第二类曲面积分

第九章 曲线积分与曲面积分
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目 录
§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式及其应用 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 高斯公式 通量与散度 斯托克斯公式 环流量与旋度
曲线积分练习
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§5. 对坐标的曲面积分
曲面在坐标面投影
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2、 有向曲面在坐标面上的投影 设∑是有向曲面，在∑上取小块曲面△S， △S 在xoy面上的投影区域面积 n z ( ) xy ,假设△S上各点处 记为 △S 的法向量与 z 轴正向的夹角 n 余弦 cos 有相同符号， 则 规定△S在xoy面上的投影 o y ( )xy 当cos 0 时 ( ) xy , x ( S ) xy ( )xy 当cos 0 时 当cos 0 时 0
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1. 曲面的侧向 根据曲面上法向量的指向来定曲面的侧。 若曲面上每点的法向量方向 向 上（下）， 则称点所在的侧为上侧（下侧）。 : z z( x , y ), 则有 上侧 与 下侧 之分； : x x( y , z ), 则有 前侧 与 后侧 之分； : y y( x , z ), 则有 右侧 与 左侧 之分； : 闭曲面， 则有 外侧 与 内侧 之分； 选定了侧的曲面称为有向曲面。
1

2
计算法
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二、计算法
设 ：z z ( x , y ) 取上侧， 且在 xoy 平面上的投影为 Dxy , z( x , y ) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数 ， R( x , y , z ) 在 上连续， 则 R( x, y, z ) dxdy Dxy R[ x, y, z( x, y )]dxdy ( 取上侧， cos 0, ( Si ) xy ( i ) xy ) 设 ：z z ( x , y ) 取下侧， R( x , y , z ) dxdy D xy R[ x , y , z ( x , y )]dxdy ( 取下侧， cos 0, ( Si ) xy ( i ) xy )
例题 1 ∑2
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2 : z x y 与 z 1 所围闭曲面的外侧。 解： 2 1 . 2 1 2 2 1 : z x y (取下侧） : z 1(取上侧） 2 2 Dxy : x y 1 z 1 2 z dxdy . 1 3 1 ＋ 1 dxdy z dxdy Dx y 2 o 1 . y 1 2 x z dxdy . 3 2 3
一般情况：设流速场 元素法
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(μ= 1) 的流速场为 一般情形： 设流体 V ( x, y, z ) P ( x, y, z ) i Q ( x, y, z ) j R ( x, y, z ) k Σ为流速场中一片光滑有向曲面，函数 P, Q, R 在Σ上连续，求单位时间内流向 o Σ的指定侧的流量 Φ。 z ni Vi 利用元素法 S i . o
(第二类曲面积分)
曲面的侧向
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§5. 对坐标的曲面积分
( 第二类曲面积分 ) 一、概念与性质 1. 曲面的侧向 设 讨论的曲面都是光滑的，双侧的。 双侧曲面： 规定曲面上一点的法线正方向， 此点沿曲面上任一条不越过曲面边界的 闭曲线连续移动，当回到原来位置时， 此点处的法线正向保持不变。
( )xz 当cos 0 时 ( S ) xz ( )xz 当cos 0 时 当cos 0 时 0
y
引例 流量 特殊情况
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3、 引例 求流向曲面一侧的流量 先讨论 特殊情形： 设稳定流动( 速度V与时间 t 无关的流动 ) 的不可压缩流体的速度场为常向量 V (设密度μ= 1)，流速场中有一有向平面 A ( 面积也记为 A ) ， 求单位时间内流向A一侧的流量 Φ 。 o o A V (1) (V , n) 0 n 则 | V | A; o V o n A (2) (V , n ) , o 则 | V | A cos V A V A n .

i 1
lim R ( i ,i , i )(Si ) xy R( x , y , z )dxdy 0 i 1
n
函数 Q(x,y,z) 在有向曲面∑上对坐标 x, z 的 曲面积分
Q ( , , )( S ) Q( x , y , z ) dzdx = lim
例 2 圆柱面
2

2
z dxdy ( i 1, 2 )
i
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例2：
2 2
: x y 1 与 z 0, z 2 所围部分的外侧。 解： 1 2 3 取外侧 2 2 1：x y 1, 2 : z 0 , 3 : z 2 . z
0 i 1 i i i
常用组合形式
n
i zx
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P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
说明： (1) 函数 P, Q, R 中变量 x, y, z 不独立，受 曲面∑的限制 ,即满足曲面∑的方程。 (2) 前述流量 Pdydz Qdzdx Rdxdy V dS , 其中 V { P，Q，R }， d S { dydz , dzdx , dxdy } 称为有向面积元素
性质与曲线积分类似
常用其 组合形式 ：
函数 P, Q, R 在 ∑上 连续 统称为第二类曲面积分。
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(3) 其性质与第二类曲线积分相仿。
则 如：当 1 2 ，

是有向曲面，
则





与 取相反侧，



0 i 1
存在，则称此极限值为函数 R(x,y,z) 在有向 曲面∑上 对坐标 x , y 的曲面积分。 记作 R( x , y, z ) dxdy . — 积分曲面。

类似定义
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类似可定义： 函数 P(x,y,z) 在有向曲面∑上对坐标 y, z 的 曲面积分 n P ( i ,i , i )( Si ) yz P ( x , y , z )dydz = lim 0
例题 1 ∑1
Dxy
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例题讨论
例1：
2

2
z dxdy dxdy ( i 1, 2 )
i
1 : z x y 在 0 z 1 部分的下侧； 2 y2 , z x 解： 由题意， 1 : 投影到xoy面上， z D xy : x 2 y 2 1 , 1 z dxdy 1 1 cos 0 2 2 dxdy x y Dx y o y 1 2 1 2 x d d 3 . 0 0
0 i 1
定 义
n
o (3) Vi ni Si
n i 1
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4. 定义
(P. 242)
设 R(x,y,z) 在光滑有向曲面Σ上有界，任 分∑为n个小曲面 Si , 且在xoy平面的投影 为( Si ) xy , 任取 ( i ,i , i ) Si , 作乘积 n R ( i ,i , i )( Si ) xy , 若 lim R (i ,i , i )(Si ) xy
双、单侧曲面
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n n n
双侧曲面
莫比乌斯带
n
单侧曲面
.
.
莫ห้องสมุดไป่ตู้乌斯带
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莫比乌斯带
0.5 0.25 0 -0.25 -0.5 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0
2 1
由数学软件 Mathematica 绘制
确定曲面的侧
类似规定
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类似规定： S 在 yoz 面上的投影 ( ) yz 当cos 0 时 z ( S ) yz ( ) yz 当cos 0 时 0 当 cos 0 时 ( ) yz ,
△S
o
x
S 在 xoz 面上的投影
有向投影
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x
[ Pi cos i Qi cos i Ri cos i ] Si i 1 Si 在xoy平面上的有向投影 : z i ( S i ) xy S i cos i , 同理： S i . ( S ) S cos , o i yz i i i y ( S i ) xy ( S i ) z x S i cos i , n [ Pi (Si ) yz Qi (Si )zx Ri (Si ) xy ] i 1 (4) 令 max{Si }，则 n lim [ Pi ( Si ) yz Qi ( Si ) zx Ri ( Si ) xy ]
合起 类 似
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设 ： z z( x , y ) 取上侧(下侧) R( x, y, z ) dxdy z ( x , y ) (＋ P [ x , y , ] dxdy —)
类似， 设 ：x x ( y, z) 取前侧(后侧) dydz P ( x , y , z ) ＋ P [ x ( y , z ) , y, z] dydz (—) D y z 设 ：y y ( x , z ) 取右侧(左侧) dz dx Q( x , y , z ) ＋ Q [ x, y ( x , z ), z] dzdx (—) Dz x
Vi ni S i o 由 (2) (V , n , ) o V n A.
(i ,i , i )
o x
取近似
y
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(1) 把Σ任分成 n 个小块曲面ΔSi ; (2) 在ΔSi 中任取一点 ( i ,i , i ), 用 V V ( i ,i , i ) { P ( i ,i , i ), Q( i ,i , i ), R( i ,i , i )} { Pi , Qi , Ri } 近似代替 Si 上其它各点处的流速； 用 ( i ,i , i ) 处曲面的单位法向量 o n i { cos i , cos i , cos i } 近似代替Si 上其它各点处的单位法向量； o 流过 Si 指定侧的流量 Vi ni S i [ Pi cos i Qi cos i Ri cos i ] S i