第二类曲面积分(1)

4º 若为母线平行于z轴的柱面时，则
cos 0, d x d y d S cos 0, 从而必有
(2) 非闭曲面的侧
1) 上、下侧
若：z z( x, y)
上侧 : (n,轴z) 为锐角, cos 0 (P ); 下侧 : (n,轴z) 为钝角, cos 0 (P ).
z
O
y
x
2) 左、右侧
z
若：y y( x, z)
右侧 : (n,轴y)
2º 投影转换关系




F ( x, y, z) dS


dS

e n( x,
y, z)dS

[F(x, y, ——
z) e n( x, y, z)]dS 与en同方向
有向曲面元
(cos dS, cos dS, cos dS )
d y d z cos d S dS cos 有向曲面元dS
于是

d z d x cos d S
dS cos
分别在 x 轴、
d x d e n(x,
y y, z
cosγ d ) cos
S α
dS i cos
cos
β j
cos
γ
y 轴、z 的k 投影
轴上
3º第二类曲面积分中dxdy, dydz, dzdx 的意义 在二重积分应用，求曲面面积时曾证明：
在有向曲面Σ上取一小块曲面ΔS, S在xOy面上的 的投影(S )xy为
(σ)xy
(S )xy


(σ ) xy
0
当cosγ 0 时 当cosγ 0 时 当cos γ 0 时
其中(σ)xy 表示投影区域的面积, γ为法向量与z轴正向
的夹角. 注意: 投影有正负之分.
e
n
(
x,
y,
z
)

cos

i
cos


j cos

k ，则
FF((xx, ,yy, ,zz))
deSn
(
x,
y,
z)
dS

[P( x, y, z)cosα Q( x, y, z)cos β R( x, y, z)cosγ ]dS

P( x, y, z)cosαdS Q( x, y, z)cos β dS
F(
x,
y,
z)
R (Px(,xy,,
yz,)zc)oisγdQS(
x,
y,
z
)
j

R(
x,
y,
z)k

通常把上式三项分别记作
PQR((xx,y,y,z,z))在在上上对对坐坐 标标 yzx,,,zxy的的曲曲面面积积分分
P( x, y, z)dydz P( x, y, z)cosαdS
x,
y,
z
)


e
n
(
x,
y,
z)]dS


存在, 则称此积分为向量值函数 F ( x, y, z)在有向
曲面上沿指定侧的第二类曲面积分, 记为


F ( x, y, z) dS

[F(
x,
y,
z
)

e n
(
x,
y,
z
)]dS


注 1º第二类曲面积分的其他表达形式
(1) 若记
为锐角, cos 0 (P );
左侧 : (n,轴y)
O
x
y
为钝角, cos 0 (P ).
3) 前、后侧若：x x( y, z)
前侧 : (n,轴x)为锐角, cos 0 (P );
(后)
(钝)
()
3. 有向曲面的投影
第五节
第十章
第二类曲面积分
一、第二类曲面积分的概念及性质 二、两类曲面积分之间的联系 三、第二类曲面积分的计算
一、第二类曲面积分的概念及性质来自百度文库
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
1. 曲面的分类
双侧曲面: 点P ，取定P处的法向量 的一个指向n , 则当点P 在上连续移动时，n 也随之连续改变方向.


Q( x, y, z)dz dx Q( x, y, z)cos β dS
R( x, y, z)dx dy R( x, y, z)cosγ dS
因此第二类曲面积分又记为


(2) F ( x, y, z) dS
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdy
若当点P不越过 的边
界回到出发的位置时， n的指向不变，则称
是双侧曲面. 否则， 称为单侧曲面.
典型双侧曲面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2. 曲面的侧与有向曲面
对于双侧曲面，其侧可用曲面法向量的指向 来确定.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
(1) 闭曲面的侧
设为闭曲面 内侧：法向量n指向的里面； 外侧：法向量n指向的外面.
类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
4. 引例 流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量.
(假定密度为1)
(1) 若 是面积为S 的平面域, 注. v与t无关： v
单位法向量：e n
稳定流动；
流速为常向量
S= 常数：
en
则单位时间内流量为
d S cos d (cos 0) 去掉限制：cos 0
可得到： d S cos (d S )xy d xd y cos d S (d S)xy
同理可得
d yd z cos d S (d S) yz d z d x cos d S (d S)zx
不可压缩流体.
斜柱体的体积： (2) 若为有向曲面 ,
v

en
S
流速：
“分割,
近似, 求和, 取极限”
lim
λ0
i
n


v
i


e ni
Si
i 1
(i
,i
,
i
)
eni vi i


v ( x, y, z) e n( x, y, z)d S

5. 定义 10.5
设Σ是分片光滑的有向曲面, 向量值函数




F( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
在Σ上有界, e n( x, y, z)是有向曲面上点( x, y, z)处
的单位法向量, 如果积分
[

F(