圆的切线、切点及切线定理
切线性质定理证明过程,证明圆的切线的几种方法
切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。
证明圆的切线的性质定理我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理：假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。
圆的切线的性质切线的主要性质有以下几点：1、切线和圆唯有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于经过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。
掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。
为此，考生必须努力学习。
连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直证明圆的切线的迅速方式？1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。
口诀是“见半径，证垂直”。
2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。
3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。
如何证明圆的切线？切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
根据这两个定理，我们可以得到证明圆的切线在大多数情况下的思路。
1、连半径，证垂直2、作垂线，证半径圆如何正切线？相切圆有四种方法:1。
圆的切线判定定理及性质定理讲义
AT圆的切线判定定理及性质定理讲义一、基础知识归纳1.切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个 条件缺一不可。
结论是“直线是圆的切线”。
2．切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足（1）垂直于切线 （2） 过切点 （3）过圆心 任意知道两个，这可以推出第三个。
即知2推1。
定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT②经过圆心，垂直于切线⇒过切点()()12AB M AB MT ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪⇒⎬⎪⎭过圆心为切点二、典型例题解析【例1】PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA=6cm,OP=10cm,求AC 的长.AAOBPCM【例2】如图，⊙O 的直径AB =6cm ，点P 是AB 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ．若CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大 小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数【例3】如图,若⊙的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交于点D,且⊙O 的半径为2,则CD 的长是多少？【例4】如图，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC•交半圆O 于点D ，已知CD=1，AD=3，那么cos ∠CAB=________．【例5】设直线ι到⊙O 的圆心的距离为d ，半径为R ，并使x 2－2d x ＋R=0，BDC试由关于x 的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O 的位置关系．【例6】在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．。
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，而切线与切线定理也是与圆密切相关的概念和定理。
在本文中，我们将对圆的切线和切线定理进行归纳并介绍计算方法。
一、圆的切线圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线。
切线的特点是与圆相切于切点，并且切点在切线上。
根据切线的定义，我们可以得出切线具有以下性质：1. 切线与半径垂直在圆的任意切点处，切线与通过该点的半径垂直相交。
这是切线与圆的一个重要性质，在计算切线时会用到。
2. 切线的切点切线与圆相切于切点，而切点位于切线上。
这也是切线的定义之一，切点的坐标可以通过计算得出。
二、切线定理的计算方法切线定理是描述切线与半径之间的关系的一组定理。
我们将介绍几个常用的切线定理及其计算方法。
1. 切线长定理切线长定理描述了切线和半径之间的关系。
对于与圆相切的切线来说，切线上的两个切点到圆心的距离乘积等于这两个切点分别到圆心的距离的平方。
具体计算方法如下：假设切线与圆相切于点A和点B，圆的半径为r，圆的圆心为O。
则有以下关系成立：AO × BO = AC² = BC²其中，AO和BO分别表示点A和点B到圆心O的距离，AC和BC分别表示点A和点B到圆心O的距离。
2. 外切线定理外切线定理指出，如果一条直线同时与两个相交圆的外切，那么它们的切点与连接圆心的直线构成一个等边三角形。
具体计算方法如下：对于与两个圆相切的外切线来说，它的两个切点与两个圆心之间形成的三角形是等边三角形。
设两个圆的半径分别为r₁和r₂，切点之间的距离为d，则有以下关系成立：d = r₁ + r₂其中，d表示切点之间的距离，r₁和r₂表示两个圆的半径。
三、圆的切线与切线定理的应用举例为了更好地理解切线和切线定理的计算方法，我们举例说明。
例题1：已知一个圆的半径为3 cm，点A是这个圆上的一个切点，连接点A和圆心O的线段OA与圆相交于一点B。
圆的切线判定与性质
直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
A
C
B
∴ AB⊥OC(三线合一)
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC， OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE也是半径 ∴ AC是⊙O的切线。
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
练习3
如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O的切线,E是切 点,AF⊥EF, 垂足为F,AE平分∠FAB吗?
关于圆的切线的各种定理
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l⊥O A，点 A 在⊙O 上∴直线l 是⊙O 的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA 是⊙O 的半径，直线l 切⊙O 于点 A∴l⊥O A（切线性质定理）推论 1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA 、PB 分别切⊙O 于A、B 两点∴PA=PB ，∠APO= ∠BPO （切线长定理）证明：连结OA 、OB∵直线PA 、PB 分别切⊙ O 于A、B 两点∴OA ⊥AP 、OB ⊥PB∴∠OAP= ∠OBP=90 °弦切角（即图中 ∠ ACD) 等于它所夹的弧 弧的读数的一半等于完整，图中没有连结 1/2 所夹的弧的圆心角 OC] ( 弧 AC) 对的圆周角等于所夹的 [注，由于网上找得的图不是很几何语言： ∵∠ ACD 所夹的是弧 AC∴∠ ACD= ∠ABC=1/2 ∠ COA=1/2 弧 AC 的度数 ( 弦切角定理）推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言： ∵∠ 1 所夹的是弧 MN ， ∠ 2 所夹的是 PQ ，弧 MN = 弧 PQ∴∠ 1= ∠ 2证明：作 AD ⊥EC∵∠ ADC=90 °∴∠ ACD+ ∠ CAD=90 °在△OPA 和△OPB 中：∠OAP= ∠OBPOP=OPOA=OB=r∴△OPA ≌△OPB （ HL ）∴PA=PB ，∠APO= ∠BPO弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1））顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点； （2））角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线； （3） ）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。
圆的切线和切点
圆的切线和切点圆是几何中的基本概念之一，而切线和切点是与圆密切相关的内容。
在本文中，我们将探讨圆的切线和切点的定义、性质以及相关的定理。
一、圆的切线和切点的定义在几何学中，切线是与圆相切于一点的直线，切点是切线与圆相切的点。
圆的切线与圆的半径垂直。
二、圆的切线和切点的性质1. 切线与半径的垂直性：切线与半径在切点处相交，且相交点是垂直的。
2. 切点唯一性：一条直线只能与圆相切于一个点，即切点是唯一确定的。
3. 切点在半径上的位置：切点到圆心的连线与切线相垂直。
三、圆的切线与切点的定理1. 切线与切点的定理：切线上的切点到圆心的距离等于切线与切点之间连线的长度。
即在一个三角形中，切点和三角形顶点连线的长度等于该三角形的高。
2. 切线的长度定理：外切圆的切线等于两切点之间的连线长度的两倍。
即切线长等于两切点与外切圆的半径之和。
3. 切线与切线的定理：如果两条切线相交于圆的外部一点，那么两条切线所夹的弧度相等。
四、圆的切线与切点的应用圆的切线和切点在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 轮胎的制造：轮胎的制造过程中需要确定轮胎与地面的接触点，这可以通过圆的切线和切点来确定。
2. 光学系统：在光学系统中，切线和切点可以帮助确定光线的传播路径和反射规律，对于光学仪器的设计和调整有着重要的意义。
3. 数学建模：在数学建模中，圆的切线和切点可以用于解决多种实际问题，例如物体运动的轨迹、流体力学中的接触问题等。
总结：圆的切线和切点是几何学中重要的概念，其定义、性质和定理都与圆的特性密切相关。
了解圆的切线和切点的性质和定理，能够帮助我们更好地理解和应用圆的相关知识。
同时，圆的切线和切点也在实际问题中有广泛的应用，为我们解决各种问题提供了重要的数学工具。
通过深入研究和理解圆的切线和切点的概念，我们将能够更好地应用几何知识解决实际问题。
圆的切线与切点的性质与判定
圆的切线与切点的性质与判定圆是几何学中的重要概念之一，它有很多特性和性质。
其中一个重要的性质是切线与切点的关系。
本文将介绍切线与切点的性质以及判定方法。
一、切线与切点的定义在几何学中，我们定义一个几何图形与另一个图形的一点相切时，这个点是该图形的切点，而与该图形相切的直线称为切线。
对于圆来说，切点是与圆相交于一点的直线，这条直线同时也是圆的切线。
二、切线与切点的性质1. 切点与圆心连线垂直于切线假设有一个圆，它的圆心是O，切点是A，切线是l。
根据性质，可以得出结论：切点与圆心连线AO垂直于切线l。
这一性质可以通过几何推理或使用垂直性质证明得出。
2. 切线与半径的夹角切线与半径的夹角等于90度。
对于任意一条半径OA和切线l，我们可以推导出∠OAL=90°。
这个性质也可以通过几何证明得出。
3. 切点在切线上的唯一性每条切线与圆只有一个切点。
这个切点是在圆上与切线相切的点，其他点不与切线相切。
也就是说，对于一条切线l和圆O，它们的切点A是唯一的。
4. 切线在切点处切分弦切线在切点处将切点外的弦分为两段，其中一个是切点外的弧。
三、切点的判定方法如何判断一条直线是否是圆的切线？下面是两种判定方法：1. 切线定理给定一个圆，如果一个直线与圆相交，在交点处的切角为90度，则这条直线是圆的切线。
换句话说，如果一个线段与圆相交于一点，并与半径的延长线构成90度的夹角，那么这条线段就是圆的切线。
2. 切线的斜率圆的切线的斜率与切点处圆的切线相切。
通过计算待判定的直线与给定圆的相切点的斜率，如果该斜率等于切点切线的斜率，那么这条直线就是圆的切线。
四、实际应用切线和切点的性质在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在求解圆的切线问题时，可以利用切点与圆心连线垂直于切线的性质，来确定切线方程的斜率。
在实际生活中，切线和切点的性质也用于计算机图形学、光学等领域，例如，用于光线的反射和折射的计算。
总结：本文介绍了圆的切线与切点的性质与判定方法。
人教版九年级初中数学上册第二十四章圆切线的性质定理
判定定理的表述
圆切线的判定定理：过圆外一点有且只有一条直线与圆切于一点。
证明方法：利用反证法，假设过圆外一点有两条直线与圆切于一点，则这两条直线重合，这 与已知条件矛盾，因此假设不成立，故原命题成立。
应用：在解题过程中，可以利用圆切线的判定定理来判断某一直线是否为圆的切线。
注意事项：在应用圆切线的判定定理时，需要注意前提条件是“过圆外一点”，否则结论可 能不成立。
性质定理的证明
定义：圆切线的定义是过半径的外端且垂直于这条半径的直线 性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 证明方法：利用相似三角形的性质进行证明 定理的应用：在解题中，可以利用这个定理来证明一些与圆有关的题目
求解与圆切线相关的问题
圆切线的定义和性质 圆切线的判定方法 圆切线的应用举例 圆切线与其他几何图形的联系
判定定理的应用
判定圆内接四边形的对角是否互补 判定一个四边形是否为圆外切四边形 判定一个四边形是否为圆内接四边形 判定一个四边形是否为圆外切四边形
性质定理的表述
圆切线的定义：过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 性质定理的证明：利用勾股定理和切线的定义进行证明。 性质定理的应用：在解题中利用此定理进行证明和计算。
注意事项：注意题 目中的隐含条件， 避免出现错误
拓展：通过练习和 巩固，提高解题能 力和思维水平
与圆切线相关的其他知识点
圆切线的定义和性质
圆切线的判定定理
圆切线的应用
圆切线与其他几何图形的联系
拓展知识的应用领域
几何学：圆切线在几 何学中有着广泛的应 用，如圆内接四边形、 圆与圆的位置关系等
物理学：圆切线在 物理学中也有着重 要的应用，如圆周 运动、弹性力学等
几何中的圆与圆的切线与切点的推导
几何中的圆与圆的切线与切点的推导在几何学中，圆与圆之间的相交和切线问题一直是研究的重点之一。
本文将通过推导，探讨圆与圆的切线与切点的性质和推导方法。
一、两个圆的相交情况当两个圆相交于两个不同的点时，我们可以通过连结这两个交点，得到一个直径。
此时，我们可以推导出两个圆的切线方向相同。
二、两个圆的外切情况当两个圆相切于外部的一点时，我们可以通过连接两个圆心和这个切点，得到一个直角三角形。
利用勾股定理，可以推导出两个圆的切线斜率相等。
三、两个圆的内切情况当两个圆相切于内部的一点时，我们可以推导出两个圆的切线方向相同，并且这两个切线相互垂直。
四、两个圆的不相交情况当两个圆没有交点时，我们可以推导出两个圆的切线不存在。
五、两个圆的切点的坐标推导假设有两个圆C1和C2，圆心坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，半径分别为r1和r2。
我们可以通过以下步骤推导出两个圆的切点坐标。
1. 计算圆心之间的距离d，即d=sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
2. 判断圆是否相交或相切。
当d == r1 + r2时，两个圆相切于外切点；当d == |r1 - r2|时，其中一个圆完全在另一个圆内部，相切于内切点；当r1 + r2 > d > |r1 - r2|时，两个圆相交于两个交点。
3. 根据相交或相切的情况计算切点坐标。
当两个圆相切于外切点时，切点坐标为：切点1: (x1 + r1 * (x2 - x1) / d, y1 + r1 * (y2 - y1) / d)切点2: (x1 - r1 * (x2 - x1) / d, y1 - r1 * (y2 - y1) / d)当两个圆相切于内切点时，切点坐标为：切点1: (x1 + r1 * (x2 - x1) / d, y1 + r1 * (y2 - y1) / d)切点2: (x1 - r1 * (x2 - x1) / d, y1 - r1 * (y2 - y1) / d)当两个圆相交于两个交点时，切点坐标为：切点1: (x1 + (r1 * (x2 - x1) + (y2 - y1) * sqrt(r1^2 * d^2 - (x2 - x1)^2 - (y2 - y1)^2)) / d^2, y1 + (r1 * (y2 - y1) - (x2 - x1) * sqrt(r1^2 * d^2 - (x2 -x1)^2 - (y2 - y1)^2)) / d^2)切点2: (x1 + (r1 * (x2 - x1) - (y2 - y1) * sqrt(r1^2 * d^2 - (x2 - x1)^2 - (y2 - y1)^2)) / d^2, y1 + (r1 * (y2 - y1) + (x2 - x1) * sqrt(r1^2 * d^2 - (x2 -x1)^2 - (y2 - y1)^2)) / d^2)六、结论通过以上推导，我们可以得到圆与圆的切线与切点的推导方法。
三圆的切线的性质及判定定理
三圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书P25]1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB 切⊙O 于A 点，则OA ⊥AB .(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25]圆的切线的性质[例1] 如图，已知∠C ＝90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．[思路点拨] ⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[解] 连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°. ∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB. ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103.即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB＝50°.又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.答案：B2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长． 解：(1)连接OC .∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形． ∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2， ∴sin ∠P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°.(2)∵BD ⊥PD ，∴在Rt △PBD 中， 由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3， 得BD ＝32.连接AE .则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD . ∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin 30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12.[例2] 已知D 是△ABC ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．[思路点拨]连接OB ，OC ，OD →∠BOD ＝90°→ ∠OBC ＝∠OCB ＝30°→∠ABO ＝90°→结论. [证明] 如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角，∠BCD ＝45°， ∴∠BOD ＝90°.∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°， 从而∠BOC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，因为∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC ，在△BOE 中，因为∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°. ∴BE ＝2OE ＝2EC ， ∴CE BE ＝CD DA ＝12， ∴AB ∥OD ，∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD ＝∠C ”，怎样证明：AB 是△BCD 的外接圆的切线． 证明：作直径BE ，连接DE ， ∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°， ∴∠E ＋∠DBE ＝90°. ∵∠C ＝∠E ，∠ABD ＝∠C ， ∴∠ABD ＋∠DBE ＝90°. 即∠ABE ＝90°.∴AB 是△BCD 的外接圆的切线．4.如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sin B ＝12，∠D ＝30°.(1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若AC ＝6，求AD 的长． 解：(1)证明：如图，连接OA ， ∵sin B ＝12，∴∠B ＝30°，∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°， ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOC ＝90°， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6， ∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°， ∴AD ＝3AO ＝6 3.圆的切线的性质和判定的综合考查[例3] 如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长． [思路点拨] (1)连接OD ，证明OD ⊥DE ； (2)作DG ⊥AB . [证明] (1)连接OD ，∵D 是BC 中点， ∴∠1＝∠2. ∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴OD ∥AE .∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ，即DE 是⊙O 的切线． (2)过D 作DG ⊥AB ， ∵∠1＝∠2，∴DG ＝DE ＝3. 在Rt △ODG 中，OG ＝52－32＝4， ∴AG ＝4＋5＝9.∵DG ⊥AB ，FB ⊥AB ，∴DG ∥FB . ∴△ADG ∽△AFB . ∴DG BF ＝AG AB. ∴3BF ＝910.∴BF ＝103.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．5.如图，已知两个同心圆O ，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，试求EG 的长．解：连接GC ，则GC ⊥ED . ∵EF 和小圆切于C ， ∴EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝2 3.又CD ＝4，∴在Rt △ECD 中， 有ED ＝EC 2＋CD 2 ＝(23)2＋42＝27.由射影定理可知EC 2＝EG ·ED ， ∴EG ＝EC 2ED ＝(23)227＝677.6．如图，以Rt △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AC 的另一个交点为E ，D 为斜边AB 上一点且在⊙O 上，AD 2＝AE ·AC .(1)证明：AB 是⊙O 的切线； (2)若DE ·OB ＝8，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接OD ，CD ，∵AD 2＝AE ·AC ， ∴AD AE ＝ACAD.又∵∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD ，∴∠ADE ＝∠ACD . ∵OD ＝OC ，∴∠ACD ＝∠ODC ， 又∵CE 是⊙O 的直径，∴∠ODE ＋∠CDO ＝90°，∴∠ODA ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵AB ，BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥DC ，∴DE ∥OB ，∴∠CED ＝∠COB ， ∵∠EDC ＝∠OCB ，∴△CDE ∽△BCO ， ∴DE CO ＝CEBO，DE ·OB ＝2R 2＝8， ∴⊙O 的半径为2.[对应学生用书P27]一、选择题1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：C2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D .AB ＝6，BC ＝8，则BD 等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC . ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC . ∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10. ∴BD ＝AB ·BCAC ＝4.8.答案：B3.如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°解析：连接OB .∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 答案：B4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24 解析：连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB ＝255.∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO ) ＝sin 45°cos ∠BCO －cos 45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 答案：A 二、填空题5．如图，已知∠AOB ＝30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2为半径作⊙M .若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝________时，⊙M 与OA 相切．解析：若⊙M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.过M作MN⊥OA于点N，则MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O 的半径R＝________.解析：AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.解析：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC＝AC sin 30°＝32 3.答案：30°33 2三、解答题8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.求证：P A＝PD.证明：如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴P A＝PD.9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2＝CE·CA.证明：(1)连接OD，AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴BD＝DC.∴OD∥AC.∴DE⊥AC.(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴CDCA＝CECD.∴CD2＝CE·CA.∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠OAE＝∠DEA＝90°.∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE.∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.。
切线的性质及判定
一、切线的性质及判定1．切线的性质2．切线的判定3． 切线长和切线长定理切线的性质及判定（）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．（）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．（）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．（）证明圆切线辅助线的方法：①若给出直线与圆有公共点：连半径、证垂直；②若没给直线与圆的交点：做垂直、证半径；（）圆中证明角相等的方法：①同角（或等角）余角相等；爱智康2018/06/121122⇒AB AB M AB ⊥l ⇒AB AB ⊥l AB M ⇒AB ⊥l AB M AB 1231212②圆周角定理；③半径相等出等腰三角形；④平行线出同位角或内错角相等；⑤全等或相似三角形中的对应角相等；⑥在同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆周角相等（常见于弧的等分点）。
（）给出圆的切线，作辅助线，连接过切点的半径，则半径垂直于切线．爱智康 2018/06/123。
圆的切线性质定理
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定： 1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
。
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= ，以A为圆心，1为
半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为
。
变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点
B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为
。
A
B
D CB
A C
O A
C
B
7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
A
L
线L就要与圆相交，而这与直线
O
L是圆O的切线相矛盾。
因此，OA与直线L垂直。
MA
L
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
证明或 ∵ 直线L是圆O的切线 解答： ∴ OA ⊥ L
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
A
C
C
O
P
A
O
BP
B （4）
（5）
5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线 PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ）
A. 5 3
3
B.
53 6
C. 10
D. 5
辅助线的作法：作过切点的半径
切线的判定定理
切线的判定定理
切线的判定方法有三种：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的主要性质：
(1)切线和圆只有一个公共点。
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径。
(3)切线垂直于经过切点的半径。
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点。
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
(6)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆的切线与割线定理的证明
圆的切线与割线定理的证明圆的切线与割线定理是几何学中的重要定理之一，它关于圆与直线的交点位置及其关系进行了详细说明。
下面将对圆的切线与割线定理进行证明。
首先，我们回顾一下圆的基本概念：圆是由平面上距离中心点相等的所有点构成的集合。
圆的切线是与圆相切且只有一个交点的直线，而割线则是与圆相交且有两个交点的直线。
在证明圆的切线与割线定理之前，我们需要明确一些前提条件：定理1：一个点到圆心的距离等于这个点到圆的切线上的两个切点之间的距离。
定理2：在同一条割线上，割线上的割点之间的线段互相垂直。
现在，我们来证明圆的切线与割线定理：定理：若一条直线与圆相交，那么相交点与圆心的连线与切线的夹角为直角。
证明：设圆的圆心为O，直线与圆的交点为A。
连接OA，同时在A点作圆的切线，切线与圆的切点分别为B、C。
根据定理1，我们知道OA的长度等于OB的长度和OC的长度之和。
即OA = OB + OC。
因为OB、OA和OC共点A，所以三角形OAB和三角形OAC是同一直角三角形的两个角。
根据定理2，割线上的割点之间的线段互相垂直。
因此，OB和OC垂直。
综上所述，相交点A与圆心O的连线与切线BC之间的夹角为直角。
证毕。
通过上述证明，我们可以得出结论：若一条直线与圆相交，那么相交点与圆心的连线与切线的夹角为直角。
这就是圆的切线与割线定理。
总结：圆的切线与割线定理关于圆与直线相交的情况进行了准确的描述和证明。
通过该定理，我们可以更准确地理解圆与直线之间的关系。
此定理在几何学中具有重要的应用价值，并在解决相关问题时发挥重要作用。
圆的切线与切点的性质
圆的切线与切点的性质圆是几何学中非常重要的一个概念，在我们的日常生活中也经常会遇到圆形物体。
而今天，我们将要探讨的是圆的切线与切点的性质。
一、切线的定义在几何学中，切线是指与圆相切的直线。
具体而言，对于一个给定的圆，如果直线与圆相交于唯一一点，并且这个点在圆上，那么我们就称这条直线为该圆的切线。
二、切点的性质切点是指切线和圆相交的点。
在圆的切线与切点的性质中，我们将会讨论三种特殊情况。
1. 切线与半径的关系在圆的切线与切点的性质中，我们首先来看切线与半径的关系。
在任意一点，如果连接该点与圆心的线段，我们称之为半径。
根据几何学的定理，切线与半径所夹的角为直角。
这意味着切线与半径垂直相交。
2. 切线的切点位置在给定的圆中，切线与圆相交的点是唯一确定的。
这是因为在圆任意一点画一直线，这条直线与圆相交的点的数量为两个。
但是，如果这条直线同时是圆的切线，那么与圆相交的点数量为一个，即切点。
所以可以得出结论，切线与圆最多只有一个切点。
3. 切线的斜率切线的斜率是切线与圆相切点处的切线斜率。
对于一个给定的圆，以及通过圆上的切点的切线，这条切线的斜率等于该切点处切线的斜率的负倒数。
换句话说，如果切线的斜率为k，则该切点处切线的斜率为-1/k。
这是因为切线与半径垂直相交，斜率的乘积为-1。
综上所述，圆的切线与切点有着一些重要的性质。
首先，切线与半径垂直相交，即切线与半径夹角为直角。
其次，一个圆和一条切线之间最多只有一个切点。
最后，切线的斜率与该切点处切线的斜率满足互为倒数的关系。
通过研究圆的切线与切点的性质，我们可以更好地理解圆的几何特性，并且在解决相关问题时能够更加灵活地运用这些性质。
因此，掌握切线与切点的性质对于几何学的学习和应用具有重要的意义。
总结：圆的切线与切点是几何学中的重要概念，其性质包括切线与半径垂直相交、一个圆最多只有一个切点以及切线斜率和切点处切线斜率互为倒数。
通过研究和应用这些性质，我们能够更好地理解和应用圆的几何特性。
圆正切线几种证法
圆正切线几种证法圆的切线是指圆上某点处的直线，这条直线只有一个交点与圆相切。
圆正切线是圆与其外部一点的切线，圆的正切线有多种证法。
下面将介绍几种不同的证法。
证法一：切线定理证法圆的切线定理是指直径与切线相垂直。
根据这个定理，我们可以通过证明直径与切线相垂直的关系来证明圆的正切线。
首先，我们设圆的直径为AB，切线上的切点为C。
通过证明角ACB为直角可以证明切线是圆的正切线。
根据几何学性质，我们可以得知，半径与切线的交点与圆心的连线垂直。
因此，我们可以得到角ACB为直角的结论，证明该切线是圆的正切线。
证法二：切线与半径的垂直证法根据几何学知识，圆的切线与半径的关系是相互垂直。
我们可以通过证明切线与半径相垂直来证明圆的正切线。
设圆的半径为OA，切线上的切点为B。
我们可以利用垂直平分线的性质来证明切线与半径的垂直关系。
由于切线只有一个交点与圆相切，我们可以得知，切线与半径的交点为直角。
因此，我们可以得到切线与半径相垂直的结论，证明该切线是圆的正切线。
证法三：正切线的判定证法正切线的判定是指判断一个直线是否为圆的正切线。
我们可以通过判断一个直线是否满足成为圆的正切线的条件来证明圆的正切线。
首先，我们需要确定圆的切点和切线的位置关系，根据切线与圆的位置关系可以判断该直线是否为圆的正切线。
如果直线与圆只有一个交点且与交点处的切线垂直，那么该直线就是圆的正切线。
通过以上几种不同的证法，我们可以得知圆的正切线有多种不同的证法。
无论采用哪种证法，都需要运用几何学的基本性质和定理来完成证明。
掌握了这些证法，我们可以更好地理解圆的切线性质，提高我们的几何学水平。
圆的切线与切点
圆的切线与切点在几何学中，切线是与曲线相切的直线。
对于圆，切线是与圆上某一点相切的直线。
本文将介绍圆的切线与切点的概念和性质，以及如何求解切线和切点的方法。
一、圆的切线与切点的定义圆的切线是与圆上某一点相切的直线。
这个点称为切点，圆心到切点的线段称为半径，垂直于切线的半径被称为法线。
二、圆的切线性质1. 切线与半径垂直切线与通过切点的半径垂直，这是因为切线垂直于切点处的圆弧，并且圆弧的切点与切线之间的线段垂直于半径。
2. 切线之间的夹角相等如果在圆上两点之间有两条切线，则它们之间的夹角相等。
这种现象称为切线的夹角定理。
3. 切线长度相等如果从同一点到圆上两点作两条切线，则这两条切线相等。
三、如何求解在几何学中，有几种方法可以求解圆的切线和切点，下面将详细介绍其中的三种方法。
1. 切线的斜率法假设圆的方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径。
现在假设我们要求解圆上一点(x1,y1)处的切线方程。
首先，我们要计算出切线的斜率k。
切线的斜率等于圆的切点处的切线的导数。
假设f(x)=(x-a)^2+(y-b)^2，那么切点的切线的导数等于f'(x)。
将f(x)展开得到：f(x)=x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2因此：f'(x)=2x-2a当x=x1时，切点的x坐标等于x1，因此：f'(x1)=2x1-2a切线的斜率等于f'(x1)。
假设切线的斜率为k，则切线的方程为：y-y1=k(x-x1)2. 切线的几何法通过切点做圆的半径垂直于切线，以切点为顶点，做直角三角形。
根据勾股定理，切线长度等于半径和切点至圆心的距离的平方根。
3. 切线的向量法假设圆的半径向量是R，切点的位置向量是T，则切线的向量是T±nR，其中n是任意实数，可以是1或-1。
这意味着存在两条切线。
根据切线的性质，切线向量与圆的半径向量垂直。
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圆的切线、切点及切线定理
2023年，我们的数学知识不断发展，而圆的切线、切点及切线定理依然是我们学习的重要内容。
在这篇文章中，我将会介绍关于圆的切线、切点及切线定理的相关知识，并深入讨论它们的应用。
首先，我们来了解什么是圆的切线和切点。
圆的切线是指在圆上取点，连接此点与圆心所形成的直线，在圆上的切点即为圆与直线相切的点。
在以O为圆心、R为半径的圆上，若点P的坐标为(x,y)，则过P点的切线方程为：
\begin{aligned}x(x_1-x)+y(y_1-
y)&=\frac{1}{2}(x^2+y^2+x_1^2+y_1^2-R^2)\\&=y_1x-
x_1y+R^2\end{aligned}
其中，(x1,y1)代表圆心的坐标。
接下来，我们来介绍切线定理。
它是指在圆上任意一点P处引出切线，设与圆的切点为A，则PA的长度等于以圆心O为顶点的与切线垂直的直线段OA的长度。
即：OP垂直于切线PA，且
OP=OA=√(R²+AP²)。
利用切线定理，我们可以解决一些实际问题。
下面就来看几个例子。
例1：如图，在半径为6cm的圆上，AB为圆心角，弦AC长
10cm，BD为切线，DE为长度为4cm的垂线。
求AB的度数。
我们可以先求出圆心O到半弧AC的长度，即OA=R×AB/2=18cm，由于OD⊥BE，因此OD=DE=4cm，OE=OB-EB=6-10/2=1cm。
由切线定理可得OA=OD+DA，即18=4+√(6²+AD²)，求得AD=8cm。
那么，根据余弦定
理，cos∠BAD=AD/AB=8/10，求得∠BAD≈38.66°，因此
AB≈77.32°。
例2：如图，以AB为正方形一边的中点为圆心，该正方形的对角线长度为4，求圆的半径。
设圆的半径为R，则圆心O距离AB的距离为R。
根据正方形的性质，对角线的长度为√2边长，所以AB的长度为2√2，因此R=√2。
通过切线定理，我们还可以推导出勾股定理。
如图，在直角三角形ABC中，垂足为D，则根据切线定理有：
AB²=AD^2+BD^2
BC²=BD^2+CD^2
将AB²-BC²得：
AB²-BC²=AD²-CD²
(AB+BC)(AB-BC)=AD²-CD²
又因为AB=BC，所以：
(AB+BC)(AB-BC)=AD²-CD²
2AB²=2AD²-2CD²
AB²=AD²-CD²
这就是勾股定理。
综上所述，圆的切线、切点及切线定理在我们的数学学习中扮演着重要的角色。
除了以上提到的应用，切线、切点和切线定理还有很多实际应用，例如在物理中的反射定律，光学中的成像，等等。
学好圆的切线、切点及切线定理，有助于我们更好地理解和应用数学知识，为我们的未来学习和工作打下坚实的基础。