幅图中圆点的个数是4＝1×3＋1；第二幅图中圆点的个数是7＝2×3＋1；第三幅图中圆点的个数是10＝3×3＋1；第四幅图中圆点的个数是13＝4×3＋1；…；按照此规律，第n 幅图中圆点的个数是3n ＋1，∴第一百幅图中圆点的个数是3×100＋1＝301.9. n （n ＋1）2【解析】∵第1个图中有木料1根，第2个图中有木料1＋2＝3根，第3个图中有木料1＋2＋3＝6根，第4个图中有木料1＋2＋3＋4＝10根，…，∴第n 个图中有木料1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2根． 10. 2n 2＋2n 【解析】观察图形可知：第一个图形由1个小正方形组成，所有线段的和为4×1＝2×2×1, 第二个图形由4个小正方形组成，所有线段的和为6×2＝2×3×2, 第三个图形由9个小正方形组成，所有线段的和为8×3＝2×4×3, 第4个图形由16个小正方形组成，所有线段的和为10×4＝2×5×4，…由此发现规律是：第n 个图形由n 2个小正方形组成，所有线段的和为2(n ＋1)·n ＝2n 2＋2n .11. 127 【解析】第一代勾股树中正方形个数＝20＋21；第二代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22；第三代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23；第四代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24，…，∴第六代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＝127.12. 45 【解析】由题图可知，题图④前三层点数分别是：1＝4×1－3，5＝4×2－3，9＝4×3－3，…，∴第n 层的点数是4n －3，∴第n 个正六边形数是1＋5＋9＋…＋4n －3＝4×1－3＋4×2－3＋4×3－3＋…＋4n －3＝2n 2－n ，∴题图④中第五个正六边形数是2×52－5＝45.13. C 【解析】在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos ∠AOB ＝OA OB ，∴OB ＝23OA .同理可得OC ＝23 OB ，∴OC ＝(23 )2OA ，…，∴OG ＝(23)6OA ，由题图可知△GOH 与△AOB 位似且位似比为(23 )6.∵S △AOB ＝1，∴S △GOH ＝[(23 )6]2＝(43 )6. 14. A 【解析】第一次操作后S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 S 矩形ABCD ＝12ab ，第二次操作后S 四边形A 2B 2C 2D 2＝12 S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 ×12 ab ＝ab 22 ，第三次操作后S 四边形A 3B 3C 3D 3＝12S 四边形A 2B 2C 2D 2＝ab 23 ，…，第n 次操作后S 四边形A n B n C n D n ＝ab 2n . 15. C 【解析】∵正方形ABCD 边长为1，∴AB ＝BC ＝1，∴AC ＝2 ，∴以AC 为边作第2个正方形ACEF 的边长为2 ；∵CF 是正方形ACEF 的对角线，∴CF ＝2 ×2 ＝(2 )2＝2，∴以CF 为边作第3个正方形FCGH 的边长为2；又∵GF 是正方形FCGH 的对角线，∴GF ＝2 ×2 ×2 ＝(2 )3＝22 ，以GF 为边作第4个正方形FGMN 的边长为22 ，…∴依此规律可知下一个正方形的边长是原来正方形边长的2 倍，即第n 个正方形的边长为(2 )n －1，∴第6个正方形的边长为(2 )5.16. 2022π 【解析】由题图可知，题图中由一段90°的弧组成的，弧所在圆的半径每次增加12 ，则弧C 1D 1的半径＝12 ×4＝12 ×4×1，弧C 2D 2的半径＝12 ×8＝12×4×2，弧C 3D 3的半径＝12 ×12＝12 ×4×3…，弧C 2022D 2022的半径＝12×4×2022＝4044，∴弧C 2022D 2022的长＝90π180×4044＝2022π. 17. 3 (1＋3 )2022 【解析】∵∠AOB ＝60°，OP 1＝1，∴P 1K 1＝3 OP 1＝3 ，∴P 1P 2＝P 1K 1＝3 ，∴OP 2＝1＋3 .∵P 2K 2＝3 OP 2，∴P 2K 2＝3 (1＋3 )，∴OP 3＝(1＋3 )2，∴P 3K 3＝3 OP 3＝3 (1＋3 )2，…，∴依此规律可得P 2023K 2023＝3 (1＋3 )2022.18. B 【解析】根据两枚跳棋跳动规则可知，红跳棋每过6秒钟跳动回顶点A ，黑跳棋每过18秒钟跳动回顶点A ，∵2022÷6＝337，∴经过2022秒后，红跳棋在顶点A 处；∵2022÷18＝112……6，6÷3＝2，∴经过2022秒钟后，黑跳棋在顶点E 处．如解图，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，∴∠AFE ＝120°，FE ＝AF ，∴∠F AE ＝30°，∴AG ＝EG ＝AF ·cos 30°＝2×32 ＝3 ，∴AE ＝23 ，即两枚跳棋之间的距离是23 .第18题解图19. B 【解析】如解图，连接OB ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵六边形ABCDEF 是正六边形，点O 是中心，∴OB ＝OA ，∠AOB ＝60°，∴∠AOP ＝30°，AP ＝12AB ＝1，∴OP ＝3 ，∴点A (1，3 )，将△AOP 绕点O 顺时针每次旋转90°，则第1次结束点A 的坐标为(3 ，－1)，第2次结束点A 的坐标为(－1，－3 )，第3次结束点A 的坐标为(－3 ，1)，第4次结束点A 的坐标为(1，3 )，…，∴每4次一个循环，∵2022＝4×505＋2，∴第2022次旋转结束时，相当于第2次结束，∴点A 的坐标为(－1，－3 ).第19题解图20. (－1，11) 【解析】由图象可知，A 5(5，1)，将点A 5向左平移6个单位，再向上平移6个单位，可得A 6(－1，7)，将点A 6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A 7(－8，0)，将点A 7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A 8(0，－8)，将点A 8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A 9(9，1)，将点A 9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A 10(－1，11).21. 240433 【解析】∵S 1＝1×32 ＝ 20×32 ，S 2＝2×232 ＝ 22×32，… ，依此规律可得S n ＝ 22(n －1)×32 ，∴S 2023＝ 22×(2023－1)×32＝ 240433 . 22. 2021 ＋2022 【解析】∵点A 是函数y ＝x 与y ＝1x的图象在第一象限的交点，∴点A 的坐标为(1，1)，又∵AB 垂直于直线y ＝x ，∴点B 坐标为(2，0)，又∵BA 1∥OA ，∴BA 1的解析式为y ＝x －2，与y ＝1x 联立，解得x ＝1＋2 (负值已舍)，即点A 1的横坐标为1＋2 ；同理可得B 1的横坐标为22 ，∵B 1A 2∥BA 1，∴B 1A 2的解析式为y ＝x －22 ，与y ＝1x 联立，解得A 2的横坐标为2 ＋3 (负值已舍)；…；依此按规律可得A 2021的横坐标为2021 ＋2022 .23. 2 【解析】由题可得a 1＝OA ＝1，而y ＝x 与y 轴的正方向的夹角是45°，O 1A ⊥y 轴，∴O 1A ＝OA ＝1，∴ 点O 1的横坐标是1，对于y ＝12 x ＋1，当x ＝1时，y ＝32，∴a 2＝O 1A 1＝12 ，∴tan ∠A 1AO 1＝O 1A 1O 1A ＝12 ，依次得出A 1O 2＝A 1O 1＝12 ，a 3＝A 2O 2＝12 A 1O 2＝(12)2，…，可以得出A n －1O n －1＝(12 )n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝1＋12 ＋…＋(12 )n －2＋(12)n －1①，①×2得2×(a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n )＝2＋1＋12 ＋…＋(12 )n －3＋(12)n －2②，②－①得a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2－(12 )n －1，∴S ≥2－(12)n －1，∴S 的最小值是2. 24. 解：(1)2；【解法提示】观察题图②与题图③，每增加1块正方形地砖，则增加2块等腰直角三角形地砖．(2)2n ＋4；【解法提示】在题图②中，正方形地砖1块，等腰直角三角形地砖(4＋2)块；在题图③中，正方形地砖2块，等腰直角三角形地砖(4＋2×2)块；正方形地砖若有3块，则等腰直角三角形地砖(4＋2×3)块；…；依此按规律可得正方形地砖若有n 块，则等腰直角三角形地砖有(4＋2n )块．(3)设需要正方形地砖n块，∴2n＋4≤2021，解得n≤1008.5，∵n为正整数，∴n最大取1008，答：需要正方形地砖1008块．。
中考找规律专题复习
2、找到题目中的改变量，并认真观察改变量的变化规律3、观察与猜想结合找到变量与不变量之间的关系二、平面图形中的规律图形变化也是经常出现的，它的变化规律以代数规律为基础。
作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。
所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。
所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。
例1用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，第n个图形中需要黑色瓷砖多少块？（用含n 的代数式表示）.分析：这一题的关键是求第n 个图形中需要几块黑色瓷砖？在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。
它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。
所以，第n个图形中一共有4+3（n-1）块黑瓷砖，也即（3n+1）块。
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
例4“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个？”分析：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。
每个循环节里有3个实心球。
我们只要知道 2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。
因为2004÷10 =200（余4）。
所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。
200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。
所以，一共有602个实心球。
例5 平面内的一条直线可以将平面分成两个部分，两条直线最多可以将平面分成四个部分，三条直线最多可以将平面分成七个部分…根据以上这些直线划分平面最初的具体的情况总结规律，探究十条直线最多可以将平面分成多少个部分。
找规律复习知识点总结
找规律复习知识点总结一、数列的规律1. 等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，相邻两项的差都相等。
设首项为a，公差为d，第n项为an，则有通项公式an=a+(n-1)d。
在解题中需要注意根据题目中所给条件来确定数列的首项和公差，并据此来推导出所求项或其他相关问题。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
设首项为a，公比为q，第n项为an，则有通项公式an=ar^(n-1)。
在解题中需要注意根据题目中所给条件来确定数列的首项和公比，并据此来推导出所求项或其他相关问题。
3. 质数序列质数序列是指数列中每个元素都是质数的序列。
质数是指除了1和自身以外没有其他因数的自然数，大于1的自然数。
在解题中需要注意如何利用质数的性质来确定数列中的规律和特点。
4. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每个元素都是前两个元素之和的序列。
设前两项为a，b，第n项为an，则有通项公式an=an-1+an-2。
在解题中需要注意如何利用递归的思想来确定数列中的规律和特点。
二、图形的规律1. 等边三角形、正方形、正五边形等多边形等边三角形、正方形、正五边形等多边形的内角和和周长都有固定的公式和规律。
在解题中需要注意如何利用几何的性质和公式来确定图形的规律和特点。
2. 圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线都有各自的数学表达式和规律。
在解题中需要注意如何利用曲线的性质和方程来确定图形的规律和特点。
3. 几何图形的变换和对称几何图形的平移、旋转、翻转等变换操作都有明确的数学表达和规律。
在解题中需要注意如何利用几何变换的性质和公式来确定图形的规律和特点。
三、其它规律1. 奇数、偶数、素数的规律奇数和偶数有明显的规律，奇数是指除2余1的自然数，偶数是指能被2整除的自然数。
素数是指除了1和自身以外没有其他因数的自然数，大于1的自然数。
在解题中需要注意如何利用奇数、偶数和素数的性质来确定数列和图形的规律。
3.7中考专题——找规律
动到点 A1，第二次移动到点 A2……第 n 次移动到点 An，则点 A2019 的坐标是（ ）
A．（1010，0）
B．（1010，1）
C．（1009，0）
D．（1009，1）
4
初中极速数学
（二）相似：
19．（2019 雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1 ：y
3 3
x
1 与直线
l2
（一）可转化为数字：
12. (2019 大庆中考)归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规
律摆下去，摆成第 n 个“T”字形需要的棋子个数为
．
13. （2019 天水中考）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第
2019 个图形中共有
个〇．
3 x
(x
0)
上，点
B1
的坐标为
（2，0）.过 B1 作 B1A2 // OA1 交双曲线于点 A2 ，过 A2 作 A2 B2 // A1B1 交 x 轴于点 B2 ，得到第二个
等边△ B1A2B2 ；过 B2 作 B2 A3 // B1 A2 交双曲线于点 A3 ，过 A3 作 A3 B3 // A2 B2 交 x 轴于点 B3 ,得到第
1+3n
2 8 11 14 17 1. (2017 遵义中考)按一定规律排列的一列数依次为：，1，， ， ， ，…，按此规律，这列数中的第
3 7 9 11 13
100 个数是
．
2.（2019 百色中考）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第 21 个数是
．
（二）平方数：
例如：观察一列数：1，4，9，16，25，…，按此规律，这一列数的第 n 个数是
中考数学复习课件 找规律分类专题 (共35张PPT)
找规律
数式规律
图形成倍变化规律
图形周期变化规律
图形累加型
一、数式规律 1.数字规律：关键是找出前面几个数与自身序号数的关系，包括： ⑴递推变化规律：
找规 律
①有在数a基础上依次增加（或减少）相同的数m，通常写成a±mn或 a±m(n-1); ②有在数a基础上依次增加相同的倍数m，通常写成amn或am(n-1). ⑵循环变化规律（包括符号和绝对值）
找规 5.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于 律
点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交
于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；„，如此反复作等腰直角三角形，
(2×3 ,0)． 当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是___________
An [(
2 3 n1 2 3 n1 ) ,( ) ] 3 3
找规 4.在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示律 依次作正方形A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、„、正方形AnBnCnCn﹣1，使
得点A1、A2、A3、„在直线l上，点C1、C2、C3、„在y轴正半轴上，
5
对应边成比例或三角函数
4 AC 5 4 A1C1 A1C 5 A1C
4 4 A1C1 AC 5 5
4 A2C1 A1C1 4 4 A C A1C1 5 2 2 5 5 4 A2C2 A2C1 4 4 4 4 AC 5 5 5 5 5
4 4 An Cn ( ) 2 n AC 3 ( ) n 5 5
则点Bn的坐标是 (2n-1,2n-1) ．
由题意可得出
A1（1,0） B1(1,1) A2（2,1） B2(2,3) A3（4,3） B3(4,7), A4（8,7） B4(8,15) „ 递推变化，横坐标成倍数增长，
(word完整版)中考数学规律探索专题复习
中考数学规律探索专题复习一、典例精析类型之一 数字规律型例1. (2011丽江）下面是按一定规律排列的一列数:23，45-，87，169-，…那么第n 个数是 . 【简析】根据题意,首先从各个数开始分析，n=1时,分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=(﹣1)3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n 个数为12(1)21nn n +-•+。
【答案】解：∵n=1时，分子:2=（-1)2•21,分母：3=2×1+1；n=2时，分子:﹣4=（—1)3•22，分母：5=2×2+1； n=3时，分子：8=（—1）4•23，分母:7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（-1)5•24，分母：9=2×4+1；…,∴第n 个数为：12(1)21n n n +-•+ 故答案为：12(1)21n n n +-•+. 例2:(2010深圳) 观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ )。
21＝2,22＝4，23＝8,24＝16，25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【简析】有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.通过观察可以发现,本题中的数字从第1个到第4个为一个循环节，以此规律总结下来，第2010个图形应该就是一个循环节中的第2个数字，故选B.【答案】B对应练习1。
有一组数:1,2，5，10，17,26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．2.（2011湛江)若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60,A 54=5×4×3×2=120，A 64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程,寻找计算规律计算A 73= (直接写出计算结果),并比较A 103 A 104（填“＞”或“＜”或“=”) 类型之二 图形规律型例3：（2011•临沂)如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这……样的图形中共有 个等腰梯形．【简析】本题考查了图形的变化,解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形，做到不重复不遗漏．由于图②4个=2+1+1,图③8个3+2+2+1+1,图④16=4+3+3+2+2+1+1，由此即可得到第10个图形中等腰梯形的个数为:10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100． 【答案】100．例4： （2011兰州）如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
2023年中考专题复习——规律探索
2023年中考数学专题复习——规律探索一、图形规律1.（2020•济宁）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A.1100 B.120 C.1101D.21012.（2020•德州）.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A.148B.152C.174D.2023.（2020•聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）．…A.150B.200C.355D.5054.（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297B．301C．303D．4005.（2022•威海）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝1，则＝∠LOM＝30°．若S△AOB图中与△AOB位似的三角形的面积为（）A．（）3B．（）7C．（）6D．（）66.（2020潍坊）如图，四边形ABCD 是正方形，曲线11112DA B C D A是由一段段90度的弧组成的．其中： 1DA 的圆心为点A，半径为AD ；11A B 的圆心为点B，半径为1BA ； 11B C 的圆心为点C，半径为1CB ； 11C D 的圆心为点D，半径为1DC ；…1111111,,,,DA A B B C C D 的圆心依次按点A，B，C，D 循环．若正方形ABCD的边长为1，则 20202020A B 的长是_________．二、数式规律1.（2021•济宁）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．2.观察一列数：，，，，，…，根据规律，第n 个数是（用含n 的代数式表示）．3.（2020•滨州）观察下列各式：a 1＝，a 2＝，a 3＝，a 4＝，a 5＝，…，根据其中的规律可得a n ＝（用含n 的式子表示）．4.（2019•济宁）已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．如果12a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数⋯⋯依此类推，那么12100a a a ++⋯+的值是()A．7.5-B．7.5C．5.5D． 5.5-参考答案一、图形规律1.D 2.C3.C4.B5.C6.4039π二、数式规律1.D 2.()1121+-+n n n 3.()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++=为偶数为奇数n n n n n n a n 121121224.A。
中考数学二轮专题复习：找规律
中考数学二轮专题复习：找规律
中考数学专题复习之十四找规律
1.如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个.
2.已知：，，，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算．（中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为__________。
（杭州）给出下列命题：
命题1. 点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点;
命题2. 点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点;
命题3. 点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点;
… … .
（1）请观察上面命题，猜想出命题 ( 是正整数);
（2）证明你猜想的命题n是正确的（连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为3 4，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋3 4n＝________．。
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请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示出来__________。
代数中的规律小结：
1、找到题目中的不变量
2、找到题目中的改变量，并认真观察改变量的变化规律
3、观察与猜想结合找到变量与不变量之间的关系
二、平面图形中的规律
图形变化也是经常出现的，它的变化规律以代数规律为基础。
作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。
所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。
所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。
例1用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，
第n个图形中需要黑色瓷砖多少块？（用含n 的代数式表示）.
分析：这一题的关键是求第n 个图形中需要几块黑色瓷砖？
在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。
它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。
所以，第n个图形中一共有4+3（n-1）块黑瓷砖，也即（3n+1）块。
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
例4“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个？”
分析：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。
每个循环节里有3个实心球。
我们只要知道 2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。
因为2004÷10 =200（余4）。
所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。
200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。
所以，一共有602个实心球。
例5 平面内的一条直线可以将平面分成两个部分，两条直线最多可以将平面分成四个部分，三条直线最多可以将平面分成七个部分…
根据以上这些直线划分平面最初的具体的情况总结规律，探究十条直线最多可以将平面分成多少个部分。
分析:1条直线将平面分成2个部分
2条直线最多可以将平面分成4（＝2+2）个部分
3条直线最多可以将平面分成7（＝4+3）个部分
4条直线最多可以将平面分成11（＝7+4）个部分
可以从中发现每增加1条直线，分平面的部分数就增加，其规律是若原有(n-1)条直线，现增加1条直线，最多将平面分成的平面数就增加n，平面上的10条直线最多将平面分成：
2+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝56个部分。
一般的平面上的n条中线最多可将平面分成（2+2+3+4+…+n）个部分。
三、空间图形中的规律
例6 如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形。
例如第①个图形的表面积为6个平方单位，第②个图形的表面积为18个平方单位，第③个图形的表面积是36个平方单位。
依此规律，则第⑤个图形的表面积是个平方单位。
分析：应从不同的侧面进行观察
第1个图形的表面积是6（＝1×6）个平方单位，
第2个图形的表面积是18（＝3×6）个平方单位
第3个图形的表面积是36（＝6×6）个平方单位
由此可以看出：每一个图形表面积都是6的倍数，而倍数是呈2，3，4，5…增加，所以可以推出第4个图形的表面积是60（＝10×6）个平方单位，因此第5个图形的表面积是90（＝15×6）个平方单位。
①②③。