第二类曲面积分

Σ
对第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧 二、对坐标的曲面积分的计算法 化成∑的投影区域上的二重积分 (1) 设∑的方程为: z=z(x,y) ,Σ在xoy面上的投影为 D xy z(x,y) 在 D xy 上有一阶连续偏导数, 可以证明:
∫∫ R( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R[ x, y, z ( x, y)]dxdy
Σ1 Σ1
Ω
(a 2 − y 2 + x 2 )dxdy ∫∫
Dxy
=
3 πa 4 2
( y − x 2 + z 2 )dydz + ( x − z 2 + y 2 )dzdx + ( z − y 2 + x 2 )dxdy ∫∫
Σ
=
Σ + Σ1
∫∫
− ∫∫
Σ1
3π a 4 = − = −π a 4 2 2
∫∫ Q( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q[ x, y( z, x), z ]dzdx
Σ
Dzx
注意： Σ取右侧时为正号; Σ取左侧时为负号.
例1
计算
∫∫ xyzdxdy
Σ 2
其中Σ为 x + y 2 + z 2 = 1 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 解
Σ = Σ1 + Σ 2
Σ分别在yoz,zox,xoy面上的投影
一般情况, Σ是曲面,v的大小和方向都变化. 将Σ任意分成n个子曲面 ∆Si , ∆S i 在yoz,zox,xoy面上的投影分别为
∆S i , yz , ∆S i ,zx , ∆S i , xy
∆S i 上任取一点 M i (ξ i ,ηi , ζ i ),
∫∫ R( x, y, z )dxdy = lim ∑ R (ξ ,η , ζ
Σ
d →0 i =1 i i
i =1 n
i
) ∆ S i , xy
R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分(第二类)
同理P(x,y,z), Q(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标y,z 和z,x的曲面积分为
∫∫ P( x, y, z)dydz =
Σ2
则Σ分成上下两曲面
Σ1 : z = z1 ( x, y ) 下侧
Σ 2 : z = z 2 ( x, y ) 上侧
z 2 ( x , y ) ∂R ∂R ∫∫∫ ∂z dv = D {∫z1 ( x, y ) ∂z dz}dxdy ∫∫ Ω xy
Σ1
D xy
1
=
∫∫{R[ x, y, z ( x, y)] − R[ x, y, z ( x, y)]}dxdy
例3.∫∫ [ f ( x, y, z ) + x]dydz + [2 f ( x, y, z ) + y ]dzdx + [ f ( x, y, z ) + z ]dxdy，
Σ
其中 f 为连续函数, Σ为平面x − y + z = 1在第四卦限部分的上侧
∫∫[ f ( x, y, z ) + x]dydz + [2 f ( x, y, z ) + y]dzdx + [ f ( x, y, z ) + z ]dxdy
D yz D yz
Σ1
Σ2 2
= 2 ∫∫ z 2 − y 2 dydz =
D yz
πa 3
3
2 3 (2).同理 Φ 2 = ∫∫ 2 ydzdx = πa 3 Σ
(3). Φ 3 = ∫∫ 3 zdxdy = ∫∫ 3 zdxdy + ∫∫ 3 zdxdy
Σ Σ3 Σ4
Φ 3 : z=a 上侧
两者的在yoz面上投影域同为 D yz : − z ≤ y ≤ z ,0 ≤ z ≤ a
Σ 3 : z = a 上侧 在yoz面上的投影为零
Φ1 = ∫∫ xdydz = ∫∫ xdydz + ∫∫ xdydz + ∫∫ xdydzdz + ∫∫ xdydz
= − ∫∫ − z 2 − y dydz + ∫∫ z 2 − y 2 )dydz
n 0 = cos α i + cos β j + cos γ k 为Σ的单位法向量 则 Φ = ( v ⋅ n 0 )∆S =| v | cos( v, n 0 )∆S 其坐标表示式
Φ = ( Pi + Qj + Rk ) ⋅ (cos α i + cos β j + cos γ k ) ∆ S = P cos α ∆ S + Q cos β ∆ S + R cos γ ∆ S = P ∆ S yz + Q ∆ S zx + R ∆ S xy
Σ + Σ1
( y − x 2 + z 2 )dydz + ( x − z 2 + y 2 )dzdx + ( z − y 2 + x 2 )dxdy ∫∫
πa 4
2
= ∫∫∫ (−2 x + 2 y + 1)dv = ∫∫∫ dv =
Ω
( y − x 2 + z 2 )dydz + ( x − z 2 + y 2 )dzdx + ( z − y 2 + x 2 )dxdy ∫∫ = ∫∫ ( z − y 2 + x 2 )dxdy =
Σ
则流量
Φ = ∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3 zdxdy = ∫∫ xdydz + ∫∫ 2 ydzdx + ∫∫ 3 zdxdy
Σ Σ Σ
Φ1
Φ2
Φ3
(1) 求 Φ1 = ∫∫ xdydz
Σ
Σ = Σ1 + Σ 2 + Σ 3
Σ1 : x = − z 2 − y 2 后侧
Σ 2 : x = z 2 − y 2 前侧
Dxy Dxy
= 2 ∫∫ xy 1 − x 2 − y 2 dxdy
Dxy
= ∫ sin 2θ dθ ∫ r 3 1 − r 2 dr = 2
2
π
1
0
0
15
例2 计算流速为 v = {x,2y,3z}的不可压缩流体在单位 时间内穿过 x 2 + y 2 ≤ z 2 (0 ≤ z ≤ a) 表面外侧的流量Φ 解 设ρ=1
∆Φ i ≈ v (ξ i ,ηi , ζ i ) ⋅ n i0 ∆Si
n i0 Σ在该点的单位法向量为
= [ P(ξ i ,ηi , ζ i ) cos α i + Q(ξ i ,ηi , ζ i ) cos β i + R (ξ i ,ηi , ζ i ) cos γ i ]∆S i
cos α i ∆S i ≈ ∆S i , yz , cos β i ∆S i ≈ ∆S i ,zx , cos γ i ∆S i ≈ ∆S i , xy
2 Dxy
由曲面积 分计算法
= ∫∫ R( x, y, z )dxdy + ∫∫ R ( x, y, z )dxdy
Σ2 Σ1
= ∫∫ R( x, y, z )dxdy
同理
∂P ∫∫∫ ∂x dv = ∫∫ Pdydz Ω Σ
Σ
∂Q ∫∫∫ ∂y dv = ∫∫ Qdzdx Ω Σ
三式相加
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ω Σ
Σ
Dxy
注意： Σ取上侧时为正号; Σ取下侧时为负号. (2). 设Σ的方程为: x=x(y,z) ∫∫ P( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P[ x( y, z ), y, z ]dydz
Σ
D yz
注意： Σ取前侧时为正号; Σ取后侧时为负号. (3). 设Σ的方程为: y=y(z,x)
Ω
Σ
( y − x 2 + z 2 )dydz + ( x − z 2 + y 2 )dzdx + ( z − y 2 + x 2 )dxdy 例2 ∫∫
Σ
2 2 2 Σ为 z = x + y (0 ≤ z ≤ a ) 下侧
解
非封闭曲面,不能直接用高斯公式,可以加辅助曲面:
Σ1 : z = a 2 上侧
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间闭区域Ω上具有一 阶连续偏导数,则:
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ω Σ
高斯公式 其中Σ是Ω的边界曲面外侧 证 设闭区域Ω在 xoy 面上的投影域为 D xy 边界曲面Σ与平行于 z 轴的直线相交不多于两点,
例: 流体的流量 设不可压缩流体(设ρ=1)稳定流动,其流速为 v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, i j k 其中P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向曲面Σ上 连续,求单位时间内流过曲面Σ正侧的流量Φ. 如果Σ是平面,面积为△S,流速v=Pi+Qj+Rk为常向量 i j k
Σ
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在 (3) 常见组合积分 (例如流量Φ)
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为
∫∫ R( x, y, z )dxdy =