测量平差 条件方程t的判定知识分享

测量平差条件方程t的判定

§3-4 三角网条件平差计算

2学时

三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。

三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。

在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。

一、网中条件方程的个数

三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。如

图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网

中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、

一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小

及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。

要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观

测数t，从而确定了多余观测数：

r = n - t

由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测

数，也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t。

1.网中有2个或2个以上已知点的情况

三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数

据。无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定

一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p 个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。

t = 2 ·p(3-4-1)

(1) 测角网

图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p = 6。如果三角网中观测量全部是角度时。

总观测值个数：n = 23

必要观测数：t = 2 · p =12

则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 11

(2) 测边网

在图3-9中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：

总观测值个数：n = 14

必要观测数：t = 2 · p =12

则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 2

(3) 边角同测网

在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：

总观测值个数：n = 37

必要观测数：t = 2 · p =12

则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 25

2. 网中已知点少于2个的情况

有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1个已知边。但是，不管怎样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。如果没有已知

点，可以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1个方

向的方位角为某一假定值。这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是

已知的。

(1) 测角网

三角网中共有p个三角点、1个已知方位角（也可以没有）、1个已知点（也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的），并观测了

所有的角度。如果已知点和已知方位角都没有，就要进行必要的假设。则在进

行条件平差时，必要观测数为：

t = 2 · ( p – 2) (3-4-2) 如图3-10所示，三角网中观测了所有角度值（如果没有已知边时，也观测1条边长作为起算数据）。

网中三角点个数：p = 6

角度观测值个数：n = 12

必要观测数：t = 2 · ( p – 2) = 8

则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 4

(2) 测边网或边角同测网

若三角网中，共有p个三角点和1个已知点（或者也是假定的），并对所

有的边长，或者角度和边长进行了观测，观测值总个数为n。在进行条件平差时，由于要加上必须的起算边长，则必要观测（边或者边和角）的个数为

t = 2 · ( p – 2)+1 (3-4-3) 如图3-10所示，网中三角点个数：p = 6

如果是测边网，则

总观测值个数：n = 9

必要观测数：t = 2 · ( p – 2) +1=9

多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 0

如果是边角同测网，则

总观测值个数：n = 21

必要观测数：t = 2 · ( p – 2) +1=9

多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 12

以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和

条件平差方程数的确定方法，还有很多情况没有涉及到。在实际平差计算中，

应针对不同情况进行具体分析。

二、条件方程的形式

三角网中的条件方程主要有以下几种形式：

1. 图形条件方程

图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。在三角网中，

一般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内