石墨烯理论(中)

石墨烯理论（中）
值得注意，Dirac点必须是偶数个，这时Hall电导才会呈整数量子化；如果有奇数个Dirac 点，则会出现半整数量子化，而具有时间反演对称性的晶格系统保证了Dirac点是成对出现（Nielssen提出的“费米子加倍定理”）。

*费米子加倍定理：一个局域自由费米子晶格系统，若其作用量具有手征性以及平移对称性则费米子数会加倍。

我们不妨先考察量子场论中自由费米子作用量
现在将d维空间连续费米子场引入到离散晶格系统（表示晶格格点），作用量变为
为晶格常数，为晶格键方向上的单位矢量。

计算动量空间上系统的Green函数
动量限制在Brillouin区中离散化，在离散取值附近展开Green函数，
Green函数的极点代表粒子激发，我们会发现只有在Brillouin区顶点上的位置时Green函数才会得到与连续时候一致，并且这时候发现Brillouin区并不只包含一个费米子极点，计算每个顶点上对应的每个动量分量都会得到一个费米子传播函数，譬如一维晶格
Brillouin区上有两个顶点上的费米子（注意这时符号改变，正好会消除手征反常）；四维晶格格点中，动量分量取值
，共十六个费米子。

对于d维空间晶格，则有个费米子。

因此在理想离散晶格中费米子数目成倍增加。

2.石墨烯中的量子自旋Hall效应
最初量子自旋Hall效应的构造是C.L.Kane和Mele的从石墨烯结构引入了次邻近格点间电子的内禀自旋轨道耦合，和的Dirac点因为自旋轨道耦合会打开体能隙，此时体态就变成了绝缘体;假设自旋守恒，Kane-Mele模型为
不难发现这个模型正是前面讨论过的Haldane模型的叠加，其中自旋向上和自旋向下的电子分别处于一个Haldane模型晶格中，跃迁矩阵元互为共轭。

以为基，则哈密顿量是两个自旋部分的直和
计算半有限系统会出现两条手征边缘态，穿过费米能级的四条边缘态，分别代表两个边缘上的上下自旋。

石墨烯系统里的自旋轨道耦合作用是个复杂的事情，一方面碳原子质量数小，因此自旋耦合轨道作用比较弱。

另一方面，多体格点系统里面，价电子自旋可以和本格点(on-site)碳原子，邻近原子间的价键轨道乃至次邻近的价键轨道动量进行耦合。

一般我们关心的是轨道上价电子输运性质，尤其是在Dirac点处低能电子受到这种弱的自旋轨道耦合作用影响产生的不同的电子结构性质;在Dirac点处的零能态因为时间反演对称性是Krames二重简并的。

在
石墨烯平面系统中，价层原子轨道是形成的轨道，形成碳骨架的键是杂化轨道。

成分与三个成分之间有能量(键能)，还有价键轨道的能量。

紧束缚模型的哈密顿量里面的电子跃迁能量自然也需要考虑这些不同原子轨道、价键轨道间的跃迁能量。

从Thomas自旋轨道耦合项
出发，由于自旋轨道耦合比较弱，我们可以将自旋耦合轨道作用项视为微扰项
，可以在一个Brillouin区中考察Wannie表象下基态波函数完备集，两个顶点处也即Ferimi面附近的四重（包含了自旋简并）零能简并的轨道波函数
（即A,B两个碳原子上的原子轨道组合成）与其他不与轨道简并的波函数（）进行简并微扰计算，到二级近似，
当然也可以用Bloch表象波函数进行近似展开，那就是Dresselhaus计算石墨系统自旋耦合作用所采用的办法。

算出来在点的微扰矩阵元为：
写出系统的低能有效自旋轨道耦合作用的哈密顿量
这是个很有意思的结果，第一项是平庸的对角项耦合能量，可以忽略;微扰的一级项是较为常见的Rashba自旋轨道耦合项，来源于电子自旋与相应原子轨道动量耦合，在无外场时候这个项不重要；微扰二级项是所谓内禀自旋耦合，由晶格对称性与碳原子轨道几何性质决定。

三个类似“自旋”的Pauli矩阵算符分别代表着电子真实自旋、石墨烯晶格结构（与A和B 原子轨道之间的耦合轨道运动自由度相关）的晶格赝自旋以及二重简并的谷自由度赝
自旋（Brillouin区中包含和两个对称性不等价的简并能谷——二重谷简并) 。

石
墨烯中的这两个谷由时间反演对称性相联系，这与电子自旋十分类似，所以石墨烯的谷自由度可视为赝自旋）以及真实的电子自旋，从构造上可以明显看出这个作用由晶格对称性和碳原子轨道几何性质所决定;这个项的出现在物理上的原因是轨道轨道之间混合的结果，换言之单纯的原子轨道混合对此没什么贡献，轨道混合才有净贡献，这一点也从Haldane模型的对这个内禀自旋轨道耦合项写法中间接体现出来:跃迁格点间的两个
键的单位矢量(从格点指向相邻的格点)叉乘后再和轨道上的电子自旋矢量点乘
我们说过这个内禀自旋轨道耦合将打开大小的能隙，这个能隙有多大？具体是需要去
像上面那样微扰计算。

简便地估算我们可以选择简化的波函数。

前面第一节在二次量子化中对A，B原子的轨道进行叠加得到波函数，我们采用Nambu表象：。

是四分量波函数，这里我们不妨将之视为模恒定的包络函数；是A,B原子的处的
波函数的模函数：
为Brillouin区中等价于或者的另外三个顶点位置处的晶格动量，是从A到B格点的基矢。

这样微扰矩阵元也可以得到相同结果。

简单地引入晶格间的Coulomb作用能
，这时粗略估计得到能隙大小约为
上面的估算并没有考虑电子间的长程Coulomb相互作用，在石墨烯中进一步计入Coulomb 相互作用需要进行微扰计算。

现考虑无掺杂纯石墨烯晶格系统中的理想二维电子气体，引入Coulomb相互作用后变会变成某种Fermi液体
系统哈密顿量为
其中是电子密度算符
石墨烯中的二维Coulomb相互作用电子液体理论和QED的情形很不同。

由于
接近光速，因此认为Coulomb相互作用推迟效应很小几乎是瞬时。

而不想QED中光子是三维空间中传播，二维电子系统相互作用是限制于二维空间的，从哈密顿量可知Coulomb作用会破坏Lorentz对称。

正如同QED中l哈密顿量的两个参数是
，二维电子系统理论也依赖于两个参数，并且在标度变化
下不变。

以RG（重整化群）的语言来说，Coumlomb 作用是“临界变量”，与动能有关而不随标度变换改变。

在QED中的电磁作用耦合常数
，在石墨烯二维电子系统中，能标下的耦合常数
则是。

人们通常对Green函数微扰计算，对相互作用进行自能修正。

在Hartree-Fock近似下计算自能图，得到HF自能修正
，
是动量截断，依据Dirac方程的低能有效范围而设定。

我们看到当，能谱将是对数发散的，因为二维电子系统的Coulomb作用是长程的因此有必要引入屏蔽来避免发散，我们在无规相位近似(RPA)下计算出极化函数是
因此在情况下，零频极化率将消失，得到动态介电函数后将抵消掉原本真空Coulomb作用的发散源；这就是耦合常数重整化后得到计入真空极化屏
蔽的耦合常数：。

以上是对于小耦合常数情形，而上面得到的结果有更深的含义。

原本长程Coulomb相互作
用经过屏蔽后变成短程作用，Thomas-Fermi屏蔽长度为，为电子数密度，可以看到在二维电子系统中屏蔽长度很小。

弱的相互作用微扰过程中是稳定不会发散的，因此能谱在重整化群的标度变换
下是不变的，重整化流方程：
重整化群方程依赖于重整化参数的标度，依据原来未重整化的作用顶点
，我们可单单以来表征标度特征。

在长波极限很小接近为零，从方程可
知此即为重整化流的不动点（即重整化参数的鞍点）。

变小，微扰性质将更好。

这意味着即使在强关联作用情形，系统依旧会流向长波微扰极限。

这告诉人们是临界无关的。

因此一定动量截断，小的色散关系将由上面重整化群方程给出，得到关于Fermi速度在
下的对数重整化。

临界无关的含有对数修正项且在低能标下依然存在，这时我们的系统在低能情形变成一种临界Fermi液体。

在能标截断下有，，解重整化方程得到重整化参数。

该结果与大N极
限展开（N是电子规范自由度，类似“味”）得到的结果相同。

我们把这些方法应用到自旋耦合轨道能的修正上去。

下面这个就是对具有自旋轨道耦合顶点项的传播子加上Coulomb作用的正规自能1PI图：
重整化流方程：
在能标的重整化为，选定一定
截断有效作用，得到重整化自旋轨道耦合能
，比较可知引入电子间相互作用后将会更明显地拉大能隙。

有界石墨烯晶格系统会产生两条无能隙螺旋边缘态，它们在边界上会形成一些没有“背散射”的导电通道（也就是不受杂质散射影响的理想导体）。

这是由于体态的非平庸拓扑性保护而
对各种非磁性杂质具有鲁棒性。

考虑由于杂质导致的Krames对,之间的散射矩阵元。

对1/2自旋的电子时间反演算符为
，其中是取复共轭操作算符，是自旋投影算符，且有。

非磁性杂质散射势满足，，Krames对之间，
，
即对于互为时间反演共轭的两个边缘态在保持时间反演对称的散射势下，其跃迁矩阵元为零。

也可以用Büttiker-Floquet 散射矩阵理论描述：考虑向左、向右运动的边缘态组成的入射态以及出射态, 时间反演对称将联系入射态和出射态，散射矩阵为，因此推得
时间反演对称性使得, 这么一来，描述背向散射的矩阵元消失。

因此输运中是完美地穿过势垒，不存在非弹性背向散射。

很重要的一点情况是时间反演对称性依旧存在，而且在极化情况下自旋在方向是守恒的，也就是是个好量子数。

而当加入外电场(实际上材料也往往存在破坏自旋守恒的因素，譬如应变导致结构反演对称受破坏)，那么这时候一级作用——Rashba自旋轨道耦合也就起很大影响。

而由于不是守恒的好量子数，也就无法定义自旋流了也就不再有量子自旋Hall 电导，因而不再处于QSH相。

然而值得庆幸的是，Rashba耦合项只是破坏空间反演对称性并没破坏时间反演对称性，那么作为边缘态出现的一对无质量Dirac费米子依旧会保留下来(这固然需要依据情况适当调节Fermi面与边缘态相交)。

当Rashba耦合能增大到比内禀
耦合能大时，这时候边缘态不再是无能隙的，即打开了整个系统的能隙，这是
意味着这是个量子相变临界点。

相变后变成弱的时间反演对称保护的二维非平庸拓扑绝缘体相，只不过自旋不守恒而失去QSH相。

当系统进入拓扑平庸相的参数区，边缘态也不再具有鲁棒性(从能谱中可看到，当Fermi 面移动不与边缘态谱线相交时候就不再有无质量Dirac费米子出现，杂质的干扰可以把这种边缘态可以拉进体态中)。

综上所述，我们明白了具有时间反演对称性的二维系统绝缘体有两类:拓扑非平庸相和拓扑平庸的普通绝缘体相。

当然，要判断系统处于何种相就要计算自旋陈数之差，也就是拓扑不变量。

当哈密顿量存在时间反演对称性，系统不存在Hall电流而Hall电导为零。

因此不论系统是否具有其他的拓扑性质第一陈数都等于零
，这样就不能用第一陈数来对具有时间反演对称性的系统进行拓扑分类。

然而量子自旋Hall系统却具有净自旋流输运：，自旋Hall电
导为：。

于2006年，Liang Fu和Kane提出了用时间反演极化定义拓扑数的方法来刻画系统的拓扑序。

他们证明了拓扑数的数值等于系统在自旋泵送周期过程
中，自旋反演极化在泵送起始点和终点上的差值，也就是自旋陈数，故而。

按照他们提出的方法，所有时间反演不变的二维绝缘体系统可以用数分成两类：一类是普通绝缘体对应；另一类是拓扑绝缘体对应。

拓扑数也也可以按照类似计算陈数的方法，通过布里渊区中的贝里联络和贝里曲率进行计算。

系统存在时间反演对称性，对二维系统的Brillouin区进行格点化，具有时间反演对称性的Brillouin区可以分解为（深色部分）和（浅色部分）两个部分（蓝色圆点是时间反演不变点）；和中的波函数互为时间反演态，这两部分区域的波函数可以
通过时间反演算符联系。

因此我们可以只讨论半个Brillouin区
Berry联络以及曲率如前面所述，拓扑数写为
若波函数在中光滑连续，由Stokes定理，计算出来自然为零。

而因为系统的波函数具有时间反演约束条件：；具有非平庸拓扑性质的系统，不能使得这两个条件同时满足。

这时候波函数在中不连续有奇点，也就如上面提到的Pfaffian零点之类。

在均匀离散的Brillouin区中Berry曲率和联络为
，是离散Brillouin区的倒格矢方向上相邻格点间的距离矢量，的取值限制在。

那么可以定义一个动量的整数函数
数为中这些整数求和：
对波函数取不同的规范，整数场的分布会有所改变，但是在半个布里渊区中，
之和的奇偶性与波函数的规范无关。

此外，Kane和Mele进一步提出通过数波函数的Paffian丛上的零点来得到拓扑数来表征时间反演不变系统拓扑性质的方法。

Kane和Mele引入了一个矩阵
,标记着电子占据的能带数。

易证是个反对称矩阵，对此我们可以计算其Paffian：。

我们从前面的讨论知道了Brillouin区里头的时间反演对称的Dirac点直接关系着系统中的Krames简并对，决定着拓扑相的强弱；而从
的定义出发，其零点反映Fermi面与边缘态相交的这些点。

若在Brillouin区中的零点分布是离散的，那么拓朴数是半个Brillouin区的零点个数奇偶性。

而若在Brillouin区中的零点分布是连续带，那么系统的拓扑数是沿着半个Brillouin区的边界上符号改变次数的一半值的奇偶性。

从自旋相反陈数相减的形式来构造积分可统一表达两种情况的数：
路径沿着半个Brillouin区的边界（这里也相当于半个倒格子原胞边界），引入收
敛因子避免积分发散。

图中分别是零点离散和连续的分布。

(a)中的两个离散零点为，(b)中红色连续线为零点线。

为其余的时间反演对称点。

分类思想简单地理解就是边缘态上无能隙的时间反演共轭对——Krames对数目的奇偶
数。

存在一个Krames对时，非磁性杂质不会使得两个Krames简并态耦合，也就不会有背向散射，因此无能隙边缘态受到时间反演对称性保护。

若存在两个Krames对，背向散射可
发生在这两个对之间，因此导致它们同时湮灭而破坏边缘态。

然而我们要注意的是，不
变量的确可以刻画非平庸拓扑序，然而却没办法区分其拓扑程度的强弱。

从以上讨论我们看到QSH 是自旋守恒的对称性以及电荷守恒对称性保护的拓扑序（实际上QSH相态并不需要时间反演对称性也能形成，只要自旋是极化守恒的），而对于不守恒的拓扑绝缘体
相则是时间反演对称以及电荷守恒对称性保护拓扑序，但我们却根本没办法通过数来分
类这两种不同的对称性保护的拓扑序。

对于拓扑绝缘体的边缘态是受时间反演对称性保护的，它不是真正严格的拓扑序的（鲁棒性意义下）因为它只能对不破坏相应对称性的局部微扰下对无能隙费米子激发态进行保护；而量子Hall效应（IQHE，QSH）的边缘态则是更强的投影对称群保护的拓扑序/量子序（两条边缘通道实际上就是一种荷守恒的一维自旋液体）是真正意义上的拓扑：对一切包括甚至能破坏所有对称性的局部微扰（例如非磁性杂质）具有鲁棒性（当然，对于整体作用如前面说的为了引入Rashba项加入外电场造成投影不守恒则无法保护了）。

前者是短程量子纠缠形成的序，而后者——真正拓扑的量子序则是长程量子纠缠的造就的结果。

此外，对于二次量子化体系下描述格点系统的参数，其实来源并非容易得到，一般需要通过第一性原理计算具体材料的电子态密度以得到跃迁能和耦合能等等参数的合理大小。

通常人们喜欢用赝势法，利用VASP在计算机上计算。

就这一点，计算上表明这种石墨烯系统要想能实现量子自旋Hall效应，温度应该在左右这样的苛刻条件。

而引入Rashba自旋轨道耦合则不能产生QSH相，但可以实现非平庸的拓扑绝缘体相，不过对于石墨烯来说加很大的门电压才可能实现因此也是一种停留于理论的条件。

正因为碳原子质量太小，所以
需要寻找重原子产生强自旋轨道耦合作用，这就是通过后来的等等材料造出量子阱实行二维拓扑绝缘体。

这种材料的目前并没有实现QSH相而仅仅是拓扑绝缘体相，虽然理论上预言其QSH相可能性存在——BHZ模型：材料具有倒转能带结构，通过增
加其厚度达到一个临界值系统会发生Lifshitz相变从绝缘体态闭合能隙变成半金属相，当再次通过自旋耦合机制打开能隙的时候就实现QSH相态了。

这个过程中两条交叉的边缘态谱线就从体态中伸展出来跨过能隙与Fermi面再次相交，产生的QSH电导就是这两条边缘态通道贡献的，因此对材料宽度十分敏感。

当加上磁场（或磁性杂质）后时间反演破坏并使得边缘通道中出现两种上下自旋之间的背向散射时不守恒便破坏QSH态，但若磁场是沿着方向使得自旋方向依旧守恒则不破坏QSH态。

而目前实验上加上磁场后发现破坏两边
缘通道的量子化Hall电导，这就说明了制备出来的量子阱依旧只是拓扑绝缘体而非
实现QSH态。

Kane，Mele以及Haldane等人的工作很好地从理论上简明阐述了系统的拓非平庸扑绝缘体相产生的关键就是自旋轨道耦合机制。

不变量这个概念还可以推广到时间反演不变的三维系统。

这时需要用4个拓扑数1
个强拓扑数3个弱拓扑数来描述系统的拓扑性质。

按照这种分类方法三维
时间反演不变绝缘体系统可以分为平凡的普通绝缘体弱拓扑绝缘体和强拓扑绝缘体三类。

其中强拓扑绝缘体由于在所有方向的表面上都有Dirac色散形式的表面态。

下面就两个有代表性的情况进行讨论
三维拓扑绝缘体表面中的晶格动量张成二维Brillouin区，其中有四个时间反演对称点，这些点上形成的表面态必为Krames简并态。

远离这些高对称点
时，自旋轨道耦合将解除简并；这些Krames点也形成二维能带中的Dirac点结构。

最为容易想到的三维拓扑绝缘体的构造方式是通过堆垒二维的拓扑绝缘体材料形成三维材，各层的螺旋边缘态变成具有各向异性的表面态，从而与三位整数量子Hall态结构相似。

在纵向堆叠，层之间弱耦合形成Ferimi面为
一个独立的表面带与Fermi面（包含了四个对称点）相交，出现了特殊通道。

这种类型被称为弱拓扑绝缘体。

对应的四个对称点中，决定于边缘态中Krames点个数的奇偶性；描述的是层的取向。

这种系统的表面态没有时间反演对称性保护。

则是强拓扑绝缘体，不能由二维拓扑绝缘体堆成。

Fermi面与边缘态形成的Fermi
环包含奇数个Krames简并的Dirac点，例如下面包含一个。

在强拓扑绝缘体的表面上会形成一个具有通道的二维拓扑金属态，其Fermi面上每个点都有上下自旋分量，且表面态不出现自旋简并。

由于时间反演对称性，动量和态的自旋相反，在Fermi环附近自旋方向随动量旋转。

电子绕着Fermi环转得到Berry相位为，而根据Nielssen费米子加倍定理，具有时间反演对称的孤立二维晶格系统必须有偶数个Dirac点，也即不可能有Berry相位。

实际上，三维拓扑绝缘体的另一个Dirac就在对面的表面上。

所以这种拓扑绝缘金属相相当于普通金属系统的一半（二维半金属）。

这里我们顺便粗略提及一下Weyl半金属这另一种新拓扑相，它相当于三维石墨烯系统。

而与石墨烯不同的是Weyl半金属同时具有时间空间反演对称性。

高对称点附近具有三维的
Dirac线性能谱，低能激发就是满足Weyl方程的Weyl费米子，且由于手征守恒能态还对平移对称的作用势具有鲁棒性不受其背向散射，所以只有同时耦合作用到一对手征性相反的Weyl费米子才会破坏这种能态从而使得能谱打开能隙。

我们知道在3+1维时空
里的无质量Dirac方程（Weyl方程）的四分量Dirac旋量解可以分解为两个二分量手征Weyl
旋量。

通过矩阵，可以得到左右手征Weyl费米子：，
（这两个算符即为手征算符）。

值得注意，二维空间中石墨烯低能激发是零质量Dirac费米子并不是Weyl费米子（虽然都是无质量费米子），因为二维的无质量Dirac方程里面，Feynman符号是
，方程写成矩阵就是
矩阵只有，无法定义出Lorentz不变的（严格来说，Weyl 表示是的对角表示，Clifford代数只有在奇数空间维度才有一个有定义的），也
给不出自旋投影算符和手征变换算符，因此群表示上这两个是不同的概念。

不过石墨烯中的无质量Dirac费米子可以定义螺旋度，对于边缘态因为时间反演对称也可以给出手征性，这些在前面已经提过。

在石墨烯中一个Brillouin区里面有两个Dirac点，加上自旋简并一共四个Weyl费米子态；而强拓扑绝缘体表面只有一个Dirac点，是Krames简并的。

因此强拓扑绝缘体又相当于1/4石墨烯。