第1章整式的乘除计算题型解读17 用配方法解题题型-北师大版七年级数学下册

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北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除

七年级下学期数学（北师大版）第一章整式的乘除单元测试题一、选择题1. 下列运算错误的是（）A.(−a)(−a)2=(−a)3B.−32⋅(−3)4=(−3)6C.(−a)2⋅(−a)3=(−a)5D.(−a)3⋅(−a)3=a 62. 下列各式中，与a 4⋅a 4运算结果相同的是( )A.a 2⋅a 8B.(a 2)4C.(a 4)4D.a 8÷a 23. 下列各式计算正确的是（）A.a 3⋅a −5=a 8B.a 3⋅a −5=a −2C.a 3+a −5=a 8D.a 3+a −5=a −24. 若(a m+1b n+2)⋅(a 2n−1b 2m )=a 5b 3，则m +n 的值为（）A.1B.2C.3D.−35. 若3a =27，3b =9，则3b−a =( )A.3B.18C.13D.36 6. (4−1−14)0等于（）A.0B.−1C.1D.无意义7. 若代数式(x −1)0+(3x −6)−1有意义，则x 的取值范围是（）A.x ≠1B.x ≠2C.x ≠1且x ≠2D.x ≠1或x ≠28. 计算(2a 3)2⋅a 3的结果是（）A.2a 8B.2a 9C.4a 8D.4a 99. 下列运算正确的是（）A.a 2+a 3=a 5B.(a 2)3=a 5C.a 3÷a −2=a 5D.(a −b)2=a 2−b 210. 下列多项式中不能用平方差公式计算的是（）A.(−a −b)(−b +a)B.(xy +z)(xy −z)C.(−2a −b)(2a +b)D.(12x −y)⋅(−y −12x) 二、填空题11. 计算2a 2⋅a 3的结果是________．12. 若x 2−ax +25是完全平方式，则a =________．13. 计算：2x(x −2)=________．14. 计算：3x(xy +x 2y)=_____________；(x −2y)2=______________．15. 若(x 2+ax +5)(x 3+2x +3)的展开式中不含x 2的项，则a 的值为________．16. a 2−b 2=16，a −b =13，则a +b 的值为________.17. 计算：20192−2018×2020=________，999×1001=________．18. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释a 2−b 2=(a +b)(a −b)．那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是________．三、解答题19. 计算：(−0.25)15×415+(513)2020×(−235)2019.20. 计算：（1）(2x 2y)3⋅(−3xy 2)÷6xy （2）(x +2)(x +3)−(x +6)(x −1)21. 计算：(9x 4−15x 2+6x)÷3x ．22. 先化简，再求值：5x(x 2−2x +4)−x 2(5x −2)+(−4x)(2−2x)，其中x =−512．23. 有一块边长为a 米的正方形空地，现准备将这块空地的四周均留出b 米宽修筑围坝，中间建喷水池．请计算出喷水池的面积．24. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式________．(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．(3)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题:若a+b+c=11，ab+ac+bc=25，求a2+ b2+c2的值．(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(3a+4b)长方形，则4(x+y+z)=________．。

北师大版七年级下册数学(第1章整式的乘除)全章单元教学课件

同底数幂相乘，底数不变，指数相加 . 运算形式（同底、乘法），运算方法（底不变、指相加）
知1－讲
当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？怎样用公式表示？
或 am·an·a =(am· an ) ·ap p =am+n· ap =am+n +p
am· an· ap =(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)(a·a· … ·a) m个 a =am+n+p n个a p个a
知1－练
1 计算： (1)52×57； (3) －x2 •x3； (2)7×73×72； (4)(－c)3 •(－c)m .
(1)52×57＝52＋7＝59. 解：
(2)7×73×72＝71＋3＋2＝76.
(3)－x2· x3＝－x2＋3＝－x5. (4)(－c)3· (－c)m＝(－c)3＋m.
4 计算(a＋b)3· (a＋b)2m· (a＋b)n的结果为(B
A．(a＋b)6m＋n C．(a＋b)2mn＋3 D．(a＋b)6mn
)
B．(a＋b)2m＋n＋3
知2－练
5 x3m＋3可以写成(D
)
A．3xm＋1
C．x3· xm＋1 A．－22 018 C．－22 019
B．x3m＋x3
D．x3m· x3 ) B．22 018 D．22 019
(2)x2· x4＋(x2)3；
(3)[(x－y)n]2· [(x－y)3]n＋(x－y)5n. 导引：按有理数混合运算的运算顺序计算．
解：(1)a4· (－a3)2＝a4· a6＝a10；
(2)x2· x4＋(x2)3＝x6＋x6＝2x6； (3)[(x－y)n]2· [(x－y)3]n＋(x－y)5n ＝(x－y)2n· (x－y)3n＋(x－y)5n ＝(x－y)5n＋(x－y)5n

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析试题(含答案及详细解析)

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、计算02022的结果是（）A．1 B．0 C．2022 D．1 20222、下列计算正确的是（）A．a+3a＝4a B．b3•b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a73、三个数02，23-，()13--中，负数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4、已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么DEG∆的面积1S和正方形BEFG的面积的2S大小关系是（）A ．1212=S S B ．12S S C ．122S S = D ．1234S S = 5、计算(1)(2)m m m ++结果中，3m 项的系数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36、下列运算正确的是（）A ．（a 2）3＝a 6B ．a 2•a 3＝a 6C ．a 7÷a ＝a 7D ．（﹣2a 2）3＝8a 6 7、()23a -的值是（） A ．5a - B ．6a C ．5a D ．6a -8、下列计算中，正确的是（）A ．3515a a a ⋅=B ．22a b ab +=C ．()2362a b a b =D ．()2224a a =++ 9、下列计算正确的是( )．A ．()33xy xy =B ．()222455xy x y -=- C ．()22439x x -=- D ．()323628xy x y -=- 10、下列计算中，结果正确的是（）A ．3515x x ⋅=B ．248x x x ⋅=C ．()236x x =D ．623x x x ÷=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、计算：|﹣2|﹣20210＋（12）﹣1＝______________．2、比较大小：4442____33333、若(x +x )(2x −4)的结果中不含x 的一次项，则a 的值为______．4、（﹣2021）0＝_____．5、计算：332a a ＋6a ÷2a ＝____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3（1）求（x ＋1）（y ＋1）的值；（2）求x 2＋y 2的值．2、化简：()()()2231x x x -+++．3、计算：20-211(3).93⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ 4、计算（1）（3x ﹣2）（2x +y +1）．（2）62a （13ab ﹣2b ）﹣22a b （a ﹣b ）．5、计算：（1）53(9126)3x x x x +-÷（2）(-2x +1)(3x -2)-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据任何数（除了0以外）的零次幂都为1可直接进行求解．【详解】解：02022=1；故答案为1．【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键．2、A【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂的除法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．【详解】解：A选项，原式＝4a，故该选项符合题意；B选项，原式＝b6，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a10，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了整式的计算：合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方法则，熟记各法则是解题的关键．3、B【分析】先计算各数，并与0比较大小，根据比0小的个数得出结论即可．【详解】解：021=＞0，2211339-==＞0，()111333--==--＜0，负数的个数是1个，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的幂运算，零指数幂，负指数幂，掌握有理数的幂运算，零指数幂，负指数幂，和比较大小是解题关键．4、A【分析】设正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为m 、n ，利用面积和差求出面积即可判断．【详解】解：设正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为m 、n ，S 1＝S 正方形ABCD +S 正方形BEFG ﹣（S △ADE +S △CDG +S △GEF ）＝m 2+n 2﹣[12m （m +n ）+ 12m （m ﹣n ）+ 12n 2] ＝12n 2；∴S 1＝12S 2．故选：A ．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算．5、B【分析】根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算，最后根据要求求解即可．【详解】解：∵(1)(2)m m m ++=232(32)32m m m m m m ++=++，∴3m 项的系数是1．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．6、A【分析】根据同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方可直接进行排除选项．【详解】解：A 、()326a a =，原选项正确，故符合题意； B 、235a a a ⋅=，原选项错误，故不符合题意；C 、76a a a ÷=，原选项错误，故不符合题意；D 、()32628a a -=-，原选项错误，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方是解题的关键．【分析】根据幂的乘方法则计算即可．【详解】解：()23a-=6a，故选B．【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘．8、C【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则以及完全平方公式对各项进行计算即可解答．【详解】解：A. 3583+5=⋅=，故原选项计算错误，不符合题意；a a a aB. 2a与b不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. ()2362=，计算正确，符合题意；a b a bD. ()22+=++，故原选项计算错误，不符合题意．a a a244故选：C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算法则以及完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．【分析】幂的乘方，底数不变,指数相乘，积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．【详解】解：A、()333xy x y=，故本选项不合题意；B、()2224-=，故本选项符合题意；xy x y525C、()224-=，故本选项不合题意；x x39D、(−2xy2)3=−8x3y6，故本选项正确故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．10、C【分析】根据整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则依次判断．【详解】解：A、3515x x⋅=x2，故该项不符合题意，B、246⋅=，故该项不符合题意，x x xC、()236=，故该项符合题意，x xD、624x x x÷=，故该项不符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了整式的计算法则，正确掌握整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则是解题的关键．二、填空题1、3【分析】先化简绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可【详解】解：|﹣2|﹣20210＋(1)﹣12=2-1+2=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的意义，熟练掌握绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．2、【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．【详解】解：∵2444=（24）111=16111，3333=（33）111=27111，而16111<27111，∴2444<3333，故答案为：<．【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3、2【分析】将原式化简后，将含有x 的项进行合并，然后令其系数为0即可求出答案．【详解】解：原式=2x 2−4x +2xx −4x=2x 2+(2x −4)x −4x令240a -=，2a ∴=，故答案为：2．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的乘法法则，本题属于基础题型．4、1【分析】根据任何非0的数的零指数幂为1进行求解即可．【详解】解：()020211-=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握一个非0的数的零指数幂为1．5、47a【分析】由题意先计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，最后合并同类项即可得出答案.【详解】解：332a a ＋6a ÷2a ＝44467a a a +=.故答案为：47a .【点睛】本题考查整式的乘除，熟练掌握同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算是解题的关键.三、解答题1、（1）112-（2）164【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．（1）（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1 =-3+12+1 =112- ；（2）（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy4=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．2、227x【分析】先利用完全平方公式，多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可.【详解】解：()()()2231x x x -+++224433x x x x x227x 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，掌握“利用完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键.3、8.9【分析】先计算0次幂和负指数幂及绝对值和有理数的乘方运算，然后运用有理数的加减法法则计算即可．【详解】解：()20211393-⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ 1111999=-+-9【点睛】题目主要考查负指数幂、0指数幂、有理数的乘方，去绝对值，有理数的加减混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．4、（1）62x+3xy﹣x﹣2y﹣2（2）﹣42a2b【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；（2）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可．（1）解：（1）（3x﹣2）（2x+y+1）＝62x+3xy+3x﹣4x﹣2y﹣2＝62x+3xy﹣x﹣2y﹣2．（2）解：原式＝62a×13ab﹣62a×2b﹣22a b×a+22a b×b＝23a b﹣62a2b﹣23a b+22a2b＝﹣42a2b．【点睛】本题考查了了整式的乘法，熟练掌握乘法运算的法则是解题的关键．5、（1）42342x x+-；（2）2672x x-+-【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则计算即可；（2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可．【详解】（1）53x x x x+-÷(9126)3=53÷+÷+-÷x x x x x x(93)(123)(6)3=42+-；x x342（2）(-2x+1)(3x-2)=2x x x-++-6432=2-+-．x x672【点睛】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．。

北师大版七年级数学下册《整式的乘法》整式的乘除PPT优质课件

所以2n-2-n＝1且3m＋1＋m-6=3.
已知求的值.
所以m、n的值分别是m=1，n=2.
解：
所以2m+2＝4且3m＋2n＋2=9.
故 m=1, n＝2
ZYT
例2 有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长 xm，宽 ym的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
3a3 ·2a2=6a5
3x2 ·4x2=12x4
5y3·3y5=15y8
×
×
×
ZYT
计算：(1) 5x3·2x2y ； (2) －3ab·(－4b2) ；(3) 3ab·2a； (4) yz·2y2z2；
(1)5x3·2x2y＝(5×2)·(x3·x2)·y＝10x5y.(2)－3ab·(－4b2)＝[(－3)×(－4)]·a·(b·b2)＝12ab3.(3)3ab·2a＝(3×2)·(a·a)·b＝6a2b.(4)yz·2y2z2＝2·(y·y2)·(z·z2)＝2y3z3.
解：
ZYT
5.若长方形的宽是a2，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____.【解析】长方形的长是2a2，所以长方形的面积为a2·2a2=2a4.
2a4
6.一个三角形的一边长为a，这条边上的高的长度是它的那么这个三角形的面积是_____.【解析】因为三角形的高为，所以这个三角形的面积是
＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝－20a2＋9a.
原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
ZYT
先化简再求值:
解：原式=x4-x3+x2-x4+x3-x2+5x

北师大版数学七年级下册：第一章整式的乘除回顾与思考(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘除的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式乘除的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-难点四：整式的除法法则。在整式除法中，确定商的每一项系数是学生遇到的困难之一。教师应通过具体例题，指导学生如何确定商的每一项系数，并强调余数概念。
-难点五：实际应用题的解决。将整式的乘除应用于解决实际问题时，学生可能会感到难以理解问题的实质，不知如何建模。教师应提供丰富的实际情境题，引导学生学会提取信息，建立数学模型。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式的乘除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式乘除的基本概念。整式的乘除是指如何将单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘或相除。它在数学运算中占有重要地位，帮助我们简化表达式，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将整式的乘除应用于实际中，比如计算矩形的面积和体积。
3.多项式乘多项式：运用分配律，将一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再将结果相加。

新北师大版七年级数学下册第1章整式的乘除《1.4整式的乘法》教学PPT

用乘法分配律完成(m+b)(n+a)的计算把 m(n+a) 与 b(n+a) 看成两个单项式与多项式
相乘的运算，应用单项式乘多项式的法则，
得: (m+b)(n+a)=m(n+a) + b(n+a) = mn+ma + bn+ba
(m+b)(n+a)=m(n+a) + b (n+a) =mn + ma + bn + ban
2.理解单项式与多项式的乘法法则，会进行单项式与多项式的乘法运算。
议一议
宁宁也作了一幅画，所用的纸的大小和京京的相同，她在纸的左右两边各留了米的空白，这幅画的画面面积是多少呢？
(1). x(mx- ) (2). mx2- 2
∴x(mx- )＝ mx2- 2
如何进行单项式与多项式相乘的运算？
合作探究
1.分别计算下面图中阴影部分的面积。
(1).
3
32
a2
(2). at + bt - t 2
小结
谈谈这节课你都有什么收获？
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
回顾 & 思考☞
☾ 单项式乘以多项回式的顾依与据是思乘考法对加法的分配律. ;
3、 (4 105 ) (510 4 )
解：（（（321）） ((42x2y1a202)b5 (3)1)(x(5y)31a0)(42)[1(()42 ()xx5())3(()y1]20(ya5)2a1)02b4x)32y3260a3b1309 2 1010
解: (1) (1−x)(0.6−x)

北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的乘除说课教学复习课件拔高

项数与原多项式项数一致；
(3)单项式系数为负时，改变多项式每项的符号。
综合训练 2x ( 1 x2 1) 3x(1 x2 2 )
2
33
解
:
原式
2
x
1 2
x21
2x
3x
1 3
x2
3x
2 3
x3 2x x3 2x
4x
计算：
-2a2·(ab+b2)-5a(a2b-ab2)
解:原式＝-2a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2
方法总结：化简求值的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．
一、选择题。 1.下列计算正确的是 ( C ) A.(x+1)(x+2)=x2+2 B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3 C.(x-2)(x+1)=x2-x-2 D.(x-2)(x-1)=x2-2x+2
2.计算(x-2)(x-3)的结果是 ( A )
北师大版七年级下册第一章『整式的乘除』
1.4.整式的乘法
第3课时
课件
学习目标
1.理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则.（重点） 2.能够用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算. （难点）
以下不同形状的长方形卡片各有若干张，请你选取其中的两张，用它们拼成更大的长方形，尽可能采用多种拼法。
n m
范例例2.计算：
(1)(2x)3(5xy2 )
(2)(3x2 y)3 (x2 )3
幂的乘方 (1)先算乘方
积的乘方 (2)再算乘法单项式乘以单项式
巩固 3.计算：
(1)(2x)3 (3x)2 (2)( 1 x2 y)3 (3xy2 )2

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1）＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

第1章整式的乘除计算题型解读16 三项完全平方式题型-北师大版七年级数学下册

《整式的乘除》计算题型解读16 三项完全平方式题型【知识梳理】1.题型特点：出现三个数的平方2.解题方法：记熟公式①(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc(a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab+2ac−2bc(a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2ac−2bc[(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2]②a2+b2+c2+ab+ac+bc=12[(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]a2+b2+c2−ab−ac−bc=12【典型例题】例1.已知a=999x+2000,b=999x+2001,c=999x+2002,，则多项式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为____ [(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]解析：原式=12[1+4+1]=12=3例2.若x−y=5,y−z=4,，则x2+y2+z2−xy−yz−xz的值是_____________________[(x−y)2+(x−z)2+(y−z)2]解析：原式=12[25+81+16]=12=61例3.已知a −b =b −c =35，a 2+b 2+c 2=1,则ab +bc +ac =____________解析：原式=12[(a −b )2+(a −c )2+(b −c )2]−(a 2+b 2+c 2) =12[925+3625+925]−1=−225例 4.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到()2222b ab a b a ++=+，那么利用图2所得到的数学等式是（）。

A ．()2222c b a c b a ++=++ B ．()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++ C ．()bc ac ab c b a c b a +++++=++2222D ．()c b a c b a 2222++=++解析：由等量关系式“大正方形面积=9个小长方形面积之和”列式可解答，选B.例5.计算：()()z y x z y x --++解析：原式= [x+(y+z)][x-(y+z)]=x2−(y+z)2=x2−y2−2yz−z2例6.（1）若(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，则a、b、c之间的关系是____________ （2）若(a−b)2+(b−c)2−(c−a)2=0，则a、b、c之间的关系是____________ （3）若a=2016,b=2017,c=2018，求a2+b2+c2−ab−bc−ca的值。

word版北师大版七年级教学下册数学第一章节整式乘除附答案

word整理版七年级数学下册——第一章整式的乘除（复习）单项式整式多项式整同底数幂的乘法幂的乘方式积的乘方的幂运算同底数幂的除法零指数幂运负指数幂整式的加减算单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完整平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1.以下运算正确的选项是（）A .a4a5a9 B.a3a3a33a3C. 2a43a56a9D.a34a7 2012320122 .5（）135A.1B.1 C.0D.19973 .设5a3b25a3b2A，则A=（）A.30abB.60abC.15abD.12ab4 .已知x y 5,xy3,则x2y2（）A.25.B2519、195 .已知x a3,x b5,则x3a2b（）、27B 、9C、3D、52215506 ..如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四a b种表示该长方形面积的多项式：m学习参照资料nword整理版①(2a+b)(m+n); ②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b); ④2am+2an+bm+bn，你以为此中正确的有A 、①②B、③④C、①②③D、①②③④（）7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A 、–3B、3C、0D、18．已知.(a+b)=9，ab=－12，则a2+b的值等于（）A 、84、78C、12D、64）9．计算（a－b）（a+b）（a+b）（a－b）的结果是（A．a8+2a4 b4+b8B．a8－2a4b4+b8．a8+b8D．a8－b81 0.已知P m 1,Qm28m（m为随意实数），则P、Q的大小关系为1515（）A、P Q B 、P Q、PQ D、不可以确立二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）1 1.设4x2mx121是一个完整平方式，则m=_______。

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除PPT课件全套

(1) (-y)3÷(-y)2 ； (2) x12÷x-4 ；
(2)由 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到更为一般的公式吗?
猜想 (ab)n= anbn
n个ab
(ab)n = ab·ab·……·ab (
幂的意) 义
n个a
n个b
=(a·a·……·a) (b·b·……·b) (
乘法交换律、结合律
)
=an·b ( 幂的意义 )
积的乘方法则
(ab)n = an·bn （m,n都是正整数）
解：am an (a a a)(a a a)
m个a
n个a
aa a 不变 m n个a
=am+n
相加
am ·an =am+n(m,n都是正整数）
同底数幂相乘,底数不变 ,指数相加 .
指数相加
即 am an amn
底数不变
例1.计算： (1)(3)7 (3)6; (3) x3 x5;
公示逆用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）
反向使用: an·bn = (ab)n
计算:
(1) 23×53 ; (3) (-5)16 × (-2)15 ; (5)0.25100×4100
(2) 28×58 ; (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; (6)812×0.12513
课堂小结
1. am an amn m, n都是正整数
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
2. (am)n=amn (m,n都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
课后作业
完成课本习题1.2中1、2 拓展作业：
你能尝试运用今天所学的知识解决下面的问题吗

北师大版七年级(下)数学第一章整式的乘除教案：整式乘法讲义(含答案)

北师大版七年級（下）数学第一章整式的乘除教案：整式乘法讲义（含答案）1、掌握单项式与单项式相乘的算理。

2、掌握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。

3、灵敏运用公式，简化计算。

1、单项式乘以单项式法那么：单项式与单项式相乘，应用乘法交流律和结合律，把它们的系数、相反字母的幂区分相乘，其他的字母连同它的指数不变，一同作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实践上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法那么完成的。

2、单项式乘以多项式的运算法那么单项式与多项式相乘，就是依据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.3、多项式乘以多项式法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探求多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个全体，应用分配律停止计算，这里再一次说明了全体性思想在数学中的运用。

4、幂的运算法那么：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即：nmnm aaa+=⋅〔m、n为正整数〕②幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：nmnm aa⋅=）（〔m、n为正整数〕③积的乘方等于把积的每一个因式区分乘方，再把所得的幂相乘。

即：nnn ba)ba(⋅=⋅〔n为正整数〕④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

n -m n m a a a =÷〔m>n ，m 、n 为正整数〕5、乘法的运算律：①乘法的结合律：〔a×b〕×c=a×〔b×c〕②乘法的分配律：a 〔b+c 〕=ab+ac1、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，应用乘法交流律和结合律，把它们的系数、相反字母的幂区分相乘，其他的字母连同它的指数不变，一同作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实践上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法那么完成的。

【例1】计算：〔1〕〔2xy 2〕·〔13xy 〕; 〔2〕〔－2a 2b 3〕·〔－3a 〕; 〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕; 解：〔1〕〔2xy 2〕·〔13xy 〕 = 〔2×13〕·〔x ·x 〕〔y 2·y 〕 = 23x 2 y 3; 〔2〕〔－2a 2b 3〕·〔－3a 〕 =［〔－2〕·〔－3〕］〔a 2a 〕·b 3=6a 3b 3;〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕 = 〔4×5〕·〔105×104〕=20×109=2×1010;留意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算相对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混杂，如2a 3·3a 2=6a 5，而不要以为是6a 6或5a 5.②相反字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.④单项式乘法法那么关于三个以上的单项式相乘异样适用.⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.练1、〔－3a 2b 3〕2·〔－a 3b 2〕5;答案：〔－3a 2b 3〕2·〔－a 3b 2〕5=［〔－3〕2 · 〔a 2〕2 ·〔b 3〕2］·［〔－1〕5 · 〔a 3〕5 ·〔b 2〕5］= 〔9a 4b 6〕·〔－a 15b 10〕= －9·〔a 4·a 15〕·〔b 6·b 10〕= －9a 19b 16;练2、〔－23a 2bc 3〕·〔－34c 5〕·〔13ab 2c 〕. 答案：〔－23 a 2bc 3〕·〔－34c 5〕·〔13ab 2c 〕 =［〔－23〕×〔－34〕×〔34〕］·〔a 2·a 〕〔b ·b 2〕〔c 3·c 5·c 〕 =16a 3b 3c 9【例2】一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它任务5×102秒，可做多少次运算？解：〔4×109〕×〔5×102〕= 〔4×5〕×〔109×102〕= 20×1011 = 2×1012〔次〕答：任务5×102秒，可做2×1012次运算.练4、以下计算正确的选项是〔〕A ．3a 2·2a 2=5a 2B ．2a 2·3a 2=6a 2C ．3a 2·4b 2=12a 2b2 D ．3a 3·4a 4=12a 12 练5、以下计算正确的选项是〔〕 A ．5y ·4yx 2＝9x 3y 3B ．〔-2x 3y n z 〕〔-4x n+1y n-3〕=8x n+4y2n-3 C ．〔-x n-2y 2〕〔-xy m 〕2=-x n y2m+2 D ．〔-7a 2b 3〕〔5ab 2c 〕＝-2a 2b 6c 练6、假定〔a n bab m 〕5=a 10b 15那么3m 〔n+1〕的值为〔〕A ．15B ．8C ．12D ．10答案： C D C2、单项式乘以多项式【例3】计算：〔1〕 2ab 〔5ab 2+3a 2b 〕; 〔2〕〔32ab 2－2ab 〕·21ab; 〔3〕－6x 〔x －3y 〕; 〔4〕－2a 2〔21ab+b 2〕. 解：〔1〕 2ab 〔5ab 2+3a 2b 〕= 2ab ·〔5ab 2〕+2ab ·〔3a 2b 〕——乘法分配律= 10a 2b 3+6a 3b 2——单项式与单项式相乘〔2〕〔23ab 2－2ab 〕·12ab = 〔23ab 2〕·12ab+〔－2ab 〕·12ab ——乘法分配律 =13a 2b 3－a 2b 2——单项式与单项式相乘〔3〕－6x 〔x －3y 〕= 〔－6x 〕·x+〔－6x 〕·〔－3y 〕——乘法分配律= －6x 2+18xy ——单项式与单项式相乘〔4〕－2a 2〔12ab+b 2〕 = －2a 2·〔12ab 〕+〔－2a 2〕·b 2——乘法分配律 = －a 3b －2a 2b 2——单项式与单项式相乘练7、计算：()2213266x x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．练8、计算：()223412a b ab ab -⨯ 答案：322221123x y x y xy -+ 32233648a b a b - 【例4】计算：6mn 2〔2－31mn 4〕+〔－21mn 3〕2.剖析：在混合运算中，要留意运算顺序，结果有同类项的要兼并同类项.解：原式=6mn 2×2+6mn 2·〔－31mn 4〕+41m 2n 6 =12mn 2－2m 2n 6+41m 2n 6 =12mn 2－47m 2n 6练9、计算()222++3m m m a a a a -+⋅ 练10、计算()()3225+-x x x x ⋅答案： 2+4m m a a + 3x【例5】ab 2=－6，求－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕的值.剖析：求－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕的值，依据题的条件需将ab 2的值全体代入.因此需灵敏运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.解：－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕= 〔－ab 〕·〔a 2b 5〕+〔－ab 〕〔－ab 3〕+〔－ab 〕〔－b 〕= －a 3b 6+a 2b 4+ab 2= 〔－ab 2〕3+〔ab 2〕2+ab 2当ab 2=－6时原式=〔－ab 2〕3+〔ab 2〕2+ab 2=［－〔－6〕］3+〔－6〕2+〔－6〕=216+36－6=246练11、假定〔a m+1b n+2〕·〔a2n-1·b 2m 〕＝a 5·b 3那么m+n 的值为〔〕 A ．1 B ．2C ．3D ．-3 剖析：先算等式的左边，再依据题意得m ，n 的方程组，将方程组整理后相加得出m+n 的值．解：由〔a m+1b n+2〕·〔a2n-1·b 2m 〕=a 5·b 3得 a m+2n b 2m+n+2=a 5b 3所以⎩⎨⎧=++=+ ② ①32252n m n m ①+②得3m+3n=6 即m+n=2应选B3、多项式乘以多项式【例6】计算：〔1〕〔1－x 〕〔0.6－x 〕〔2〕〔2x+y 〕〔x －y 〕〔3〕〔x －y 〕2 〔4〕〔－2x+3〕2 〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y －2〕.剖析：在做题的进程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接应用法那么停止运算，而要应用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.解：〔1〕〔1－x 〕〔0.6－x 〕〔2〕〔2x+y 〕〔x －y 〕=〔0.6－x 〕－x 〔0.6－x 〕 = 2x 〔x －y 〕+y 〔x －y 〕=0.6－x －0.6x+x2 = 2x 2－2xy+xy －y 2 =0.6－1.6x+x 2 = 2x 2－xy －y 2或〔1－x 〕〔0.6－x 〕或〔2x+y 〕〔x －y 〕=1×0.6－1×x －0.6x+x ·x = 2x ·x －2x ·y+xy －y 2=0.6－x －0.6x+x2 = 2x 2－xy －y 2 =0.6－1.6x+x 2〔3〕〔x －y 〕2=〔x －y 〕〔x －y 〕或〔x －y 〕2=〔x －y 〕〔x －y 〕=x 〔x －y 〕－y 〔x －y 〕 =x ·x －x ·y －x ·y+y ·y=x 2－xy －xy+y2 =x 2－2xy+y 2 =x 2－2xy+y 2〔4〕〔－2x+3〕2〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y －2〕= 〔－2x+3〕〔－2x+3〕 = 〔xy+3x+2y+6〕－〔xy－2x+y－2〕= －2x〔－2x+3〕+3〔－2x+3〕 = xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2= 4x2－6x－6x+9 = 5x+y+8= 4x2－12x+9评注：〔3〕〔4〕题应用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.〔5〕整式的混合运算，一定要留意运算顺序.练12、计算：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕; 〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕;〔3〕〔x+2y〕2〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕.解：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n = 2n·n－3·2n+5n－5×3=m2－2mn+2mn－4n2 = 2n2－6n+5n－15=m2－4n2 = 2n2－n－15〔3〕〔x+2y〕2 〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕= 〔x+2y〕〔x+2y〕 = ax·cx+ax·d+b·cx+bd= x2+2xy+2xy+4y2 = acx2+adx+bcx+bd= x2+4xy+4y2想一想：由计算失掉27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×〔2+1〕.换两个数84×86=7224异样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相反，个位数字之和为10的两位数的积能否也有这样的规律？剖析：依据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相反外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数区分为10a+b和10a+c〔a，b，c都是正整数，并且b+c=10〕.依据多项式与多项式的乘法，经过对结果变形，就可说明.解：设这样的两位数区分为10a+b和10a+c〔a、b、c都是正整数，并且b+c=10〕.依据多项式与多项式相乘的运算法那么可知，这两个数的乘积为〔10a+b〕〔10a+c〕=100a2+10a〔b+c〕+bc=100a2+100a+bc=100a〔a+1〕+bc结论：这个式子通知我们：求十位数相反，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数〔a+1〕，然后在乘积的前面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.【例7】计算：〔1〕32×38 〔2〕54×56 〔3〕73×77解：〔1〕3×〔3+1〕=12，2×8=16 〔2〕5×〔5+1〕=30，4×6=24∴32×38=1216 ∴54×56=3024〔3〕7×〔7+1〕=56，3×7=21∴73×77=56214、综合运用【例8】规律探求题〔1〕研讨以上等式：①1×3+1=4=22;②2×4+1=9=32;③3×5+1=16=42;④4×6+1=25=52…你发现有什么规律？依据你的发现，找出表示第n个等式的公式并证明.〔2〕计算以下各式，你能发现什么规律吗？〔x－1〕〔x+1〕= .〔x－1〕〔x2+x+1〕= .〔x－1〕〔x3+x2+x+1〕= .〔x－1〕〔x4+x3+x2+x+1〕= .〔x －1〕〔x n +x n－1+…+x+1〕= .答案：〔1〕n 〔n+2〕+1=〔n+1〕2，证明略〔2〕x 2－1，x 3－1，x 4－1，x 5－1，…x n+1－1〔3〕A =987654321×123456789， B =987654322×123456788.试比拟A 、B 的大小.剖析：这么复杂的数字经过计算比拟它们的大小，十分冗杂.我们观察就可发现A 和B 的因数是有关系的，假设借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给处置效果带来方便.解：设a=987654321，那么a+1=987654322; b=123456788， b+1=123456789，那么A=a 〔b+1〕=ab+a; B=〔a+1〕b=ab+b.而依据假定可知a>b 所以A>B.1. 以下各式计算正确的选项是〔〕〔A 〕()()2322623b a ab b a =-- 〔B 〕()()5321021106102⨯-=⨯⨯⨯-. 〔C 〕223222212b a b a b ab a --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 〔D 〕()6332b a ab -=-2. 假定992213y x y x y x n n m m =⋅++-，那么n m 43-的值为〔〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕63. 假定()()1532-+=++kx x m x x ，那么m k +的值为〔〕〔A 〕7- 〔B 〕5 〔C 〕2- 〔D 〕24. 化简()()()233232+---x x x 的结果是〔〕〔A 〕x 11 〔B 〕x 11- 〔C 〕12862+-x x 〔D 〕12-x5.如图是长10cm ，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4个边长为x cm 的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是〔〕〔A 〕()()x x 21026-- 〔B 〕()()x x x --106〔C 〕()()x x x 21026-- 〔D 〕()()x x x --10266. 假定72)43)((2++=+-cx bx x b ax ，那么()c b a -⨯+)(的值为〔〕〔A 〕36 〔B 〕72 〔C 〕108 〔D 〕7207. 032=-+a a ，那么()42+a a 的值是〔〕〔A 〕9 〔B 〕12- 〔C 〕15- 〔D 〕18-8. 将〔1〕中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图〔2〕所示.依据这两个图形的面积关系，以下式子成立的是〔〕〔A 〕()()22b a b a b a -=-+ 〔B 〕()2222b a b ab a +=++〔C 〕()2222b a b ab a -=+- 〔D 〕()222b a b a -=-9. 假定单项式m y x 26-与3131y x n -是同类项，那么这两个单项式的积是 . 10. 32-=ab ，那么()=---b ab b a ab 352 . 11. 假定212=++a a ，那么()()=+-a a 65 .12.观察以上等式：()1212112⨯+=+⨯，()2222222⨯+=+⨯，()3232332⨯+=+⨯，…… ，那么第n 个等式可以表示为．13. 一个多项式除以122-x ，商式为2-x ，余式为1-x 那么这个多项式是 .14. ()()q x x px x +-++3822展开后不含2x 与3x 的项，那么=p ，=q .15. 数学家发明了一个魔术盒，当恣意数对()b a ,进入其中时，会失掉一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中失掉数n ，再将数对()m n ,放入其中后，失掉的数是 .16. 1km 2的土地上，一年内从太阳失掉的能量相当于熄灭1.3×108 km 2煤所发生的能量，那么我国9.6×106km 2的土地上，一年内从太阳失掉的能量相当于熄灭煤千克.17. 计算：〔1〕3423332435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅c ab b a ab〔2〕()()()131312-++-+-x x x x x x 18. 先化简下面的代数式，再求值： )4()2)(2(a a a a -+-+，其中1+=πa .19. 解方程组：⎩⎨⎧-=-=-+123)4)(5(y x xy y x20. 下面是小明和小红的一段对话：小明说：〝我发现，关于代数式()()()x x x x x 1033231++-+-，当2008=x 和2009=x 时，值居然是相等的.〞小红说：〝不能够，关于不同的值，应该有不同的结果.〞在此效果中，你以为谁说的对呢？说明你的理由.21. ()()()y x x x A 31112---+=，12-+-=xy x B ，且B A 63+的值与x 有关，求y 的值.参考答案当堂检测1. D2. B3. A4. B5. C6. D7. A8. A家庭作业9. 642y x - 10. 21- 11. 2912. ()n n n n 222+=+13. 14223+-x x 14. 3=p ，1=q 15. 22m m -+ 16.1510248.1⨯17. 〔1〕3177910c b a 〔2〕12-x 18. 44a -，π4 19. ⎩⎨⎧==85y x 20. 原式化简的结果是2-，因此小明说的对.21. 96363--=+x xy B A 9)615(--=x y当15y-6=0，即52=y 时，其值与x 有关.。

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除同底数幂的乘法、幂的乘方PPT课件

(5)(－x)2 ·(－x)3 = (－x)5 ( √ )
(6)a2·a3－ a3·a2 = 0 ( √ )
(7)x3·y5=(xy)8 ( × ) 对于计算出错的题目，你能分
析出错的原因吗？试试看！
(8) x7+x7=x14 ( × )
练一练
判断对错：
（1）(am )n amn
（2）a2 • a5 a10
等于什么呢？
（2）(a ) a a a a (m是正整数) = · = = 例七2年已级知数2学x＋下5（y－BS3）＝0，m求24x·32y的m值． m
m+m
2m
= a7 ·a3 =a10
请你观察上述结果的底数与指数有何变化？你能 am·an=am+n (m,n都是正整数）
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数) （×）
指数
底数
103
=10×10×10
幂
3个10相乘
( 2 )10×10×10×10×10可以写成什么形式? 10×10×10×10×10=105
导入新课
问题引入我国国防科技大学成功研制的“天河二号”超
级计算机以每秒33.86千万亿（3.386×1016）次运算. 问：它工作103s可进行多少次运算？
一个正方体的棱长是102，则它的体积是
多x 少？
y
2x 5y
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数)
提醒：计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的还是属于底数的．
(5)(y2)3·y; 七年级数学下（BS）
＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
×(5×5×5 ×…×5)

北师大版七年级数学下册说课稿(含解析)：第一章整式的乘除4整式的乘法

北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第一章整式的乘除4整式的乘法一. 教材分析北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除4整式的乘法，这部分内容是学生在学习了整式的加减法之后，进一步深化对整式的运算法则的理解。

本节内容主要包括整式乘法的基本概念、运算法则以及具体的运算方法。

通过这部分的学习，使学生能够熟练掌握整式的乘法运算，为后续学习分式的乘除法和函数的初步概念打下基础。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，例如整式的加减法、有理数的乘除法等。

但是，对于整式的乘法，学生可能还存在着一定的困惑，例如整式乘法的运算法则、如何快速准确地进行计算等。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，用学生熟悉的生活实例引入整式的乘法，让学生在理解的基础上掌握整式的乘法运算。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解整式乘法的概念，掌握整式乘法的运算法则，能够熟练地进行整式的乘法运算。

2.过程与方法目标：通过合作交流、自主探究的学习过程，培养学生解决问题的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：整式乘法的概念、运算法则以及运算方法。

2.教学难点：整式乘法的运算方法，尤其是如何正确地合并同类项。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、自主探究法等，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和积极性。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等辅助教学，使学生更直观地理解整式的乘法运算。

六. 说教学过程1.引入新课：通过生活实例，引导学生思考如何计算两个多项式的乘积，激发学生的学习兴趣。

2.讲解整式乘法的概念和运算法则：引导学生通过合作交流、自主探究的方式，总结整式乘法的运算法则。

3.演示整式乘法的运算方法：通过多媒体课件或教学卡片，展示整式乘法的具体运算过程，让学生更直观地理解。

北师大版七年级数学下册《完全平方公式》整式的乘除PPT精品教学课件

2.平方差公式： (a+b) (a-b)=a2-b2
想一想：
（1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 ② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 ③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 ④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 ⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2= x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 ⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2 =x2-2xy +y2-z2 ⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 ⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]
p2+2p+.1
（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)= （3）（p－1)2=(p－1)(p－1)= （4）（m－2)2=(m－2)(m－2)=
m2+4m+.4 p2－2p+. 1 m2－4m. +4
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
(a＋b)2= a2+2ab+b2 .

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《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型
【知识梳理】
1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式；
2.解题方法：
配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。

初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。

.
【典型例题】
例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______
解析：①x ²若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ；
②若x ²为乘积二倍项，则加上的项是：（x ²6
）²=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x ²或-9．
例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655
解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552
=(1.2345+0.7655)2
=4
例3.若a，b为有理数，且2a2−2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2 =__________ 解析：原方程可变形为： (a−b)2+(a+2)2=0,
∴a=b=−2,
∴原式=-6
例4.已知x2+y2+2x−8y+17=0，求x2017+xy的值。

解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y−4)2=0 ,
∴ x=−1,y=4,,
∴原式=1-4=-3
例5.已知a2+b2−2a+4b+5=0，则a+b=____________
解析：原方程可变形为：(a−1)2+(b+2)2=0 ,
∴ a=1,b=−2,
∴原式=-1
例6.不论x取何数，代数式x2−6x+10的值均为（）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
解析：原式=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1,故选A
例7.不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x −4y +7的值（ A ）
A ．总不小于2
B ．总不小于7
C ．可为任何实数
D ．可能为负数
解析：原式=(x ²+2x+1)+（y ²-4y+4）+2=(x+1)²+(y-2)²+2≥2,故选A
例8.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。

求代数式y 2+4y +8的最小值。

解：y 2+4y +8=y 2+4y +4+4=(y +2)2+4,
∵(y +2)2≥0,∴(y +2)2+4≥4,
∴y 2+4y +8的最小值是4.
（1）求代数式m 2+m +1的最小值；
（2）求代数式4−x 2+4x 的最大值。

解析：材料阅读题型，考查完全平方公式、平方的非负性及数学理解能力，解题方法：配方法求最值。

（1）m 2+m +1=m 2+m +14+34=(m +12)2+34,
∵(m +12)2≥0,∴(m +12)2+34≥34
, ∴m 2+m +1的最小值是34.
（2）4−x 2+4x =−x 2+4x +4=−(x 2−4x +4)+8=−(x −2)2+8,
∵(x −2)2≥0,
∴−(x −2)2≤0 ,
∴−(x−2)2+8≤8,
∴4−x2+4x的最大值是8.
例9.（1）求多项式3x2−6x+2的最小值是多少，并写出对应的x的值；
（2）多项式−x2+2x+4的最大值，并写出对应的x的值；
（3）试说明：不管x和y取何值，多项式x2+2x+y2−4y+9总为正；
解析：考查完全平方公式的拓展和平方的非负性，解题方法是：配方法；
（1）3x2−6x+2=3x2−6x+3−1=3(x2−2x+1)−1=3(x−1)2−1，
∵(x−1)2≥0，
∴当x=1时，3x2−6x+2有最小值，最小值为-1；
（2）−x2+2x+4=−x2+2x−1+5=−(x2−2x+1)+5=−(x−1)2+5，
∵−(x−1)2≤0，
∴当x=1时，−x2+2x+4有最大值，最大值为5；
（3）x2+2x+y2−4y+9=(x2+2x+1)+(y2−4y+4)+4=(x+1)2+(y−2)2+4，∵(x+1)2≥0，(y−2)2≥0，
∴(x+1)2+(y−2)2+4≥4，
即x2+2x+y2−4y+9≥4，多项式的值永为正。

例10.阅读下列材料，并利用材料中所使用的方法解决问题。

在学习完全平方公式时老师提出这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2-2a+2最小值吗？小明作出如下的回答:
在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把他找出来,
a2-2a+2=a2-2·a·1+12+1=(a+1)2+1
因为完全平方式是恢复的，所以它一定大于等于0,余下的1为常数，所以有
a2-2a+2=(a+1)2+1≥1
所以a2-2a+2最小值是1。

当且仅当a-1=0即a=1时取得最小值。

其中我们将代数式a2-2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方。

利用配方求解下列问题:
（1）记S=(x+3)2+4,求S的最小值,并说明x取何之时S最小。

（2）已知a2+b2+6a-8b+25=0,求a,b的值。

（3）记T=a2+2ab+3b2+4b+5,求T的最小值，并且说明a,b取何值时T最小。

解析：
（1）∵(x+3)2≥0,∴S=(x+3)2+4≥4,当x=-3时，(x+3)2=0，S有最小值为4.
（2）配方法解题.原等式可变形为：(a2+6a+9)+(b2-8b+16)=0，即(a+3)2+(b-4)2=0,∵(a+3)2≥0,(b-4)2≥0，∴a+3=0，b-4=0，∴a=-3，b=4.
（3）配方法解题.T=(a2+2ab+b2)+2(b2+2b+1)+3=(a+b)2+2(b+1)2+3,∵(a+b)2≥0,(b+1)2≥0，∴T≥3,∴当a+b=0，b+1=0时，即a=b=-1时，T有最小值3.。