高中数学必修二《圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征》优秀教学设计
人教课标版高中数学必修2《圆柱、圆锥、圆台、球》教学设计
1．1 空间几何体的结构1．1．3 圆柱、圆锥、圆台、球(张伟)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解圆柱、圆锥、球的定义，培养空间想象能力，体会立体几何的特点．（二）学习目标1．通过实例，了解圆柱、圆锥、球的定义和性质．2．会识别圆柱、圆锥的展开图．3．会处理和圆柱、圆锥、球的截面有关的简单问题．（三）学习重点1．圆柱、圆锥、球的概念．2．圆柱、圆锥、球的性质．（四）学习难点1．利用圆柱、圆锥的展开图处理最短路径问题．2．球的截面．3．棱柱、棱锥的外接球和内切球问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第4页至第6页，填空：圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线．圆台的定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面与底面之间的部分．旋转轴叫做圆台的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆台侧面的母线．球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称球．半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径．大家观察课本第2页的图，结合定义，找出其中的圆柱、圆锥、圆台、球．大家举例说明，生活中那些物体含有圆柱、圆锥、圆台、球？2．预习自测（1）圆柱的轴截面一定为（）A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形【答案】A．【知识点】圆柱的定义【解题过程】圆柱的轴截面不一定为正方形，B错；但一定为矩形【思路点拨】以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．（2）以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球【答案】C．【知识点】圆台的定义【解题过程】圆台的有轴、底面、侧面、母线，本题中垂直于底边的腰所在的直线是圆台的轴线，另一条腰是母线，故选C．【思路点拨】空间想象出由一平面图形得到的旋转体．（3）球的截面一定是（）A．圆B．圆或三角形C．圆或矩形D．圆或椭圆【答案】A．【知识点】球的定义【解题过程】球的任一截面一定是圆，故选A．【思路点拨】空间想象出球的截面．(二)课堂设计1．知识回顾：上节课我们主要学习了棱锥和棱台．我们一起回忆一下：（1）有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥．（2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．（3）底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥叫正棱锥．（4）由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．2．问题探究探究一认识圆柱、圆锥、圆台，球★我们可以这样认识圆柱、圆锥、圆台：静态的观点：底面为圆，侧面是曲面（圆锥的顶点可以看作退化的点圆）．动态的观点：平面图形绕某条边旋转形成的面围成的旋转体．OO圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱'圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO．OO圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台'球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O●活动①性质分析通过定义，我们分析一下圆柱、圆锥、圆台，球的性质．类比上节课我们对棱锥和棱台的分析，大家可以用表格的形式来比较．大家讨论完毕之后，老师总结如下：结构特征圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球底面两底面是平行且半径相等的圆圆两底面是平行但半径不相等的圆无侧面展开图矩形扇形扇环不可展开母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点无【设计意图】类比棱柱、棱锥、棱台，培养对知识的归纳整理能力．●活动②辨析概念请大家判断正误：（1）以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．（2）圆柱、圆锥、圆台都有两个底面．（3）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．（4）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径．分析与解答：根据圆锥的定义，（1）正确；圆锥仅有一个底面，所以（2）不正确以直角梯形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆台，所以（3）不正确圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以（4）不正确大家做对了吗？【设计意图】通过概念辨析，加深对概念内涵与外延的理解，突破重点．●活动③简单的组合体问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？现实生活中的物体大多是简单组合体．简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．将下列几何体按结构特征分类填空：（1）集装箱；（2）运油车的油罐；（3）排球；（4）羽毛球；（5）魔方；（6）金字塔；（12）三棱镜；（8）滤纸卷成的漏斗；（9）量筒；（10）量杯；（11）地球；一桶方便面；（13）一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体有_____________________________答案：棱柱结构：（1）、（5）、（7）棱锥结构：（6）圆柱结构：（2）、（9）圆锥结构：（8）棱台结构：（13）圆台结构：（10）、（12）球结构：（3）、（11）简单组合体：（4）请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．观察上图，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体．它们之间具有怎样的关系？让学生仔细观察上图，教师适当时候再提示．图中的三个组合体分别代表了不同形式．学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示．讨论结果总结：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成．图（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体．图（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图（3）是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体．【设计意图】通过生活中的数学模型，对抽象的数学概念有直观的理解． 探究二 多面体和旋转体的整体比较★●活动① 理清我们学过的多面体和旋转体的关系⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧球圆台圆锥圆柱旋转体棱台棱锥棱柱多面体简单几何体【设计意图】通过复习，加深对多面体和旋转体的认识．●活动② 截面问题请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？ 请同学积极思考，发言对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验．对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状． 探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的 教师总结如下：（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形．（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形．（3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行． （4）截面不能是直角梯形．（5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形．（6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等． （7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形． 截面图形如图12中各图所示：【设计意图】培养立体几何的空间想象能力，培养学生联想、尝试、归纳，构造的能力．活动③巩固基础，检查反馈例1 圆台的上底面和下底面是（）A．全等的圆B．不全等的圆C．全等的多边形D．相似的多边形【知识点】棱台和圆台的区别．【数学思想】【解题过程】由圆台的定义可知B正确．【思路点拨】对比定义逐一分析即可．【答案】B．同类训练圆锥的轴截面一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．圆D．直角三角形【知识点】圆锥的定义．【数学思想】【解题过程】圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线为其两腰．【思路点拨】准确理解圆锥定义．【答案】A．例2 下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确的有（）个．A．1B．2 C．3 D．4【知识点】多面体和旋转体的综合问题．【数学思想】【解题过程】①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，①错误．②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，②错误．③中底面不一定是正方形，所以③不正确根据定义④是正确的．【思路点拨】使用定义逐一分析．【答案】A．●活动④强化提升、灵活应用例3 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如下图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________．【知识点】多面体的展开图．【数学思想】构造．【解题过程】如下图所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC=90°【思路点拨】发挥空间想象能力，将正方体还原．【答案】90°同类训练有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如下图所示．从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________．【知识点】柱体性质．【数学思想】【解题过程】正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图,知这四个面分别标有字母H、E、O、p、d，因此只能是标有“p”与“d”的面是同一个面，p与d是一个字母；翻转图②，使S面调整到正前面，使p转成d，则O为正下面，所以H的反面是O．【思路点拨】空间想象，还原正方体六个面上的字母．【答案】O．3．课堂总结知识梳理（1）以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．（2）以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（3）以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．（4）以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体．重难点归纳（1）圆柱和圆锥的轴截面性质．（2）圆柱和圆锥的展开图．（三）课后作业基础型自主突破1．圆台的轴截面一定是（）A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形【知识点】圆台的定义．【数学思想】【解题过程】由定义可知圆台的轴截面为等腰梯形．【思路点拨】准确理解圆台的定义．【答案】D．2．圆锥的底面半径为1，母线长度为2，则圆锥的高为（）A ．1B ．2C ．3D ．5【知识点】圆锥的高与母线的区别．【数学思想】 【解题过程】由勾股定理，高等于31222=-．【思路点拨】分离局部图形，立体几何问题平面几何化．【答案】C ．3． 球O 与棱长为1的正方体的所有面均相切，则球O 的半径为（ ）A ．1B ．2C ．21D ．22【知识点】简单的内切球问题．【数学思想】 【解题过程】正方体的内切球直径等于正方体的棱长，故半径为21．【思路点拨】想象出球与正方体相切的状态． 【答案】C ． 4．下列叙述中正确的个数是（ ）①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】柱体和锥体的定义． 【数学思想】【解题过程】①错误．应以直角三角形的一条直角边为轴；②错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；③错误．应把“圆”改成“圆面”；④错误，应是平面与圆锥底面平行时．【思路点拨】紧扣定义，逐一判断．【答案】A ． 5．请描述下图所示的组合体的结构特征．【知识点】识别简单的组合体．【数学思想】 【解题过程】 图（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；图（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体．【思路点拨】准确理解简单多面体的定义，对简单的多面体有直观的判断．【答案】见解题过程． 6．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．【知识点】圆台轴截面的性质．【数学思想】 【解题过程】设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r ． 根据相似三角形的性质得：l 33=rr 4，解得l =9． 所以圆台的母线长为9cm ．【思路点拨】分离出圆台的轴截面，利用相似三角形求解．【答案】9cm ． 能力型 师生共研 7．连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体．【知识点】构造多面体．【数学思想】构造 【解题过程】如上图(1)，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6分别是各表面的中心．由点O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱．该多面体的图形如图（2）所示．【思路点拨】先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可．【答案】见解题过程．8．下图为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？【知识点】简单的组合体．【数学思想】【解题过程】奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．【思路点拨】熟悉各种简单多面体的直观图． 【答案】见解题过程．探究型 多维突破9．设圆锥母线长为2，高为1，过圆锥的两条母线作一个截面，求截面面积的最大值．【知识点】圆锥轴截面的性质．【数学思想】数形结合 【解题过程】由已知圆锥轴截面等腰三角形的顶角为 120，截面面积θsin 21⋅⋅⋅=l l S ， 其中l 为圆锥的母线，θ为截面等腰三角形的顶角，且 1200<<θ故当 90=θ时面积最大，最大值为221max =⋅⋅=l l S ．【思路点拨】写出截面的函数解析式，再求它的最大值．【答案】2．10．将一个半径为R 的木球削成尽可能大的正方体，求正方体的棱长．【知识点】正方体的外接球．【数学思想】构造 【解题过程】正方体的体对角线为球的直径，设正方体的棱长为x ，则R x R x x x 3322222=⇒=++．【思路点拨】想象出内接正方体的状态，再列方程求解． 【答案】R 332． 自助餐1．把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．圆台D ．由两个底面贴近的圆锥组成的组合体【知识点】旋转体．【数学思想】【解题过程】可以想象出几何体是两个“背靠背”的圆锥．【思路点拨】画出图形分析即可．【答案】D ． 2．下列几何体的轴截面一定是圆面的是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．圆台【知识点】旋转体．【数学思想】【解题过程】由球的定义可知，它的轴截面一定是圆面．【思路点拨】按照定义，逐一分析．【答案】C ． 3．下列几个命题中，正确的有 （填序号）．①圆锥的截面一定是三角形；②棱台的侧面一定是等腰梯形；③棱柱的上下底面一定是全等的多边形；④圆台截面可能是圆面．【知识点】多面体和旋转体的定义与性质．【数学思想】【解题过程】与圆锥底面平行的截面为圆，故①错误；棱台的侧面一定是梯形，未必等腰，故②错误；由棱柱定义可知③正确；与圆台底面平行的截面为圆，故④正确．【思路点拨】按照定义，逐一验证．【答案】③④．4．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，圆台的上底面半径为1 cm，则圆台的高为．【知识点】圆台轴截面．【数学思想】数形结合【解题过程】∵圆台的上底半径为1，故下底半径为4，根据相似三角形可知圆台的母线长度等于9，如下图所示，在Rt△A′HA中A′H＝AA′2－AH2＝92－32＝62．故圆台的高为62cm．【思路点拨】分离出轴截面，用平几知识求解．【答案】6 2 cm．5．已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如下图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．【知识点】旋转体． 【数学思想】 【解题过程】（1）以AB 边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．（2）以BC 边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示（3）以CD 边为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示（4）以AD 边为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．① ② ③ ④【思路点拨】以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的． 【答案】见解题过程．6．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，求该圆锥的高．【知识点】圆锥的轴截面． 【数学思想】方程思想．【解题过程】设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2．所以由题意可知12·(2r )·h ＝r 42－r 2＝8，∴r 2＝8，∴h ＝22．【思路点拨】设字母表示未知量，列方程求解．【答案】22．。
《圆柱、圆锥、圆台和球》参考教案
《圆柱、圆锥、圆台和球》参考教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球第一课时教学目标：1．能根据几何结构特征理解空间旋转体形成过程；2．认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；3．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的截面及它们之间的关系．教材分析及教材内容的定位：教材先让学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的生成规律，然后给出它们的定义，让学生初步理解“旋转体”的概念．教学中可结合实物模型或计算机演示圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程，引导学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；也可以类比棱柱、棱锥、棱台的生成过程认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征；类比圆的定义得出球面的定义．教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台和球的概念．教学难点：难点是区分一个旋转体由哪些基本几何体构成．教学方法：观察、发现、探究．探究学习为主，发挥同学之间合作关系。
教学过程：一、问题情境1．复习棱柱、棱锥、棱台的有关概念．小结：移——缩——截．2．旋转会产生什么样的结果呢？仔细观察下面的几何体，它们有什么共同特点或生成规律？二、学生活动通过观察、思考、交流、讨论得出结论． 三、建构数学1．圆柱、圆锥、圆台的概念；第二课时教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念。
2、掌握球的截面的性质。
3、掌握球面距离的概念。
教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离教学过程：复习引入1、圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。
2、通过篮球、排球、足球等等球体的形象引出课题.新授1、球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到。
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。
球面所围成的几何体叫球体，简称球。
指出球心、半径、直径。
值得注意的是：1）球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联系。
2）球面的概念可以用集合的观点来描述。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 学案
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征问题导学预习教材P101－P104的内容，思考以下问题： 1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？ 3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 (1)圆柱的结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示． (3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示． (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点． (2)平行于底面的截面是圆，如图1所示． (3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示． (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 有如下关系：r ＝R 2－d 2.2．简单组合体 (1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． (2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．( ) (2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．( ) (3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( ) (4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 下列几何体中不是旋转体的是( )解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D 不是旋转体．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案：B可以旋转得到如图的图形的是()解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．解：①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的．圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】 A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．【解】 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm ，4r cm.过轴SO 作截面，如图所示，则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA ，所以33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台O ′O 的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意] 在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．1．已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm ，2 cm ，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm ，则圆台的母线长为________．解析：如图是圆台的轴截面，由题意知AO ＝2 cm ，A ′O ′＝1 cm ，SA ＝12 cm.由A ′O ′AO ＝SA ′SA ，得SA ′＝A ′O ′AO ·SA ＝12×12＝6(cm)．所以AA ′＝SA －SA ′＝12－6＝6(cm)．所以圆台的母线长为6 cm.答案：6 cm2．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为________．解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r ，所以S ＝12×2r 2＝r 2.答案：r 21．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选 B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是( ) A ．圆锥 B ．圆柱 C ．球 D ．棱柱答案：D3．下列说法中正确的是________．①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线； ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．答案：②4．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h 为________cm. 解析：h ＝20cos 30°＝20×32＝103(cm)． 答案：10 35．如图所示，将等腰梯形ABCD 绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图(1)所示．若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图(2)所示．[A基础达标]1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周，如图，钝角△ABC中，AB边最小，以AB为轴，其他两边旋转一周，得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥．故选D.2．如图所示的组合体的结构特征是()A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台解析：选C.如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．3．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A．圆锥B．圆锥和球组成的简单组合体C．球D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体答案：D5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．①②B．①③C．④D．①⑤解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．6．如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成．②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．③由一个长方体挖去一个四棱台构成．④由一个长方体与两个四棱台组合而成．其中正确说法的序号是__________．解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．答案：①②7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝ 42－r 2.由题意可知12·2r ·h ＝r 42－r 2＝8，所以r 2＝8，所以h ＝2 2. 答案：2 28．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C .在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5 (cm)．所以AB ＝122＋52＝13(cm)．答案：139．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．10．一个圆锥的高为2 cm ，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．解：如图轴截面SAB ，圆锥SO 的底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，则∠ASO ＝30°.在Rt △SOA 中，AO ＝SO ·tan 30°＝233(cm)． SA ＝SO cos 30°＝232＝433(cm)． 所以S △ASB ＝12SO ·2AO ＝433(cm 2)． 所以圆锥的母线长为433cm ，圆锥的轴截面的面积为433cm 2. [B 能力提升]11．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A ．2B ．2π C.2π或4π D.π2或π4解析：选C.如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2π.所以选C.12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r ＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝ 4 3 cm.答案：4 313．圆锥底面半径为1 cm ，高为 2 cm ，其中有一个内接正方体，这个内接正方体的棱长为________cm.解析：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC 1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝ 2 cm ，OE ＝1 cm.因为△EAA 1∽△ESO ，所以AA 1SO ＝EA 1EO ，即x 2＝1－22x 1. 所以x ＝22，即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：2214．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－（5－2）2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. [C 拓展探究]15.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)解：因为△ABC 为等边三角形，所以BC ＝6，所以l ＝2π×3＝6π，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：n π×6180＝6π， 故n ＝180°，则∠B ′AC ＝90°，所以B ′P ＝36＋9＝35(m)，所以小猫所经过的最短路程是3 5 m.。
高中数学必修二《圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征》优秀教学设计
《圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征》教学设计一、教学目标1．知识与技能（1）通过图片观察和实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学过程（一）复习回顾：1、多面体与旋转体的概念2、棱柱、棱锥、棱台的结构特征面、顶点、棱等。
（二）创设情境，新课引入：上节课我们学习了两类几何体：多面体、旋转体．也研究了几种具体的多面体的结构特征，本节课我们再来研究几种旋转体的结构特征．（三）师生互动，讲解新课：1．圆柱的结构特征如书上图1-1的（1），让学生思考它是由什么旋转而得到的。
它的平面图如下（图1），我们可以发现这个旋转体是以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体，而此类旋转体我们称它为圆柱。
圆柱的轴：旋转轴；圆柱的面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做母线。
圆柱的表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图1可表示为圆柱OO/。
（让学生据一些生活中的实例，帮助理解）注：圆柱和棱柱统称为柱体。
2．圆锥和圆台的结构特征观察书上图1-1的（6），思考它应该是由什么旋转而成的，那(10)又是由什么旋转而成的呢？它们之间有什么关系呢？（让学生借助上节课学习的棱柱和棱台的方法来学习圆锥和圆台，学生说，老师纠正）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成旋转体；如图2。
高中数学-圆柱圆锥圆台和球教案
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球示范教案整体设计教学分析本节教材展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，从整体上认识空间几何体，再深入细节认识，更符合学生的认知规律．值得注意的是：由于没有点、直线、平面的有关知识，所以本节的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分注意到这一点．本节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体，增强学生的感受．三维目标1．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．重点难点教学重点：了解圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．教学难点：归纳圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.在小学和初中，我们已经接触到了圆柱、圆锥、圆台和球，那么这些几何体有什么特征性质呢？教师点出课题．设计 2.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，现有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)观察下图所示的几何体，分别是圆柱、圆锥、圆台，那么圆柱、圆锥、圆台有什么结构特征呢？(2)阅读教材，给出几何体的轴、高、底面、侧面、母线的定义．讨论结果：(1)通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如下图)．(2)旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．如上图中，直线O′O，SO是轴，线段O′O，SO是高，A′A，SA是母线．提出问题1球是大家非常熟悉的几何体，那么球集合具有什么特征性质呢？2阅读教材，给出球心、球的半径和直径的定义？3球的截面是什么形状？具有什么性质？4阅读教材，什么叫球面上的两点距离？讨论结果：(1)让我们做一个实验：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，研究半圆运动的轨迹是怎样的空间图形．通过观察可以发现，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球(如下图)．(2)形成球的半圆的圆心叫球心；连结球面上一点和球心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．如下图中点O为球心，OA为球的半径，AB为球O的直径．一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球O.球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．(3)用一个平面α去截半径为R的球O(下图)，不妨设平面α水平放置且不过球心，OO′为平面α的垂线，并与平面α交于点O′，OO′＝d，则对于平面α与球面的交线上任意一点P，都有O′P＝R2－d2，是一个定值．这说明截面与球面的交线是在平面α内，并且到定点O′的距离等于定长的点的集合．因此平面α截球面所得到的交线是以O′为圆心，以r＝R2－d2(R是球的半径)为半径的一个圆．也就是说，截面是一个圆面(圆及其内部)．如果平面α过球心，则d＝0，r＝R.截面是半径等于球的半径的一个圆面．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆(如左下图)．(4)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．事实上，人们把这个弧长叫做两点的球面距离．例如，右上图中劣弧PQ的长度就是P，Q两点的球面距离．飞机、轮船都是尽可能地以大圆弧(劣弧)为航线航行的．提出问题阅读教材，给出组合体的定义.讨论结果：我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的．这些几何体叫做组合体．如下图所展示的机械可以看成是由一些基本几何体构成的组合体．对组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究．应用示例思路1例1用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长(下图)．解：设圆台的母线长为y ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x,4x ，根据相似三角形的性质，得33＋y ＝x4x，解此方程得y ＝9. 因此，圆台的母线长为9 cm.点评：解决本题的关键是利用截面三角形来解决问题．圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形．变式训练1．(2008 湖北，理3)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π3解析：设球半径为R ，截面小圆的半径为r ，则πr 2＝πr ＝1.又R 2＝12＋r 2＝2， ∴R＝2.∴V＝43πR 3＝82π3.答案：B2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线 与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径． 分析：这类题目应该选取轴截面研究几何关系． 解：圆台的轴截面如下图，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S. 在Rt△SOA 中，∠ASO＝45°， 则∠SAO＝45°. 所以SO ＝AO ＝3x. 所以OO 1＝2x.又12(6x ＋2x)·2x＝392， 解得x ＝7(负值舍去)，所以圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，而底面半径分别为7 cm 和21 cm.答：圆台的高14 cm ，母线长14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm.例2我国首都北京靠近北纬40°.求北纬40°纬线的长度(单位：km，地球半径约为6 370 km，结果保留四位有效数字)．解：如下图，设A是北纬40°圈上的一点，AK是它的半径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为∠AOB＝∠OAK＝40°，所以c＝2π·AK＝2π·OA·cos∠OAK＝2π·OA·cos40°≈2×3.141 6×6 370×0.766 0≈3.066×104(km)．即北纬40°的纬线长约为3.066×104 km.点评：赤道是地球的大圆，纬线(东西方向)是地球的小圆．变式训练1．圆心到球的截面距离d＝3 cm，截面圆的半径r＝4 cm，则球的半径R＝________ cm.解析：截面半径、球的半径、球心到截面距离构成直角三角形，则R2＝d2＋r2，即R2＝32＋42＝25，∴R＝5.答案：52．（2008 四川高考，8）（理）设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( ) A．3∶5∶6 B．3∶6∶8C．5∶7∶9 D．5∶8∶9(文)设M是球O半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为( )A.14B.12C.23D.34解析：(理)设过N、M、O且垂直于OP的三个圆的半径分别为r1，r2，R，则r1＝R2－23R2＝53R，r2＝R2－13R2＝223R.∴三个圆的面积比等于它们的半径平方之比，即(53R)2∶(223R)2∶R2＝5∶8∶9.(文)如下图所示，∵M为OP中点，∴OM＝R 2.∴MA＝OA 2－OM 2＝R 2－R 22＝32R. ∴小圆面积S 1＝π·(32R)2，大圆面积S 2＝πR 2. ∴两圆面积比为S 1S 2＝34.答案：(理)D (文)D思路2例3说出下列几何体的主要结构特征：解：(1)由圆锥与圆台构成的组合体． (2)由棱锥和四棱柱构成的组合体．点评：本题主要考查组合体的结构特点以及简单几何体的判断方法． 变式训练1. （2008 浙江高考，理14）如左下图，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA⊥平面ABC ，AB⊥BC，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________．解析：如右上图，据题意可知，球O 即棱长为3的正方体外接球，其半径r ＝32＋32＋322＝32，V ＝43πr 3＝92π. 答案：92π2．下图所示是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________组成的． 答案：半球、圆柱、圆台知能训练1．下图所示几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5) 答案：D2．将一个边长分别是2 cm 和5 cm 、两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm 边上的高所在直线旋转一周形成的几何体是(写出一种情况)________．答案：高为3，两底半径分别为4,5的圆台 拓展提升1. （2008 陕西高考，文8）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为1的球面上，其中AB∶AD∶AA 1＝2∶1∶3，则A ，B 两点的球面距离为( )A.π4B.π3C.π2D.2π3解析：由题意知，长方体内接于球，此时具有两个性质： ①长方体的体对角线为球体的直径(由题意，直径为2)； ②长方体的中心就是球心O.先由性质①：BD 1＝AB 2＋AD 2＋AA 21＝2，再结合条件“AB∶AD∶AA 1＝2∶1∶3”，可设AB ＝2k ，AD ＝k ，AA 1＝3k ，所以有4k 2＋k 2＋3k 2＝2，解得k ＝22(负值舍去)．因此AB ＝2，AD ＝22. 再由性质②：O 是球心同时也是BD 1的中点， ∴OB＝12BD 1＝OA ＝1，而OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB＝90°.再由球面距离的定义，AB 的球面距离就是扇形AOB 的劣弧长． 由弧长公式可得AB ＝90×π×1180＝π2.∴AB 的球面距离为π2.答案：C 课堂小结 本节课学习了：1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征； 2．组合体的构成． 作业本节P 13练习A 4,5题；P 16练习A 2题．设计感想本节课的教学设计，重点突出了学生的“自主性”和“探究性”．因此在实际教学中，应注意多留给学生思考的时间，不要直接给出结论．备课资料知识总结：1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示：3．简单几何体的分类：简单几何体⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 简单多面体⎩⎪⎨⎪⎧棱柱棱锥棱台简单旋转体⎩⎪⎨⎪⎧圆柱圆锥圆台球。
8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征教案 高一数学人教A版(2019)必修第二册
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征(教师独具内容)课程标准：利用实物、计算机软件等空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．教学重点：让学生感受大量的空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．在理解掌握简单几何体的结构特征的基础上，认识简单组合体的形成及简单组合体的结构特征．教学难点：圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征．核心素养：1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的概念及结构特征培养直观想象和数学抽象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台、球的相关计算培养数学运算素养.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．( )(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．( )(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．( )2．做一做(1)圆锥的母线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条(2)图①中的几何体叫做____，O叫做它的____，OA叫做它的____，AB叫做它的____.(3)图②的组合体是由____和____构成．(4)图③中的几何体有____个面．题型一旋转体的概念例1 下列命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[跟踪训练1] 一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？题型二旋转体的结构特征例2 (1)(多选)下列说法正确的是( )A．圆柱的母线与它的轴可以不平行B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的(2)(多选)下列说法中正确的是( )A．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径B．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面C．球面上任意三点可能在一条直线上D．球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段[跟踪训练2] 给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆．其中说法正确的是____(填序号)．题型三简单组合体的结构特征例3 描述下图几何体的结构特征．[跟踪训练3] 观察如图几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．题型四旋转体的计算问题例4 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[跟踪训练4] 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．题型五圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例5 如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：Q两点，且PA＝40 cm，B1蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[跟踪训练5] 国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为22米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？1．下列几何体中不是旋转体的是( )2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥的组合体3．(多选)下列几何体中是旋转体的是( )A．圆柱B．六棱锥C．球体D．四面体4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．5．圆台的两底面圆的半径分别为2 cm,5 cm，母线长是310 cm，求其轴截面的面积．一、选择题1．下列几何体是简单组合体的是( )2. 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体3．若用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为( )A．8 B．8πC．4πD．2π4．(多选)下列关于圆柱的说法中，正确的是( )A．分别以矩形(非正方形)的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱5．(多选)两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离可能是( )A．1 B．3C．4 D．7二、填空题6．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为____.7．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为____.8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形可能是____.三、解答题9. 如图所示，已知圆锥的母线长为6 cm，底面直径为3 cm，在母线OA上有一点B，AB＝2 cm，求由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离．10. 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．1. 由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形如图所示，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合体，则下面说法不正确的是( )A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于旋转轴对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．(多选)用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可以是( )A．2 B．2πC．2πD．4π3．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是____.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径．5．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．第2课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征(教师独具内容)课程标准：利用实物、计算机软件等空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．教学重点：让学生感受大量的空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．在理解掌握简单几何体的结构特征的基础上，认识简单组合体的形成及简单组合体的结构特征．教学难点：圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征．核心素养：1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的概念及结构特征培养直观想象和数学抽象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台、球的相关计算培养数学运算素养.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．( )(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．( )(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)圆锥的母线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条(2)图①中的几何体叫做____，O叫做它的____，OA叫做它的____，AB叫做它的____.(3)图②的组合体是由____和____构成．(4)图③中的几何体有____个面．答案(1)D (2)球球心半径直径(3)圆柱圆锥(4)3题型一旋转体的概念例1 下列命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[解析]根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故四个均不正确．[答案] A[条件探究] 若本例中(2)改为“以直角梯形的各边为轴旋转”，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？解①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．判断旋转体形状的解题策略圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．[跟踪训练1] 一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．题型二旋转体的结构特征例2 (1)(多选)下列说法正确的是( )A．圆柱的母线与它的轴可以不平行B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的(2)(多选)下列说法中正确的是( )A．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径B．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面C．球面上任意三点可能在一条直线上D．球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段[解析](1)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，A，C 错误．(2)由球的概念可知A正确；由球的形成过程可知B正确；球面上任意三点不可能在一条直线上，C错误；由球的半径的概念可知D正确．故选ABD.[答案](1)BD (2)ABD1．简单旋转体判断问题的解题策略准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．2．与简单旋转体的截面有关的结论(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面．(2)圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形、圆．[跟踪训练2] 给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆．其中说法正确的是____(填序号)．答案①②解析①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线的延长线一定相交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体；⑤不正确，当这两点是球的直径的两端点时，可以作无数个以球心为圆心的圆.题型三简单组合体的结构特征例3 描述下图几何体的结构特征．[解]图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的简单组合体．图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的简单组合体．图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的简单组合体．图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体．简单组合体的两种构成方法(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析．[跟踪训练3] 观察如图几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．解图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的.题型四旋转体的计算问题例4 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得圆台的上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又母线长AB＝12 cm，所以圆台的高为AM＝122－5－22＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，所以l＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.旋转体中的计算问题及截面性质(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.(3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．[跟踪训练4] 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，设上底面的面积为S1，半径为r1，则S1＝πr21＝1，下底面的面积为S2，半径为r2，则S2＝πr22＝49，截面的面积为S＝S1＋S22＝25，半径为r3，则S＝πr23.由三角形相似得⎩⎨⎧h＋h1h＝251，h＋h1＋h2h＝491，所以⎩⎨⎧h1＝4h，h2＝2h，即h1∶h2＝2∶1.题型五圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例5 如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解]将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形.则＝12·2πr＝πr＝10π(cm)．过点Q作QS⊥AA1于点S，在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．[跟踪训练5] 国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为22米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？解把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示．这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为22米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120°，所以MM1＝33米，即彩绸最短要33米．1．下列几何体中不是旋转体的是( )答案 D解析由旋转体的概念知A，B，C是旋转体，D不是旋转体．2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥的组合体答案 D解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥．故选D.3．(多选)下列几何体中是旋转体的是( )A．圆柱B．六棱锥C．球体D．四面体答案AC解析由旋转体的概念知A，C是旋转体．4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．5．圆台的两底面圆的半径分别为2 cm,5 cm，母线长是310 cm，求其轴截面的面积．解如图，在轴截面内过点A作AB⊥O1A1，垂足为B.由已知，得OA＝2，O1A1＝5，AA1＝310，∴A1B＝3.∴AB＝AA21－A1B2＝90－9＝9.∴S轴截面＝12(2OA＋2O1A1)·AB＝12×(4＋10)×9＝63(cm2)．故圆台轴截面的面积为63 cm2.一、选择题1．下列几何体是简单组合体的是( )答案 D解析A项中的几何体是圆锥，B项中的几何体是圆柱，C项中的几何体是球，D项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．2. 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析圆面旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.3．若用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为( )A．8 B．8πC．4πD．2π答案 B解析若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面的面积也为8π.4．(多选)下列关于圆柱的说法中，正确的是( )A．分别以矩形(非正方形)的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱答案ABD解析用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，故C错误，显然A，B，D正确．5．(多选)两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离可能是( )A．1 B．3C．4 D．7答案AD解析如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.故选AD.二、填空题6．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为____.答案r2解析由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S＝12×2r2＝r2.7．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为____.答案3∶4解析令球的半径为2r，则截面的半径为3r，截面的面积为3πr2，大圆的面积为4πr2，所以它们的面积之比为3∶4.8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形可能是____.答案①②③解析当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.三、解答题9. 如图所示，已知圆锥的母线长为6 cm，底面直径为3 cm，在母线OA上有一点B，AB＝2 cm，求由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离．解设侧面展开的扇形圆心角为n.由题意知底面周长为3π cm，则6nπ180°＝3π，解得n＝90°.如图，在展开扇形中，∠AOB′＝90°，B′O＝4 cm.在Rt△AOB′中，AB′＝AO2＋B′O2＝62＋42＝213 cm.故由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离为213 cm.10. 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．解设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.1. 由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形如图所示，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合体，则下面说法不正确的是( )A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于旋转轴对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点答案 A解析等腰梯形旋转形成的是圆台，矩形旋转形成的是圆柱，半圆旋转形成的是半球，圆旋转形成的是球，倒三角形旋转形成的是圆锥．2．(多选)用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可以是( )A．2 B．2πC．2πD．4π答案CD解析如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选CD.3．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是____. 答案2 2解析设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝42－r2.由题意可知12·2r·h＝r42－r2＝8，所以r2＝8，所以h＝2 2.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径．解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面的半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14(cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面的半径分别为7 cm,21 cm.5．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．解作出圆锥的一个轴截面如图所示，其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝2x.依题意，得△ABC∽△ADE，∴hh－x＝2r2x，∴x＝2rhh＋2r，即此正方体的棱长为2rhh＋2r.。
人教版高中数学必修二柱、锥、台、球的结构特征公开课优质教案
人教版高中数学必修二柱、锥、台、球的结构特征公开课优质教案第一章空间几何体本章教材分析柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体，复杂的几何体大都是由这些简单的几何体组合而成的.有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较复杂的几何体的基础.本章研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等.运用直观感知、操作确认、度量计算等方法,认识和探索空间几何图形及其性质.本章中的有关概念，主要采用分析具体实例的共同特点，再抽象其本质属性空间图形而得到.教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念.本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的.例如，对于棱柱，在义务教育阶段直观认识正方体、长方体等的基础上，进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、表面积.因此，在教材内容安排中，特别注意了与义务教育阶段“空间与图形”相关内容的衔接.值得注意的是在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透空间想象能力面的训练.由于受有关线面位置关系知识的限制，在讲解空间几何体的结构时，少问为什么，多强调感性认识.要准确把握这方面的要求，防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单几何体的模型,使学生初步感受到信息技术在学习中的重要作用.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生的实际,合理地进行取舍.本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）：1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征约1课时1.1.2 简单组合体的结构特征约1课时1.2.1 中心投影与平行投影约1课时1.2.2 空间几何体的三视图1.2.3 空间几何体的直观图约1课时1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积约1课时1.3.2 球的体积和表面积约1课时本章复习约1课时§1.1 空间几何体的结构§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征一、教材分析本节教材先展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受空间几何体的结构特征，从整体上认识空间几何体，再深入细节认识，更符合学生的认知规律.值得注意的是：由于没有点、直线、平面的有关知识，所以本节的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分注意到这一点.本节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体，增强学生的感受.二、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
高中数学必修二《柱、锥、台、球的结构特征》优秀教学设计
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）学案一、教学目标1.知识与技能(1)通过观察大量图片,增强学生的直观感知.,认识日常生活中常见的几何体。
(2)能根据几何结构特征归纳出柱、锥、台、球的结构特征并理解其结构特征。
(3)能会用语言概述柱、锥、台、球的概念、分类及特点。
2.过程与方法在描述和判断几何体结构特征的过程中,通过观察大量实例,运用课堂活动和合作学习的方式,培养观察能力、空间想象能力、抽象思维能力、几何直观能力、合情推理能力和运用图形进行交流的能力,渗透分类思想和类比、归纳方法,逐步培养自主探究的学习习惯。
3.情感、态度与价值观通过对具体事物的抽象,培养探索能力、钻研精神和科学态度。
通过探索、质疑、讨论,感受数学探索的成就感及丰富美丽的几何世界,从而激发学习数学的热情,培养学习数学的兴趣,增强学习数学的信心。
4教学重点难点评论教学重点:从数学角度合理对空间几何体进行分类,准确描述各类几何体的结构特征,并能运用这些结构特征判断几何体的形状。
教学难点:准确理解空间几何体尤其是棱柱的概念,学会换角度看问题,透过现象看本质,准确判断“放倒”几何体的结构特征。
二、教学重点与难点1.重点：感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征。
2.难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、课前导学阅读教材第2—6页，完成下列学习（一）空间几何体、多面体与旋转体1. 叫空间几何体.2.多面体：叫做多面体，其中叫做多面体的面，叫做多面体的棱，叫做多面体的顶点.3.旋转体：叫做旋转体，其中叫做旋转体的轴.(二)简单几何体1．棱柱的结构特征【问题】通过观察图1. 1-1中的（2）（5）（7）（9），你能根据其结构特点概括出棱柱的定义吗？（1）一般地，有两个面（）；其余各面都是（），并且每相邻两个四边形的（ ）都（ ）， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱．两个（ ） 叫底面；简称底；（ ）叫棱柱的侧面；相邻侧面的（ ）叫棱柱的侧棱；侧面与底面的（ ）叫棱柱的顶点．棱柱的分类： 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做（ ）、（ ）、（ ） ……．（2）棱柱的表示：（ ）底面各顶点的字母表示棱柱，如图该六棱柱可表示为（ ）。
高中数学必修二(人教B版)：1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》教案
《圆柱、圆锥、圆台和球》教案教学目标1．认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体．2．认识和掌握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．3．理解球和球面距离的概念、平面与球的各种位置关系．教学重难点重点：1圆柱、圆锥、圆台和球的概念及相关概念；2旋转体的概念。
难点：1圆柱、圆锥、圆台和球的性质及简单应用；2圆柱、圆锥、圆台的轴截面的性质；3球的截面的性质教学过程一、情景导入探究点一圆柱、圆锥、圆台的结构特征观察下面的几何体，你可能会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台．为什么你会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台呢？问题1圆柱、圆锥、圆台分别具有哪些性质？哪些性质可以分别作为圆柱、圆锥和圆台集合的特征性质？答：通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如图)问题 2 类比棱柱、棱锥、棱台中的底面、侧面、侧棱、高这些概念，在圆柱、圆锥、圆台中相应的有关概念是如何定义的？答：旋转轴叫做所围成的几何体的轴：在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．问题3 对圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？答：分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．问题4 圆柱、圆锥、圆台如何用字母表示？答：圆柱、圆锥、圆台用表示它的轴的字母表示，如问题1中的图中圆柱OO ′、圆锥SO 、圆台OO ′.问题5 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？答：它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的； 不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不等的圆，圆锥只有一个底面； 当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱； 圆台的上底面缩为一个点就是圆锥例1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长(如图所示)．解： 设圆台的母线长为y ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x ,4x ，根据相似三角形的性质得3/(3)/4y x x +=解此方程得9y =. 因此，圆台的母线长为9 cm .探究点二 球的结构特征问题 1 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆运动的轨迹是怎样的空间图形？答：半圆运动的轨迹是一个球面．问题2 球面的定义是怎样的？球心、球半径、球的直径是如何定义的？答：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球．形成球的半圆的圆心叫球心； 连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径；连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径．如图中点O 为球心，OA 为球的半径，AB 为球O 的直径．问题3 如何用字母表示一个球？答：一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球O .问题4 用集合的观点如何定义球面？答：球面可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．问题5 用一个平面去截一个球，如何说明截面是圆面？答：如图所示，设OO d '＝，对于平面α与球面的交线上任意一点P ，O P r '＝，是一个定值．因此，平面α截球面所得到的交线是以O ′为圆心，以r 为半径的一个圆，即截面是一个圆面．问题6 阅读教材14－15页，你能说出什么是球的大圆？什么是球的小圆？什么是球面距离吗？什么是旋转体？什么是组合体？答：(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．(2)圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体.(3)现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体、台体、球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.例2 我国首都靠近北纬40°纬线．求北纬40°纬线的长度约等于多少km (地球半径约为6 370 km ， 3.141 6π≈， 400.7660cos ︒＝)．解：如图所示，设A 是北纬40°圈上的一点，AK 是它的半径，所以OK AK ⊥.设c是北纬40°的纬线长，40AOB OAK ∠∠︒＝＝····· 402 3.141663700.7660 3.066104c AK OAcos OAK OAcos πππ∴∠︒≈⨯⨯⨯≈⨯∧＝2＝2＝2 (km)．即北纬40°的纬线长约为3.066×104 km.二、课堂小结1．圆柱的平行于轴线的截面是一个以上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．2．圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；圆锥的母线l 、高h 和底面圆的半径R 的关系为222l h R ∧=∧+∧.3．圆台的母线l 、高h 和上下两底面圆的半径r 、R 组成一个直角梯形，圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形．“还台为锥”也是解决圆台问题的主要方法．4．球面与球体是有区别的．球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，也包括球面所包围的空间．三、巩固练习1．圆锥的轴截面是正三角形，则圆锥的高与母线的长分别为________．2．圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为2 cm ,10 cm ，高为3 cm ，则圆台母线的长为________ cm .3．在半径为25 cm 的球内有一个截面，它的面积是49(2)cm π∧，求球心到这个截面的距离．四、布置作业课后练习A 、B .。
高中数学必修二 8 1 基本几何图形(第2课时)圆柱、圆锥、圆台、球 教学设计
8.1 基本几何图形第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第八章《立体几何初步》，本节课是第2课时，本节课主要学习圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征、简单组合体的结构特征。
教材首先让学生观察现实世界中实物的图片,引导学生将观察到的实物进行归纳、分类抽象、概括,得出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征,在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征.空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用,新课程从对空间几何体的整体观察入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛,强调几何直观,淡化几何论证,可以激发学生学习立体几何的兴趣。
1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，简单组合体的结构特征；2.教学难点：简单组合体的结构特征，简单组合体的两种基本构成形式．多媒体一、复习回顾，温故知新 学生回答下列问题 1.棱柱定义及其特征； 2.棱锥定义及其特征； 3.棱台定义及其特征； 4.旋转体定义。
二、探索新知思考1：一个矩形绕着一条边所在直线旋转一周，可得什么图形？ 1.圆柱定义： 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱． 在圆柱的形成中，旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示。
如：O O 圆柱。
思考2：一个直角三角形绕着一条直角边所在直线旋转一周，可得什么图形？2.圆锥定义： 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥．思考3：请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义，给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义，并在图中标出。
高中数学人教新课标B版必修2《1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球》教学设计
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台一．教学目标1.德育教育目标：通过新闻实例使学生们认识到节约粮食的重要性2.教学目标:（1）知识与技能目标：理解圆柱、圆锥、圆台的定义，掌握它们的几何特征，并认识它们的图形。
（2)过程与方法目标：利用旋转的方法生成圆柱、圆锥、圆台等几何体。
(3)情感、态度与价值观目标：激情投入、高效学习，通过空间观察、合作研究和想象解决问题。
二．教学重难点：重点：圆柱、圆锥、圆台的概念生成。
难点：母线及其相关性质的理解和简单应用。
三．教学过程：（一)教学引入观察装最大扬州炒饭的大碗图片，从旋转体引入新课。
观察图片让学生回答图中物体是哪些常见的几何体。
（二）新课过程知识探究一.圆柱的结构特征1.圆柱观察下面的物体，说说它们有何共同点？学生回答并思考圆柱可以由什么几何图形经过怎样旋转得到?(1)通过道具手动演示和课件动态演示圆柱产生过程(2)总结得出圆柱及圆柱的底面、侧面、母线和轴的定义(3)从点、线、面三方面讨论构成圆柱这个几何体的元素的特征底面圆柱母线1. 圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由什么平面图形旋转得到？圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转?2.请同学们仿照圆柱中关于轴、底面、侧面、母线的定义，找出圆锥的轴、底面、侧面、母线。
类比得到棱台的方法找出得到圆台的另一种方法探索与研究对于圆锥、圆柱、圆台:（1）平行于底面的截面是什么样的图形？（2）过轴的截面（简称轴截面）分别是什么样的图形？(3）侧面展开图分别是什么图形？（4）圆柱、圆锥、圆台之间有什么关系？上底面 轴 侧面 母线 下底面（前三个问题通过学生分组讨论得出结论）应用举例例1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1:4，截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长.思想方法：把立体几何问题转化为平面几何问题求解上底缩小上底扩大 圆柱体 圆锥体 圆台体 A 0 A' O ' x y x 4s 0A A’ o’巩固练习1. 一个圆柱的母线长为5，底面半径为 2，求圆柱的轴截面的面积.2.一个圆台的母线长为5，上底面和下底面直径分别为2和8，求圆台的高.（学生板演）小结:(1) 旋转体；(2) 圆柱、圆锥、圆台的定义及特征性质；作业：（1）教材第13页 练习B 第4题（2）思考：球的定义及特征性质.O CB DA O ' A O ' DB E O C。
新教材人教版高中数学必修第二册 8-1基本立体图形(第2课时 圆柱、圆锥、圆台)(教案)
第八章立体几何初步8.1基本立体图形第2课时圆柱、圆锥、圆台一、教学目标1.通过计算机模拟或者利用实物概括出圆柱、圆锥、圆台的几何结构特征；2.能用数学语言概述圆柱、圆锥、圆台的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；3.通过对圆柱、圆锥、圆台的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。
二、教学重难点1.让学生观察大量空间实物及计算机模型，进而概括出圆柱、圆锥、圆台的结构特征；2.会进行旋转体的相关计算.三、教学过程：（1）创设情景通过上节课学习了棱柱、棱锥、棱台等多面体，那么生活中常见的旋转体有哪些？它们具有什么样的结构特点？阅读课本以及通过计算机模拟生活中的一些物体,让学生小组合作完成以下问题（2）新知探究问题1：什么是旋转体？旋转体包含哪些图形？让学生仔细观察这些物体,回答出概念.问题2：能否通过观察给出圆柱、圆锥、圆台、球的定义？它们具有什么样的结构特点？让学生仔细观察这些物体,小组合作，让学生畅所欲言，学生之间质疑，教师从旁引导学生不断揭示它们联系和区别。
问题3：什么是简单组合体，它们具有什么样的结构特点？让学生仔细观察这些物体,回答出概念，并找出它们的结构特征。
圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
圆柱的构成：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱的表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱O’O。
练习：判断正误(1)圆柱的底面是圆面 ( )(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 ( )(3)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 ( )(1)√,圆柱的底面是圆面．(2)√,如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)×，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。
高中数学必修二《柱、锥、台、球的结构特征》优秀教学设计
课题§1.1.1柱、锥、台、球的结构特征教学目标知识与技能能根据几何结构特征对空间物体进行分类通过实物操作，增强学生的直观感知概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度价值观使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
重点让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征难点柱、锥、台、球的结构特征的概括教学设计教学内容教学环节与活动设计（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1.棱柱、棱锥的结构特征：①提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？1教教学内容教学环节与活动设计学设计③定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.→列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.④分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’⑤讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？⑥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高.→讨论：棱锥如何分类及表示？⑦讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2. 圆柱、圆锥的结构特征：①讨论：圆柱、圆锥如何形成？②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→列举生活中的棱柱实例→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→柱体、锥体.④观察书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体.3.教学棱台与圆台的结构特征：①讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？2教教学内容教学环节与活动设计学设计②定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.→列举生活中的实例③讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.④讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底面变化为线索）4.教学球体的结构特征：①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.→列举生活中的实例结合图形认识：球心、半径、直径.→球的表示.②讨论：球有一些什么几何性质？③讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）（三）、布置作业课本P8 练习题1.1 B组第1题课外练习课本P8 习题1.1 B组第2题教学小结柱、锥、台、球的结构特征的概括课后反思。
高中数学 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征学案 新人教A版必修2 学案
某某省朔州市平鲁区李林中学高中数学圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征学案新人教A版必修2一．学习任务1.会用语言叙述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；2.能够利用几何体的结构特征认识简单组合体的结构特征。
二．知识导学探究1：（一）圆柱1.圆柱：构特征：圆柱的轴：圆柱的底面：圆柱的侧面：圆柱侧面的母线：3.圆柱的画法：4.圆柱的表示：6.在右边图中，指出圆柱的有关概念：轴、底面、侧面、母线，并画出轴截面。
探究2：（二）圆锥2.在右边图中，指出圆锥的有关概念：轴、底面、侧面、母线，并画出轴截面。
3.圆锥的表示：探究3：（三）圆台1.圆台：2.在右边图中，指出圆台的有关概念：轴、底面、侧面、母线，并画出轴截面。
3.圆台的表示：.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?探究4：（四）球1.球：2.在右边图中，指出球的有关概念：球心、半径、直径、大圆3.球的表示：思考：这四种几何体有什么共同特征？探究5 （五）简单组合体1.简单组合体；例1：下列叙述正确的有（1）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥.（2）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的的几何体是圆台.（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.（4）在圆柱的上，下两底面的圆周上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线.（5）圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线是圆锥的母线.1.给出下列命题：（1）圆柱的底面是圆；（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；（3）连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；（4）圆柱的任意两条母线相互平行。
其中正确命题的个数共有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个2. (1) 圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个(2) 用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面(3) 用任意的一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面其中正确的个数是（）A.0个B. 1个C. 2个D. 3个5.已知，ABCD 为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD ，绕AB 所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.R 3，则高等于__________. 7.如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图形，若将 它绕轴旋转0180后形成一个组合体，下面说法不正确的是___________A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体l 对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点25cm 的球,截面面积是249cm ,则球心到截面的距离为多少？。
高中数学圆柱圆锥圆台球及简单组合体的结构特征学案新人教A版必修2学案
高中数学圆柱圆锥圆台球及简单组合体的结构特征学案新人教A版必修2学案学案：高中数学-圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、教学目标：1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；2.能够正确应用相关公式解决实际问题；3.理解并掌握简单组合体的结构特征和计算方法。
二、教学重点：1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；2.能够正确应用相关公式解决实际问题。
三、教学难点：理解并掌握组合体的结构特征和计算方法。
四、教学过程：1.圆柱圆柱是由两个平行的圆面和一个连接两个圆面的侧面构成。
圆柱的特征有以下几点：（1）两个底面圆的半径相等；（2）底面圆的圆心连线与侧面圆弧的垂直距离为高。
2.圆锥圆锥是由一个圆锥面和与圆锥侧面相交的平面所围成的立体。
圆锥的特征有以下几点：（1）底面圆和锥尖的连线为高；（2）底面圆的半径和锥尖到底面圆心的距离为斜高。
3.圆台圆台是由两个相似的圆面和一个连接两个圆面的侧面构成的立体。
圆台的特征有以下几点：（1）底面和顶面的圆心连线为轴线；（2）底面和顶面的半径分别为R和r，侧面的高为h。
4.球球体是由一个半径固定的圆面上的所有点与圆心的连线组成的立体。
球体的特征有以下几点：（1）球心到球面上任意一点的距离为半径；（2）球面上任意两点的连线段称为弦，弦的中垂线经过球心。
5.简单组合体简单组合体是由圆柱、圆锥、圆台、球等几何体组合而成的立体。
组合体的特征有以下几点：（1）组合体内任意两个面相交于一条线段；（2）组合体内相邻面的交线为边。
五、教学方法：1.讲解法：通过讲解圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和计算方法；2.演示法：通过具体的例子演示如何计算圆柱、圆锥、圆台、球的体积和表面积；3.实践法：让学生通过练习题巩固所学知识，提高能力；4.讨论法：组织学生进行小组讨论，加深对简单组合体的理解。
六、教学评价：1.观察学生学习态度和参与情况；2.听取学生对知识的理解和运用的反馈；3.通过考试、作业等方式检验学生对知识的掌握情况。
人教版高一上学期数学教案：必修二§1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
Q：由棱台如何变成锥？若也由上底面收缩到一点，仍是原先的锥吗？例1：画一个四棱柱和一个三棱台四棱柱你能说出下列几何体是什么几何体吗？明矾晶体石膏晶体食盐晶体棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台。
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱，两底面间的距离叫做棱台的高。
附件2：优化教学设计1.0模板棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台。
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱，两底面间的距离叫做棱台的高。
C1A1D1B1O1从某个角度看一个几何体，看到的是一个圆，那么这个几何体不可能是( ) 圆柱附件3：教学设计2.0模板棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，棱台。
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱，两底面间的距离叫做棱台的高。
从运动的角度定义：（棱柱棱锥棱台）若一个平面平行于棱柱的底面,用该平面去截此棱柱时得到的截面为八边形棱柱的侧面可以不是平行四边形;ABCD-A'B'C'D',当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后如果不是,请说明理由;如果是,指出底面及侧棱（简述转型中的突出问题、问题解决策略以及优化的思路）精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
新人教B版高中数学(必修2)1.1.3《圆柱圆锥圆台和球》word教案
新人教B版高中数学(必修2)1.1.3《圆柱圆锥圆台和球》word教案新人教b版高中数学(必修2)1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》word教案由著名教师编写的优秀教学计划圆柱、圆锥、圆台和球教学目标：1。
了解球体、球体和组合的基本概念。
掌握球面横截面的性质。
掌握球面距离的概念教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离教学过程：复习引入1.圆柱体、圆锥体和圆形平台分别由矩形、直角三角形和直角梯形旋转而成。
2.本文通过对篮球、排球、足球等领域的形象展示来介绍主题1、球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到。
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。
球面所围成的几何体叫球体，简称球。
指出球心、半径、直径。
值得注意的是：1）球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联系。
2）球面的概念可以从集合的角度来描述。
球体由点组成。
球体上点的共同特征是什么？距离固定点等于固定长度的所有点的集合（轨迹）称为球体。
如果该点到球中心的距离小于球的半径，则该点位于球的内部，否则该点位于球的外部3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，球o.2.球的横截面性质：使用平面拦截球以获得横截面。
横截面为圆形表面。
穿过球中心的横截面圆称为大圆，但球中心的横截面圆称为小圆球的截面有什么性质呢？连接球心与截面圆心，连线oo1与截面圆o1会有什么关系呢？1）球心与截面圆心的连线垂直于截面。
2）假设球中心到截面的距离为D，截面圆的半径为r，球的半径为r，则：r=3。
练习1：判断是非：（勾选）√ 右勾选√ 错的）×）（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。
（）（2）到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。
（）（3）球的小圆中心和球的中心之间的连接线垂直于小圆的平面。
（4）通过球体上的两个不同点只能形成一个大圆。
（）（5）球的半径是5，截面圆的半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。
（）4、关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描述地球上某地的地理位置，我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。
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《圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征》教学设计
一、教学目标
✧知识与技能：1、通过实物操作，增强学生的直观感知。
2、能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
3、会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
4、理解简单组合体的概念，会表示生活中见到的几何体的主要几何特征。
✧过程与方法：1、让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球
的几何结构特征。
2、让学生感受圆柱、圆锥、圆台之间的关系；
3、让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
✧情感态度与价值观：1、使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积
极性，感悟数学的应用价值，同时提高学生的观察能力。
2、培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
✧重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
✧难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具
1、实物图片模型
2、几何画板
3、幻灯片。
四、教学过程
◆温故而知新
想一想：棱柱、棱锥、棱台各有什么几何结构特征？棱柱、棱锥、棱台都是多面体，三者关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？
看一看：下面这些几何体是如何形成的？它们的结构特征是什么？
◆ 探究新知------阅读课本第5、6页，回答下列问题
● 探究一、圆柱（circular cylinder ）的结构特征
思考1：圆柱是怎样形成的？它是由几个面围成的?面与面相交形成了几条交线?交线是什么图形? 生活中你见到的圆柱体还有哪些？
思考2：什么是圆柱的轴、底面、侧面、母线？请你结合定义在上面的图中标示这些量。
“在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．”这句话正确吗？上图的圆柱可记作：
讲解：圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所
围成的旋转体，我们称它为圆柱。
圆柱的轴：旋转轴；
圆柱的面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋
转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做母线。
圆柱的表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图可表示为圆柱O O /。
（让学生据一些生活中的实例，帮助理解）
注：圆柱和棱柱统称为柱体。
思考3：圆柱的结构特征是什么？
答：1
、上下两个底面都是圆形，
且大小相等，
为等圆；其侧面展开图是一个矩形。
O O 记作：圆柱
2、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
● 探究二、圆锥(circular cone)的结构特征
思考1：圆锥是怎样形成的？“以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转而形成的几何体叫圆锥”这句话正确吗？生活中你见到的圆锥还有哪些？
圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成旋转体；
思考2:什么是圆锥的轴、底面、侧面、母线？请你结合定义在上面的图中标示这些量。
上图的圆锥可记作：
圆锥圆柱一样有轴、底面、侧面和母线，让学生自己在图上标示出来。
同时注意它们的表示方法。
轴：旋转轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：斜边旋转而成的曲面
母线：斜边在旋转中的任何位置
注：棱锥和圆锥统称为椎体；
思考3：圆锥的结构特征是什么？
1、以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面
所围成旋转体；
2、 有一个底面，且底面为一个圆；其侧面展开图是一个扇形；
● 探究三、圆台(frustum of a cone)的结构特征
思考1：圆台是怎样形成的？“以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴旋转所得的几何体为圆台”这句话正确吗？生活中你见到的圆台还有哪些？
SO 记作：圆锥
圆台：与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫
做圆台。
注：棱台和圆台统称为台体。
思考2：什么是圆台的轴、底面、侧面、母线？请你结合定义在上图中标示这些量。
上图的圆台可记作：
思考3：圆台的结构特征是什么？
1、有上下两个底面，且上下两个底面是大小不同的圆；其侧面展开图是一个扇形；
2、以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转所形成的几何体。
注：圆台和棱台统称台体
注意：1、所有母线的延长线必须交于同一点。
2、定义提供了研究圆台的方法-----转化为圆锥问题。
✧ 想一想： 圆柱、圆锥、圆台有哪些相同点和不同点？三者关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？
答：圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；上底面缩为一个点
就是圆锥。
● 探究四、球 (solid sphere)的结构特征
思考1：现实生活中有哪些物体是球状几何体？球是怎样形成的？
思考2：什么是球的球心、半径、直径？在上图中标示。
上图的球可记作：
球体：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球O O 记作：圆台
体。
简称球。
球心：半圆的圆心；半径：半圆的半径；直径：半圆的直径。
球体的表示方法：常用表示球心的字母O表示，如图可表示为球O。
注意区别球面和球体是两个不同的概念。
思考3：球的结构特征是什么？
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球
注意：在讲上述几个旋转体时，要讲清其生成的过程！即怎样的平面图形绕平面图形的哪条边所在直线旋转而成。
练一练：对下列几何体分类：
●探究五、什么是旋转体？（见投影）
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面。
封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
●探究六、简单组合体的结构特征
现实世界中几何体的形状各种各样，除了柱、锥、台和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由这些简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.
思考1：日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？
思考2:试说出下列几何体的主要结构特征。
想一想简单组合体有哪些构成形式？
简单组合体的构成有两种基本形式：
一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单的几何体截去或挖去一部分而成。
课堂小结： 1、你明白圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征了吗？你能识别这些几何体了吗？填写下表
2、由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
作业：
课本第7页练习1、2、3题；第9页2、3、4题。