第二类曲面积分(1)
第二类曲面积分
S i , yz , S i , zx , S i , xy
Si
v ( i , i , i ) n i S i
0
Σ 在该点的单位法向量为 n i
0
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i R ( i , i , i ) cos i ] S i
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分
一.对坐标的曲面积分的概念与性质
曲面的方向 双侧曲面有两个侧面，任意规定一个 侧面为正侧，另一个侧面便是负侧
为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正 侧,后侧为负侧 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面 -
x ) cos ( 2 f y ) cos ( f z ) cos ]dS
1 3
1 3
[( f
D
x ) ( 2 f y ) ( f z )] d
y z )d
( x
D
1 2
三 高斯公式
定理 (高斯定理)
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
R ( x , y , z ) dxdy
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在
(3) 常见组合积分 (例如流量Φ)
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为
第二类曲面积分计算公式的推导
第二类曲面积分的计算公式是基于第一类曲面积分推导出来的第二类曲面积分的计算公式是基于第一类曲面积分推导出来的。
第一类曲面积分计算公式为：∮(Pdx+Qdy+Rdz) = ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS其中，α，β，γ分别为与x，y，z轴正向的夹角。
当曲面为z = f(x, y)时，第二类曲面积分计算公式为：∬(Pdx+Qdy) = ∬(Pcosα+Qcosβ)dS其中，α，β分别为与x，y轴正向的夹角。
根据上述公式，我们可以推导出第二类曲面积分计算公式。
首先，我们考虑一个曲面z = f(x, y)在xOy平面上的投影。
投影是一个平面图形，其面积为：A = ∫∫dS其中，dS为面积微元。
根据投影的面积公式和第一类曲面积分计算公式，我们有：∮(Pdx+Qdy) = ∬(Pcosα+Qcosβ)dS= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(f_x)^2+(f_y)^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+f_x^2+f_y^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]dxdy = ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^2dxdy= ∫∫[P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^2dxdy= ∫∫[P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3dxdy= ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]dl其中，dl为曲线弧长微元。
根据第二类曲线积分的计算公式和上述推导结果，我们有：∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]dl = ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)dl= ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)]dl= ∮[(P^2-2PQsinα+Q^2sin^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)]dl= ∮[(P-Qsinα)^(-1)]dl= ∮[(P-Qsinα)]dl其中，P和Q分别为曲面上的点在x和y轴上的投影坐标。
高数同济11.5对坐标的(第二类)曲面积分
P 在 内沿任意一条不与 的边界相交的曲线 C 连续 移动而回到 P0时，正法向量 n P 连续转动回到 n P0 ，就 称 为一个双侧曲面。双侧 曲面连同其上确定的正 n 指向的 法向量 n 指向的一侧称为曲面的 正侧， 一侧称为 的负侧，记为 .
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k
Σ 是速度场中的 一片有向曲面,
z
实例:
流向曲面一侧的流量.
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场为：
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )
n
0
i 1
i
i
i
i
yz
Q( x , y, z )dzdx
lim Q ( i , i , i )( S i ) zx
0
i 1
n
上述三个曲面积分 也称为第二类曲面积分
R( i , i , i )( Si ) xy R( x, y, z )dxdy lim 0 i 1
0 向量为 ni , v i v ( i , i , i ) P ( i , i , i )i Q( i , i , i ) j R( i , i , i )k , 0 ni cos i i cos i j cos i k
vi P ( , , )i Q( , , ) j R( , , )k , [ P ( , , )(S ) Q( i ,i , i )( Si ) xz
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式是向量分析中的两个重要公式，它们分别用于计算三维空间中曲面上的积分和二维平面上曲线上的积分。
高斯公式（Gauss's Theorem）：
高斯公式用于计算三维空间中一个封闭曲面S所包围的体积V上的向量场F的通量。
公式如下：
∮_S F·dS = ∫∫∫_V (∇·F) dV
其中，F是一个向量场，S是封闭曲面，V是S所包围的体积，∇·F是F的散度，∮_S F·dS表示F在S上的通量。
这个公式表明，一个向量场在一个封闭曲面上的通量等于该向量场在曲面所包围的体积内的散度的体积分。
格林公式（Green's Theorem）：
格林公式用于计算二维平面上一个简单闭曲线C所包围的区域D上的向量场F的通量。
公式如下：
∮_C F·dr = ∫∫_D (∂Q/∂x -∂P/∂y) dA
其中，F是一个二维向量场，可以表示为(P, Q)，C是简单闭曲线，D是C所包围的区域，∂Q/∂x和∂P/∂y分别是Q关于x的偏导数和P关于y的偏导数，∮_C F·dr表示F在C上的通量，∫∫_D (∂Q/∂x -∂P/∂y) dA表示(∂Q/∂x -∂P/∂y)在D上的面积分。
这个公式表明，一个二维向量场在一个简单闭曲线上的通量
等于该向量场在曲线所包围的区域内的一个特定函数的面积分。
这个特定函数就是向量场的旋度的负值。
以上两个公式都是向量分析中的基本定理，它们在物理学、工程学和其他领域中有广泛的应用。
第二类曲面积分
, 且 cos 不变号 , 则
cos 0 cos 0 ; cos 0
( S ) xy
vi
.
( i , i , i )
o
y
x
那么 S i内的流量近似值为
i
( M i ) n( M i ) Si
( P cos i Q cos i R cos i ) S i
P ( S i ) yz Q ( S i ) zx R ( S i ) xy
( 2 ) 当 R ( x , y , z ) R ( x , y , z )时 , R ( x , y , z ) dxdy 0
,
( yoz , zox ) 面上的投影为
( S i ) xy [( S i ) yz , ( S i ) zx ];
( 2 ) M i ( i , i , i ) S i , 有 n ( M i ) {cos i , cos i , cos i }, ( M i ) { P ( i , i , i ), Q ( i , i , i ), R ( i , i , i )};
cos 0 cos 0 . cos 0
二. 实例(流量问题)
设某流体以一定的速度 P ( x , y, z )i Q ( x , y, z ) j R ( x , y, z )k 从给定曲面的负侧流向 求单位时间内流经曲面 正侧 , P , Q , R 为连续函数 的总流量 . ,
第二型曲面积分
A dS
S定 侧
P dydz Q dzdx R dxdy
可以理解为先将有向面 积 dS 往各个坐标平
(可正可负,依侧而定) 上投影得dydz, dzdx , dxdy, 进而在直角系下对坐标变量作二重积分。
这时被积函数，如 P ( x , y, z ), ( x , y, z ) S
D
cos
C A2 B 2 C 2
A B C dd
D
cos sin cos dd
2
/2
2 解法2 由于，球面的两部分
0
d sin cos d 0
1
3
cos
3 0
3
S1 : z 1 x y ,
一般方程 F ( x , y, z ) 0, 上下侧如何表示？
1. 物理背景与概念
流量问题——空间某不可压液体的流速
场中，求液体向曲面指定一侧的流量.
对稳恒流体, 若流速 v ( M ) a i b j c k
其中a, b, c为常数，
单位时间通过某界
n
v
S
面 S 的流量为：
的曲面积分；
与二重积分不同：A A ( x, y, z ) 定义在
曲面 S上；
与二重积分不同之二, 积分区域为空间一
指定了侧的曲面 S, 因此“投影有向面积元”
dydz , dzdx , dxdy要根据与侧相关的
cos、 cos 、cos 的符号确定其正负号；
第一、二型曲面积分的关系：
第二型曲面积分
The Surface Integrals
2019考研数学第二类曲面积分的计算
2019考研数学：第二类曲面积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。
下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲面积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。
（一）直接法（化为二重积分）1. 设有向曲面xy D y x y x z z ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑xy D dxdyy x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(若有向曲面的法线向量与z 轴正向夹角为锐角，即曲面的上侧，上式中取正号，否则取负号；2. 设有向曲面yz D z y z y x x ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑yz D dydz z y z y x P dydz z y x P ),),,((),,(若有向曲面的法线向量与x 轴正向夹角为锐角，即曲面的前侧，上式中取正号，否则取负号；3. 设有向曲面zx D x z x z y y ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑zx D dzdxz x z y x Q dzdx z y x Q )),,(,(),,(若有向曲面的法线向量与y 轴正向夹角为锐角，即曲面的右侧，上式中取正号，否则取负号。
评注：计算第二类曲面积分，可以分为三步：（1）把空间曲面∑投影到某一平面（以xoy 面为例），得到投影区域D （投影时，∑上的任何两点的投影点不能重合）；（2）把曲面方程),(y x z z =代入到被积函数中；（3）把dxdy 改写成dxdy ±，其中∑为为上侧、右侧、前侧时取正号，否则取负号。
（二）高斯公式法高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑闭曲面∑围成，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式 dv z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++或dv z R y Q x P dS R Q P ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++)cos cos cos (γβα这里的∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。
教学课件第五节对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
进阶习题2
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第
一卦限的部分。
综合习题
综合习题1
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在 第一卦限的部分，并给出其几何意义。
03
第二类曲面积分的几何意义
几何意义的解释
1 2
3
曲面积分
第二类曲面积分是针对曲面侧的正向或负向的积分，其几何 意义表现为对曲面侧的“净流量”或“净通量”的度量。
净流量
当积分号前的函数表示某种物理量（如力、速度、密度等） 时，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲 面侧的净流量，即流入与流出的差值。
第二类曲面积分的计算方法概述
计算步骤
计算第二类曲面积分需要确定定向曲面、选择适当的坐标系、计算面积分范围、 选择合适的方向场，并利用微元法或高斯公式等工具进行计算。
注意事项
在计算过程中，需要注意坐标系的选取要便于计算和简化问题，同时要准确理 解和应用方向场的定义和性质。
02
第二类曲面积分的计算公式
净通量
在某些物理或工程问题中，第二类曲面积分的几何意义可以 解释为通过被积分的曲面侧的净通量，即流入与流出的通量 之差。
几何意义的应用场景
流体动力学
在流体动力学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述流体通过某一曲面的流量或通量。
电磁学
在电磁学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述电场或磁场通过某一曲面的通量或流量。
公式推导与理解
公式推导
通过引入向量场、定向曲面等概念，利用散度定理和微积分基本定理推导得出第 二类曲面积分的计算公式。
第二型曲面积分
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy
第二类曲面积分定义(一)
第二类曲面积分定义(一)第二类曲面积分相关定义曲面积分•曲面积分是对曲面上的向量场进行积分的一种方法。
•曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种形式。
第二类曲面积分•第二类曲面积分，也称为流量积分，是计算曲面上向量场的流量的方法。
•第二类曲面积分可以用来求解许多物理问题，如电场、磁场等的流量。
流量•流量表示向量场通过曲面的数量。
•流量有正负之分，表示向量场的流入和流出情况。
曲面方程•曲面方程是描述曲面的方程。
•曲面方程可以是显式方程、参数方程、隐式方程等形式。
曲面元素•曲面元素是曲面上的小面积，用于将曲面划分为许多小区域进行计算。
•曲面元素的大小可以根据具体情况进行选择，通常选择与曲面的切向量和法向量垂直的小面积。
计算方法•第二类曲面积分的计算通常使用曲面元素进行分解，并利用积分来对曲面上的向量场进行求和。
理由及书籍简介第二类曲面积分作为计算曲面上向量场流量的重要工具，在数学、物理等领域有着广泛的应用。
掌握第二类曲面积分的相关定义和计算方法，对于理解曲面上的物理现象，解决实际问题具有重要意义。
以下是一本相关书籍的简介，其中详细介绍了第二类曲面积分的概念、计算方法以及应用领域。
书籍名称：《Vector Calculus》•作者：Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba•该书是一本经典的向量微积分教材，涵盖了丰富的数学知识和应用。
•在第六章中，本书详细介绍了曲面和曲面积分的概念，包括第二类曲面积分的定义和计算方法。
•通过大量的例题和习题，读者可以逐步学习和掌握第二类曲面积分的基本理论和实际应用。
•该书语言准确简练，适合作为大学本科生或研究生的参考教材，也适合作为对数学和物理有兴趣的读者的自学教材。
这本书不仅对第二类曲面积分进行了详细讲解，还涵盖了更广泛的向量微积分内容，是一本值得深入阅读的参考书。
曲面积分
1． 第二类曲面积分方法1： Gauss 公式(绝大部分问题都用此方法)()d d d d d d d SQ P R V P y z Q z x R x y xyzΩ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰方法2： 对三个面分别作投影化成二重积分求解()()[]⎰⎰⎰⎰±=SD dxdy y x z y x R dxdyz y x R xy,,,,,方法3： 矢量法，将三个面变成一个一个面做投影d d d d d d (,,)()(,,)()(,,)d dSD x yz zP y z Q z x R x y P x y z Q x y z R x y z x y x y ⎡⎤∂∂++=±-+-+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。
例1 求32222, ()Szd xd y xd zd y yd xd zI S x y z ++=++⎰⎰其中1）2221,()x y z ++=外 2）222(2)1,()x y z -++=外 3）2222221()x y z abc++=外。
解：设⎰⎰++=SRdxdy Qdzdx Pdydz I 通过计算可知0=∂∂+∂∂+∂∂zR yQ xP（1）32222()SSzd xd y xd zd y yd xd zI zd xd y xd zd y yd xd z x y z ++==++++⎰⎰⎰⎰4 3343Vd xd yd z ππ===⎰⎰（2）S 为闭曲面，(只要看S 内部是含奇点), 又222(02)0041,-++=>即0,0,0（）不在S 包含的区域内，则3222V2()d 0()Szd xd y xd zd y yd xd zP Q R V xyzx y z ++∂∂∂=++=∂∂∂++⎰⎰⎰⎰⎰（3）0,0,0（）在S 包含的区域内, 加曲面1S 2222x y z ε++=，取其内侧13222S V2()d 0()S zd xd y xd zd y yd xd zP Q R V xyzx y z +++∂∂∂=++=∂∂∂++⎰⎰⎰⎰⎰, 则133322222222()()SSS zd xd y xd zd y yd xd zzd xd y xd zd y yd xd zzd xd y xd zd y yd xd zx y z x y z ε-++++++==++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰333334 43Vd xd yd z πεπεε===⎰⎰例2计算 zSI S =其中为锥面222x y z +=被平面12z z ==及所围成几何体的外侧。
第二类曲面积分概念和性质
[F (
x,
y,
z
)
e n
(
x,
y
,
z
)]dS
存在, 则称此积分为 向量值函数 F ( x, y, z)在有向
曲面上沿指定侧的第二类曲面积分, 记为
F ( x, y, z) dS
[
F(
x,
y,
z)
e n
(
x
,
y,
z
)]dS
注 1º第二类曲面积分的其他表达形式
(1) 若记s
i
cos
j
cos
k ，则
FF((xx, ,yy, ,zz))
deSn
(
x,
y,
z)
dS
[P( x, y, z)cos α Q( x, y, z)cos β R( x, y, z)cos γ ]dS
P( x, y, z)cos α dS Q( x, y, z)cos β dS
(2) 非闭曲面的侧
1) 上、下侧
若：z z( x, y)
上侧 : (n,轴z) 为锐角, cos 0 (P );
下侧 : (n,轴z) 为钝角, cos 0 (P ).
z
O
y
x
2) 左、右侧
z
若：y y( x, z)
右侧 : (n,轴y)
为锐角, cos 0 (P );
v
(P,Q,
R),
通过流向n 指定侧
流体的流量为:
Pd y d z Qd z d x Rdx d y.
6. 性质
(1) 线性性质： ， R1
[α F 1 β F 2] dS α F 1 dS β F 2 dS
F(
第二型曲面积分
z
1
zdx dy
0
2
D xy
x 2 y 2 dxdy
2 . 3
D xy
d
1 2 d 0
x
1
o
1
y
( 2 ) 1 2 ,
1 : z
x 2 y 2 , 0 z 1, 下侧 ;
2
z
1
1
D xy
2 : z 1, x 2 y 2 1, 下侧;
例1. 计算 zdx dy ,
（1） 为锥面 z x 2 y 2 在 0 z 1 部分的下侧；
（2） 为锥面 z x 2 y 2 与平面 z 1 所围曲面的内侧.
： z x2 y2 ， 0 z 1 ，下侧， 解： （1）
D xy {( x , y ) x 2 y 2 1} ,
{dyd ,dzz dx,dxdy},
d 0
P( x, y, z ) cos Q( x, y, z ) cos R( x, y, z ) cos dS
(S )
其中 dS en dS (cos dS , cos dS , cos dS ) (dy dz, dz dx, dx dy)
D xy {( x , y ) x 2 y 2 1} ,
zdx dy
1
2
xy
x
1
o
1
y
D xy
2 x y dxdy dxdy . 3 3 D2 2例 2．计算 I
第二类曲面积分的概念
(3) F( x, y, z) dS F( x, y, z) dS .
(4) 若为定向封闭曲面, 记为 F( x, y, z) dS .
P cos dS, Q cos dS,
同时存在, 则称积分
Rcos dS
(P cos Q cos Rcos )dS
为向量值函数
F ( x, y, z)
在定向曲面
上的积分，
或称第二类曲面积分，记为
F ( x, y, z) d S [F ( x, y, z) en ( x, y, z)]dS .
Pdydz Qdzdx Rdxdy
化
曲
其中
d S : 定向曲面元素；
公 面
dxdy, dydz, dzdx :
d S 的坐标或的投影元素.
式 积
二、第二类曲面积分的性质
(1) 若 F( x, y, z) 在分片光滑定向曲面 上连续 , 则
F( x, y, z) d S 存在.
(2) 第二类曲面积分有线性性、定向曲面积分可加性.
(P cos Q积分的几个等价表达式：
F( x, y, z) d S [F ( x, y, z) en ( x, y, z)]dS
(P cos Q cos Rcos )dS
分
P
cos
dS
Q
cos
dS
R
cos
dS
两 互 类
第二类曲面积分的概念
一、第二类曲面积分的定义
定义：设 为一定向光滑曲面, 向量值函数
F( x, y, z) (P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z)) 在
上有界 , en ( x, y, z) (cos , cos , cos ) 是 上
复旦版 第二十一章 第四节 第二类曲面积分
11
对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 v ( P ( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z )) ni vi 用“分割,近似,求和, 取极限” 的方 法 可得
lim
n
0
n
设 ni (cos i , cos i , cos i ) , 则
xy
a ( x a, y a) : z 的顶部 1 2 2 2 取上侧
24
例2 计算 xyzdxdy ,
S
其中 S 是球 面 x 2 y 2 z 2 1
在 x 0 , y 0 部分并取球面 的外侧。
z
O
S1
y
S2
x
解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分别为
若光滑曲面S由参数方程确定：
x=x(u, v) ,
y=y (u, v),
z=z (u, v).
则它的侧由法向量：
(y, z) (z, x ) ( x, y) n{ , , } (u, v) (u, v) (u, v)
选定“+”号或“—”号确定
二、 第二类曲面积分的定义
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
S
D( yz )
P( x( y, z), y, z)dydz .
将第二型曲面积分化为二重积分的方法
一代：将曲面 的方程代入被积函数； 二投：将曲面 投影到坐标平面。 （例如：积分中含 dxdy ，则应向 xoy面投影。 ） 三定号：由曲面所给定的方向即其侧来决定取正号还 是取负号； 四换域：改变积分域，曲面 变为投影域 。
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
第二类曲线积分与第二类曲面积分
1、 L为参数方程 定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
x (t ) t : , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有
P [ (t ), (t )] (t )
Q [ ( t ), ( t )] (t )d t
说明：定理中的计算公式相当于“换元法”： 换元： 将 L 的参数方程代入被积函数
dx ( t )dt
dy ( t )dt
上限——终点参数值
定限： 下限——起点参数值
2、 L为一般方程
y ( x ), x : a b, 则 dy ( x )dx
P [ x , ( x )] Q [ x , ( x )] ( x) dx a
n
y
B
则
W Wk
k 1
L
A
yk
M k 1 x k M2 M1
M k M n 1
2) “常代变”
有向小弧段 M k 1 M k 用有向线段
o
x
M k 1 M k
近似代替, 其中
sk
x k yk
2
2
是单位向量。
在
上任取一点
则有
Wk F ( k , k ) sk k
i 1 Li k
(2) （方向性）用－L 表示 L 的反向弧 , 则
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
L
说明: • 对第二类曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
二、第二类曲线积分的计算法
L为参数方程
曲面积分的第一型和第二型
曲面积分的第一型和第二型曲面积分是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于物理和工程学中。
曲面积分有两个主要类型：第一型和第二型曲面积分。
本文将对这两种曲面积分进行详细的阐述和讲解。
一、第一型曲面积分第一型曲面积分是指对于向量函数在曲面上的积分。
换句话说，它是对曲面上的某个标量值函数的积分。
其计算公式为：∬S f(x,y,z) dS其中，S表示曲面，f(x,y,z)为被积函数，dS为曲面面积元素。
在计算第一型曲面积分时，我们需要知道曲面的参数方程。
通常，参数方程可以表示为：x = g(u,v)y = h(u,v)z = k(u,v)其中，u和v是曲面上的自变量，x、y和z是对应的函数值。
对曲面进行参数化之后，我们就可以将第一型曲面积分转化为一个二重积分：∬D f(g(u,v),h(u,v),k(u,v)) ||r_u × r_v|| du dv其中，D表示曲面的投影区域，||r_u ×r_v||是曲面的面积元素，r_u과 r_v分别是曲面参数方程的偏导数。
值得注意的是，有些曲面的参数方程比较复杂，因此需要使用微积分技巧对其进行简化。
此外，在计算第一型曲面积分时，我们还需要考虑曲面的方向。
有时候，我们需要在某个指定方向上计算曲面积分，这时我们需要用到曲面的法向量。
如果曲面法向量朝外，则为正方向；反之，则为负方向。
二、第二型曲面积分第二型曲面积分是指对向量函数在曲面上的积分。
也就是说，它是对曲面上的某个向量值函数的积分。
其计算公式为：∬S F · dS其中，S表示曲面，F为被积函数，dS为曲面衡量元素。
与第一型曲面积分相比，第二型曲面积分更加复杂一些。
在计算第二型曲面积分时，我们需要对被积函数进行向量积分。
我们需要将向量函数投影到曲面切平面上，然后再计算切平面上的积分。
这样才能得到正确的曲面积分结果。
与第一型曲面积分类似，对于第二型曲面积分我们也需要考虑曲面的法向量。
如果曲面法向量朝上，则为正方向；反之，则为负方向。
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4º 若为母线平行于z轴的柱面时，则
cos 0, d x d y d S cos 0, 从而必有
为锐角, cos 0 (P );
左侧 : (n,轴y)
O
x
y
为钝角, cos 0 (P ).
3) 前、后侧若：x x( y, z)
前侧 : (n,轴x)为锐角, cos 0 (P );
(后)
(钝)
()
3. 有向曲面的投影
不可压缩流体.
斜柱体的体积： (2) 若为有向曲面 ,
v
en
S
流速：
“分割,
近似, 求和, 取极限”
lim
λ0
i
n
v
i
e ni
Si
i 1
(i
,i
,
i
)
eni vi i
v ( x, y, z) e n( x, y, z)d S
x,
y,
z
)
e
n
(
x,
y,
z)]dS
存在, 则称此积分为向量值函数 F ( x, y, z)在有向
曲面上沿指定侧的第二类曲面积分, 记为
F ( x, y, z) dS
[F(
x,
y,
z
)
e n
(
x,
y,
z
)]dS
注 1º第二类曲面积分的其他表达形式
(1) 若记
若当点P不越过 的边
界回到出发的位置时， n的指向不变，则称
是双侧曲面. 否则， 称为单侧曲面.
典型双侧曲面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2. 曲面的侧与有向曲面定了侧的曲面称为有向曲面.
(1) 闭曲面的侧
设为闭曲面 内侧：法向量n指向的里面； 外侧：法向量n指向的外面.
Q( x, y, z)dz dx Q( x, y, z)cos β dS
R( x, y, z)dx dy R( x, y, z)cosγ dS
因此第二类曲面积分又记为
(2) F ( x, y, z) dS
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdy
2º 投影转换关系
F ( x, y, z) dS
dS
e n( x,
y, z)dS
[F(x, y, ——
z) e n( x, y, z)]dS 与en同方向
有向曲面元
(cos dS, cos dS, cos dS )
d y d z cos d S dS cos 有向曲面元dS
F(
x,
y,
z)
R (Px(,xy,,
yz,)zc)oisγdQS(
x,
y,
z
)
j
R(
x,
y,
z)k
通常把上式三项分别记作
PQR((xx,y,y,z,z))在在上上对对坐坐 标标 yzx,,,zxy的的曲曲面面积积分分
P( x, y, z)dydz P( x, y, z)cosαdS
5. 定义 10.5
设Σ是分片光滑的有向曲面, 向量值函数
F( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
在Σ上有界, e n( x, y, z)是有向曲面上点( x, y, z)处
的单位法向量, 如果积分
[
F(
类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
4. 引例 流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量.
(假定密度为1)
(1) 若 是面积为S 的平面域, 注. v与t无关： v
单位法向量：e n
稳定流动；
流速为常向量
S= 常数：
en
则单位时间内流量为
d S cos d (cos 0) 去掉限制：cos 0
可得到： d S cos (d S )xy d xd y cos d S (d S)xy
同理可得
d yd z cos d S (d S) yz d z d x cos d S (d S)zx
e
n
(
x,
y,
z
)
cos
i
cos
j cos
k ，则
FF((xx, ,yy, ,zz))
deSn
(
x,
y,
z)
dS
[P( x, y, z)cosα Q( x, y, z)cos β R( x, y, z)cosγ ]dS
P( x, y, z)cosαdS Q( x, y, z)cos β dS
在有向曲面Σ上取一小块曲面ΔS, S在xOy面上的 的投影(S )xy为
(σ)xy
(S )xy
(σ ) xy
0
当cosγ 0 时 当cosγ 0 时 当cos γ 0 时
其中(σ)xy 表示投影区域的面积, γ为法向量与z轴正向
的夹角. 注意: 投影有正负之分.
于是
d z d x cos d S
dS cos
分别在 x 轴、
d x d e n(x,
y y, z
cosγ d ) cos
S α
dS i cos
cos
β j
cos
γ
y 轴、z 的k 投影
轴上
3º第二类曲面积分中dxdy, dydz, dzdx 的意义 在二重积分应用，求曲面面积时曾证明：
第五节
第十章
第二类曲面积分
一、第二类曲面积分的概念及性质 二、两类曲面积分之间的联系 三、第二类曲面积分的计算
一、第二类曲面积分的概念及性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
1. 曲面的分类
双侧曲面: 点P ，取定P处的法向量 的一个指向n , 则当点P 在上连续移动时，n 也随之连续改变方向.
(2) 非闭曲面的侧
1) 上、下侧
若：z z( x, y)
上侧 : (n,轴z) 为锐角, cos 0 (P ); 下侧 : (n,轴z) 为钝角, cos 0 (P ).
z
O
y
x
2) 左、右侧
z
若：y y( x, z)
右侧 : (n,轴y)