静态场及其边值问题的解

且在边界面S 上有
0 S 1 S 2
或
S
0
S1
或
0 n 0 n
1 2 S S n n 2 S2 n
S
0 0
0
S1
1
S1
2
0,
1 S2 n
S2
第6章 静态场的边值问题 由格林第一恒等式
7
V ( )dV S n dS 0 可得到 ( 0 ) 2 dV 0 dS 0 V S n
h
h
q
R
R
q q, h h
q 1 1 ( ) （z 0 ） 4π R R
z 0
R R 因 z = 0 时，
0
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
第6章 静态场的边值问题 上半空间( z≥0 ）的电位函数
15
q 1 1 ( x, y , z ) [ ] 2 2 2 2 2 2 4π x y ( z h) x y ( z h)
第6章 静态场的边值问题
1
第6章 静态场边值问题的解
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程
本节内容
6.1 边值问题的类型 6.2 唯一性定理
第6章 静态场的边值问题 6.1 边值问题的类型 第一类边值问题（或狄里赫利问题） 已知场域边界面S 上的位函数值，即
2
V
|S f1 ( S )
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
第6章 静态场的边值问题 6.3.1 镜像法的基本原理 1. 问题的提出 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
l 及 l看作是分别处在传输线轴线上，采用镜像法
求解。镜像电荷的分布如图所示。地面上部空间任一点P的电位
就等于这四个线电荷所产生的电位之和，即
l r1 ' l r2 ln ln 2π r1 2π r2 '
导线1的电位 1
第6章 静态场的边值问题
l a 2 4h 2 ln 1 ln 20 a
该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情
况下，将边界面移去，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换 成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的 一种间接求解法。
第6章 静态场的边值问题 3. 镜像法的理论基础—— 解的唯一性定理
12
在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
第6章 静态场的边值问题
8
6.3
镜像法
本节内容
非均匀感应电荷
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。 结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。 问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
第6章 静态场的边值问题
11
2. 镜像法的原理
用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代
d a 2 4h 2
d a
ln
l 20
ln
l d 2 4h 2 a a d 2 4h 2 ln ln d 2h 2hd 20
第6章 静态场的边值问题
19
l 2hd ln 1 2 2 2 20 a d 4 h
第6章 静态场的边值问题 周期边界条件 自然边界条件 （无界空间）
3



( 2 π)
lim r 有限值
r

2π
衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件，如
r
S
1 2 1 2 , 1 2 n n
1 2
1
2
第6章 静态场的边值问题 例：
d1
R
q d2
2
R3 R2
q 1 1 1 1 ( ) 电位函数 4π R R1 R2 R3
d2
q2
d1
d1
第6章 静态场的边值问题
21
例 6.3.1 一个点电荷 q与无限大导体平面距离为 d，如果把它
移至无穷远处，需要做多少功？
解 ：移动电荷 q 时，外力需要克服 电场力做功，而电荷q受的电场力来源于 导体板上的感应电荷。可以先求电荷 q 移至无穷远时电场力所做的功。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位臵及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
第6章 静态场的边值问题
14
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
h
镜像电荷 电位函数
x q
0 =∞
d
-d
q'
由镜像法，感应电荷可以用像电荷 q q替代。当电荷q 移 至x时，像电荷 q应位于－x，则像电荷产生的电场强度 q We qE ( x) dx E ( x) ex 2 d 4π 0 (2 x) 2 2 q 1 q dx q2 2 4π 0 d (2 x) 16π 0 d Wo We 16π 0 d
23
( z 0)
计算电介质 2 中的电位时，用位 于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面 上的极化电荷，并把整个空间看作充 满介电常数为 2的均匀介质，如图 3 所示。介质2中的电位为
z
q q
2 h 2
R
x
P
图3 介质2的镜像电荷
1 q q 2 ( x, y , z ) 4π 2 x 2 y 2 ( z h)2
qh 2 π rdrd q 2 2 32 0 0 2π (r h )
第6章 静态场的边值问题 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
16
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
第二类边值问题（或纽曼问题） 已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（或混合边值问题） 面S2 上则已知位函数的法向导数值，即 |S1 f1 ( S1 )、 |S2 f 2 ( S2 ) n
S
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面S1 上的位函数值，而另一部分边界

2
2hd l ln 0 a d 2 4h 2
第6章 静态场的边值问题 3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
20
如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。 对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 显然，q1 对平面 2 以及 q2 对平 面 1 均不能满足边界条件。 只有在(－d1, －d2 )处再设臵一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。 q1 d2 d2 q3 d1 R1 1
第6章 静态场的边值问题 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像
22
z
1
问题：如图 1 所示，介电常数分别为 1 和 2 的两种不同电介质的分界面是无限 大平面，在电介质 1 中有一个点电荷q ， 距分界平面为h，求空间各点的电位 。
特点：在点电荷的电场作用下，电介质产 生极化，在介质分界面上形成极化电荷分 布。此时，空间中任一点的电场由点电荷 与极化电荷共同产生。 分析方法：计算电介质 1 中的电位时，用 位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上 的极化电荷，并把整个空间看作充满介电 常数为 1 的均匀介质，如图2所示。
变的前提条件下，根据唯一性定理，只要找出的解答满足在同一 给定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且
是唯一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多
种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。
第6章 静态场的边值问题 4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定
13
像电荷的个数、位臵及其电量大小——“三要素” 。
q
h
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
x
z
1 h 1 h
q R R
q
P
x
图2 介质1的镜像电荷
第6章 静态场的边值问题 介质1中的电位为
1 q q' 1 ( x, y, z ) 2 2 2 2 41 x 2 y 2 z h x y z h
2 2 d a 4h d a
18
l 20
2h ln ln a