高中数学因式分解方法大全(十二种)

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因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样,现总结如下:
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x
x -2x –x
=x(x -2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b
解:a +4ab+4b
=(a+2b)
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析: 1 -3
7 2
2-21=-19
解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将
其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。

例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为
f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解:令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15
解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。

解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)春到四月,如火如荼,若诗似画,美到了极致,美到了令人心醉。

“你是一树一树的花开,是燕,在梁间呢喃,你是爱,是暖,是希望,你是人间的四月天”。

喜欢才女林徽因歌颂四月之美的这首《你是人间的四月天》,她将四月的万种风情描摹得淋漓尽致,读来如沐春风如饮甘露。

四月之美,美在清明。

时光刚刚跨入四月的门槛,清明就如期而至,“清明时节雨纷纷,路上行人欲断魂。

”清明是一种传承了数千年的古老文化,是一场活着的人祭奠逝去的祖先的亲情style。

“风吹旷野纸钱飞,古墓垒垒春草绿”,每到清明,人们不会忘记在天堂的祖先,都会放下手中繁忙的工作,即便远离故土,也会怀揣湿漉漉的心事回到乡下,挑拣一个最宜祭祀的日子,赶往祖先墓地,虔诚地献上一捧鲜花,点上几支香火,烧上一些纸钱,将祖先的坟墓装扮一新,以表达对已逝亲人的思念和祝福。

清明时节,最容易勾起与已逝亲人一起度过的那些美好岁月的回忆,让人深刻体悟到亲情的可贵。

于是,亲情跨越了时空,泪水模糊了双眼。

在莹莹泪光中,就让活着的人好好活着,让已经逝去的人在天堂感到欣慰。

四月之美,美在祭祖的哀思,美在人间传递着的温情。

四月之美,美在谷雨。

“清明早、立夏迟,谷雨种棉正当时”,清明过后,雨水增多,有利于谷类作物的生长。

因此,谷雨是春播春种的关键时期。

在乡间,一到谷雨时节,村民们便忙了起来,房前屋后,田间地头,处处是村民们忙碌的身影,处处嘹亮起劳动的号角,处处律动着劳作的喜悦。

他们将生活的希望播撒,将幸福的种子栽种,早出晚归,乐而不疲,笑容满面。

他们洒下的是一粒粒咸涩的汗水,成就的将是整个秋天旷野上丰硕的果实。

累了,他们举头仰
望绽开在湛蓝天空上多情的太阳;倦了,他们想一想等待在前方的耀眼金秋。

春风,贴着他们的身影吹过,将灼热的
期盼和梦想带向遥远、遥远……他们劳动的姿势,仿佛在大地上书写一首生活的真爱长歌;他们奔忙的步伐,舞动出
四月美妙和谐的韵律;他们洋溢在嘴角的笑意,仿佛闪烁在阳光下的一朵朵桃花。

四月之美,美在他们的不辍劳作,
美在他们孜孜不倦地创造甜蜜生活的那颗淳朴心灵。

四月之美,美在花繁草盛。

“黄四娘家花满蹊,千朵万朵压枝低。

”四月,千芳竞放,姹紫嫣红,你不让我我不让你,
争相斗妍,好不热闹。

桃花,在多情春风的表白下双颊绯红,欲语还羞;梨花,一束束一簇簇,洋洋洒洒,热烈、雪
白而纯情;樱花,怀揣粉红的梦想,轻轻摇落一地的深情。

地上的小草也不敢示弱,纷纷抬起挂着剔透露珠的绿色脑袋,在阳光的照耀下折射出诱人的光泽。

四月的小草,已不再是初春时那样遥看近却无了,山坡、谷底、河畔、溪边,到处一派翠绿,尽情释放着勃勃的生机,大地好像悄悄铺上了一层绿色的地毯。

四月,无论伫立在哪个位置,抬眼,
花枝摇曳春风中,群芳嫣然若笑脸;闭眼,馥郁的芳香扑面而来,沁人心脾,直钻心底;低头,满目尽是绿色小草在
招摇。

四月之美,美在百花盛开,美在绿草如茵。

最美人间四月天。

四月之美,美在娇燕呢喃着在天空画出的一道道优美弧线;四月之美,美在败落的花朵已经悄然被
青涩的果取代;四月之美,美在孩子们放风筝时撒落在草地上的一串串清脆的笑声……就让我们在这人间最美的四月天,抛开烦恼和忧愁,紧跟春天的步伐,用心感悟尘世的万般美景,用勤劳的双手去创造更加美好的未来。

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